第4章 一次函数(随堂反馈)-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024）

第四章 一次函数 1 函数 知识梳理 ①一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y,并且对于变量x的每一个值，变量y 都有 的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量. ②表示函数的方法一般有： 法、 法和 法. ③对于自变量在可取值范围内的一个确定的值α，函数有唯一确定的对应值，这个对应值 称为当自变量等于a时的 当堂练习 1.下列各图象表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是 2.已知函数y=x2-x十2，当x=2时，函数值y=;已知函数y=3x2,当x= 时，函数值y=12. 3.从大村到黄岛的距离为60km,一辆摩托车以每小时35km/h的速度从大村出发到黄岛，则 摩托车距黄岛的距离y(km)与行驶时间t(h)的函数表达式为 4.如图是某地某一天的气温T(℃)随时间t(时)变化的图象，根据图象回答.在这一天中： -226810121416182022241/时 (1)气温T(℃)是不是时间t(时)的函数？ (2)什么时候的气温最高？最高是多少？什么时候的气温最低？最低是多少？ (3)什么时候的气温是4℃？ ·19· 2认识一次函数 第1课时一次函数与正比例函数 知识梳理 如果两个变量x,y之间的对应关系可以表示成 (k,b为常数，k≠0)的形 式，那么称y是x的一次函数.特别地，当b=时，称y是x的正比例函数. 当堂练习 1.下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是 A.y=2x B.y=1+2 D.y=2.x2-1 2.下列问题中，变量y与x成一次函数关系的是 A.路程一定时，时间y和速度x的关系 B.10m长的铁丝折成长为ym,宽为xm的长方形 C.圆的面积y与它的半径x D.斜边长为5的直角三角形的直角边长y和x 3.若y=(a十1)x2+(b-2)是正比例函数，则(a一b)225的值是 4.已知关于x的一次函数y=k.x十4k-2(k≠0)，若x=1时，y=8,则k= 5.如图，△ABC的边BC长为10cm,BC边上的高为6cm,点D在线 段BC上运动.设BD的长为xcm,则△ACD的面积y(cm)与 x(cm)之间的函数关系式为 ,此函数是 （选填 “正比例”或“一次”)函数， 6.把一个长10cm,宽5cm的长方形的宽增加xcm,长不变，长方形的面积y(cm)随 x(cm)的变化而变化， (1)写出y与x之间的关系式，并判断y是否是x的一次函数； (2)要使长方形的面积增加0cm,则x应取什么值？ ·20· 第2课时分段函数与方案选择 1.某移动通讯公司有两种移动电话计费方式，这两种计费方式中月使用费y(元)与主叫时 间x(min)的对应关系如图所示（主叫时间不到1min,按1min收费），下列判断中，正确 的是 y/元 138 88 0200400600x/min ①方式一每月主叫时间为300min时，月使用费为88元； ②每月主叫时间为600min时，两种方式收费相同； ③每月主叫时间超过600min,选择方式一省钱. A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 2.为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，各地采用价格调控手段达到节约用水的目 的.某市规定如下用水标准：每户每月的用水量不超过63时，水费按每立方米a元收 费，超过63时，不超过的部分仍按每立方米a元收费，超过的部分按每立方米c元收 费.该市某户今年7,8月份的用水量和应缴水费如下表所示， 月份 用水量/m3 应缴水费/元 7 5 7.5 8 9 27 设该户每月用水量为xm3,应缴水费y元. (1)填空：a= C= (2)分别写出当0≤x≤6，x>6时，y与x之间的函数关系式； (3)若该户11月份的用水量为83，则该户11月份应缴水费多少元？ ·21· 3一次函数的图象 第1课时正比例函数的图象和性质 知识梳理 ①把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的 坐标和 坐标， 在平面直角坐标系中描出相应的点，所有这些点组成的图形叫作该函数的图象. ②正比例函数y=kx的图象是一条经过 的直线.因此，画正比例函数图象时， 只要再确定一个点，过这个点与 画直线就可以了. ③在正比例函数y=kx中，当k>0时，y的值随着x值的增大而 ;当k<0时，y的值 随着x值的增大而 当堂练习 1.经过以下一组点可以画出函数y=2x图象的是 A.(0,0)和(2,1) B.（1,2)和(-1，-2) C.(1,2)和(2,1) D.(-1,2)和(1,2) 2.在平面直角坐标系中，正比例函数y=一2x的大致图象是 3.写出一个图象经过第一、三象限的正比例函数： 4.在正比例函数y=一3m,x中，函数y的值随x值的增大而增大，则点P(,5)在第 象限。 5.已知正比例函数y=kx的图象过点P(一√2，√2) (1)写出该函数的表达式； (2)已知点A(a,-4),B(-2√2，b)都在它的图象上，求a,b的值. ·22· 第2课时一次函数的图象和性质 知识梳理 ①一次函数y=kx十b的图象是一条 ,它与正比例函数y=kx的图象相互平行.因 此，画一次函数图象时，只要确定 个点，再过这 个点画直线就可以了.一次函 数y=kx十b的图象也称为直线y=kx十b. ②一次函数y=kx十b的图象经过点(0，b),与函数y=kx的图象 .在一次函数y k.x十b中，当>0时，y的值随着x值的增大而 ；当b<0时，y的值随着x值的 增大而 3一次函数y=kx十b的图象向上（下）平移m个单位长度后得到y=kx十b士m的图象；向左 (右)平移n个单位长度后得到y=k(x士n)十b的图象. 当堂练习 1.一次函数y=kx十b(k≠0)的图象经过点A(一3,0)，B(0,2),那么该图象不经过的象 限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.在平面直角坐标系中，已知函数y=ax十a(a≠0)的图象过点P(1,2),则该函数的图象 可能是 ( 3对于函数)y=之十3，下列说法错误的是 A.图象经过点(2,2》 B.图象与y轴的交点是(6,0) C.y随着x的增大而减小 D.它的图象与坐标轴围成的三角形的面积是9 4.把直线y=一2x一1向下平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式是 5.已知点A(3,y1),B(1,y2)是一次函数y=一2x十5图象上的两点，则y1y2.(选填 “>”“<”或“=”) 6.已知函数y=(m一1)x十m-3. (1)若函数图象经过原点，求m的值； (2)若函数的图象平行于直线y=3x一3，求m的值； (3)若这个函数是一次函数，且y随着x的增大而减小，写出一个适合m的值. ·23· 4一次函数的应用 第1课时确定一次函数的表达式 知识梳理 确定正比例函数的表达式需要一个条件，即正比例函数图象经过除原点外的一点的 坐标；确定一次函数的表达式需要一次函数图象经过的两点的坐标， 当堂练习 1.已知正比例函数y=kx的图象经过点(2,4)，则k的值是 A.-2 B一司 C.2 D.1 2.直线y=kx十b在平面直角坐标系中的位置如图所示，则 1 A.k=- b=-1 B.k=一2b=1 y C6=号6=- D.k=2b=1 3.一次函数y=k(x一1)的图象经过点M(一1，一2)，则其图象与y轴的交点是 A.(0,-1) B.(1,0) C.(0,0) D.(0,1) 4.已知一次函数y=kx十b的图象经过点A(1,3),且和直线y=2x一3平行，则该函数的 表达式为 5.已知y是x的一次函数，当x=0时，y=3;当x=2时，y=7. (1)写出y与x之间的函数表达式； (2)当x=4时，求y的值. ·24· 第2课时借助单个一次函数图象解决有关问题 1.已知方程kx十b=0的解是x=3,则函数y=kx十b的图象可能是 ) 3 031 A B C D 2.一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的4min内只进水不出↑1 30--- 水，在随后的8min内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个 20 常数.容器内的水量y(L)与时间x(min)之间的关系如图所示，则每分 钟出水 L. O4 8 12 x/min 3.大鹏新区某住宅小区计划购买并种植甲、乙两种树苗共300株.已知 甲种树苗每株60元，乙种树苗每株90元.设购买甲种树苗x株，购买两种树苗的总费 用为y元 (1)求y关于x的函数表达式； (2)当100≤x≤225时，如何购买甲、乙两种树苗才能保证费用最低？最低费用是多少？ 4.小明将父母给的零用钱按每月相等的数额存放在储蓄盒内准备捐给希望工程，盒内钱 数y(元)与存钱月数x(月)之间的关系如图所示.根据图象，解答下列问题： (1)盒内原来有多少钱？ (2)求盒内钱数y与存钱月数x之间的函数表达式（不要求写出x的取值范围）； (3)按此规律，小明经过几个月才能存够120元？ y/元 240 200 160 20 80 40 o246810x/月 ·25· 第3课时借助两个一次函数图象解决有关问题 知识梳理 应用函数解决实际问题的一般步骤： (1)确定函数模型； (2)求出函数表达式； (3)利用函数表达式或函数图象的性质解决问题. 当堂练习 1.如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶路程y(k)随时间 x(h)变化的图象，则下列结论错误的是 A.轮船的速度为20km/h B.快艇的速度为40km/h C.轮船比快艇先出发2h D.快艇到达乙港用了6h y/km 160H 快艇 y/km y/万元 25 80 20 轮船 甲 10 5 02468x/h 012345t/h 可1234x/件 (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2.如图是甲、乙两人行走的路程y(km)与时间t(h)之间的关系式，根据图象判断甲的速度 比乙的速度每小时 .(选填“快”或“慢”多少千米) 3.如图，1表示某个公司一种产品一天的销售收入与销售量的关系，2表示该公司这种产 品一天的销售成本与销售量的关系.当销售量为 件时，利润为6万元 4.甲、乙两地相距400k,一辆货车和一辆轿车先后从甲地匀速开往乙地，轿车晚出发 2h.货车和轿车各自与甲地的距离y(km)与货车行驶的时间x(h)之间的关系如图所示. (1)货车的速度为 km/h,轿车的速度为 km/h; (2)货车与轿车在货车出发多长时间后相遇？ y/km 400 o 2 68x/h ·26·第2课时实数 知识梳理 ①无限不循环®有理数无理数有理数无理数日一Q二它本身它的相 a 反数0④一一对应 当堂练习 1C2D3xx-314是 4.245.解：(1)如图： AC,AD的 长是无理数.理由如下：：AB=3十4=25=52，AC=3十1=10，AD=32十2= 13,没有任何一个有理数的平方为10或13，.AC,AD的长是无理数：(2)如图，△BCD 是等腰三角形.理由如下：BC2=12十22=5，CD2=12+2=5,BD=2,.BC=CD, ∴△BCD是等腰三角形；(3)AC2=10,3<10<4,.线段AC的长介于3和4之间. 2平方根与立方根 第1课时算术平方根 知识梳理 ①正正Wa203aa-a 当堂练习 1.A2.B3.934.解：(1)12=144，∴.144的算术平方根是12，即w√144=12： (2(台)-碧的算术平方根是号即√爱台：(30,3=0.090,09 4 2 的算术平方根是0.3，即√0.09=0.3.5.解：(1)原式=3十5=8；(2)原式=2×6= 12:(3)原式=7×号=2：(4)原式=1×6-3十π-2=π十1. 第2课时平方根 知识梳理 ①xa②两一0本身没有3平方根 当堂练习 1.A2.C3.44.解：(1)（士20）2=400，.400的平方根是士20，即士√/400= 士20：(2)（士0.9）2=0.81，∴0.81的平方根是士0.9，即±√0.8T=士0.9； （8(+号)-号号的平方根是±名即±√需-士子5居，=士10： /49 1 (2)x=2,x=±2：(3)2x=8,x2=16,z=±4：(4)1-x=1,或1-x=-1,x=0,或 x=2 第3课时立方根 知识梳理 ①立方根三 ②a3正0负数④立方根a 当堂练习 1,A2.D3.-3434.解：(1)(0.6)3=0.216，.0.216的立方根是0.6，即 0.216=0.6:(2)03=0,∴.0的立方根是0，即6=0：(3)-158 =-125 8 （名)=-号-15号的立方根是-号，即√15言=-多5.解：1)原式 827_3 =5:(2)原式=-0.8：(3)原式=√8=之 第4课时估算与用计算器开方 当堂练习 1.C2.C3.54.√5-25.解：这个足球场能用作国际比赛.理由如下：设足球场的 宽为xm,则足球场的长为1.5xm.由题意，得1.5x2=7560,.x2=5040..x>0, .x=√5040.又702=4900,712=5041，∴.70<√/5040<71，.70<x<71,.105 <1.5x<106.5..这个足球场的长和宽都符合要求..这个足球场能用作国际比赛. 3二次根式 第1课时二次根式的乘除法 知识梳理 ①V/a(a≥0) 当堂练习 1.C2.A3.A4.245.解：(1)原式=√15；(2)原式=66：(2)原式= 1 V256 店(3)原式-V18×言×亭-=4. 第37页（共42页） 第2课时二次根式的化简及加减法 知识梳理 ①a·√6 6 ②分母能开得尽方的因数或因式 当堂练习 1.B2.D3.解：(1)原式=√A×√/225=2×15=30：(2)原式=√100×√3=10√3： 原武亮告（源武-V屑层子4新：（原式-3+4 7,(2)原式=2-后=：(3)原式=2+号-25=5+号，(4)原式 3 3 (3√3-43)X3=-√3X√3=-3. 第3课时二次根式的混合运算 知识梳理 ①乘方乘除加减 当堂练习 1.D2.6√33.√2y十y√4.-7-3√35.解：(1)原式=√14-2；(2)原式= 22+6,(3)原式=5-W5+√5)×5×2=5-W5+√5)×1=5-1-5= -1;(4)原式=4√5-√2-√5+√2=35；(5)原式=1-5十5十1-25=2-25； (6)原式-√品××8m-√合m-2 第三章 位置与坐标 1 确定位置 知识梳理 两 当堂练习 1.D2.D3.9排8号4.南偏西60°且距离超市500m5.解：(1)由题意可得，小红 家的位置是(2,4)，小涛家的位置是(6,4)：(2)小刚家的位置是(6,3)，.从小涛家向 南走10m到小刚家. 2平面直角坐标系 第1课时平面直角坐标系 知识梳理 ①互相垂直且有公共原点向右向上x轴y轴坐标轴原点②唯一的一个 当堂练习 1.A2.B3.A4.解：如图；该图形像宝塔松； 图形的面积为号×1 O12345678x ×1+号×4X2+3×2X1=3+4+1-2 第2课时平面直角坐标系中，点的坐标特，点 当堂练习 1.A2.D3.A4.8或-65.解：(1)：点M(2m-3,m+1),点M到y轴的距离为 1,∴.2m-3|=1,解得m=1或m=2.当m=1时，点M的坐标为(-1,2)；当m=2 时，点M的坐标为(1,3).综上所述，点M的坐标为(-1,2)或(1,3)；(2)：点M(2m一 3,m+1),点N(5,-1),且MN∥x轴，m+1=一1，解得m=-2.故点M的坐标为 (-7,-1). 第3课时建立适当的坐标系描述图形的位置 当堂练习 1.A2.D3.(-4,2),(-2,2),(-1,1)4.(0,3) 3轴对称与坐标变化 知识梳理 ①相同互为相反数②相同互为相反数 当堂练习 1.A2.D3.A4.(2,一4)5.解：(1)A与B是对称点，对称轴是直线y=3,如图： 1y (2)C与D是对称点，对称轴是直线x=一1，如图：(3)点M(一1， ,01234 第38页（共42页） 一3)关于x=2对称的对称点N的坐标是(5，-3)，关于直线y=1对称的对称点Q的 坐标是（一1,5）. 第四章一次函数 1 函数 知识梳理 ①唯一②列表关系式图象③函数值 当堂练习 1.C2.4士23.y=60一35t4.解：(1).在气温T(℃)随时间t(时)的变化过程中 有两个变量T和t,并且对于变量t的每一个值，变量T都有唯一的值与它对应，符合 函数的定义，∴.气温T(℃)是时间t(时)的函数；(2)14时的气温最高，是10℃：4时的 气温最低，是一2℃；(3)8时、22时的气温是4℃. 2认识一次函数 第1课时一次函数与正比例函数 知识梳理 y=kx十b0 当堂练习 1.C2.B3.-14.25.y=30-3x一次6.解：(1)y=10(x+5),即y=10x+ 50;y是x的一次函数；(2)根据题意，得10x十50=10×5十30，解得x=3. 第2课时分段函数与方案选择 1.A2.解：(1)1.56(2)当0≤x≤6时，y=1.5x;当x>6时，y=1.5×6+6(x-6) =6x-27;(3)8>6,.当x=8时，y=6×8-27=21,该户11月份应缴水费21元. 3一次函数的图象 第1课时正比例函数的图象和性质 知识梳理 ①横纵 ②原点(0,0)原点③增大减小 当堂练习 1.B2.B3.y=3x(答案不唯一)4.二5.解：(1)，正比例函数y=kx的图象过点 P(-√2，√2)，√2=-√2k,解得k=-1..该函数的表达式为y=-x:(2):点A(a, -4),B(-2√2，b)都在y=-x的图象上，∴.-4=-a,b=-(-2√2)，解得a=4,b= 22. 第2课时一次函数的图象和性质 知识梳理 ①直线两两②平行增大减小 当堂练习 1.D2.A3.B4.y=-2x-45.<6.解：(1)把(0,0)代入y=(m-1)x十m-3, 得m-3=0,解得m=3:(2)由题意，得m一1=3，解得m=4:(3)m可取0（答案不 唯一). 4一次函数的应用 第1课时确定一次函数的表达式 当堂练习 1.C2.B3.A4.y=2x十15.解：(1)设y与x之间的函数表达式为y=kx十b将 (0,3),(2,7)代入y=kx十b,得b=3,2k十b=7,解得k=2,b=3.∴y与x之间的函数 表达式为y=2x十3：(2)当x=4时，y=2x十3=2×4十3=11. 第2课时借助单个一次函数图象解决有关问题 1.C2.93.解：1)由题意，得y=60x十90(30-)=27000-30x:(2):-30<0, ∴y随x的增大而减小，.当x=225时，y有最小值，∴y最小值=27000-30×225= 20250.此时300一x=300一225=75.故购买甲种树苗225株，乙种树苗75株时，费 用最低，最低费用是20250元，4.解：(1)盒内原来有40元；(2)设函数表达式为y =kx十b,将(0,40)，(8,200)代入可得b=40,8k十b=200,解得k=20,故y与x之间的 函数表达式为y=20x十40；(3)令20x十40=120，解得x=4,即小明经过4个月才能存 够120元. 第3课时借助两个一次函数图象解决有关问题 当堂练习 1.D2.慢9km3.144解：(150100(2)设货车与轿车在货车出发xh相遇. 根据题意，得50x=100(x一2).解得x=4.答：货车与轿车在货车出发4h后相遇. 第五章二元一次方程组 1 认识二元一次方程组 知识梳理 ①两1②两③相等④公共解 第39页（共42页）