第1章 勾股定理 综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024）

第一章综合评价 (时间：120分钟满分：120分) 宝 一、选择题（每小题3分，共30分） 常 1.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 A.6,8,10 B.2,3,4 C.4,6,7 D.5,11,12 2.一个直角三角形的两条直角边边长分别为3和4，则斜边上的高为 A.2 B.2.2 C.2.4 D.2.5 3.如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是 A.50 B.16 C.25 D.41 北 站 南 (第3题图) (第6题图) (第7题图) 4.已知四个三角形分别满足下列条件：①一个内角等于另两个内角之和；②三个内角度数之比为3： 4:5;③三边长分别为7,24,25；④三边长之比为5：12：13.其中，直角三角形有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.已知直角三角形的两条直角边长分别是6和8，则下列说法正确的是 A.该三角形的斜边长为100 B.该三角形的周长为25 封 C.该三角形的斜边长为10 D.该三角形的面积为48 6.如图，在水塔O的东北方向12m处有一抽水站A,在水塔O的东南方5m处有一建筑工地B,在 AB间建一条直水管，则水管的长为 A.10m B.13m C.14m D.8 m 7.如图，我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形 拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边 长分别为a,b,那么ab的值是 ) A.4 B.6 C.12 D.13 线 8.如图，在长方形ABCD中，AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为 EF,则△ABE的面积为 新 A.3 cm2 B.4 cm2 C.6 cm2 D.12 cm2 a b c 4 5 8 6 10 15 8 17 24 10 26 … x 65 (第8题图) (第9题图) (第10题图) 9.如果正整数a,b,c满足等式a2+b=c2,那么正整数a,b,c叫作做勾股数.某同学将自己探究勾 股数的过程排列如表，观察表中每列数的规律，可知x十y的值为 A.47 B.62 C.79 D.98 第1页（共4页） 10.如图，长方体的高为9cm,底面是边长为6cm的正方形，一只蚂蚁从顶点A爬向顶点B处觅 食，那么它爬行的最短路程为 A.10 cm B.12 cm C.15 cm D.20 cm 二、填空题（每小题3分，共18分） 11.有下列几组数：①1,2,3；②6,8,10；③0.3,0.4,0.5；④9,40,41.其中，是勾股数的是 .(填序号) 12.如图，BC的长为3cm,AB的长为4cm,AF的长为12cm,正方形CDEF的面积为 cm2. D B 图① 图② B 图① 图② (第12题图) (第13题图) (第15题图) (第16题图) 13.如图①，荡秋千是小朋友非常喜爱的一种运动.有一天，小明在公园里游玩，如图②，他发现秋千 静止时，踏板离地的垂直高度DE=1m,将它往前推送6m(水平距离BC=6m)时，秋千的踏 板离地的垂直高度BF=CE=3.若秋千的绳索始终拉得很直，则绳索AD的长为 m. 14.一艘小船早晨8：00出发，它以8 n mile,/h的速度向东航行，1h后，另一艘小船从同一停泊点以 12 n mile/h的速度向南航行，则上午10：00时，两小船相距 n mile. 15.如图，折叠长方形ABCD,使点D落在BC边上的点F处，折痕为AE.若AB=12c,BC= 13cm,则FC的长度是cm. 16.勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的 记载.如图①是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理. 图②是由图①放入长方形内得到的，∠BAC=90°，AB=3,AC=4,点D,E,F,G,H,I都在长方 形KLMJ的边上，则图②中空白部分的面积为（空白部分指除网格外的区域）. 三、解答题（共72分） 17.(8分)如图，正方形网格中有△ABC,若小方格的边长均为1，请你根据所学的知识解答下列问题： (1)求△ABC的面积； (2)判断△ABC是什么特殊三角形，并说明理由. 18.(8分)如图，在△ABC中，CDLAB于点D,AC=20,BC=15,DB=9,求AB的长. 第2页（共4页） 19.(8分)学校要征收一块土地，形状如图所示，∠B=∠D=90°，AB=20m,BC=15m,CD=7m,土 地价格为1000元/m,请你计算出学校征收这块土地需要多少元. 20.(8分)如图，长方体的底面是边长为3cm的正方形，高为5cm.若一只蚂蚁从点A开始经过四 个侧面爬行一圈到达点B,求蚂蚁爬行的最短路径有多长. 5 cm 3 cm 21.(8分)如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC,垂足为D,交AB于点E,且BE-AE= AC.判断△ABC的形状，并说明理由. 22.(10分)近年来，我国近视发生率居高不下，近视已成为影响我国国民尤其是儿童青少年眼健康 的重大公共卫生问题.某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的顶部边缘离桌面的高度与用眼舒 适度关系”的实践探究活动.已知笔记本的宽度AC为25c,当顶部边缘A处离桌面的高度 AD为15cm时，此时用眼舒适度不太理想.小组成员调整顶部边缘离桌面的高度，最后发现当 顶部边缘离桌面的高度A'E=24c时，用眼舒适度较为理想.求调整前后顶部边缘移动的水平 距离DE的长. 第3页（共4页） 23.(10分)定义：如图，点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB,若以AM,MN,NB为边的三角 形是一个直角三角形，则称点M,N是线段AB的“勾股分割点” M B (1)已知M,N把线段AB分割成AM,MN,NB,若AM=1.5,MN=2.5,BN=2,则点M,N是 线段AB的“勾股分割点”吗？请说明理由； (2)已知点M,N是线段AB的“勾股分割点”，且AM为直角边，若AB=24,AM=6,求BN的长， 24.（12分)台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端 气候，有极强的破坏力.如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线 由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A,B两点的距离分别为300km、400km,且 ∠ACB=90°，过点C作CE⊥AB于点E,以台风中心为圆心，周围260km以内为受影响区域. (1)求监测点A与监测点B之间的距离； (2)请判断海港C是否会受到此次台风的影响，并说明理由； (3)若台风中心移动的速度为25km/h,则台风影响该海港多长时间？ ·东 第4页（共4页）第3课时定理与证明 基础过关 1.C2.D3.两点之间线段最短4.B5.解：如果在同一平面内，直线a垂直于直线 b,直线c垂直于直线b,那么直线a平行于直线c.证明如下：如图， .'a⊥b,c⊥ b,.∠1=∠2=90°，.a∥c. 能力提升 6.B7.解：(1)两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，是定理： (2)两点之间线段最短，是公理.8.①②③④证明：·BF=CE,.BF十CF=CE 十CF,即BC=EF.在△ABC和△DEF中，，AB=DE,∠B=∠E,BC=EF,∴△ABC ≌△DEF,∴∠1=∠2.（答案不唯一） 2平行线的证明 第1课时平行线的判定 基础过关 1.C2.B3.同旁内角互补，两直线平行4.15°5.ACBD同位角相等，两直线 平行垂直的定义125°AEBF同位角相等，两直线平行6.解：(1)由∠C= ∠1，可以判定DC∥EF,因为同位角相等，两直线平行：(2)由∠1=∠2，可以判定EF ∥AB,因为内错角相等，两直线平行：(3)由∠D十∠C=180°，可以判定AD∥BC,因为 同旁内角互补，两直线平行 能力提升 7.D8.15°或60°9.2∠2角平分线的定义等式的性质180°等量代换同旁 内角互补，两直线平行10.解：(1)：∠PAD=25°，∠PAD=∠BAE,∠PAD十 ∠PAB+∠BAE=180°，.∠PAB=180°-25°-25°=130°；(2)BC∥PA.理由如下： ∠PAD=∠BAE,∠PAB=180°-∠PAD-∠BAE,.∠PAB=180°-2∠BAE.同 理，∠ABC=180°-2∠ABE.∠BAE+∠ABE=90°，.∠PAB+∠ABC=180° 2∠BAE+180°-2∠ABE=360°-2（∠BAE+∠ABE)=360°-2X90°=180°，∴.BC∥ PA. 思维拓展 1L.解：(1)70°(2)∠BCD+∠ACE=180°.理由如下：：∠BCD=∠ACB+∠ACD= 90°+∠ACD,.∠BCD+∠ACE=90°+∠ACD+∠ACE=90°+90°=180°：(3)分两 种情况讨论：①如答图①，∠ACE=30°.理由如下：：∠ACE=30°，∠A=30°，.∠ACE =∠A,.CE∥AB; 答图① 答图② ②如答图②，∠ACE=150°.理由如下：，∠ACE=150°，∠A=30°，.∠ACE+∠A= 150°+30°=180°，∴.CE∥AB.综上所述，当∠ACE等于30°或150°时，CE∥AB. 第2课时平行线的性质 基础过关 1.B2.A3.25°4.解：DE∥BC,∴.∠D+∠DBC=180°，.∠DBC=180°-∠D =180°-110=70.：BE平分∠DBC,∠CBE=号∠DBC=号X70=35,DE∥ BC,∠E=∠CBE=35.5.B6.C7.证明：AB∥CD,∠DCF=∠B.:∠B =∠D,·∠DCF=∠D,∴.AD∥BC,∴∠DEF=∠F.8.解：：DE∥CF,∠D=30°， ∠DCF=∠D=30°，∴∠BCF=∠DCF+∠DCB=30°+40°=70°.又：AB∥DE, DE∥CF,.AB∥CF,∴∠B+∠BCF=180,·∠B=180°-∠BCF=180°-70°=110°. 能力提升 9.B10.50°11.解：(1)DE∥BC,.∠C=∠AED.∠EDF=∠C,.∠AED= ∠EDF,.DF∥AC,∴∠BDF=∠A;(2)△ABC是等腰直角三角形.[解析：：∠A= 45°，∠BDF=45°.DF平分∠BDE,∠BDE=2∠BDF=90°.：DE∥BC,∠B =90°，.△ABC是等腰直角三角形] 思维拓展 12.解：(1)∠BPD=∠ABP+∠CDP.理由如下：：AB∥MN∥CD,∴.∠BPN= ∠ABP,∠DPN=∠CDP,∴.∠BPN+∠DPN=∠ABP+∠CDP,.∠BPD=∠ABP +∠CDP:(2)∠AMP=∠P+∠CNP145(3):射线ME,NF分别平分∠BMP 和∠CNP,∠PME=∠PMB,∠CNF=∠PNF.由(I),得∠P=∠AMF+ ∠PMF+∠CNF+∠PNF,∠F=∠AMF+∠CNF.:'∠P=2∠F,∴.∠AMF+ 第22页（共42页） ∠PMF+∠CNF+∠PNF=2∠AMF+2∠CNF..'∠CNF=∠PNF,.∠AMF+ ∠PMF=2∠AMF,·∠PMF=∠AMF=号∠AMP,:∠PMF+∠PME= 合（∠AMD+∠PMB.∠FME=∠AMB=X180=90 模型构建专题平行线中的折线问题一过拐点作平行线 1.B2.110°3.解：过点B在∠ABC的内部作BM∥l1,则∠ABM=∠1=70°..l1∥ l2,.BM∥L2,∴.∠CBM=∠2=50°，.∠ABC=∠ABM+∠CBM=70°+50°=120°. 4.解：∠BED=∠B十∠D.理由如下：如图，A B过点E作EF∥AB,则∠B= E ∠BEF.AB∥CD,∴.EF∥CD,∠DEF=∠D.∠BED=∠BEF+∠DEF, ∠BED=∠B+∠D.5.B【变式】C6.C7.270°8.D9.解：(1)∠B= A ∠BED十∠D(2)∠D=∠B十∠BED.理由如下：如图②， FE,过点E作 图② EF∥AB,则∠B+∠BEF=180°，∴.∠DEF=∠BEF-∠BED=180°-∠B-∠BED. :AB∥CD,AB∥EF,∴.CD∥EF,.∠D+∠DEF=180,即∠D+180°-∠B- ∠BED=180°，∠D=∠B+∠BED;(3)30°10.C11.解：如图，AB过点 E<--G H------ D C E,F分别作EG∥AB,FH∥AB,则∠B=∠BEG=25°，EG∥FH,.∠GEF=∠EFH. AB∥CD,AB∥FH,.CD∥FH,.∠CFH=180°-∠C=180°-150°=30°， ..∠EFH=∠EFC-∠CFH=60°-30°=30°，..∠GEF=∠EFH=30°，.∠BEF= ∠BEG+∠GEF=25°+30°=55°.12.解：(1)=(2)∠B+∠F1+∠F2+… 十∠Fm-1十∠D=∠E1十∠Eg十·十∠Em, 夯实基础专题与平行线性质有关的角度的计算 1.A2.解：(1)AB∥CD,.∠A+∠ACD=180.∠A=52°，∴∠ACD=128 :CE,CF分别平分∠ACP和∠PCD,∠ECP=∠ACP,∠PCF=∠PCD, ∠ECF=∠ECP+∠PCF=2(∠ACP+∠PCD)=∠ACD=×128=64:(2)不 变.AB∥CD,.∠CPA=∠PCD,∠CFA=∠FCD.又：CF平分∠PCD,.∠PCD =2∠FCD,∴.∠CPA=2∠CFA;(3)∠ACE=∠FCD.理由如下：·AB∥CD, ∴·∠AEC=∠ECD.N∠AEC=∠ACF,.∠ACF=∠ECD,∴.∠ACE+∠ECF= ∠FCD+∠ECF,∴.∠ACE=∠FCD.3.B4.105°5.A6.70° 重点突破专题平行线的判定与性质 1.B2.①②③3.解：(1)当∠1十∠2=180°时，AB∥CD,理由如下：：∠1+∠2= 180°，∠EMB+∠2=180°，∴∠1=∠EMB,∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)： (2)当∠2=∠3时，AB∥CD,理由如下：：∠2=∠3，∠2=∠AME,∴∠3=∠AME, AB∥CD(同位角相等，两直线平行).4.B5,D6.解：AB∥CD,∠BAE= ∠CFE.又AE平分∠BAD,.∠BAE=∠DAE,.∠DAE=∠CFE..∠CFE= ∠E,∴·∠DAE=∠E.7.解：在三角形EFG中，∠EFG=90°，∠E=35,∠EGF= 180°-90°-35°=55°..GE平分∠FGD,.∠EGF=∠EGD=55°..AB∥CD, ∠EHB=∠EGD=55°.又：'∠AHE=180°-∠EHB=180°-55°=125°，∴.∠EFB =180°-∠AHE-∠E=180°-125°-35°=20°.8.B9.D10.128°11.解：EF ∥AD,.∠2=∠EAD.:∠1=∠2，∴∠1=∠EAD,.AB∥DG,∴.∠BAC+∠AGD =180°.∠BAC=80°，.∠AGD=180°-∠BAC=180°-80°=100°.12.解：(1)AB 和CD平行.理由如下：.'∠A=∠AGE,∠D=∠DGC,∠AGE=∠DGC,.∠A= ∠D,.AB∥CD:(2),∠1+∠2=180°，∠CGD+∠2=180°，∴.∠CGD=∠1，∴.CE∥ FB,.∠C=∠BFD,∠BFC+∠C=180°.又.∠BFC=2∠C+30°，∴.2∠BFD+30°+ ∠BFD=180°，∴.∠BFD=50°.，AB∥CD,.∠B=∠BFD=50°.13.解：(1)CE和 DF平行.理由如下：.∠1十∠2=180°，C,D是直线AB上两点，.∠1十∠DCE= 180°，.∠2=∠DCE,.CE∥DF;(2).CE∥DF,∠DCE=126°，..∠CDF=180° ∠DCE=180°-126°=54°.·DE平分∠CDF,∴∠CDE=2∠CDF=27°.·EF∥ AB,..∠DEF=∠CDE=27° 第七章整合与提升 高频考点突破 1.C2.A3.如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零4.C5.C6.B 第23页（共42页） 7.D8.C9.①②③④10.解：(1)平行于同一条直线的两直线平行(2)：CF∥ BE,∠BCF+∠CBE=180°.：∠CBE=135°，.∠BCF=45°.∠BCD=108°， .∠DCF=∠BCD-∠BCF=63°.又CF∥MN,∴.∠CDM=∠DCF=63°.：'AB∥ CD,.∠ABC=180°-∠BCD=72°，.∠ABE=∠CBE-∠ABC=63°；(3)小明的说 法对，理由如下：：CF∥BE,∴∠BCF+∠CBE=180°，∴∠BCF+∠CBA十∠ABE= 180°..AB∥CD,∴.∠ABC+∠BCD=180°，.∠ABC+∠BCF+∠FCD=180°， ∴.∠ABE=∠FCD.CF∥MN,∴∠CDM=∠DCF,∴.∠CDM=∠ABE. 易错易混专攻 1.B2.C3.BC内错角相等，两直线平行两直线平行，内错角相等∠A同位 角相等，两直线平行两直线平行，同旁内角互补等量代换同旁内角互补，两直线 平行 常考题型演练 1.B2.A3.C4.B5.①②④6.解：选择①.理由如下：：AE∥BF,∴∠A= ∠FBD.,CE∥DF,∴.∠ACE=∠D.在△AEC和△BFD中，：∠ACE=∠D,∠A= ∠FBD,AE=BF,∴.△AEC≌△BFD,∴.AC=BD,∴.AC-BC=BD-BC,即AB= CD:选择③.理由如下：AE∥BF,.∠A=∠FBD.在△AEC和△BFD中，∠A= ∠FBD,AE=BF,∠E=∠F,.△AEC≌△BFD,.AC=BD,.AC-BC=BD-BC 即AB=CD. 综合评价答案 第一章综合评价 1.A2.C3.A4.C5.C6.B7.B8.C9.C10.C11.②④12.169 13.1014.2015.816.6017.解：1)Sc=4X4-×1×2-号×3X4-号× 2×4=16-1-6-4=5:(2)△ABC是直角三角形.理由如下：：AB=12十22=5，AC =2+4=20,BC=3+42=25,.AB十AC=BC2,∴.△ABC是直角三角形，∠A= 90°.18.解：：CD⊥AB于点D,AC=20,BC=15,DB=9,∴.在Rt△BCD中，由勾股 定理，得CD2=CB2-DB=152-92=144.在Rt△ACD中，AD=AC-CD2=202 144=256,∴.AD=16,∴.AB=AD+DB=16十9=25.19.解：连接AC.在△ABC中 ∠B=90°，AB=20m,BC=15m.由勾股定理，得AC=AB2+BC=202+152=625. 在△ADC中，∠D=90°，CD=7m,由勾股定理，得AD=AC-CD=625-7=576, AD=24m四边形ABCD的面积为Sa十Sa=合AB·BC+CD·AD= 7X7X24=150+84=234(m),234×1000=2340 收这块土地需要234000元.20.解：展开图如图所示： 在Rt△ADB中，AD=12cm,BD=5cm,由勾股定理， D 3cm3cm 3cm3cm 得AB=AD+BD=12+52=169,.AB=13cm.答：蚂蚁爬行的最短路径为13cm. 21.解：△ABC是直角三角形.理由如下：连接CE.D是BC的中点，DE⊥BC,DE 垂直平分BC,.BE=CE.BE-AE=AC2,.CE-AE=AC,∴AE十AC2= CE,.△ACE是直角三角形，∠A=90°，∴.△ABC是直角三角形.22.解：在 Rt△ADC中，AC=25cm,AD=15cm,∠ADC=90°，.CD2=AC-AD=252-15= 400,∴.CD=20cm.:'AC=A'C=25cm,A'E=24cm,在Rt△A'EC中，∠A'EC=90°， .CE=A'C2-A'E2=252-24=49,.CE=7cm,∴.DE=CD-CE=20-7= 13(cm).答：调整前后顶部边缘移动的水平距离DE的长为13cm.23.解：(1)点M, V是线段AB的勾股分割点.理由如下：，AM十BN2=1.52+22=6.25,MN=2.5 =6.25,.AMP+NB2=MN2,.以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形， ·点M,N是线段AB的“勾股分割点”；(2)设BN=x,则MW=24-AM-BN=18 x.①当MN为最长线段时，依题意，得MN2=AM+NB,即(18-x)2=36+x2,解得 x=8.②当BN为最长线段时，依题意，得BN2=AM+MN2,即x2=36十(18-x)2, 解得x=10.综上所述，BN的长为8或10.24.解：(1)在Rt△ABC中，AC=300km, BC=400km,由勾股定理，得AB=AC2十BC=300十4002=250000，，.AB= 500km.答：监测点A与监测点B之间的距离为500km:(2)海港C会受到此次台风的 影响.理由如下：”∠ACB=90,CELAB,Sam=AC.BC=合CE·AB,∴300 ×400=500CE,.CE=240km..以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域， 240<260,.海港C会受到此次台风的影响；(3)以点C为圆心，260km长为半径画 弧，交AB于点D,F,连接CD,CF,则海港C在台风中心从点F移动到点D这段时间 会受到影响.易得CD=CF=260km.在Rt△CDE中，由勾股定理，得ED=CD2一 CE=2602-240=10000,∴.ED=100km,.DF=200km.:台风的速度为25km/h, .200÷25=8(h).答：台风影响该海港的时间为8h. 第24页（共42页）