第二单元 混合运算 （思维导图＋2考点＋2命题点+7种题型）-人教版三年级上册数学单元复习易错易混专项讲义

知识梳理 混合运算 学法指导 42-38+27 24÷6×5 只有加、减法或只有乘、除法，从左往右计算 =4+27 =4×5 =31 =20 没有括号 35-14÷7 8×9+41 既有乘、除法又有加、减法，先乘除后加减 =35-2 运算顺序 =33 能1 25÷(32-27) (3+5)×8 有括号 先算括号里面的 =25÷5 5 =8×8 括号可以改变运算顺序 =64 分成几个小问题来解决 解决多步计算的实际问题 要想好先算什么，再算什么，必要时可画 线段图分析数量关系 列综合算式 理解两级运算的混合运算的运算顺序 掌握脱式运算的格式和书写 重难点 理解括号的作用，合理运用括号改变运算顺序 学会运用线段图理解题意 掌握多步计算问题的解题策略，能列综合算式解决问题 无括号时顺序错：易忽略“先算乘除、后算加减” 易错点 有括号时顺序错：没记住“先算括号里，再算括号外” 或随意去掉/添加括号 实际应用列式错：解决问题时，没理清“先求什么、后求 什么”，导致综合算式漏括号或顺序混乱 Presented with xmind 第二单元 混合运算 【思维导图＋2考点＋2命题点+7种题型（含7种解题技巧）】 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 混合运算的运算顺序 考点二 解决多步计算的实际问题 04题型精研·考向洞悉 命题点一 混合运算的运算顺序 题型01 混合运算计算 题型02 分步算式合并成综合算式 题型03 填未知数问题 题型04 添加括号问题 命题点二 解决多步计算的实际问题 题型01 多步计算解决实际问题 题型02 怎样买票最划算问题 题型03 倒推法解决错中求解问题 单元考点 考查 频率 新课标要求 混合运算的运算顺序 ★★ 新课标要求学生掌握无括号时先乘除后加减，同级从左到右；有括号先算括号内。能结合情境列式，规范运算，培养应用与有序思维。 解决多步计算的实际问题 ★★ 新课标要求三年级能借画图析数量关系，用两步为主的混合运算列式，结合常见数量关系解题，解释结果意义，培养应用与模型意识。 【考情分析】本单元《混合运算》考查以运算顺序为核心，含无括号（先乘除后加减、同级从左到右）和有括号运算，占比约75%。易错点集中在顺序混淆和括号误用，错误率达 30%。结合购物等情境的两步应用题占比高，侧重考查数量关系分析与建模能力。 考点一 混合运算的运算顺序 1.脱式计算书写格式 2.无括号的混合运算 （1）同级运算（只有加减或只有乘除）：按“从左往右”的顺序依次计算。 例：42－38＋27 15÷5×7 ＝4＋27 ＝3×7 ＝31 ＝21 （2）不同级运算（既有加减又有乘除）：遵循“先算乘除，后算加减”的规则。 例：35－14÷7 8×9＋41 ＝35－2 ＝72＋41 ＝33 ＝113 2.有括号的混合运算 必须“先算括号里面的，再算括号外面的”； 括号内运算仍遵循“先乘除后加减”原则。 例：25÷（32－27） （3＋5）×8 ＝25÷5 ＝8×8 ＝5 ＝64 【易错易混】 1.混淆运算顺序：无括号时错把“加减”先算，或有括号时漏算括号内内容。 2.随意添加/去掉括号：改变算式原本的运算逻辑。 1.（2024•黑龙江佳木斯•期末）脱式计算 32－24÷3 （12＋18）÷6 4×（5＋3） 54÷（9－3） 2.（2024•海南海口•期中）计算（31＋17）÷6时，要先算( )法，再算( )法。 3.（2024•陕西宝鸡•期中） 判断：混合运算的运算顺序是从左往右按顺序计算。( ) 考点二 解决多步计算的实际问题 1.解决问题时，可以画线段图帮助理解题意，并确定先求什么，再求什么。 2.解决问题时，既可以从条件入手分析，也可以从问题入手分析，无论用哪种分析方法，都要先找到中间量。从已知条件入手，由“已知”想“未知”，逐步接近“已知”的方法或思路叫综合法。 3.从问题或结论入手，由“未知”想“需知”，逐步接近“已知”的方法或思路叫分析法。 【易错易混】 解决问题时，没理清“先求什么、后求什么”，导致综合算式漏括号或顺序混乱。 1.（2024•海南海口•期中） 小红家养了一些鸡，一天捡了48个鸡蛋，每8个装一袋，拿2袋送给王奶奶，还剩多少个鸡蛋？（先用画线段图或文字叙述的方式分析题目，再解答） 2.（2024•黑龙江佳木斯•期中）妈妈买了30千克大米，吃了12千克，剩下的大米计划6天吃完，平均每天吃多少千克？ 3.（2024•山东济宁•期中） （1） 王阿姨用50元，购买9支玫瑰花后，应找回多少钱？ （2） 王阿姨购买3支向日葵的钱，正好可以买6支康乃馨，一支康乃馨多少钱？ 命题点一 混合运算的运算顺序 题型01 混合运算计算 记准顺序： 有括号先算括号里（小括号→中括号）； 没括号先算乘除、后算加减； 同级运算（只有加减或只有乘除）从左往右算。 （2024·江西九江·期末）脱式计算 63÷9×3 80－40÷5 8×（32－27） 题型02 分步算式合并成综合算式 1.找关联：看后一步用前一步的结果做什么运算； 2.定括号：前一步是加减、后一步是乘除，给前一步加括号； 3.替换整合：把后一步里前一步的结果，换成前一步算式。 1.（2024·海南海口·期末）把下面每组算式合并成综合算式。 ①36÷4＝9，9×7＝63 ②83－65＝18，18÷6＝3 2.（2024·全国·期末）先填空，再列综合算式。 算式： 算式： 题型03 填未知数问题 解决此类题时，先将能计算的部分算出得数简化题目，再根据题目要求进行比较、推理，得出结果。 注意：0和任何数相乘都得0 1.已知39＋8×5＜100－□×7，那么□里可以填几？ 2、下面□里最小填几？ 63－□×6＞87－6×9 题型04 添加括号问题 括号的作用是改变运算顺序，观察原算式，根据原算式的得数，推测括号的位置。 在下面的式子中添上括号，使等式成立。 15－6÷3＝3 命题点二 解决多步计算的实际问题 题型01 多步计算解决实际问题 1.找信息：圈出题目里的已知条件和问题； 2.定步骤：想先求什么、再求什么； 3.列算式：按步骤列分步算式，再合并成综合算式 （注意：先算加减、后算乘除时，给加减加括号）； 4.验结果：算完后把结果代入题目，检查是否符合题意 1.（2024·海南海口·期末）有一本故事书，看了5天，平均每天看7页，还剩下23页没看，这本故事书一共有( )页。 2.（2024·海南海口·期末）二（1）班同学植树，每行种8棵。男生种9行，女生种6行。一共植树多少棵？（用两种方法解答） 题型02 怎样买票最划算问题 解决怎样买票最划算的问题时，可先把不同的买票方案一一列举出来，分别计算各自需要的费用，再进行比较，最后得出最划算的方案。 1.4 位家长带5名儿童去湿地公园游玩。怎样买 票最划算？ 2.3位家长带6名儿童参观民俗展览，怎样买票最划算？ 题型03 倒推法解决错中求解问题 解决这类题时，可以从错误的结果出发，运用倒推法解决。 1.小明在计算“6＋□×5”时弄错了运算顺序，先算加法再算乘法了，结果得数是 40。正确的得数是多少？ 2.花花在计算“□－ 40÷5”时弄错了运算顺序，先算减法再算除法了，结果得数是4。正确的得数是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 混合运算 【思维导图＋2考点＋2命题点+7种题型（含7种解题技巧）】 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 混合运算的运算顺序 考点二 解决多步计算的实际问题 04题型精研·考向洞悉 命题点一 混合运算的运算顺序 题型01 混合运算计算 题型02 分步算式合并成综合算式 题型03 填未知数问题 题型04 添加括号问题 命题点二 解决多步计算的实际问题 题型01 多步计算解决实际问题 题型02 怎样买票最划算问题 题型03 倒推法解决错中求解问题 单元考点 考查 频率 新课标要求 混合运算的运算顺序 ★★ 新课标要求学生掌握无括号时先乘除后加减，同级从左到右；有括号先算括号内。能结合情境列式，规范运算，培养应用与有序思维。 解决多步计算的实际问题 ★★ 新课标要求三年级能借画图析数量关系，用两步为主的混合运算列式，结合常见数量关系解题，解释结果意义，培养应用与模型意识。 【考情分析】本单元《混合运算》考查以运算顺序为核心，含无括号（先乘除后加减、同级从左到右）和有括号运算，占比约75%。易错点集中在顺序混淆和括号误用，错误率达 30%。结合购物等情境的两步应用题占比高，侧重考查数量关系分析与建模能力。 考点一 混合运算的运算顺序 1.脱式计算书写格式 2.无括号的混合运算 （1）同级运算（只有加减或只有乘除）：按“从左往右”的顺序依次计算。 例：42－38＋27 15÷5×7 ＝4＋27 ＝3×7 ＝31 ＝21 （2）不同级运算（既有加减又有乘除）：遵循“先算乘除，后算加减”的规则。 例：35－14÷7 8×9＋41 ＝35－2 ＝72＋41 ＝33 ＝113 2.有括号的混合运算 必须“先算括号里面的，再算括号外面的”； 括号内运算仍遵循“先乘除后加减”原则。 例：25÷（32－27） （3＋5）×8 ＝25÷5 ＝8×8 ＝5 ＝64 【易错易混】 1.混淆运算顺序：无括号时错把“加减”先算，或有括号时漏算括号内内容。 2.随意添加/去掉括号：改变算式原本的运算逻辑。 1.（2024•黑龙江佳木斯•期末）脱式计算 32－24÷3 （12＋18）÷6 4×（5＋3） 54÷（9－3） 【答案】24 5 32 9 【分析】32－24÷3 先算除法，再算减法； （12＋18）÷6 先算小括号内的加法，再算小括号外的除法； 4×（5＋3）先算小括号内的加法，再算小括号外的乘法； 54÷（9－3）先算小括号内的减法，再算小括号外的除法。 【详解】32－24÷3 （12＋18）÷6 4×（5＋3） 54÷（9－3） ＝32－8 ＝30÷6 ＝4×8 ＝54÷6 ＝24 ＝5 ＝32 ＝9 2.（2024•海南海口•期中）计算（31＋17）÷6时，要先算( )法，再算( )法。 【答案】加 除 【分析】一个算式中，有小括号的，要先算小括号里面的，再算小括号外面的。在算式(31＋17)÷6中，要先算小括号里面的加法，再算小括号外面的除法。 3.（2024•陕西宝鸡•期中） 判断：混合运算的运算顺序是从左往右按顺序计算。( ) 【答案】× 【分析】没有括号的同级运算时（只有乘除法或加减法），从左到右依次计算；两级运算时，先算乘除，后算加减；有括号时，先算括号里的，再算括号外的；有多层括号时，先算小括号里的，再算中括号里的，之后算大括号里的，最后算括号外的，据此解答即可。 【详解】在混合运算中，若存在不同级运算（如加法和乘法混合），应先算乘除法，后算加减法；若有括号，则先算括号内的。原题说法错误。 故答案为：× 考点二 解决多步计算的实际问题 1.解决问题时，可以画线段图帮助理解题意，并确定先求什么，再求什么。 2.解决问题时，既可以从条件入手分析，也可以从问题入手分析，无论用哪种分析方法，都要先找到中间量。从已知条件入手，由“已知”想“未知”，逐步接近“已知”的方法或思路叫综合法。 3.从问题或结论入手，由“未知”想“需知”，逐步接近“已知”的方法或思路叫分析法。 【易错易混】 解决问题时，没理清“先求什么、后求什么”，导致综合算式漏括号或顺序混乱。 1.（2024•海南海口•期中） 小红家养了一些鸡，一天捡了48个鸡蛋，每8个装一袋，拿2袋送给王奶奶，还剩多少个鸡蛋？（先用画线段图或文字叙述的方式分析题目，再解答） 【答案】作图或文字叙述见详解；32个 【分析】由题意得，小红家养了一些鸡，一天捡了48个鸡蛋，每8个装一袋，拿2袋送给王奶奶，可以用8乘2算出一共拿了多少个鸡蛋给王奶奶，然后再用 48减去前面的得数即可算出还剩多少个鸡蛋。据此解答。 【详解】已知条件：一天捡了48个鸡蛋，每8个装一袋，拿2袋送给王奶奶。 问题：还剩多少个鸡蛋？ 线段图： 48－8×2 ＝48－16 ＝32（个） 答：还剩32个鸡蛋。 2.（2024•黑龙江佳木斯•期中）妈妈买了30千克大米，吃了12千克，剩下的大米计划6天吃完，平均每天吃多少千克？ 【答案】3千克 【分析】剩余大米的千克数＝大米的总千克数－吃了的千克数，也就是30－12，然后剩下的大米计划6天吃完，求平均每天吃多少千克，就用剩余的大米的数量 ÷6即可解题。 【详解】(30－12)÷6 ＝18÷6 ＝3（千克） 答：平均每天吃3千克。 2.（2024•山东济宁•期中） （1）王阿姨用50元，购买9支玫瑰花后，应找回多少钱？ （2）王阿姨购买3支向日葵的钱，正好可以买6支康乃馨，一支康乃馨多少钱？ 【答案】（1）5元 （2）4元 【分析】（1）先用每支玫瑰花的价钱乘购买的支数，求出9支玫瑰花的价钱，再用50元钱减去9支玫瑰花的价钱，即可求出应找回多少钱。 （2）先用每支向日葵的价钱乘购买的支数，求出3支向日葵的价钱，再用3支向日葵的价钱（即6支康乃馨的价钱）除以购买的康乃馨的支数，即可求出一支康乃馨多少钱。 【详解】（1）50－5×9 ＝50－45 ＝5（元） 答：应找回5元钱。 （2）8×3÷6 ＝24÷6 ＝4（元） 答：一支康乃馨4元钱。 命题点一 混合运算的运算顺序 题型01 混合运算计算 记准顺序： 有括号先算括号里（小括号→中括号）； 没括号先算乘除、后算加减； 同级运算（只有加减或只有乘除）从左往右算。 （2024·江西九江·期末）脱式计算 63÷9×3 80－40÷5 8×（32－27） 【答案】21；72；40 【分析】四则混合运算的运算法则：在没有括号的算式里，如果只有加减法或者只有乘除法，要从左往右依次计算；在没有括号的算式里，如果既有乘除法又有加减法，要先算乘除法，再算加减法；在有括号的算式里，要先算括号里面的，再算括号外面的。第一个算式，先算除法，再算乘法即可；第二个算式，先算除法，再算减法即可；第三个算式，先算括号内的减法，再算括号外的乘法即可。【详解】63÷9×3 80－40÷5 8×(32－27) ＝7×3 ＝80－8 ＝8×5 ＝21 ＝72 ＝40 题型02 分步算式合并成综合算式 1.找关联：看后一步用前一步的结果做什么运算； 2.定括号：前一步是加减、后一步是乘除，给前一步加括号； 3.替换整合：把后一步里前一步的结果，换成前一步算式。 1.（2024·海南海口·期末）把下面每组算式合并成综合算式。 ①36÷4＝9，9×7＝63 ②83－65＝18，18÷6＝3 【答案】 36÷4×7＝63 (83－65)÷6＝3 【分析】找到第二个算式中与前一个算式结果对应的位置，用前一个算式的表达式代替该数，并根据运算顺序判断是否需要添加括号。据此解答。 【详解】①第一个算式的结果是9，第二个算式中乘数9由前一步得到。将第二个算式中的9替换为36÷4，得到36÷4×7，因为要从左往右依次计算，先算的是除法，不用加括号。所以，合并成综合算式是：36÷4×7＝63。 ②第一个算式的结果是18，第二个算式中被除数18由前一步得到。将第二个算式中的18替换为83－65，得到(83－65)÷6，由于要先得到18，所以必须在减法算式添加括号，先减后除需保证减法优先。所以，合并成综合算式是：(83－65)÷6＝3。 2.（2024·全国·期末）先填空，再列综合算式。 算式： 算式： 【答案】18；47 65－3×6＝47 7；7 49÷(43－36)＝7 【分析】（1）由题意得，先算3×6＝18，然后再算65－18＝47，据此列出综合算式为：65－3×6。在算式65－3×6中，要先算乘法，再算减法，算式的运算顺序满足题意，无需添加小括号。 （2）由题意得，先算43－36＝7，接着算49÷7＝7，据此列出综合算式为：49÷(43－36)。先算减法，再算除法。 【详解】 题型03 填未知数问题 解决此类题时，先将能计算的部分算出得数简化题目，再根据题目要求进行比较、推理，得出结果。 注意：0和任何数相乘都得0 1.已知39＋8×5＜100－□×7，那么□里可以填几？ 【答案】 0、1或2 【分析】 39＋8×5＜100－□×7 → 79＜100－□×7 → □×7＜21想3×7＝21，要使□×7＜21，那么□里填的数要小于3。 计算100－□×7时，要先算□×7，故可把□×7看成一个整体（一个数），想100－21＝79，要使100－□×7＞79，那么□×7＜21。 不含未知数，可以先算出得数 □里可以填0、1或2。 2、下面□里最小填几？ 63－□×6＞87－6×9 【答案】 6 【分析】 63－□×6＞87－6×9 → 63－□×6＞33 → □×6＞64计算63－□×6时，要先算□×6，故可把□×6看成一个整体（一个数），想63－30＝33，要使63－□×6＞33，那么□×6＞30。 不含未知数，可以先算出得数 想5×6＝30，要使□×6＞30，那么□里填的数要大于5，所以最小填6。 □里最小填6。 题型04 添加括号问题 括号的作用是改变运算顺序，观察原算式，根据原算式的得数，推测括号的位置。 在下面的式子中添上括号，使等式成立。 15－6÷3＝3 【答案】（15－6）÷3＝3 【分析】如果要先算减法，就要改变运算顺序，所以要添上括号。 (15－6)÷3 ＝ 9÷3 ＝ 3 与题干中的得数相同。 这是含有两级运算的综合算式，要先算除法，再算减法。 15－6 ÷ 3 = 15－2 = 13 与题干中的得数不同。 命题点二 解决多步计算的实际问题 题型01 多步计算解决实际问题 1.找信息：圈出题目里的已知条件和问题； 2.定步骤：想先求什么、再求什么； 3.列算式：按步骤列分步算式，再合并成综合算式 （注意：先算加减、后算乘除时，给加减加括号）； 4.验结果：算完后把结果代入题目，检查是否符合题意 1.（2024·海南海口·期末）有一本故事书，看了5天，平均每天看7页，还剩下23页没看，这本故事书一共有( )页。 【答案】58 【分析】每天看的页数乘看的天数，再加上剩下没看的页数，即等于这本书的页数。 【详解】5×7＋23 ＝35＋23 ＝58（页） 有一本故事书，看了5天，平均每天看7页，还剩下23页没看，这本故事书一共有58页。 2.（2024·海南海口·期末）二（1）班同学植树，每行种8棵。男生种9行，女生种6行。一共植树多少棵？（用两种方法解答） 【答案】120棵 【分析】由题意得，二（1）班同学植树，每行种8棵。男生种9行，女生种6行。可以先用9加6算出男生和女生一共种了多少行，然后再乘上8即可算出一共植树多少棵；也可以用男生或女生植树的行数乘上8分别算出男生或女生各自植树多少棵，然后再把得数加起来即可算出一共植树多少棵。 【详解】方法一：(9＋6)×8 ＝15×8 ＝120（棵） 方法二：9×8＋6×8 ＝72＋48 ＝120（棵） 答：一共植树120棵。 题型02 怎样买票最划算问题 解决怎样买票最划算的问题时，可先把不同的买票方案一一列举出来，分别计算各自需要的费用，再进行比较，最后得出最划算的方案。 1.4 位家长带5名儿童去湿地公园游玩。怎样买 票最划算？ 【答案】4位家长和2名儿童买团体票，余下的儿童买儿童票最划算。 【分析】买票最划算也就是用最少的钱给所有人买票。 方案一：单独买，即家长买成人票，儿童买儿童票。→4位家长买成人票，5名儿童买儿童票。 方案二：团体买，即全部买团体票。→9人都买团体票。 方案三：组合买，即家长和儿童搭配买。→因为成人票价＞团体票价＞儿童票价，所以尽量让儿童买儿童票，家长买团体票。即4位家长和2名儿童买团体票，余下的3名儿童买儿童票。 【答案】方案一： 方案二： 方案三： 4×10＋5×5 (4 + 5)×8 6－4＝2（名） 6×8＝48（元） ＝ 40＋25 ＝ 9×8 (5－2)×5 ＝ 65（元） ＝ 72（元） ＝ 3×5 ＝ 15（元） 48＋15＝63（元） 63＜65＜72 答：4位家长和2名儿童买团体票，余下的儿童买儿童票最划算。 2.3位家长带6名儿童参观民俗展览，怎样买票最划算？ 【分析】要解决怎样买票最划算的问题，我们可以列出不同的买票方案，分别计算费用后进行比较。 【详解】方案一：单独买，成人买成人票，儿童买儿童票。 3 位家长买成人票，费用为3×10＝30（元） 6 名儿童买儿童票，费用为6×6＝36（元） 总费用是30＋36＝66（元） 方案二：全部买团体票 家长和儿童一共有3＋6＝9（人），满足团体票“5 人及以上”的要求。 总费用为9×8＝72（元） 方案三：组合买 因为团体票要求5人及以上，所以让3位家长和2名儿童组成5人买团体票，费用为5×8＝40元； 剩下的儿童有6－2＝4名，买儿童票，费用为4×6＝24元； 总费用是40＋24＝64元 比较三种方案的费用：64＜66＜72。 答：3位家长和2名儿童买团体票，余下4名儿童买儿童票最划算。 题型03 倒推法解决错中求解问题 解决这类题时，可以从错误的结果出发，运用倒推法解决。 1.小明在计算“6＋□×5”时弄错了运算顺序，先算加法再算乘法了，结果得数是 40。正确的得数是多少？ 【答案】16 【分析】对于算式“6＋□×5”，正确的运算顺序是先乘再加，而小明是先加后乘，也就是按照(6＋□)×5计算了。因为未知数是一定的，所以可以先“将错就错”推出正确的未知数，再按照正确的运算顺序求出正确的得数。 【详解】40÷5－6＝2 6＋2×5＝16 答：正确的得数是16。 2.花花在计算“□－ 40÷5”时弄错了运算顺序，先算减法再算除法了，结果得数是4。正确的得数是多少？ 【答案】52 【分析】根据错误的运算顺序倒推出方框里的数，再按照正确的运算顺序计算出结果。 【详解】□－40＝4×5＝20 □＝20＋40＝60 算式为60－40÷5 60－40÷5 ＝60－8 ＝52 答：正确的书是52。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $