1 探索勾股定理-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024）

参考答案 正文答案 第一章 勾股定理 1探索勾股定理 第1课时认识勾股定理 基础过关 1,C2.D3.A4.2.5m5.86.解：(1)在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2= AC-BC2=20-12=256,∴.AB=16:(2)在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2= AC+BC=72+242=625,∴.AB=25.7.848.解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得 BC=AC2-AB2=172-82=225,∴.BC=15cm.∴.Sm影=15×3=45(cm).9.169 或119 能力提升 10.B11.4812.解：(1)在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2=AC-AD2=152-9 =144,∴.CD=12:(2)在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD=BC-CD=20-122= 弥 256,BD=16,.AB=AD+BD=9+16=25.13.解：过点A作AD⊥BC于点D. 在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB一BD=AD.在Rt△ACD中，由勾股定理，得 帐 AC-CD2=AD...AB2-BD =AC2-CD2,252-BD2=172-(28-BD)2,..BD =20.∴AD=AB-BD2=25-20=25,AD=15.Sac=号BC·AD=× 28×15=210. 思维拓展 14.解：①当高AD在△ABC内部时，如答图①.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD= AB2-AD=202-12=256,∴.BD=16.在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2=AC AD=152-12=81,.CD=9,∴.BC=BD+CD=16+9=25,.△ABC的周长为BC 地 +AB+AC=25+20+15=60 封 答图① 答图② ②当高AD在△ABC外部时，如答图②.同理可得BD=16,CD=9,.BC=BD一CD= 16-9=7,∴.△ABC的周长为BC+AB+AC=7+20+15=42.综上所述，△ABC的周 报 长为60或42. 第2课时 勾股定理的验证及其简单应用 基础过关 1.A 2.(Datb c(2)(a+6)4Xab+e (3)(a+)=4Xabte=a 十b3.A4.25.x2+22=(x十0.5)26.解：由题意，得∠ABC=90°，在Rt△ABC 中，由勾股定理，得AC=AB+BC=5十122=169..AC=13km.:12÷60= 0.2(h),.13÷0.2=65(km/h).答：我边防海警船的速度为65km/h时，才能恰好在C 处将可疑船只截住， 能力提升 线 7.B8,解：AD的长为=10(m.在R△AED中，由勾股定理，得DE=AD AE=102-62=64,DE=8m,.半圆形餐饮区的面积S=号 πX(8÷2)2=8x(m2). 答：半圆形餐饮区的面积为8πm. 思维拓展 9.解：(I):Sa边Ae=S△十S△An=号AD·BF+号AD·CF=号AD(BF十CF) =AD.BC=c,S=合b+a).6,Saa=BEDE=合a-b)·a, 合ab+号a-合6∴G+6=c:(21.4(3)在R△ABD中，由勾股定理，得AD =AB:-BD=4-=16-x.BD+CD=BC=6,..CD=BC-BD=6-x. R△ACD中，由勾股定理，得AD2=AC-CD=52-(6-x)2=-11十12x-x2,∴.16 2=-1+12x-,解得x=号。 第1页（共42页） 2一定是直角三角形吗 基础过关 1.B2.B3.C4.垂直5.解：(1)不是.理由如下：.42十52=41≠62，∴.△ABC不 是直角三角形；(2)是，∠B是直角.理由如下：92十402=41，即a2十c2=b, ∴.△ABC是直角三角形，∠B=90°；(3)是.∠C是直角.理由如下：，(8k)2十(15k)2= (17k)2,即a2+b=c2,∴△ABC是直角三角形，∠C=90°.6.解：△ABC是直角三角 形.理由如下：AB=12+22=5,BC=22+42=20,AC=32+42=25,.AB2十BC =5+20=25..AB2+BC=AC..△ABC是直角三角形.7.C8.170 能力提升 9.B10.C11.解：在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD=AD2一AB=9一62=45. 在△BCD中，BC2十CD2=32十62=45，.BC2十CD=BD,.△BCD是直角三角形， 且∠BCD=90°.∴.BC⊥CD.故该车符合安全标准. 思维拓展 12.解：(1)由题中等式的规律可得(n2-1)2十(2n)2=(n2十1)2，理由如下：等式左边= n-2m+1十4m=n十2m2+1=(n2+1)=等式右边；(2)它的三边长能为勾股数. .35=36-1=62-1,把n=6代入上式，得(62-1)2十(2×6)2=(62十1)2，即352十12 =37,.它的三边长能为勾股数，为35,12,37；(3)不是表达所有勾股数的关系式，如 9,12,15,92十122=152,9,12,15是勾股数，但并不满足上面规律的等式，故(1)中得出 的表示上面规律的等式不是表达所有勾股数的关系式. 31 勾股定理的应用 基础过关 1.B2.B3.44.解：.∠CAB=90°，BC=17m,AC=8m,.在Rt△ABC中，由勾 股定理，得AB2=BC-AC=17-8=225,.AB=15m..此人以1m/s的速度收 绳，7s后船移动到点D的位置，∴.CD=17-1×7=10(m),∴.在Rt△ACD中，由勾股 定理，得AD=CD-AC=10-82=36,.AD=6m,.BD=AB-AD=15-6 9(m).答：船向岸边移动了9m.5.解：在Rt△ABD中，BD=6cm,AD=8cm,由勾 股定理，得AB2=BD2+AD2=62+82=100,∴.AB=10cm..BC=24cm,.AC=BC -AB=24-10=14(cm),.筷子露在杯子外面的长度至少为14cm. 能力提升 6.C7.26cm8.解：设基地E应建在离A站xkm的地方，则BE=(50一x)km.在 Rt△ADE中，根据勾股定理，得AD2十AE=DE,即302十x2=DE.在Rt△CBE中， 根据勾股定理，得CB十BE=CE,即20+(50-x)2=CE.又，C,D两村到点E的 距离相等，.DE=CE,∴.DE2=CE,.302十x2=202十(50-x),解得x=20.答：基地 E应建在离A站20km的地方. 思维拓展 9.解：(1)村庄能听到宜传，理由如下：·村庄A到公路MN的距离AB为600m 1000m,.村庄能听到宣传；(2)如图， 假设当宣讲车行驶到点P B 时开始影响村庄，行驶至点Q时结束对村庄的影响，则AP=AQ=1000m,AB= 600m,在Rt△APB中，由勾股定理，得PB=AP2-AB2=10002-6002=640000, .BP=800m,∴.BP=BQ=800m,则PQ=PB+BQ=800+800=1600(m),则1600 ÷200=8(min).答：村庄总共能听到8min的宣传. 数学思想专题方程思想在勾股定理中的运用 1.(1)42(2)(x-4)2十(x-2)2=x22.解：(1)△ABC是直角三角形.理由如下： 在△ABC中，AB=12,AC=16,BC=20,.122+162=400=20,.∴.AB2+AC=BC ·△ABC是直角三角形；(2)由(1)，得△ABC是直角三角形，∠A=90°.设AP=x,则 BP=CP=16-x.在Rt△ABP中，AB+AP=BP,.122+x2=(16-x),解得x =3.5..AP的长为3.5.3.解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=AB一AC2= 52-32=16,.BC=4cm.由题意，得BP=tcm.分两种情况进行讨论：①当∠APB为 直角时，如答图①，点P与点C重合，即BP=BC=4cm,.t=4;②当∠BAP为直角 时，如答图②，BP=tcm,则CP=(t-4)cm.在Rt△ACP中，由勾股定理，得AP2= AC+CP2=3+(t-4).在Rt△ABP中，由勾股定理，得AB十AP=BP,即5+ 3+(1一4)=f,解得1-孕.综上所述，当△ABP为直角三角形时6的值为4或翠. C(P) 答图① 答图② 4.A5.66.解：设BN=x,由折叠的性质，可得DN=AV=AB-BN=9-x.D是 BC的中点，∴BD=号BC=子×6=3.在R△BND中，由勾股定理，得BN:十BD= ND,即x2+3=(9-x),解得x=4..线段BN的长为4.7.解：在Rt△ABC中， AC=6cm,BC=8cm,由勾股定理，得AB=AC2十BC=62+82=100,∴.AB=10cm. 第2页（共42页） 将纸片沿AD折叠，直角边AC恰好落在斜边上，且与AE重合，∴.AE=AC=6cm,DE =CD,∠DEB=90°，.BE=AB-AE=10-6=4(cm).设CD=DE=xcm,则BD=(8 x)cm,在Rt△DEB中，由勾股定理，得BE十DE=BD,即4十x2=(8-x),解得x =3,即DE=3cm,∴△BDE的面积为号X4X3=6(cm).8.解：由折叠的性质可 知：BV=AM=6cm,MN=AF=AB=10cm.在Rt△AMF中，由勾股定理，得MF= AF2-AM=10-62=64,.MF=8cm,.NF=MN-MF=10-8=2(cm).设BE= xcm,则EF=BE=xcm,EN=(6-x)cm.在Rt△EFN中，由勾股定理，得EF2=EN 十FN,即x=(6-x)P+2,解得x=号BE的长为号cm ☆问题解决策略：反思一 利用勾股定理解决最短路径问题 1.告2.解：如图， Do 作点A关于直线MN的对称点C,连接CB,交 M A 直线MV于点P,连接AP,则此时由“两点之间线段最短”可知AP十PB的长度最短. 点C为点A关于直线MN的对称点，CP=AP..AP+PB=CP+PB=CB.过点 B作BD⊥CA,交CA的延长线于点D.:AA'=2km,BB=4km,A'B′=8km, ∴.A'C=2km,DB=8km,则CD=6km.在Rt△CDB中，由勾股定理，得CB=CD十 BD=62+82=100,.CB=10km.即AP+PB=10km.故最短距离为10km.3.15 4.130cm5.解：如答图①，AB=(3十3)2十82=100. B 3 cm s cm S cm 78 3 cm 3 cm 3 cm 3 cm 8 cm 3 cm 答图① 答图② 答图③ 如答图②，AB=32+(8+3)2=130.如答图③，AB=(3+8)2+32=130.:100<130, 100=102,∴.它从A处爬到B处的最短路线长为10cm. 第一章整合与提升 高频考点突破 1.D2.A3.474.解：设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x.依题意，得 x2=(6十6)2十52=169，解得x=13(负值已舍去)..“数学风车”的外围周长是(13十 6)X4=76.5.解：CD是AB边上的高，∴∠BDC=∠ADC=90°.在Rt△ADC中， AC=20,CD=12,由勾股定理，得AD=AC2-CD2=202-122=256,.AD=16.在 Rt△BCD中，BC=15,CD=12,由勾股定理，得BD2=BC-CD2=152-12=81 ∴.BD=9.AE=AC=20,AD=16,.DE=AE-AD=20-16=4..BF=BC=15 BD=9,..DF=BF-BD=15-9=6,.EF=DE+DF=4+6=10.6.B7.D 8.249.解：(1)，BC=25cm,CD=24cm,BD=7cm,∴.BC2=25=625,BD+CD =72+242=49+576=625..BC=BD+CD,∴.△BDC是直角三角形，∠BDC= 90°；(2)设AB=xcm.:△ABC是等腰三角形，BC是底边，AB=AC=xcm,.AD =(x-7)cm.∠BDC=90°，.∠ADC=90°，.△ADC为直角三角形.在Rt△ACD 中，由勾股定理，得AD+CD=AC,即(x一7)十24=2，解得x=放AB的的 625 为cm.10.26mL.解：(1)连接AC.”∠ABC=90°，AB=9m,BC=12m, .AC=AB2+BC2=92+122=225.∴.AC=15m..AB+BC-AC=9+12-15= 6(m).答：居民从点A到点C将少走6m的路程；(2)：CD=17m,AD=8m,AC= 15m,.AD+AC=DC..△ADC是直角三角形，∠DAC=90.·Sac=2AD· AC=ZX8X15=60(m),S△cB=zAB·BC=2X9X12=54(m.Sm边形Acn= S△Mc十S△cB=60十54=114(m2).答：这片绿地的面积是114m. 易错易混专攻 1.225或632.150或42 常考题型演练 1.B2.2m3.64.解：(1)△BDC是直角三角形.理由如下：：BC=17cm,BD= 15cm,CD=8cm,BD2+CD=152+82=289,BC2=172=289.∴.BD+CD2=BC, ·△BDC是直角三角形，且∠D=90°；(2)设AB=AC=xcm,则AD=BD-AB=(15 -x)cm.在Rt△ADC中，由勾股定理，得AD+DC2=AC,即(15-x)2+82=x2,解 得x-器：AB=AC-cm△ABC的周长为AB+AC+BC-器+器+17 (cm.5.解：设AB三xm,根据题意，得AC=(x+2)m,AE=(x-1)m 第3页（共42页）第一章 1探索 第1课时 ②基础过关。逐点击破 知识点1勾股定理的认识 1.在一个直角三角形中，如果一条直角边长 是2，另一条直角边长是3，那么斜边长的平 方是 A.4 B.9 C.13 D.25 2.下列说法正确的是 ( A.若a,b,c是△ABC的三边，则a2+b2=c2 B.若a,b,c是Rt△ABC的三边，则a2+ b2=c2 C.若a,b,c是Rt△ABC的三边，∠A=90°， 则a2十b2=c2 D.若a,b,c是Rt△ABC的三边，∠A=90°， 则c2+=a2 3.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组 成的网格中，点A,B都是格点，则线段AB 的长为 A.5 B.6 C.7 D.25 4.情境题栅栏门如图，某农舍的大门是一个木 制的长方形栅栏，它的高为2m,宽 为1.5m,现需要在相对的顶点间用一块木 板加固，则木板的长为 (第4题图) (第5题图) 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC= 12,BC=5,以点B为圆心，BC的长为半径 画弧交边AB于点P,则AP的长为 1数学八年级上册配BSD版 勾股定理 勾股定理 认识勾股定理 6.(教材P8习题T1变式)如图，求出下列直角 三角形中未知边AB的长. 20 B12 24 (1 (2) 知识点2利用勾股定理求面积 7.(教材P3随堂练习T,变式)如图， 56 三个正方形围成一个直角三角 形，图中的数据是它们的面积，则 正方形A的面积为 8.(教材P4习题T,变式)如图，以Rt△ABC 的直角边BC为一边作长方形BCDE,求阴 影部分的面积. 0 cm 17cm !易错点受思维定式的影响，误认为在 Rt△ABC中，c总表示斜边而致错 9.若一个直角三角形的三边长分别为a,b,c, 已知a2=25,b2=144,则c2= 。能力提升⊙整合运用 10.如图，OC平分∠AOB,P是OC上一点， PM⊥OB于点M,N是射线OA上的一个 动点.若OM=4,OP=5,则PN的最小值 为 ( A.2 B.3 C.4 D.5 11.数学文化毕达哥拉斯树(2024·黑龙江大庆) 如图①，直角三角形的两个锐角分别是40° 和50°，其三边上分别有一个正方形.执行 下面的操作：由两个小正方形向外分别作 锐角为40°和50°的直角三角形，再分别以 所得到的直角三角形的直角边为边长作正 方形.图②是1次操作后的图形.图③是重 复上述步骤若干次后得到的图形，人们把 它称为“毕达哥拉斯树”.若图①中的直角 三角形斜边长为2，则10次操作后图形中 所有正方形的面积和为 图① 图② 图③ 12.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D,BC= 20,AC=15,AD=9. (1)求CD的长； (2)求AB的长. 13.（教材Pg习题T6变式)如图，在△ABC中， AB=25,BC=28,AC=17,求△ABC的 面积. ⊙思维拓展⊙学科素养 14.数学思想分类讨论)在△ABC中，AB=20, AC=15,AD为BC边上的高，且AD=12, 求△ABC的周长. 第一章勾股定理2 第2课时勾股定理 ②基础过关⊙逐点击破 知识点1勾股定理的验证 1.下列图形能够用来验证勾股定理的有( @学☑ A.4个B.5个 C.2个D.3个 2.用4个如图①新示的形状、大小完全一样的 直角三角形拼一拼、摆一摆，可以摆成如图 ②所示的正方形，下面我们利用这个图形验 证勾股定理. a b b 图① 图② (1)图②中大正方形的边长为 ,里面 小正方形的边长为 (2)大正方形的面积可以表示为 也可以表示为 (3)对比这两种表示方法，可得出 ,整理，得 知识点2勾股定理的实际应用 3.(教材P8习题T3变式)如图，一棵高为8m 的大树被台风刮断.若树在离地面3m的点 C处折断，则树顶端落在离树底部() A.4m处 B.5m处 C.6m处 D.7m处 4m (第3题图) (第4题图) 4.如图，学校有一块长方形草地，有极少数人 为了避开拐角走“捷径”，在草地内走出了一 条“路”，他们仅仅少走了m路，却踩伤 了花草. 3数学八年级上册配BSD版 的验证及其简单应用 5.跨学科语文)(2024·吉林)图①中有一首古 算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在 位置的湖水深度，其示意图如图②，其中 AB=AB',AB⊥B'C于点C,BC=0.5尺， B'C=2尺.设AC的长度为x尺，可列方程 为 ④ 诗文：波平如镜一湖面， 半尺高处生红莲亭亭多 姿湖中立，突遭狂风吹 一边.离开原处二尺远， 花贴湖面似睡莲。 图① 图② 6.(教材P,例题变式)如图，在海上观察所A 处，我边防海警发现正北5km的B处有一 可疑船只正在向正东方向12km的C处行 驶.我边防海警即刻派船前往C处拦截.若 可疑船只的行驶速度为60km/h,则我边防 海警船的速度为多少时，才能恰好在C处将 可疑船只截住？ B12kmC↑北 5km 习能力提升⊙整合运用 7.数学文化赵爽弦图)(2024·江苏南 通)“赵爽弦图”巧妙利用面积关 m 系证明了勾股定理.如图所示的 “赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中 间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角 三角形的两条直角边长分别为m,n(m>n). 若小正方形面积为5，(m十n)2=21,则大正 方形面积为 ( A.12 B.13 C.14 D.15 8.如图是某小区一健身中心的平面图，活动区 是面积为200m2的长方形，休息区是直角三 角形且∠AED=90°，请你求出半圆形餐饮 区的面积. 6m月 20m B 活动区 餐饮 父思维拓展⊙学科素养 9.阅读理解方法型综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅 力.如图①，这是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的 直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理.思路是： 大正方形的面积有两种求法，一种是等于c,另一 种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积 之和，即4×7ab+(b-a)2,从而得到等式c2=4× 2b十(h-a),化简得出结论a2十仔=c2.这里是 1 用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程 的方法，我们称之为“双求法” 入 A b C 图① 图② 续表 图③ 图④ 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明热 情不减，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好 者.向常春在2010年构造发现了一个新的证法： 把两个全等的直角三角形ABC和直角三角形 DEA按如图②放置，AD,BC交于，点F,其三边长 分别为a,b,c,∠BAC=∠DEA=90°，显然BC ⊥AD (1)请用a,b,c分别表示出图②中四边形 ABDC、梯形AEDC和△EBD的面积， 再探究这三个图形面积之间的关系，证 明勾股定理a2+=c2; 【方法迁移】 (2)请利用“双求法”解答问题：如图③，小方 格都是边长为1的正方形，则△ABC中 BC边上的高是 (3)如图④，在△ABC中，AD是BC边上的 高，AB=4,AC=5,BC=6,设BD=x,求 x的值. 第一章勾股定理4