15.3　等腰三角形 同步练习2025-2026学年 人教版（2024）八年级数学上册

第3课时　等腰三角形与全等的综合 稳基础 知识点 等腰三角形与全等的综合 1(3分)如图,在△ABC中,AB=AC,BF=CD,BD=CE,∠FDE=65°,则∠A的度数是( ) 　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.45° B.70° C.65° D.50° 2(3分)如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足为D,交AC于点E,∠A=∠ABE.若AC=7,BC=4,则BD的长为 .  3(6分)下面是证明等腰三角形判定定理的两种添加辅助线的方法,选择其中一种完成证明. 等腰三角形判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形.已知:如图,在△ABC中,∠B=∠C,求证:AB=AC. 方法一,证明:如图,作∠BAC的平分线交BC于点D. 方法二,证明:如图,作AD⊥BC于点D. 4(6分)如图,已知点D,E在BC上,且AB=AC,BE=CD.求证:△ADE是等腰三角形. 5(6分)如图,在△ABC中,E为AB上一点,连接CE,EC=BC,过点C作CD=AC,连接DE.且∠1=∠2.若∠B=75°,求∠3的度数. 6(8分)如图,在△ABC中,点E在AB上,点D在BC上,BD=BE,∠BAD=∠BCE,AD与CE相交于点F. (1)求证:BA=BC; (2)求证:△AFC为等腰三角形. 巧提升 7(3分)如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AC,垂足为E,BF∥AC交ED的延长线于点F,若BC恰好平分∠ABF,AE=2BF.下列四个结论中:①DE=DF;②DB=DC;③AD⊥BC;④AB=3BF.其中正确的结论共有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 8(3分)如图,已知S△ABC=24 m2,AD平分∠BAC,且AD⊥BD于点D,则S△ADC= m2.  9(10分·2025·大连甘井子区质检)如图,△ABD,△AEC都是等腰三角形,AB=AD, AC=AE,∠DAB=∠CAE. (1)求证:△ABE≌△ADC; (2)求证:∠DOE+∠CAE=180°. 培素养 10(12分·推理能力)如图1,点A,D在y轴正半轴上,点B,C在x轴上,CD平分∠ACB交y轴于点D,∠CAO=90°-∠BDO. (1)求证:AC=BC; (2)如图2,点C的坐标为(4,0),点E为AC上一点,且∠DEA=∠DBO,求BC+EC的长. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3课时　等腰三角形与全等的综合 稳基础 知识点 等腰三角形与全等的综合 1(3分)如图,在△ABC中,AB=AC,BF=CD,BD=CE,∠FDE=65°,则∠A的度数是(D) 　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.45° B.70° C.65° D.50° 2(3分)如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足为D,交AC于点E,∠A=∠ABE.若AC=7,BC=4,则BD的长为 　.  3(6分)下面是证明等腰三角形判定定理的两种添加辅助线的方法,选择其中一种完成证明. 等腰三角形判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形.已知:如图,在△ABC中,∠B=∠C,求证:AB=AC. 方法一,证明:如图,作∠BAC的平分线交BC于点D. 方法二,证明:如图,作AD⊥BC于点D. 【解析】选择方法一:∵AD平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD, 在△ABD和△ACD中,, ∴△ABD≌△ACD(AAS),∴AB=AC. 选择方法二:∵AD⊥BC, ∴∠ADB=∠ADC=90°, 在△ABD和△ACD中,, ∴△ABD≌△ACD(AAS), ∴AB=AC. 4(6分)如图,已知点D,E在BC上,且AB=AC,BE=CD.求证:△ADE是等腰三角形. 【证明】∵BE=CD, ∴BE-DE=CD-DE,即BD=CE, ∵AB=AC,∴∠B=∠C, 在△ABD和△ACE中,, ∴△ABD≌△ACE(SAS),∴AD=AE, ∴△ADE是等腰三角形. 5(6分)如图,在△ABC中,E为AB上一点,连接CE,EC=BC,过点C作CD=AC,连接DE.且∠1=∠2.若∠B=75°,求∠3的度数. 【解析】∵∠1=∠2,∴∠1+∠ACE=∠2+∠ACE, ∴∠DCE=∠ACB,在△DCE和△ACB中, ,∴△DCE≌△ACB(SAS), ∴∠DEC=∠B=75°,∵EC=BC, ∴∠CEB=∠B=75°, ∴∠DEB=∠DEC+∠CEB=150°, ∴∠3=180°-∠DEB=30°. 6(8分)如图,在△ABC中,点E在AB上,点D在BC上,BD=BE,∠BAD=∠BCE,AD与CE相交于点F. (1)求证:BA=BC; (2)求证:△AFC为等腰三角形. 【证明】(1)在△ABD和△CBE中, ,∴△ABD≌△CBE(AAS),∴BA=BC; (2)∵BA=BC,∴∠BAC=∠BCA, ∵∠BAD=∠BCE, ∴∠FAC=∠FCA, ∴FA=FC, ∴△AFC为等腰三角形. 巧提升 7(3分)如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AC,垂足为E,BF∥AC交ED的延长线于点F,若BC恰好平分∠ABF,AE=2BF.下列四个结论中:①DE=DF;②DB=DC;③AD⊥BC;④AB=3BF.其中正确的结论共有(A) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 8(3分)如图,已知S△ABC=24 m2,AD平分∠BAC,且AD⊥BD于点D,则S△ADC= 　12　m2.  9(10分·2025·大连甘井子区质检)如图,△ABD,△AEC都是等腰三角形,AB=AD, AC=AE,∠DAB=∠CAE. (1)求证:△ABE≌△ADC; (2)求证:∠DOE+∠CAE=180°. 【证明】(1)∵∠DAB=∠CAE, ∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC, ∴∠DAC=∠BAE,在△ABE和△ADC中, ,∴△ABE≌△ADC(SAS). (2)设AC和OE交于点F,如图, 由(1)知:△ABE≌△ADC, ∴∠AEF=∠FCO, ∵∠AFE=∠CFO, ∴∠CAE=∠COF, ∵∠DOE+∠COF=180°, ∴∠DOE+∠CAE=180°. 培素养 10(12分·推理能力)如图1,点A,D在y轴正半轴上,点B,C在x轴上,CD平分∠ACB交y轴于点D,∠CAO=90°-∠BDO. (1)求证:AC=BC; (2)如图2,点C的坐标为(4,0),点E为AC上一点,且∠DEA=∠DBO,求BC+EC的长. 【解析】(1)∵∠CAO=90°-∠BDO,∠CBD=90°-∠BDO,∴∠CAO=∠CBD. 在△ACD和△BCD中,, ∴△ACD≌△BCD(AAS).∴AC=BC. (2)由(1)知∠CAD=∠DEA=∠DBO,△ACD≌△BCD, ∴BD=AD=DE,过D作DN⊥AC于点N,如图所示: ∵∠ACD=∠BCD,∴DO=DN, 在Rt△BDO和Rt△EDN中,, ∴Rt△BDO≌Rt△EDN(HL), ∴BO=EN. 在△DOC和△DNC中,, ∴△DOC≌△DNC(AAS),∴OC=NC, ∴BC+EC=BO+OC+NC-NE=2OC=8. 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.3.2　等边三角形 第1课时　等边三角形的性质与判定 稳基础 知识点一 等边三角形的性质 1(3分)如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,若AB=10,BD=6,则△ADE的周长为( ) A.4 B.30 C.18 D.12 知识链接 等边三角形的三条边都相等. ∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC=BC. 2(3分)如图,△ABC是等边三角形,在△ADE中,AD=AE,∠DAE=80°,∠BAD=15°,则∠CDE=( ) A.30° B.20° C.35° D.25° 知识链接 等边三角形的三个角都相等,都等于60°. ∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°. 3(3分)如图,在正三角形ABC中,AD⊥BC于点D,则∠BAD= °.  4(6分)如图,在等边△ABC中,BD是边AC上的高,延长BC到点E,使CE=CD,求证:BD=DE. 知识点二 　等边三角形的判定 5(3分)在△ABC中,AB=AC=2,∠B=60°,则BC=( ) A.2 B.3 C.4 D.5 知识链接 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.∵△ABC是等腰三角形,∠A=60°(或∠B=60°,或∠C=60°),∴△ABC是等边三角形. 6(3分)在△ABC中,AB=AC,添加下列一个条件后不能判断△ABC是等边三角形的是( ) A.∠A=60° B.AC=BC C.∠B与∠C互余 D.AB边上的高也是AB边上的中线 7(10分·教材再开发·P82例4变式)已知:如图,△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,过点D作DE∥AB交AC于点E. (1)求证:∠C=∠CDE. (2)若∠A=60°,试判断△DEC的形状,并说明理由. 巧提升 8(3分·2025·广州期中)如图,△ABC是等边三角形,AB=6,BD是∠ABC的平分线,延长BC到E使CE=CD,则BE长为( ) A.7 B.8 C. D.9 9(3分)如图,AB=BC=4,DA=DC,若∠ACB=60°,则OC的长度为( ) A.1 B. C.2 D. 10(3分)如图,在△ABC中,BC的垂直平分线分别交BC,AB于点E,F.若△AFC是等边三角形,则∠B= °.  11(3分)如图,已知∠MAN=60°,AB=6,依据尺规作图的痕迹可求出BD的长为 .  易错点 在对等边三角形进行计算时,忽略等腰三角形的形状而出错 12(3分·易错题)如图,△ABC为等边三角形,AD是BC边上的中线,点E是AC边上一点,若△ADE是等腰三角形,则∠EDC的度数是 .  培素养 13(14分·新趋势·推理能力)已知,在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC. (1)【特殊情况,探索结论】 如图1,当点E为AB的中点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE________DB(填“>”“<”或“=”).  (2)【特例启发,解析题目】 如图2,当点E为AB边上任意一点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论,AE________DB(填“>”“<”或“=”);证明如下:过点E作EF∥BC,交AC于点F.(请你补充完整证明过程)  (3)【拓展结论,设计新题】 在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在线段CB的延长线上,且ED=EC,若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长.(请你画出相应图形,并直接写出结果) 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.3.2　等边三角形 第1课时　等边三角形的性质与判定 稳基础 知识点一 等边三角形的性质 1(3分)如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,若AB=10,BD=6,则△ADE的周长为(D) A.4 B.30 C.18 D.12 知识链接 等边三角形的三条边都相等. ∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC=BC. 2(3分)如图,△ABC是等边三角形,在△ADE中,AD=AE,∠DAE=80°,∠BAD=15°,则∠CDE=(D) A.30° B.20° C.35° D.25° 知识链接 等边三角形的三个角都相等,都等于60°. ∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°. 3(3分)如图,在正三角形ABC中,AD⊥BC于点D,则∠BAD=　30　°.  4(6分)如图,在等边△ABC中,BD是边AC上的高,延长BC到点E,使CE=CD,求证:BD=DE. 【证明】∵在等边△ABC中,BD是边AC上的高, ∴∠ABD=∠CBD=30°,∠ACB=60°, ∵CE=CD,∴∠CDE=∠CED=30°, ∴∠DBC=∠CED,∴BD=DE. 知识点二 　等边三角形的判定 5(3分)在△ABC中,AB=AC=2,∠B=60°,则BC=(A) A.2 B.3 C.4 D.5 知识链接 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.∵△ABC是等腰三角形,∠A=60°(或∠B=60°,或∠C=60°),∴△ABC是等边三角形. 6(3分)在△ABC中,AB=AC,添加下列一个条件后不能判断△ABC是等边三角形的是(C) A.∠A=60° B.AC=BC C.∠B与∠C互余 D.AB边上的高也是AB边上的中线 7(10分·教材再开发·P82例4变式)已知:如图,△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,过点D作DE∥AB交AC于点E. (1)求证:∠C=∠CDE. (2)若∠A=60°,试判断△DEC的形状,并说明理由. 【解析】(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C, ∵DE∥AB,∴∠CDE=∠B, ∴∠C=∠CDE; (2)△DEC是等边三角形,理由:∵DE∥AB, ∴∠DEC=∠A=60°, 由(1)得△DEC是等腰三角形, ∴△DEC是等边三角形. 巧提升 8(3分·2025·广州期中)如图,△ABC是等边三角形,AB=6,BD是∠ABC的平分线,延长BC到E使CE=CD,则BE长为(D) A.7 B.8 C. D.9 9(3分)如图,AB=BC=4,DA=DC,若∠ACB=60°,则OC的长度为(C) A.1 B. C.2 D. 10(3分)如图,在△ABC中,BC的垂直平分线分别交BC,AB于点E,F.若△AFC是等边三角形,则∠B=　30　°.  11(3分)如图,已知∠MAN=60°,AB=6,依据尺规作图的痕迹可求出BD的长为　3　.  易错点 在对等边三角形进行计算时,忽略等腰三角形的形状而出错 12(3分·易错题)如图,△ABC为等边三角形,AD是BC边上的中线,点E是AC边上一点,若△ADE是等腰三角形,则∠EDC的度数是　15°或60°　.  培素养 13(14分·新趋势·推理能力)已知,在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC. (1)【特殊情况,探索结论】 如图1,当点E为AB的中点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE________DB(填“>”“<”或“=”).  (2)【特例启发,解析题目】 如图2,当点E为AB边上任意一点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论,AE________DB(填“>”“<”或“=”);证明如下:过点E作EF∥BC,交AC于点F.(请你补充完整证明过程)  (3)【拓展结论,设计新题】 在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在线段CB的延长线上,且ED=EC,若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长.(请你画出相应图形,并直接写出结果) 【解析】(1)答案:= (2)AE=DB,证明如下:过点E作EF∥BC,交AC于点F,∵△ABC为等边三角形, ∴∠ABC=∠ACB=60°, ∵EF∥BC, ∴∠AEF=∠ABC=60°, ∠AFE=∠ACB=60°, ∴△AEF为等边三角形,∴AE=EF,BE=CF, ∵ED=EC,∴∠D=∠ECD, ∵∠DEB=60°-∠D,∠ECF=60°-∠ECD, ∴∠DEB=∠ECF. 在△DBE和△EFC中,, ∴△DBE≌△EFC(SAS), ∴DB=EF,∴AE=DB. 答案:= (3)点E在AB的延长线上时,作EF∥AC,如图所示, 由(2)可推出△BEF为等边三角形, ∴BF=BE, ∵ED=EC, ∴∠D=∠ECF, 在△DBE和△CFE中,, ∴△DBE≌△CFE(AAS), ∵AB=1,AE=2,∴BE=1, ∵DB=FC=FB+BC=2,∴CD=BC+DB=3. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　等腰三角形的判定 稳基础 知识点一 等腰三角形的判定 1(3分)在△ABC中,∠A和∠B的度数如下,能判定△ABC是等腰三角形的是( ) A.∠A=30°,∠B=60° B.∠A=70°,∠B=50° C.∠A=40°,∠B=70° D.∠A=60°,∠B=80° 知识链接 有两个角相等的三角形是等腰三角形,简写成“等角对等边”.∵∠B=∠C,∴△ABC是等腰三角形. 2(3分·教材再开发·P81练习T1变式)如图,∠B=∠C=36°,∠ADE=∠AED=72°,则图中的等腰三角形有 个.  3(6分)如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,DE∥CB,F是BD的中点. (1)求证:△BDE是等腰三角形. (2)若∠ABC=50°,求∠DEF的度数. 知识点二 　等腰三角形的性质与判定的综合应用 4(6分)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D.求证:BC=DC. 5(6分)如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求: (1)图中有哪些等腰三角形. (2)△ABC各角的度数. 知识点三 　求作等腰三角形 6(6分)已知:线段a,∠α. 求作:△ABC,使AB=AC=a,∠B=∠α. 巧提升 7(3分)下列条件中,可以判定△ABC是等腰三角形的是( ) A.∠B=40°,∠C=80° B.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 C.2∠A=∠B+∠C D.三个角的度数之比是2∶2∶1 8(3分·教材再开发·P81练习T2拓展延伸)如图,将一张长方形纸片ABCD沿对角线折叠,若AE=3,AB=4,BE=5,则重叠部分的面积是( ) 　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.8 B.10 C.12 D.13 9(3分)如图,在3×3的网格中,以AB为一边,点P在格点处,使△ABP为等腰三角形的点P有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 易错点 在等腰三角形的相关计算中,忽略对已知边是腰或底进行分类讨论而出错 10(3分·易错题)如图,∠AOB=60°,OC平分∠AOB,如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形,那么∠OEC的度数为 .  11(6分·教材再开发·P85T9变式)上午8时,一条船从海岛A出发,以15海里/时的速度向北航行,11时到达海岛B处,从A,B望灯塔C,测得∠NAC=40°,∠NBC=80°,求从海岛B到灯塔C的距离. 培素养 12(12分·新趋势·实践探究)在综合实践课上,老师以“含30°的三角尺和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展如下数学活动. 在等腰三角形纸片ABC中,CA=CB,∠ACB=120°,将一块含30°角的足够大的直角三角尺PMN(∠M=90°,∠MPN=30°)按如图所示放置,顶点P在线段AB上滑动(点P不与A,B重合),三角尺的直角边PM始终经过点C,并与CB的夹角为α(∠PCB=α),斜边PN交AC于点D. (1)特例感知 当∠BPC=110°时,α=________°,点P从B向A运动时,∠ADP逐渐变________(填“大”或“小”);  (2)思维拓展 在点P滑动的过程中,△PCD的形状可以是等腰三角形吗?若可以,请求出夹角α的大小;若不可以,请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.3　等腰三角形 15.3.1　等腰三角形 第1课时　等腰三角形的性质 稳基础 知识点一 “等边对等角” 1(3分·2025·大连中山区期中)若等腰三角形有一个内角为110°,则这个等腰三角形的底角是( ) A.70° B.45° C.35° D.50° 知识链接 等腰三角形的两个底角相等. 简写成“等边对等角”. ∵AB=AC,∴∠B=∠C.　 2(3分·2025·营口一中质检)若等腰三角形中有一个角等于40°,则这个等腰三角形顶角的度数为( ) A.40° B.100° C.40°或100° D.40°或70° 3(3分·2025·大连八十中质检)如图,EC与DA相交于点B,∠ACB=90°, ∠A=60°,BD=BE,则∠E的度数是 .  4(3分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=100°,BD平分∠ABC,则∠ADB的度数为 .  知识点二 　等腰三角形“三线合一” 5(3分·新趋势·实践探究)如图,为了让电线杆垂直于地面,工程人员的操作方法通常是:从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC,当固定点B,C到杆脚E的距离相等,且B,E,C在同一直线上时,电线杆DE就垂直于BC.工程人员这种操作方法的依据是( ) A.“等边对等角” B.垂线段最短 C.等腰三角形“三线合一” D.线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 知识链接 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合.简写成“三线合一”. 6(3分)已知:△ABC是等腰三角形,AB=AC,AD是底边BC上的高,下面结论不一定成立的是( ) A.BD=CD B.BD=AD C.AD平分∠BAC D.∠B=∠C 7(3分)如图,在△ABC中,AB=AC.分别以点B和点C为圆心,大于BC的长为半径作弧,两弧交于点D,作直线AD交BC于点E.若∠BAC=110°,则∠BAE的大小为 .  巧提升 8(3分)如图,在△ABC中,点D在边BC上,AB=AD=CD,∠BAD=20°,则∠C的度数是( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.30° B.40° C.50° D.60° 易错点 在求等腰三角形的角时,忽略对已知角是底角或顶角进行分类讨论而出错 9(3分·易错题)等腰三角形的一个外角是100°,则它的顶角的度数为( ) A.80° B.80°或20° C.20° D.80°或50° 10(3分)如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,AB的垂直平分线OD交AB于点O,交AC于点D,连接BD.则下列结论:①∠C=2∠A;②BD平分∠ABC;③BC=AD; ④OD=2CD.正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 11(3分·新课标·数学文化)“三等分角”大约是在公元前四世纪由古希腊人提出来的,借助如图所示的三等分角仪能三等分任意一个角,这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕点O转动,C点固定,OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动,若∠BDE=75°,则∠DCE的度数是 .  易错点 在求等腰三角形的角时,忽略等腰三角形的形状而出错 12(3分·易错题)在△ABC中,AB=AC,AB边上的高CD与AC的夹角为20°,则∠BAC为 .  13(10分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AC的垂直平分线交AB于点E,垂足为点D,连接EC. (1)求∠ECD的度数; (2)若CE=m,BE=n,求△ABC的周长. 培素养 14(14分·几何直观)在△ABC中,AB=AC. (1)AD是BC上的高,AD=AE. ①如图1,如果∠BAD=30°,则∠EDC=_____°;  ②如图2,如果∠BAD=40°,则∠EDC=_____°.  (2)思考:通过以上两小题,你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系?请用式子表示:________________.  (3)如图3,如果AD不是BC上的高,AD=AE,是否仍有上述关系?并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　等腰三角形的判定 稳基础 知识点一 等腰三角形的判定 1(3分)在△ABC中,∠A和∠B的度数如下,能判定△ABC是等腰三角形的是(C) A.∠A=30°,∠B=60° B.∠A=70°,∠B=50° C.∠A=40°,∠B=70° D.∠A=60°,∠B=80° 知识链接 有两个角相等的三角形是等腰三角形,简写成“等角对等边”.∵∠B=∠C,∴△ABC是等腰三角形. 2(3分·教材再开发·P81练习T1变式)如图,∠B=∠C=36°,∠ADE=∠AED=72°,则图中的等腰三角形有　6　个.  3(6分)如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,DE∥CB,F是BD的中点. (1)求证:△BDE是等腰三角形. (2)若∠ABC=50°,求∠DEF的度数. 【解析】(1)∵BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠DBC,∵DE∥CB, ∴∠EDB=∠DBC,∴∠ABD=∠EDB, ∴EB=ED,∴△BDE是等腰三角形. (2)∵DE∥CB, ∴∠DEB=180°-∠ABC=130°, ∵EB=ED,F是BD的中点, ∴∠DEF=∠DEB=65°. 知识点二 　等腰三角形的性质与判定的综合应用 4(6分)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D.求证:BC=DC. 【证明】连接BD, ∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB, ∵∠ABC=∠ADC, ∴∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB, ∴∠CBD=∠CDB,∴BC=DC. 5(6分)如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求: (1)图中有哪些等腰三角形. (2)△ABC各角的度数. 【解析】(1)题图中的等腰三角形有△ABC,△ABD,△BCD, ∵AB=AC,BD=BC=AD, ∴△ABC,△ABD,△BCD都是等腰三角形; (2)设∠A=x°,∵AD=DB, ∴∠A=∠ABD=x°, ∵∠BDC是△ABD的一个外角, ∴∠BDC=∠A+∠ABD=2x°, ∵BD=BC, ∴∠BDC=∠C=2x°, ∵AB=AC, ∴∠ABC=∠C=2x°, ∵∠A+∠ABC+∠C=180°, ∴x+2x+2x=180,解得x=36, ∴∠A=36°,∠ABC=∠C=72°, ∴△ABC各角的度数分别为36°,72°,72°. 知识点三 　求作等腰三角形 6(6分)已知:线段a,∠α. 求作:△ABC,使AB=AC=a,∠B=∠α. 【解析】如图所示,△ABC即为所求. 巧提升 7(3分)下列条件中,可以判定△ABC是等腰三角形的是(D) A.∠B=40°,∠C=80° B.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 C.2∠A=∠B+∠C D.三个角的度数之比是2∶2∶1 8(3分·教材再开发·P81练习T2拓展延伸)如图,将一张长方形纸片ABCD沿对角线折叠,若AE=3,AB=4,BE=5,则重叠部分的面积是(B) 　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.8 B.10 C.12 D.13 9(3分)如图,在3×3的网格中,以AB为一边,点P在格点处,使△ABP为等腰三角形的点P有(D) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 易错点 在等腰三角形的相关计算中,忽略对已知边是腰或底进行分类讨论而出错 10(3分·易错题)如图,∠AOB=60°,OC平分∠AOB,如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形,那么∠OEC的度数为　120°或75°或30°　.  11(6分·教材再开发·P85T9变式)上午8时,一条船从海岛A出发,以15海里/时的速度向北航行,11时到达海岛B处,从A,B望灯塔C,测得∠NAC=40°,∠NBC=80°,求从海岛B到灯塔C的距离. 【解析】由题意得:AB=(11-8)×15=3×15=45(海里), ∵∠NBC是△ABC的一个外角, ∠NAC=40°,∠NBC=80°, ∴∠C=∠NBC-∠NAC=40°, ∴∠C=∠NAC=40°, ∴AB=BC=45海里, ∴从海岛B到灯塔C的距离为45海里. 培素养 12(12分·新趋势·实践探究)在综合实践课上,老师以“含30°的三角尺和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展如下数学活动. 在等腰三角形纸片ABC中,CA=CB,∠ACB=120°,将一块含30°角的足够大的直角三角尺PMN(∠M=90°,∠MPN=30°)按如图所示放置,顶点P在线段AB上滑动(点P不与A,B重合),三角尺的直角边PM始终经过点C,并与CB的夹角为α(∠PCB=α),斜边PN交AC于点D. (1)特例感知 当∠BPC=110°时,α=________°,点P从B向A运动时,∠ADP逐渐变________(填“大”或“小”);  (2)思维拓展 在点P滑动的过程中,△PCD的形状可以是等腰三角形吗?若可以,请求出夹角α的大小;若不可以,请说明理由. 【解析】(1)当∠BPC=110°时,α=40°,点P从B向A运动时,∠ADP逐渐变小. 理由如下: ∵CA=CB,∠ACB=120°,∴∠B=30°, ∴α=180°-110°-30°=40°. 答案:40　小 (2)∵△PCD是等腰三角形, ∠PCD=120°-α,∠CPD=30°, ①当PC=PD时, ∠PCD=∠PDC=(180°-30°)=75°, 即120°-α=75°, ∴α=45°; ②当PD=CD时, ∠PCD=∠CPD=30°,即120°-α=30°, ∴α=90°; ③当PC=CD时, ∠CDP=∠CPD=30°, ∴∠PCD=180°-2×30°=120°, 即120°-α=120°, ∴α=0°, 此时点P与点B重合,点D与点A重合, ∵点P不与A,B重合, ∴α=0°舍去. 综上所述:当△PCD是等腰三角形时,α=45°或90°. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　含30°角的直角三角形的性质 稳基础 知识点 含30°角的直角三角形的性质 1(3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=10 cm,则AC的长度为( ) A.10 cm B.20 cm C.5 cm D.15 cm 知识链接 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,则BC=AB. 2(3分)如图是某商场一楼与二楼之间的电梯示意图.∠ABC=150°,BC的长是10,则乘电梯从点B到点C上升的高度h是( ) A.7.5 B.5 C.10 D.5 3(3分)若等腰三角形的顶角为30°,腰长为8,则这个等腰三角形的面积为( ) A.8 B.16 C.24 D.32 4(3分·2025·大连甘井子区期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,点D是AB的中点,DE⊥AC,则DE的长度是( ) A.0.5 B.1 C.2 D.4 5(3分)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BDC=30°,AD=2BC,则∠A= .  巧提升 6(3分)如图,△ABC是等边三角形,点D是BC边上任意一点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.若BC=6,则AE+AF= .  易错点 在题目中无图时,图形可能存在多种情况,由于忽略分类讨论而出错 7(3分·易错题)已知等腰三角形ABC中,AD⊥BC于点D,且AD=BC,则等腰三角形ABC的底角的度数为 .  8(7分)在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=2,以AB为边作等边△ABD,点E为线段AD的中点,连接CE,请画出图形,并求线段CE的长. 培素养 9(12分·几何推理)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD是BC边上的中线,且BD=BE,CD的垂直平分线MF交AC于F,交BC于M,MF的长为2. (1)求∠ADE的度数; (2)△ADF是等边三角形吗?为什么? (3)求AB的长. 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.3　等腰三角形 15.3.1　等腰三角形 第1课时　等腰三角形的性质 稳基础 知识点一 “等边对等角” 1(3分·2025·大连中山区期中)若等腰三角形有一个内角为110°,则这个等腰三角形的底角是(C) A.70° B.45° C.35° D.50° 知识链接 等腰三角形的两个底角相等. 简写成“等边对等角”. ∵AB=AC,∴∠B=∠C.　 2(3分·2025·营口一中质检)若等腰三角形中有一个角等于40°,则这个等腰三角形顶角的度数为(C) A.40° B.100° C.40°或100° D.40°或70° 3(3分·2025·大连八十中质检)如图,EC与DA相交于点B,∠ACB=90°, ∠A=60°,BD=BE,则∠E的度数是　75°　.  4(3分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=100°,BD平分∠ABC,则∠ADB的度数为　60°　.  知识点二 　等腰三角形“三线合一” 5(3分·新趋势·实践探究)如图,为了让电线杆垂直于地面,工程人员的操作方法通常是:从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC,当固定点B,C到杆脚E的距离相等,且B,E,C在同一直线上时,电线杆DE就垂直于BC.工程人员这种操作方法的依据是(C) A.“等边对等角” B.垂线段最短 C.等腰三角形“三线合一” D.线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 知识链接 等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合.简写成“三线合一”. 6(3分)已知:△ABC是等腰三角形,AB=AC,AD是底边BC上的高,下面结论不一定成立的是(B) A.BD=CD B.BD=AD C.AD平分∠BAC D.∠B=∠C 7(3分)如图,在△ABC中,AB=AC.分别以点B和点C为圆心,大于BC的长为半径作弧,两弧交于点D,作直线AD交BC于点E.若∠BAC=110°,则∠BAE的大小为　55°　.  巧提升 8(3分)如图,在△ABC中,点D在边BC上,AB=AD=CD,∠BAD=20°,则∠C的度数是(B) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.30° B.40° C.50° D.60° 易错点 在求等腰三角形的角时,忽略对已知角是底角或顶角进行分类讨论而出错 9(3分·易错题)等腰三角形的一个外角是100°,则它的顶角的度数为(B) A.80° B.80°或20° C.20° D.80°或50° 10(3分)如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,AB的垂直平分线OD交AB于点O,交AC于点D,连接BD.则下列结论:①∠C=2∠A;②BD平分∠ABC;③BC=AD; ④OD=2CD.正确的有(C) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 11(3分·新课标·数学文化)“三等分角”大约是在公元前四世纪由古希腊人提出来的,借助如图所示的三等分角仪能三等分任意一个角,这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕点O转动,C点固定,OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动,若∠BDE=75°,则∠DCE的度数是　50°　.  易错点 在求等腰三角形的角时,忽略等腰三角形的形状而出错 12(3分·易错题)在△ABC中,AB=AC,AB边上的高CD与AC的夹角为20°,则∠BAC为　70°或110°　.  13(10分)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AC的垂直平分线交AB于点E,垂足为点D,连接EC. (1)求∠ECD的度数; (2)若CE=m,BE=n,求△ABC的周长. 【解析】(1)∵DE垂直平分AC, ∴AE=CE,∴∠ECD=∠A=36°. (2)∵AB=AC,∠A=36°, ∴∠ABC=∠ACB=72°. ∵∠BEC=∠A+∠ACE=72°, ∴∠B=∠BEC,∴BC=CE. ∵CE=m,BE=n,AE=CE, ∴AE=CE=BC=m,∵AB=AE+BE=m+n, ∴△ABC的周长为AB+AC+BC=m+n+m+n+m=3m+2n. 培素养 14(14分·几何直观)在△ABC中,AB=AC. (1)AD是BC上的高,AD=AE. ①如图1,如果∠BAD=30°,则∠EDC=_____°;  ②如图2,如果∠BAD=40°,则∠EDC=_____°.  (2)思考:通过以上两小题,你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系?请用式子表示:________________.  (3)如图3,如果AD不是BC上的高,AD=AE,是否仍有上述关系?并说明理由. 【解析】(1)①∵在△ABC中,AB=AC,AD是BC上的高,∠BAD=30°, ∴∠CAD=∠BAD=30°,∠ADC=90°, ∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=75°, ∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=15°. 答案:15 ②∵在△ABC中,AB=AC,AD是BC上的高, ∠BAD=40°,∴∠CAD=∠BAD=40°,∠ADC=90°,∵AD=AE, ∴∠ADE=∠AED=70°, ∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=20°. 答案:20 (2)答案:∠BAD=2∠EDC (3)仍有,理由如下: ∵AD=AE, ∴∠ADE=∠AED, ∴∠BAD+∠B=∠ADC=∠ADE+∠EDC= ∠AED+∠EDC=(∠EDC+∠C)+∠EDC =2∠EDC+∠C, 又∵AB=AC, ∴∠B=∠C, ∴∠BAD=2∠EDC. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　含30°角的直角三角形的性质 稳基础 知识点 含30°角的直角三角形的性质 1(3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=10 cm,则AC的长度为(C) A.10 cm B.20 cm C.5 cm D.15 cm 知识链接 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.如图,在Rt△ABC中,∠A=30°,则BC=AB. 2(3分)如图是某商场一楼与二楼之间的电梯示意图.∠ABC=150°,BC的长是10,则乘电梯从点B到点C上升的高度h是(D) A.7.5 B.5 C.10 D.5 3(3分)若等腰三角形的顶角为30°,腰长为8,则这个等腰三角形的面积为(B) A.8 B.16 C.24 D.32 4(3分·2025·大连甘井子区期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,点D是AB的中点,DE⊥AC,则DE的长度是(B) A.0.5 B.1 C.2 D.4 5(3分)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BDC=30°,AD=2BC,则∠A=　15°　.  巧提升 6(3分)如图,△ABC是等边三角形,点D是BC边上任意一点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.若BC=6,则AE+AF=　9　.  易错点 在题目中无图时,图形可能存在多种情况,由于忽略分类讨论而出错 7(3分·易错题)已知等腰三角形ABC中,AD⊥BC于点D,且AD=BC,则等腰三角形ABC的底角的度数为　45°或15°或75°　.  8(7分)在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=2,以AB为边作等边△ABD,点E为线段AD的中点,连接CE,请画出图形,并求线段CE的长. 【解析】∵在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=2, ∴AB=2BC=4, ∵△ABD是等边三角形, ∴AD=BD=AB=4,∠DAB=60°, ①如图所示: ∵E为AD的中点, ∴AE=AD=2, ∵∠BAC=30°,∠DAB=60°, ∴∠CAE=90°, 在△CAE和△ACB中,, ∴△CAE≌△ACB(SAS), ∴CE=AB=4; ②如图所示: ∵△ABD是等边三角形,∠ACB=90°, ∴CD=CB=2,∠DAC=∠BAC=30°,∠D=60°, ∵E为AD的中点, ∴ED=AD=2,∴ED=CD, ∴△CDE是等边三角形, ∴CE=2. 综上,CE的长为4或2. 培素养 9(12分·几何推理)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD是BC边上的中线,且BD=BE,CD的垂直平分线MF交AC于F,交BC于M,MF的长为2. (1)求∠ADE的度数; (2)△ADF是等边三角形吗?为什么? (3)求AB的长. 【解析】(1)∵在△ABC中,AB=AC, ∠BAC=120°,∴∠B=∠C=×(180°-∠BAC)=30°,∵BD=BE, ∴∠BDE=∠BED=×(180°-∠B)=75°, ∵在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线, ∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°, ∴∠ADE=∠ADB-∠BDE=15°; (2)△ADF是等边三角形. 理由:∵CD的垂直平分线MF交AC于F,交BC于M, ∴DF=CF, ∵∠C=30°, ∴∠FDC=∠C=30°, ∴∠AFD=∠C+∠FDC=60°, ∵AD⊥BC, ∴∠ADC=90°, ∴∠DAF=90°-∠C=60°, ∴∠ADF=60°,即∠FAD=∠ADF=∠AFD=60°, ∴△ADF是等边三角形; (3)∵直线MF为CD的垂直平分线, ∴∠FMC=90°, ∵∠C=30°,MF=2, ∴FC=2MF=4, ∵DF=FC, ∴DF=4, ∵△ADF是等边三角形, ∴AF=DF=4, ∴AC=AF+CF=4+4=8, ∵AB=AC, ∴AB=8. 学科网（北京）股份有限公司 $