第1章 勾股定理(随堂反馈)-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024）

第一章勾股定理 1探索勾股定理 第1课时认识勾股定理 知识梳理 ①我国古代把直角三角形中较短的直角边称为 ,较长的直角边称为，斜边称为 ②勾股定理：直角三角形两直角边的 等于斜边的 .如果用a,b和c分别表 示直角三角形的两直角边和斜边，那么 当堂练习 1.在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2,AC=3,则AB等于 A.1 B.3 C.4 D.5 2.如图，两个较大正方形的面积分别为225,289，则字母A所代表的正方形的面积 为 A.4 B.8 C.16 D.64 D 225 289 A E B (第2题图) (第3题图) 3.如图，点E在正方形ABCD的边AB上.若EB=1,EC=2,则正方形ABCD的面积 为 A.5 B.3 C.4 D.2 4.如果直角三角形的两边长分别为6和8，那么它的第三边长的平方为 5.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm,AC=3cm. (1)求BC的长； (2)求△ABC的面积. ·1 第2课时勾股定理的验证及其简单应用 知识梳理 ①勾股定理的验证方法较多，但最简单、最直接的方法是通过拼图，利用面积不变构造等 量关系进行验证. ②应用勾股定理解决实际问题的关键是把实际问题转化为“直角三角形”这个数学模型来 求解 当堂练习 1.勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”.我国对勾股定理的证明是由汉代的赵 爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年 在北京召开的国际数学大会选它作为会徽.下列图案是“赵爽弦图”的是 B 2.如图为某楼梯，测得楼梯的长为5m,高为3m,计划在楼梯表面铺地毯，则地毯的长度 至少为 ( A.4 m B.8 m C.9m D.7 m 2 m 5 m 3m 1.5m (第2题图) (第3题图) 3.如图是一扇高为2m,宽为1.5m的长方形门框，李师傅有3块薄木板，尺寸如下：①号 木板长3m,宽2.7m;②号木板长2.8m,宽2.8m;③号木板长4m,宽2.4m.可以从 这扇门通过的木板是 号.（填序号）》 4.如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以16 n mile/,h的速度向北偏东40航行，乙船 向南偏东50航行，2h后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若B,C两岛相距17 mile, 问乙船的航速是多少？ 北 南 ·2 2一定是直角三角形吗 知识梳理 ①如果三角形的三边长a,b,c满足 ,那么这个三角形是直角三角形. 2满足a2十b2=c2的三个 ,称为勾股数. 当堂练习 1.以下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( A.4,5,6 B.1.5,2,2.5 C.6,7,8 D.2,3,4 2.下列各组数是勾股数的是 A.3,4,5 B.1.5,2,2.5 C.32,42,52 D,11 34’5 3.若一个三角形的三边长之比为9：12：15，且周长为72cm,则它的面积为 cm2. 4.若三角形的三边长a,b,c满足2ab=(a十b)2一c2,则此三角形的形状是 三角形 5.如图，以△ABC的三边为边长分别向外作正方形，它们的面积分别是S,S2,S3.如果 S,+S2=S3,那么△ABC的形状是 三角形， S s (第5题图) (第6题图) 6.如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的度数为 7.如图是一个零件的示意图，测得AB=4cm,BC=3cm,CD=12cm,AD=13cm,∠B= 90°，根据这些条件，求出∠ACD的度数 B ·3· 3勾股定理的应用 1.如图，湖的两端有A,B两点，从与BA方向成直角的BC方向上的点C测得CA=130m, CB=120m,则AB的长为 ) A.30m B.40m C.50m D.60m D B B E (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2.如图，有一个圆柱，它的高为5cm,底面半径为2cm,在点A处的一只蚂蚁想吃到点B 处的食物，爬行的最短路程为 cm. 3.如图，AB=1.2m,BC=0.5m,AD=CE=0.2m,则加固小树的木棒DE的长是 m. 4.如图，在一棵树(AD)的10m高处(B)有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20m的池 塘(C),而另一只则爬到树顶(D)后直扑池塘.如果两只猴子经过的路程相等，那么这棵 树有多高？ D 10m C 20m ·4两直线平行，同位角相等∠DGC两直线平行，内错角相等∠DGC∠DGC 同位角相等，两直线平行15.解：(1)如图①，过点P作PQ∥.：l1∥l2,∴.PQ∥1∥ l2,∴∠1=∠QPE,∠2=∠QPF.∠3=∠QPE+∠QPF,∴∠3=∠1+∠2；(2)结 论：∠3+∠1十∠2=360°.证明如下：如图②，过点P作PQ∥41.：l1∥l2,.PQ∥l1∥ l2.同(1)可得∠3=∠CEP+∠DFP.:∠CEP+∠1=180°，∠DFP十∠2=180°， .∠CEP+∠DFP+∠1+∠2=360°，即∠3+∠1+∠2=360°. C EA D 图① 图② 重点题型专练答案 专练（一）勾股定理 1.492.√173.解：(1)学校A能听到广播宣传，理由如下：：学校A到公路MN的 距离为60m<100m,.学校A能听到广播宣传：(2)如图， 假设 M PC B Q N 宣讲车P行驶到点C时学校开始听到，离开点Q后不再听到，则AC=AQ=100m,AB =60m.由勾股定理，得BC=√AC2-AB=80(m),.BQ=BC=80m,.CQ=160 m.:160÷80=2(min),∴.学校A总共能听到2min的广播宜传，4.解：连接BD,BE, 过点B作DE边上的高BF,易得BF=b-a,:Sa题m=SF十SaAe=之：+号 ab.Snoowm-Som+Sa(ba(b-a), .a2十b2=c2. 专练（二）二次根式的运算 1.A2.B3.√6-2√34.解：根据题意，得v=16√d了=16√51.2×1.25= 128(km/h).128>120,∴.肇事汽车当时的速度超出了规定的速度.5.解：(1)W2-1 √5+2 (2)44(3)由题意，得a= =5+2,∴.a-2=√5..(a-2)2= W5-2(W5-2)(5+2) 5,即a2-4a+4=5..a2-4a=1..2a2-8a十1=2(a2-4a)十1=2×1+1=3. 专练（三）平面直角坐标系 1.A2.23.(4,0)或(0,2)4.解：(1)点A,B关于x轴对称，∴.2a-b=b-1,5十a a十b=0,解得a=-号，b=-5:(2)点A,B关于y轴对称，∴2a-6十61=0， a=-a+6,解得a=z,6=6.六10a-b)s=(10X号-6)m=-1.5.解.1) 1 2025 A(-4,5),B(一2,1)，C(-1,3):(2)如图， △ABC,线段AA,和 BB1即为所求：(3).△ABC和△ABC关于y轴对称，.AA1∥BB1,∴.四边形 ABB,A是梯形，∴四边形ABB,A的面积为(8+4)×4X号=24.6.解：(1)：四边 形OABC是长方形，..BC=OA=6cm,AB=OC=4cm.当x=2时，OP=2cm, “△0PE的面积为2×2×4=4cm):(2)点P的坐标为（号0）或（号，4）： 专练（四）一次函数 1.A2.C3-64解：1)y=号x-2(2y=号x+3(3)易得四边形ABCD为平 行四边形，且BC=5,OA=3,.四边形ABCD的面积为5X3=15.5.解：(1)y=x一2 (2)由题意，得A(0,1),则AB=3.设D(m,m-2),则E(m,-2m十1).DE=2AB, .|-2+2m一1|=6，解得m=-1或3.当m=-1时，m-2=一3.当m=3时，m一2 =1.点D的坐标为(-1，-3)或(3,1)，6.解：(1)设方案二y关于x的函数表达式 为y=kx十b.由题意，得b=600,将b=600代入30k十b=1200,解得k=20,.方案二 y关于x的函数表达式为y=20x十600：(2)若每月生产产品件数不足30件，则选择方 案二；若每月生产产品件数是30件，两种方案报酬相同，则可以任选一种；若每月生产 产品件数超过30件，则选择方案一. 第34页（共42页） 专练（五） 解二（三）元一次方程组 x=2, 1解：11：21a2:4.2解：将代入方程@ x=一3 y=-1 94X(-3)-6X(一1)=一2，解得6=10.将代人方程⑩，得5a+5×4=15, 得a=-1.a2+()“=(-1+(×10)-1-1=0.3.解：联 1 2025 2025 立 34.解得2将2代人8，-2·用 í3x-y=5, y=-2 ax-by=8, 106=一22'解得{二2’.(-a)泸=(-2)3=-8 a+2b=8. 专练（六）二元一次方程组的应用与求参数值 1.02.子3解：1)设1辆A型车我满荔枝一次可运走xt,1辆B型车载满荔枚一 次可运走y曲医意，得什。州解得(”答1辆A型车我满然枝一水可运走 1y=4. 3t,1辆B型车载满荔枝一次可运走4t:(2)由题意，得3a十4h=31,a=31地.又 3 。6均为非负整数一8或公二支8：该物流公司共有3种用车方案：方 b=7, 案一：租用9辆A型车，1辆B型车；方案二：租用5辆A型车，4辆B型车；方案三：租 用1辆A型车，7辆B型车.4.解：(1)设轿车出发后xh追上大巴，此时大巴行驶的 时间为(x十1)h.由题意，得60x=40(x十1)，解得x=2,则60x=60×2=120.答：轿车 出发后2h追上大巴，此时两车与学校相距120km:(2)由(1)知轿车追上大巴时，大巴 行驶了3h,且此时与学校相距120km,.点B的坐标是(3,120).由图象，得点A的坐 标为(1,0).设直线AB的函数表达式为s=kt+b,则6.0，解得(6”60，∴直一 k十b=0, 线AB的函数表达式为s=60t-60(3)由题意，得40(a十1.5)=60×1.5，解得a=· 3 专练（七）平均数、中位数与方差的应用 1.D2.A3.D4.13.85.解：(1)甲的测试结果从小到大排列为160,165,165， 175,180,185,185,185,.甲的中位数a=175180=177.5.185出现了3次，出现的 次数最多，.众数b=185.故a=177.5,b=185:(2)应选乙参赛.理由如下：乙的方差c 与8×[2×(175-175)2+2×(180-175)+2×(170-175)+(185-175)+(165= 175)2门=37.5.：乙的方差小于甲的方差，乙的成绩比甲的成绩稳定.应选乙参赛； (3)(答案不唯一)从平均数和方差相结合看，乙的成绩好些. 专练（八）平行线的性质与判定 1.GDHE2.68°3.解：(1)构造3个命题如下：条件：①AB∥CD:②∠B=∠C:结 论：③∠E=∠F:条件：①AB∥CD;③∠E=∠F;结论：②∠B=∠C:条件：②∠B= ∠C;③∠E=∠F;结论：①AB∥CD:(2)(答案不唯一)选择条件：①AB∥CD;②∠B= ∠C;结论：③∠E=∠F.此命题是真命题.证明如下：，AB∥CD,∴∠C=∠BAE.又 ∠B=∠C,.∠B=∠BAE,.EC∥BF,.∠E=∠F.4.解：(1)115°(2)EF平 分∠DFP,理由如下：，DE平分∠MDF,∠EDF=30°，.∠MDF=2∠EDF=60°. :MN∥PQ,∴.∠MDF=∠DFQ=60°.：∠EFD=60°，∴.∠EFP=180°-60°-60°= 60°，.∠EFP=∠EFD,即EF平分∠DFP;(3)延长EB交MN于点G.由题意，得 ∠DBE=60°，∠ABC=45°，∠DEG=90°，.∴.∠CBE=∠ABC+∠DBE=105°， ∴.∠CBG=180°-∠CBE=75°.：MN∥PQ,.∠MGE+∠DEG=180°，.∠MGE= 180°-∠DEG=90°，.∠BCG=180°-∠CBG-∠MGE=180°-75°-90°=15°，即 ∠BCN=15. 期末复习综合测试（一） 1.D2.B3.A4.B5.C6.A7.D8.B9.(-2,3)10.>11.412.√74 13.解：原式=45÷5-√合×12+26=4-5+26=4十6,14解：设AB的 长为xm,则BC的长为(x-2)m.:AC=14m,△ABC是直角三角形，∠C=90°，∴.由 勾股定理，得AC2十BC=AB,∴14十(x-2)2=x2,解得x=50.答：滑雪台的长度 AB为50m.15.解：设租住了三人间客房a间，双人间客房b间.根据题意，得 3004十3006=6300，解得6二2答：租在了三人间客房8间，双人间客房13间 3a+2b=50. 16.解：(1)：∠1+∠2=180°，∠2=∠CFE,∠1=∠AEF,∴∠AEF+∠CFE=180°， .AB∥CD:(2)由(1)知，AB∥CD,.∠BEF十∠EFD=180°.又.∠BEF与∠EFD 第35页（共42页） 的角平分线交于点P,·∠PEF+∠PFE=令（∠BEF+∠EFD)=9O°，·∠EPF= 90°，即EG⊥PF.GH⊥EG,.PF∥GH;(3)∠QPE=60°.[解析：GH⊥EG, .∠PGH=90°.，∠PHG=15°，..∠HPG=75°..∠HPQ=45°，∠QPE+∠HPQ+ ∠HPG=180°，.∠QPE=60] 期末复习综合测试（二） 1.C2.B3.B4.D5.D6.A7.D8.C9.510.1411.112.913.解： :2a-3的平方根为士3，∴2a-3=9,∴a=6.:a+b-2的算术平方根为4，a十b 2=16.“a=6,6+6-2=16,6=12a+名6=6+合×12=8：8的立方根是 2.∴a十合6的立方根是2.14，解：1)30060(2)设直线OD的函数关系式为y =x.将点(17,340)代入y=kx,得340=17k,解得k=20..直线OD的函数关系式为 y=20x.设直线DE的函数关系式为y=mx十n.将点(22,340)，(30,300)分别代入y= mx十n,得22m士n二340解得m=5,:直线DE的函数关系式为y=一5x十450. 0m十n=300, n=450, 由/y=20x, {y=-5x+450 解得2=8，点D的坐标为18,360.y与工之间的函数关 {y=360. 系式为y= 20x(0≤x≤18)， {-5x+450(18≤x≤30). 15.解：(1)·AG平分∠BAD,.∠BAG= ∠DAG.:∠BAG=∠BGA,∠BGA=∠DAG,∴.AD∥BC,∴∠B+∠BAD=180. :∠AEF=∠B,∴∠AEF+∠BAD=180°，∴.AB∥EF;(2)由(1)，得∠BAG=∠BGA =∠DAG=a,AD∥BC,∴.∠B=180°-∠BAE=180°-∠BAG-∠DAG=180°-2a. :∠AEF=∠B=180°-2a,∠GEF=B,∴.∠GEA=∠AEF-∠GEF=180°-2a-B. :AD∥BC,.∠EGF=∠GEA=180°-2a-B,∴.∠AGE=180°-∠BGA-∠EGF= 180°-a-(180°-2a-B)=a+B. 随堂反馈答案 第一章勾股定理 1探索勾股定理 第1课时认识勾股定理 知识梳理 ①勾股 弦②平方和平方a2十b2=c2 当堂练习 1.D2.D3.B4.100或285.解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=AB -AC=5-32=16,∴BC=4cm,(2)Sa=合AC.BC=×3X4=6(cm). 第2课时勾股定理的验证及其简单应用 当堂练习 1.B2.D3.③4.解：由题意，得∠BAC=90,在Rt△ABC中，AC=2X16= 8(n mile),BC=17 n mile,由勾股定理，得AB=BC-AC2=172-82=225,.AB= 15nmic.∴乙船的航速为15÷之=30(n mile/h. 2一定是直角三角形吗 知识梳理 ①a2十b=c2②正整数 当堂练习 1.B2.A3.2164.直角5.直角6.45°7.解：在Rt△ABC中，根据勾股定理， 得AC=AB2+BC=42+3=25,∴.AC=5cm.:AC+CD=52+122=25+144= 169,AD2=13=169,即AC+CD2=AD,△ACD是直角三角形，∠ACD=90°. 3勾股定理的应用 1.C2.133.1.74.解：由题意知AB=10m,AC=20m.设BD=xm,则树高AD =(10十x)m.由题意知BD十CD=AB十AC,.x十CD=10+20,.CD=(30-x)m.在 Rt△ACD中，∠A=90°，由勾股定理，得AC+AD=CD,即202十(10十x)2=(30- x)2,解得x=5..AD=10+5=15(m).答：这棵树有15m高. 第二章实数 1认识实数 第1课时无理数的产生 知识梳理 ①整数分数②无限不循环小数 当堂练习 1.D2.B3.B4.22.22.35.10 第36页（共42页）