专题07 二次函数常考几何模型专训（9大题型）-2025-2026学年人教版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题07 二次函数常考几何模型专训（9大题型） 题型一 二次函数中的旋转模型 题型二 二次函数中的翻折模型 题型三 二次函数中的平移模型 题型四 二次函数中的轴对称模型 题型五 二次函数中的最值模型 题型六 二次函数中的存在模型 题型七 二次函数中特殊角度模型 题型八 二次函数中面积关系模型 题型九 二次函数中新定义模型 【经典例题一 二次函数中的旋转模型】 【例1】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，抛物线的图像与x轴交于，B两点，对称轴为直线，与y轴交于C点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，直接写出y的取值范围________； (3)若将此抛物线绕其顶点旋转，直接写出旋转后抛物线的表达式为________． 1．（2025·江西新余·二模）已知抛物线W：的对称轴在y轴左侧． (1)求抛物线W经过的定点坐标； (2)将抛物线W绕原点旋转后，得到抛物线． ①抛物线的解析式为______（用含a的式子表示）； ②若抛物线恰好经过抛物线W的顶点，求a的值． 2．（2025·河南周口·二模）已知抛物线的顶点为． (1)若抛物线经过原点，求的值及顶点的坐标． (2)在的条件下，把时函数的图象记为，将图象绕原点旋转，得到新图象，设图象与图象组合成的图象为． 图象的解析式为 （写出自变量的取值范围）； 若直线与图象有个交点，请直接写出的取值范围． 3．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、C两点，其中，，与y轴交于点B． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D是第一象限内抛物线上的一个动点，连结，过点D作于点E，延长与直线交于点F，求的最大值及此时点D的坐标； (3)若将原抛物线绕原点O旋转得到新的抛物线，P是新抛物线上的一个动点，H是直线上的一个动点，在平面直角坐标系上，是否存在一点K，使得四边形为正方形？请直接写出满足条件的所有K的坐标． 【经典例题二 二次函数中的翻折模型】 【例2】（2024·山东济南·一模）已知抛物线过，两点，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式和对称轴； (2)如图1，若点P是线段上的一动点，连接、，将沿直线翻折，得到，当点落在该抛物线的对称轴上时，求点P的坐标； (3)如图2，点M在直线上方的抛物线上，过点M作直线的垂线，分别交直线、线段于点N、点E，过点E作轴，求的最大值． 1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论：①；②将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点；③当时，该图象与直线有四个交点；④（为实数）．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 2．（2025·内蒙古呼伦贝尔·二模） 已知二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，将抛物线在x轴下方的图象沿轴翻折，翻折后得到的图象与抛物线在轴上方的图象记为，已知直线与图象有两个公共点，求的取值范围为 ． 【经典例题三 二次函数中的平移模型】 【例3】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，正方形的顶点A在抛物线上，顶点B，C在x轴的正半轴上，且点B的坐标为． (1)求点D的坐标； (2)将抛物线沿x轴方向适当平移，使得平移后的抛物线经过点B，求平移后抛物线的表达式，并说明你是如何平移的．此时点D在新抛物线上吗？ 1．（2025·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D；抛物线与抛物线关于轴对称，抛物线与x轴交于点M、N（点M在点N的左边）． (1)用配方法求抛物线的顶点坐标； (2)求线段的长； (3)如果，平移抛物线，使所得新抛物线的顶点E在其关于轴对称抛物线的对称轴上，当时，求平移后新抛物线的表达式． 2．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，其对称轴为直线． (1)求a，b的值，并根据图象写出时x的取值范围； (2)把点A向上平移m个单位得点．若点向右平移n个单位，将与抛物线上的点重合；若点向右平移个单位，将与抛物线上的点重合，其中， ，求m，n的值； (3)抛物线上是否存在点P，使得最小，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知抛物线． (1)当时，求的值； (2)求抛物线的顶点坐标； (3)当时，把抛物线向下平移个单位长度得到新抛物线，设抛物线与轴的一个交点的坐标为，且，则的取值范围是 ． 【经典例题四 二次函数中的轴对称模型】 【例4】（2025·浙江湖州·三模）已知抛物线的顶点坐标为． (1)求a，c的值，并写出函数表达式． (2)已知在该抛物线上． ①将点A向右平移6个单位后得到点B，且点A与点B关于对称轴对称，求点A的坐标． ②若，时，该二次函数的最大值是最小值的2倍，求m的值． 1．（2025·广东深圳·三模）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象为抛物线G，抛物线G与抛物线的图象关于x轴对称． (1)抛物线G与y轴的交点坐标为______，抛物线G的对称轴为直线______； (2)当时，求抛物线的表达式； (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线G与抛物线围成的中间封闭区域不包括边界为． ①当时，直接写出区域W内的整点个数； ②如果区域W内恰有5个整点，结合函数图象，直接写出a的取值范围． 2．（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）如图，抛物线经过点，，连接，点是第一象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点作轴的垂线，交于点，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，请求出点的坐标； (3)点与点关于轴对称，连接，，，当点运动到什么位置时，的面积最大？求面积的最大值及此时点的坐标． 3．（2025·四川资阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，且横坐标为1，点与点关于抛物线的对称轴对称，直线与轴交于点，点为抛物线的顶点，点的坐标为． (1)求线段的长； (2)点为线段上方抛物线上的任意一点，当的面积最大时，求此时点坐标，并求出最大面积； (3)在（2）的情况下，过点作的垂线交于点，点在轴上一点，求的最小值． 【经典例题五 二次函数中的最值模型】 【例5】（2023·安徽宣城·一模）如图，抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式． (2)连接，求的面积． (3)要在轴上找一点，使得的周长最小，求点的坐标． 1．（23-24九年级上·青海西宁·期中）已知：二次函数的图像与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上 (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一动点P，若最小，求P的坐标； (3)在直线下方的抛物线上是否存在动点Q，使得的面积有最大值？若存在，请求出点Q坐标，及的最大面积；若不存在，请明理由． 2．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，已知二次函数的图象过点，对称轴与轴交于点． (1)求此二次函数的表达式； (2)已知点是二次函数图象上一点， ①若直线：经过点，且点关于直线的对称点恰好落在直线上，求点坐标． ②设直线与二次函数图象另一交点为，过二次函数图象顶点作轴的平行线，则直线上是否存在点 ，使得最小？若存在请直接写出这个最小值；若不存在，请说明理由． 3．（25-26九年级上·全国·阶段练习）如下图，正比例函数的图象与抛物线相交于点． (1)求与的值． (2)已知抛物线的顶点是，若是轴上的一个动点，求当最小时点的坐标． 【经典例题六 二次函数中的存在模型】 【例6】（2025·湖南郴州·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，直线过B，C两点． (1)求抛物线的表达式，并求出直线的表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由； (3)若点P是抛物线上一动点，过点P作直线轴交于点D，过点P作于点E，当时，求点P的横坐标． 1．（2025·山东枣庄·二模）已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (4)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2025九年级上·浙江·专题练习）二次函数的图象交轴于点，点两点，交轴于点．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，过点作轴交直线于点，交抛物线于点，连接，设运动的时间为秒． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，当时，求的面积； (3)在直线上存在一点，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点的坐标． 3．（2025·青海西宁·三模）如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是，与y轴交于点 (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点P是抛物线上一点，连接使得，求出点P坐标； (3)如图3，连接与交于点D，是否存在点P，满足，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【经典例题七 二次函数中特殊角度模型】 【例7】（2023·山西·模拟预测）如图，已知二次函数与x轴交于A、B两点，点A的坐标为，且与y轴交于点C，直线经过点C，与x轴交于点D． (1)求二次函数的解析式； (2)点E是图中的抛物线上的一个动点，设点E的横坐标为，求的面积的最大值及此时点E的坐标． (3)在抛物线上是否存在点P，使，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 1．（24-25九年级上·重庆·期末）如图，已知抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，连接，为线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，作轴交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图，连接，在直线下方抛物线上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2025·山东烟台·模拟预测）如图，抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点，过点作轴，交抛物线于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)①在图1中，抛物线对称轴上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由； ②在图2中，点为抛物线上第四象限上一点，连接交轴于点，当时，求点的坐标． 3．（24-25八年级下·江西宜春·阶段练习）如图，二次函数的图象与x轴交于点两点，与y轴交于点C，点D为的中点． (1)求二次函数的表达式； (2)若点E为直线上方抛物线上一点，过点E作轴，垂足为H，与、分别交于点F、G两点，设点E的横坐标为m． ①用含m的代数式表示线段的长度； ②若，求此时点E的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【经典例题八 二次函数中面积关系模型】 【例8】（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，抛物线经过两点，与y轴交于点B，点P为抛物线上的一个动点，连接与相交于点Q．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为第一象限内抛物线上的一个动点．设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2，求S1﹣S2的最大值，并求此时点P的坐标； (3)过点P作PD垂直于x轴于点D，与线段AB交于点N，设点D的横坐标为m，且，PD中点为点M，AB中点为点E，若，求m的值． 1．（2025九年级·全国·专题练习）点A，B在抛物线y＝ax2（a＞0）上，AB交y轴于点C． (1)过点C作DC⊥y轴交抛物线于点D，若AB∥OD，AB的解析式为y＝x＋2，求a的值； (2)在（1）的条件下，过点B作BG⊥x轴交x轴于点G，BG的延长线交AO的延长线于点H，连接AG交y轴于点K，求OK•BH的值； (3)若a＝1，将抛物线平移后交x轴于点A（﹣1，0），B（2，0）两点，点P为y轴正半轴上一点，AP，BP交抛物线于点M，N，设△PNA的面积为S1，△PMB的面积为S2，△PBA的面积为S3，若，求点P的坐标． 2．（2025九年级·全国·专题练习）抛物线y＝ax2＋c的顶点为C（0，1），与直线y＝kx＋3（k为常数）相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．当k＝0时，点B的横坐标恰好为2（如图1）． (1)求a、c的值； (2)当k＝0时，若点P是抛物线上异于A、C的一点，且满足2PC2＝AB2＋2AP2，试判断△PAC的形状，并说明理由； (3)若直线y＝﹣1交y轴于点F，过点A、B分别作该直线的垂线，垂足分别为D、E，连接AF、BF（如图2）．设△ADF、△ABF、△BEF的面积分别为S1、S2、S3，是否存在常数t，使S22＝t•S1S3？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 3．（2025·广东深圳·二模）如图1，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为点D． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点E是点D关于x轴的对称点，经过点A的直线y＝mx+1与该抛物线交于点F，点P是直线AF上的一个动点，连接AE、PE、PB，记△PAE的面积为S1，△PAB的面积为S2，那么的值是否是定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． (3)如图2，设直线AC与直线BD交于点M，点N是直线AC上一点，若∠ONC＝∠BMC，求点N的坐标． 【经典例题九 二次函数中新定义模型】 【例9】（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义： 点是函数图像上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图像上所有点的“纵横值”中若存在最大值则称为函数的“最优纵横值”，若存在最小值则称为函数的“最劣纵横值”． 【举例】已知点在函数图像上． 点的“纵横值”为； 函数图像上所有点的“纵横值”可以表示为， 当时，的最大值为的最小值为， 所以函数的“最优纵横值”为7，“最劣纵横值”为4． 【问题】根据定义，解答下列问题： (1)①点的“纵横值”为__________； ②求出函数的“最优纵横值”和“最劣纵横值”； (2)若二次函数的对称轴为直线，且最优纵横值为5，求c的值； (3)已知二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为m，最劣纵横值为n，若，请直接写出t的值． 1．（24-25九年级下·湖南岳阳·开学考试）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数 M，对于任意的函数值y ，都满足 ，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的 M 中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数 是有上界函数，其上确界是 2 ． (1)函数① 和② 中是有上界函数的为 （只填序号即可）， 其上确界为 ； (2)若反比例函数的上确界是 ，且该函数的最小值为 2 ，求 a、b的值； (3)如果函数是以 6 为上确界的有上界函数，且满足，求实数a的值． 2．（2025·云南昆明·三模）【定义】：已知y是x的函数．对于任意实数，当时，函数值y的取值范围是，则称m到n（含m、n）这段取值范围是该函数的一个“2倍取值范围”． 【举例】：对于函数，当时，函数值y的取值范围是，我们称1到3（含1、3）这段取值范围是函数的一个“2倍取值范围”． 【问题】：已知二次函数（b、c均为常数）的图象经过点，其对称轴为直线． (1)求二次函数的解析式； (2)若对于实数，从m到n（含m、n）这段取值范围是该函数的一个“2倍取值范围”，求m和n的值． 3．（2025·河南周口·三模）（1）写出下列二次函数的顶点坐标： ①的顶点坐标为________； ②的顶点坐标为________； ③的顶点坐标为________． （2）新定义：在平面直角坐标系中，若抛物线的顶点在坐标轴上，则称该抛物线为“数轴函数”．像上面①②③的函数均为“数轴函数”，请分别判断与是不是“数轴函数”，并说明理由． （3）与轴平行的直线交“数轴函数”于两点（点在点的左侧），，是直线上方抛物线上一点，且点到对称轴的距离大于2，请直接写出点横坐标的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 二次函数常考几何模型专训（9大题型） 题型一 二次函数中的旋转模型 题型二 二次函数中的翻折模型 题型三 二次函数中的平移模型 题型四 二次函数中的轴对称模型 题型五 二次函数中的最值模型 题型六 二次函数中的存在模型 题型七 二次函数中特殊角度模型 题型八 二次函数中面积关系模型 题型九 二次函数中新定义模型 【经典例题一 二次函数中的旋转模型】 【例1】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，抛物线的图像与x轴交于，B两点，对称轴为直线，与y轴交于C点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，直接写出y的取值范围________； (3)若将此抛物线绕其顶点旋转，直接写出旋转后抛物线的表达式为________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质，关键是利用二次函数的性质解题． （1）利用待定系数法求函数解析式； （2）分别确定自变量为0和对应的函数值，然后结合函数图象和二次函数的性质求解； （3）根据顶点旋转可直接得出答案． 【详解】（1）解：把代入得：①， 又∵对称轴为直线 ∴② 联立①②，可得，解得， ∴这个二次函数的表达式为 （2）解：∵， 抛物线开口向下，有最大值1， 当时，，当时，， 当时，的取值范围是， 故答案为：． （3）解：抛物线，该抛物线绕其顶点旋转，得出， 故答案为：． 1．（2025·江西新余·二模）已知抛物线W：的对称轴在y轴左侧． (1)求抛物线W经过的定点坐标； (2)将抛物线W绕原点旋转后，得到抛物线． ①抛物线的解析式为______（用含a的式子表示）； ②若抛物线恰好经过抛物线W的顶点，求a的值． 【答案】(1)抛物线W经过的定点坐标为和 (2)①a；② 【分析】（1）将变形为，即可解答； （2）①抛物线W绕原点旋转后，得到抛物线，则两抛物线关于原点对称，据此得到，化简即可解答；②求出的顶点坐标为，代入抛物线的解析式，得解得，再根据抛物线W：的对称轴在y轴左侧，建立不等式组得到或，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，；当时，， ∴抛物线W经过的定点坐标为和． （2）解：①抛物线W绕原点旋转后，得到抛物线，则两抛物线关于原点对称， ∴， 即抛物线的解析式为． ②由得抛物线W的顶点坐标为， 整理得，代入抛物线的解析式，得， 整理得， 解得． ∵抛物线W：的对称轴在y轴左侧， ∴，即， ∴或 ∴，则不合题意，舍去， 故a的值为． 【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数的图象上点的坐标特征，其中用待定系数法确定二次函数解析式，二次函数的图象与几何变换，利用数形结合思想解题是关键． 2．（2025·河南周口·二模）已知抛物线的顶点为． (1)若抛物线经过原点，求的值及顶点的坐标． (2)在的条件下，把时函数的图象记为，将图象绕原点旋转，得到新图象，设图象与图象组合成的图象为． 图象的解析式为 （写出自变量的取值范围）； 若直线与图象有个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)，顶点的坐标为（-1，-1） (2)①．② 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程根的判别式、求二次函数的解析式，解决本题的关键是要注意数形结合的思想和分类讨论的思想的运用． 根据抛物线经过原点，可得：，从而可知，抛物线的解析式为，把抛物线的解析式化为顶点式为，可得抛物线的顶点的坐标为； 将图象绕原点旋转，得到新图象的顶点坐标为，开口向下，所以可以得到图象的顶点式解析式为，整理成二次函数的一般式解析式即可； 直线与图象有个交点，则可能直线与图象有个交点、与图象有个交点，也可能直线与图象有个交点、与图象有个交点时，分情况利用一元二次方程根的判别式求出的值即可． 【详解】（1）解：抛物线经过原点， ， 解得：， 抛物线的解析式为， 整理得：， 抛物线的顶点的坐标为； （2）解：将图象绕原点旋转，得到新图象的顶点坐标为，开口向下， 图象的解析式为， 整理可得：； 如下图所示， 当直线与图象有个交点、与图象有个交点时， 可得：， 整理可得：， 则有， 解得：； 当直线与图象有个交点、与图象有个交点时， 可得：， 整理可得：， 则有， 解得：； 综上所述，当时，直线与图象有个交点．    3．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、C两点，其中，，与y轴交于点B． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D是第一象限内抛物线上的一个动点，连结，过点D作于点E，延长与直线交于点F，求的最大值及此时点D的坐标； (3)若将原抛物线绕原点O旋转得到新的抛物线，P是新抛物线上的一个动点，H是直线上的一个动点，在平面直角坐标系上，是否存在一点K，使得四边形为正方形？请直接写出满足条件的所有K的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为，此时点D的坐标为 (3)存在，或 【分析】本题是二次函数的综合题，考查二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段长度是解题的关键． （1）根据题意得：，即可求解； （2）证明，得到，即可求解； （3）证明，得到，．则P点的坐标为或，，再分类求解即可． 【详解】（1）根据题意得：， ∴抛物线的解析式为； （2）过点D作直线于M，交直线于G， ∴轴， ∴， ∵抛物线与x轴交于A、C两点，其中，与y轴交于点B． 令，则，解得，， 令，则， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵直线， ∴， ∴， 由点B、C的坐标得，直线的解析式为， 设直线DM交x轴于N，，则，， ∴，， ∴， ∴的最大值为，此时点D的坐标为； （3）如图， 根据旋转得抛物线过点，，， ∴， 设， ∵四边形正方形， ∴，， ∴， 过点H作轴于M，过点P作轴于N， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． ∴， ∴P点的坐标为或，， ①当P点的坐标为时， ∵，，，四边形为正方形， ∴点K的坐标为； ②当P点的坐标为时， ∵，，，四边形为正方形， ∴点K的坐标为； 综上，存在，点K的坐标为或． 【经典例题二 二次函数中的翻折模型】 【例2】（2024·山东济南·一模）已知抛物线过，两点，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式和对称轴； (2)如图1，若点P是线段上的一动点，连接、，将沿直线翻折，得到，当点落在该抛物线的对称轴上时，求点P的坐标； (3)如图2，点M在直线上方的抛物线上，过点M作直线的垂线，分别交直线、线段于点N、点E，过点E作轴，求的最大值． 【答案】(1)；对称轴为： (2)点P的坐标为： (3) 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质、待定系数法求函数解析式、翻折的性质等，解题的关键是运用待定系数法求函数解析式；运用配方法解决最值问题．解题时注意分类讨论思想的运用． （1）用待定系数法即可求解； （2）将沿直线翻折，得到，则，，进而求解； （3）联立和并解得：，得到点E的坐标，进而求解． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 则， 则， 解得：， 故抛物线的表达式为：①， 其对称轴为：x； （2）解：将沿直线翻折，得到，则，， ， 由抛物线的对称轴为：知，， 则，则， ∴，则点， 设点P的坐标为，点， 由得：， 解得：， 即点P的坐标为：； （3）解：由点A、C的坐标得，直线的表达式为：， 由B、C的坐标知，和x轴负半轴的夹角为， ∵，则直线和x轴的夹角为，设点M的坐标为：， 则设直线的表达式为：， 联立和并解得：， 则， 则， 则， 故有最大值为． 1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，则下列结论：①；②将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点；③当时，该图象与直线有四个交点；④（为实数）．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一次函数的综合、一元二次方程根的判别式等知识，较难的是③，正确找出两个临界位置是解题关键．求出函数的对称轴为直线，由此即可判断①正确；先利用待定系数法求出函数的解析式，再求出函数在段的图象的最高点的坐标为，由此即可判断②正确；找出两个临界位置：当直线经过点时，直线与函数图象有3个交点；当直线与函数在段的图象只有一个交点时，直线与函数图象有3个交点，求出的值，由此即可判断③正确；根据当时，函数取得最小值，最小值为，则对于任意实数，都有，由此即可判断④错误． 【详解】解：由图象可知：函数的对称轴为直线， ∴，即，结论①正确； 由题意可知，函数的图象经过点， 将点代入：，解得， ∴函数的解析式为，其顶点坐标为， ∴函数在段的图象的最高点的坐标为， ∴将函数图象向上平移1个单位长度后，在轴两个交点的中间部分段的图象的最高点的坐标为， ∴将函数图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，结论②正确； 由上可知，函数的解析式为， 当或时，， 当时，， 有两个临界位置：如图，当直线经过点时，直线与函数图象有3个交点， 则，解得； 如图，当直线与函数在段的图象只有一个交点时，直线与函数图象有3个交点， 联立得：，这个方程有两个相等的实数根， ∴方程根的判别式， 解得， ∴当时，该图象与直线有四个交点，结论③正确； 由上可知，函数图象的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数取得最小值，最小值为， ∴对于任意实数，都有，即，结论④错误； 综上，正确的是①②③， 故选：A． 2．（2025·内蒙古呼伦贝尔·二模） 已知二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换．解方程得，，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，即，然后求出直线经过点时的值和当直线与抛物线有唯一公共点时的值，从而得到当直线与新图象有4个交点时，的取值范围． 【详解】解：如图， 当时，，解得，，则，， 将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方的部分图象的解析式为， 即， 当直线经过点时，，解得； 当直线与抛物线有唯一公共点时，方程有相等的实数解，解得， 所以当直线与新图象有4个交点时，的取值范围为． 故选：B． 3．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，将抛物线在x轴下方的图象沿轴翻折，翻折后得到的图象与抛物线在轴上方的图象记为，已知直线与图象有两个公共点，求的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查抛物线与直线的交点问题，确定抛物线与轴的交点坐标为，，当直线过点时，直线与图象恰有一个交点，求出此时的值；直线向上平移，在经过点之前均为两个交点；继续向上平移，直线与翻折后得到的抛物线只有一个交点之前与图象有四个交点；直线与翻折后得到的抛物线只有一个交点时与图象恰有三个交点，求出此时的值；再向上平移，均有两个交点；可得结论．数形结合思想的运用是解题的关键． 【详解】解：如图， 令， 解得：或， ∴抛物线与x轴的交点坐标为，， 将，代入，得：， 将，代入，得：， ∴当时，直线与图象有两个公共点； ∵，且抛物线上任意一点关于轴对称的点的坐标为， ∴沿轴翻折的抛物线的解析式为，即， 联立， 整理得：， 当时， 解得：， ∴当时，直线与图象有两个公共点； 综上所述，当或时，直线与图象有两个公共点． 故答案为：或． 【经典例题三 二次函数中的平移模型】 【例3】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，正方形的顶点A在抛物线上，顶点B，C在x轴的正半轴上，且点B的坐标为． (1)求点D的坐标； (2)将抛物线沿x轴方向适当平移，使得平移后的抛物线经过点B，求平移后抛物线的表达式，并说明你是如何平移的．此时点D在新抛物线上吗？ 【答案】(1)； (2)，原抛物线向右平移1个单位得到的，点D在新抛物线上． 【分析】（1）根据，，点A在抛物线上，得当时，，得， 得，得，，即得； （2）根据抛物线沿x轴方向平移后经过点，得平移后的抛物线表达式为，抛物线向右平移1个单位．当时，，得点在新抛物线上． 【详解】（1）解：∵正方形中，，且，点A在抛物线上， ∴点A的横坐标为1，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵抛物线的顶点为原点，沿x轴方向适当平移后经过点B， ∴平移后的抛物线顶点为， ∴平移后的抛物线表达式为， ∴抛物线向右平移1个单位； ∵当时，， ∴点在新抛物线上． 【点睛】本题考查了抛物线与正方形，熟练掌握抛物线性质，正方形性质，抛物线平移，点和抛物线的位置关系，是解题的关键． 1．（2025·上海·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D；抛物线与抛物线关于轴对称，抛物线与x轴交于点M、N（点M在点N的左边）． (1)用配方法求抛物线的顶点坐标； (2)求线段的长； (3)如果，平移抛物线，使所得新抛物线的顶点E在其关于轴对称抛物线的对称轴上，当时，求平移后新抛物线的表达式． 【答案】(1) (2)2 (3)平移后新抛物线的表达式为或． 【分析】此题考查二次函数的图象及性质， （1）先对含x的项提取系数a，在括号里配方，最后整理即可得到二次函数的顶点坐标； （2）先由抛物线与x轴交于点A、B，求出A、B的坐标，再由对称性得到M、N的坐标，即可算出线段的长； （3）先根据求出a的值，再根据求出顶点E，即可求出平移后新抛物线的表达式． 【详解】（1）解： ， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）∵，令得， 解得， ∴； ∵抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称， ∴抛物线的解析式为 当时，， 解得， ∴， ∴； （3）由（2）得，， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴设， ∴，得， ∴或， ∵ ∴或， ∴平移后新抛物线的表达式为或． 2．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，其对称轴为直线． (1)求a，b的值，并根据图象写出时x的取值范围； (2)把点A向上平移m个单位得点．若点向右平移n个单位，将与抛物线上的点重合；若点向右平移个单位，将与抛物线上的点重合，其中， ，求m，n的值； (3)抛物线上是否存在点P，使得最小，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)， (3)点P的坐标为或 【分析】（1）由题意可得， ，解方程可求a、b的值，再结合图象可求x的取值范围； （2）根据点平移的特点，分别求出， ， ，再结合题意即可求m、n的值； （3）当时最小值为0，此时点P为抛物线与线段的中垂线的交点，求出线段的中垂线的解析式为，再求直线与抛物线的交点即为P点． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为， ∴， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ， ∴， 令，则， ∴或， ∴当时，； （2）解：由题可知， ， ，， ∵，关于直线对称， ∴， ∴， ∴点在抛物线上， ∴； （3）解：存在点P，使得最小，理由如下： ∵最小值为0， ∴，即点P为抛物线与线段的中垂线的交点， ∵， ∴线段的中垂线的解析式为， 由， 解得x， ∴点P的坐标为或， ∴满足条件的点有或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，点平移的特点，最短距离的求法是解题的关键． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知抛物线． (1)当时，求的值； (2)求抛物线的顶点坐标； (3)当时，把抛物线向下平移个单位长度得到新抛物线，设抛物线与轴的一个交点的坐标为，且，则的取值范围是 ． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质． （1）依据题意，由，结合，从而可以判断得解； （2）依据题意，，故可以得解； （3）依据题意，当时，抛物线G为，从而表示出H为，抛物线H与x轴的一个交点的坐标为，且，从而若当时，，结合二次函数的性质，，又抛物线H与x轴有交点，故，进而可以得解． 【详解】（1）解：由题意，， 又∵， ∴， ∴， ∴或； （2）解：由题意，， ∴顶点坐标为：； （3）解：由题意，当时，抛物线G为， ∴把抛物线G向下平移个单位长度得到新抛物线H为， ∵抛物线H与x轴的一个交点的坐标为，且， 又当时，， ∴， ∵开口向下， ∴， 又∵抛物线H与x轴有交点， ∴， ∴， ∴． 【经典例题四 二次函数中的轴对称模型】 【例4】（2025·浙江湖州·三模）已知抛物线的顶点坐标为． (1)求a，c的值，并写出函数表达式． (2)已知在该抛物线上． ①将点A向右平移6个单位后得到点B，且点A与点B关于对称轴对称，求点A的坐标． ②若，时，该二次函数的最大值是最小值的2倍，求m的值． 【答案】(1)，， (2)①；②m的值为或 【分析】（1）由抛物线的顶点坐标为可得，，求出a，c的值，即可得解； （2）①由坐标平移的性质可得，由点A与点B关于对称轴对称，且对称轴为直线，求得，进而可得，代入二次函数的解析式计算即可得解；②由抛物线解析式可得该抛物线的开口向上，且对称轴为直线， 分三种情况：当，即时，此时随着的增大而减小；当时，，且；当时，，且；分别利用二次函数的性质计算即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为． ∴，， ∴，， ∴抛物线的表达式为； （2）解：①将点向右平移6个单位后得到点B， ∴， ∵点A与点B关于对称轴对称，且对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 将代入抛物线解析式可得：， ∴， ∴； ②∵抛物线的表达式为； ∴该抛物线的开口向上，且对称轴为直线， 当，即时，此时随着的增大而减小， 当时，取得最大值为，当时，取得最小值为， ∵该二次函数的最大值是最小值的2倍， ∴， 解得：或， ∵， ∴； 当时，，且， 此时，当时，取得最大值为，当时，取得最小值为， ∵该二次函数的最大值是最小值的2倍， ∴， 解得：或， ∵， ∴； 当时，，且， 此时，当时，取得最大值为，当时，取得最小值为， ∵该二次函数的最大值是最小值的2倍， ∴， 解得：或， ∵， ∴此种情况不成立； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、求二次函数的解析式，二次函数的最值问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 1．（2025·广东深圳·三模）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象为抛物线G，抛物线G与抛物线的图象关于x轴对称． (1)抛物线G与y轴的交点坐标为______，抛物线G的对称轴为直线______； (2)当时，求抛物线的表达式； (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线G与抛物线围成的中间封闭区域不包括边界为． ①当时，直接写出区域W内的整点个数； ②如果区域W内恰有5个整点，结合函数图象，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)，1； (2)； (3)①，，共3个；②或． 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． （1）利用对称轴公式以及y轴上点的坐标特征求得即可； （2）根据关于x轴对称的点的坐标特征即可得出答案； （3）①根据图象即可求得； ②时，抛物线经过点时，区域W内恰有5个整点，结合①即可得出；当时，如图2，抛物线经过点和时，区域W内恰有5个整点，结合图象即可求得，从而求得如果区域W内恰有5个整点，则或 【详解】（1）解：二次函数， 对称轴为直线， 令，则， 图象与y轴的交点坐标为； 故答案为：，1； （2）解：抛物线G：， 抛物线：， 即， 当时，； （3）解：①当时，则抛物线G：， 顶点为， 令，解得：， 图象与y轴的交点坐标为， 区域W内的整点有，，共3个； ②当时，如图2， 抛物线经过点时，区域W内恰有5个整点， ， 解得：， 结合①可得：； 当时，如图2，抛物线经过点和时，区域W内恰有5个整点． 经过点时，， 解得：， 经过点时，， 解得：， ， 故如果区域W内恰有5个整点，则或 2．（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）如图，抛物线经过点，，连接，点是第一象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点作轴的垂线，交于点，当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，请求出点的坐标； (3)点与点关于轴对称，连接，，，当点运动到什么位置时，的面积最大？求面积的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2)存在，点P的坐标为或 (3)面积的最大值是8，点P的坐标是． 【分析】（1）把点，，代入解析式，即可求解； （2）分两种情况讨论：当时，当时，即可求解； （3）设的延长线交与点N，求出直线的表达式为：，然后设点，则），得，再根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， 把点，代入解析式得： ， 解得， ∴二次函数的解析式为：； （2）解：设， 当时，则有轴，如图， ∴点P的纵坐标为2， ∴， 解得：（舍去）或， ∴； 当时，过点P作轴，垂足为M，如图， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴=， 即， 解得：（舍）或， ∴， 综上所述，当以为顶点的三角形是直角三角形时，点P的坐标为或； （3）解：设的延长线交与点N， ∵，点C与点B关于x轴对称， ∴， 设直线的表达式为：， 把A，C代入得： ， 解得， ∴直线的表达式为：， 设点，则）， ∴ ∴， ∵， ∴有最大值，且， ∴当时，的面积最大，最大面积是8， 此时，， 综上所述，面积的最大值是8，点P的坐标是． 【点睛】本题主要考查了二次函数与三角形的综合题，待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用数形结合和分类讨论思想解答是解题的关键． 3．（2025·四川资阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，且横坐标为1，点与点关于抛物线的对称轴对称，直线与轴交于点，点为抛物线的顶点，点的坐标为． (1)求线段的长； (2)点为线段上方抛物线上的任意一点，当的面积最大时，求此时点坐标，并求出最大面积； (3)在（2）的情况下，过点作的垂线交于点，点在轴上一点，求的最小值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查二次函数综合，涉及二次函数图象与性质、二次函数与面积综合、二次函数求最值等问题，数形结合是解决问题的关键． （1）根据题意，令，代入表达式求出即可得到，再根据点与点关于抛物线的对称轴对称，即可求出，从而得到答案； （2）作轴交于，如图所示，设，数形结合，在平面直角坐标系中表示出的面积，由二次函数图象与性质分析即可得到答案； （3）作直线交于，使得，作于交于，如图所示，数形结合得，利用等面积法求解即可得到答案． 【详解】（1）解：点在抛物线上，且横坐标为1， 令，则，则， 点与点关于抛物线的对称轴对称， ， ； （2）解：作轴交于，如图所示： 设， 直线的解析式为， ， ， ， 抛物线开口向下，有最大值，当时，的面积最大为，此时； （3）解：作直线交于，使得，作于交于，如图所示： 由（2）知点，， ， ， ，此时的值最小， ， ， 的最小值为． 【经典例题五 二次函数中的最值模型】 【例5】（2023·安徽宣城·一模）如图，抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式． (2)连接，求的面积． (3)要在轴上找一点，使得的周长最小，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为 【分析】（1）先利用抛物线的对称轴求出，再把点坐标代入中求出，从而得到抛物线表达式． （2）先把抛物线的表达式一般式配成顶点式，得到，再利用待定系数法求出直线的解析式为，则可确定，然后根据三角形面积公式计算． （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则有，利用两点之间线段最短判断此时的值最小， 则的周长最小，再利用关于轴对称的点的坐标特征得到，然后利用待定系数法求出直线的解析式，从而可确定点坐标． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为， ， 解得， 把代入得， 解得， 抛物线的表达式为． （2）解：， ， 把，分别代入得： ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ， 的面积为． （3）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则有， ， 此时的值最小， 此时的周长最小， ， ， 设直线的解析式为， 把，分别代入得 ： ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为，此时的周长最小． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象中几何图形面积的计算方法，轴对称最短路径的计算方法，二次函数与一次函数图象的交点的计算方法，二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 1．（23-24九年级上·青海西宁·期中）已知：二次函数的图像与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上 (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一动点P，若最小，求P的坐标； (3)在直线下方的抛物线上是否存在动点Q，使得的面积有最大值？若存在，请求出点Q坐标，及的最大面积；若不存在，请明理由． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）采用待定系数法即可求解； （2）先求出B点坐标，再证明当P、D、B三点共线时，最小，最小值为BD，接着求出直线的解析式为：，问题随之得解； （3）过点Q作轴交于点H，设点，则点，根据表示出三角形的面积，然后求出最大值即可． 【详解】（1）解：把，代入， ∴， 解得：， 则抛物线的解析式为：； （2）解：令，可得：， 解得：，， ∴B点坐标为：， 抛物线的对称抽为：， A、B两点关于直线对称， 抛物线的对称轴上有一动点P，如图， ∴， ∴， 即当P、D、B三点共线时，最小，最小值为， 如图， ∵，， 设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：， ∴当时，， ∴P点坐标为：； （3）解：过点Q作轴交于点H，点H在上，如图所示： 设点，则点， 则， 则 ， ∵， ∴当时，面积的最大值为， 此时， ∴． 【点睛】本题是二次函数的综合题，难度中等，考查了二次函数的图象与性质，轴对称，待定系数法求解抛物线解析式，二次函数的最值等知识，掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． 2．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）如图，已知二次函数的图象过点，对称轴与轴交于点． (1)求此二次函数的表达式； (2)已知点是二次函数图象上一点， ①若直线：经过点，且点关于直线的对称点恰好落在直线上，求点坐标． ②设直线与二次函数图象另一交点为，过二次函数图象顶点作轴的平行线，则直线上是否存在点 ，使得最小？若存在请直接写出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①点的坐标为或；②存在的最小值为 【分析】（1）根据函数图象上点的坐标特征可得的值，根据对称轴可得的值，即可得解； （2）①根据待定系数法确定直线的解析式为，得到，，确定直线的解析式为，过点作，交轴于点，可得，，确定直线的解析式为，根据对称性可得直线垂直平分，设，，确定直线的解析式为，继而得到，根据中点坐标公式得到，最后根据函数图象上点的坐标特征得到，求解后可得结论． ②作点关于直线的对称点，连接交直线于点，设抛物线与轴交于点、．则＞，而，当、分别与、重合时，最小，最小为．先求得，进而勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，对称轴与轴交于点， ∴当时，得；，得：， ∴此二次函数的表达式为； （2）∵直线：经过点，设直线与轴交于点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，得， ∴， ∴， 过点B作，交y轴于点C， ∵， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵二次函数图象上的点关于直线的对称点在直线上， ∴直线垂直平分， ∴，点是的中点， 设，， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 可得方程组， 解得：， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵点在二次函数的图像上， ∴， 解得：或， 当时，得，则， 当时，得，则， ∴求点的坐标为或． ②直线上存在点，理由如下： 抛物线的顶点为，作直线：，如图所示， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，设抛物线与轴交于点、． 则，而， 当、分别与、重合时，最小， 最小为． 当， 解得： 在中， 即的最小值为． 【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法确定二次函数和一次函数解析式，函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称轴，一次函数与坐标轴的交点坐标，等腰三角形的判定和性质，对称的性质，平行线的性质，中点坐标公式，勾股定理，一元一次方程的应用等知识点．掌握待定系数法确定函数解析式及对称的性质是解题的关键． 3．（25-26九年级上·全国·阶段练习）如下图，正比例函数的图象与抛物线相交于点． (1)求与的值． (2)已知抛物线的顶点是，若是轴上的一个动点，求当最小时点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数和二次函数的图象与性质是解题关键． （1）先把的坐标代入，求得，再把的坐标代入，即可求解； （2）由（1）得抛物线，求得其对称轴和顶点坐标，作点C关于x轴的对称点，连接交轴于点，此时最小，设直线的表达式是，利用待定系数法求得直线的表达式，令，即可求解点的坐标． 【详解】（1）解：将代入正比例函数，解得：， 点的坐标为， 将代入，得：，解得：． （2）解：由（1）得：抛物线， 抛物线的对称轴是，顶点是， 点C关于x轴的对称点的坐标为． 如图，连接交轴于点，此时最小． 设直线的表达式是， 把，代入， 得：，解得：， 直线的表达式是． 令，则，解得：， 点的坐标是． 【经典例题六 二次函数中的存在模型】 【例6】（2025·湖南郴州·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，直线过B，C两点． (1)求抛物线的表达式，并求出直线的表达式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由； (3)若点P是抛物线上一动点，过点P作直线轴交于点D，过点P作于点E，当时，求点P的横坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为 (2)存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是直角三角形， Q点坐标为或 (3)P点横坐标为或 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设，分别求出，分三种情况讨论：当为斜边时，此时t无解；当为斜边时，；当为斜边时，； （3）设与y轴的交点为G，由题可知D点是的中点，则，设，则，，设，，得到，求出m的值即可求解． 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：将点，点，分别代入， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是直角三角形，理由如下： ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， 当时，， 解得或， ∴， ∴， 当为斜边时，， 此时t无解； 当为斜边时，， 解得， ∴； 当为斜边时，， 解得， ∴； 综上所述：Q点坐标为或； （3）解：设与y轴的交点为G， ∵， ∴点D是的中点， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设， 则， 解得， 则 ∴， ∴， ∴， 解得（舍）或， ∴P点横坐标为； 当点D在点P的右侧时， 设与y轴的交点为G， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设， 则， 解得， 则 ∴， ∴， ∴， 解得（舍）或， ∴P点横坐标为； 综上所述，点P的横坐标为或． 1．（2025·山东枣庄·二模）已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (4)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； (3)13.5 (4)存在；，， 【分析】（1）根据，，求出C点坐标，把点的坐标代入，即可求出函数解析式； （2）连接与抛物线的对称轴交于点Q，此时的周长最小．先求出，再求出直线的解析式为：，则当时，，即可作答． （3）过点作轴交线段于点，设，然后求出的表达式，利用，转化为二次函数求最值； （4）①过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形；②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，由题意可知点的纵坐标为3，从而可求得其横坐标． 【详解】（1）解：∵的坐标为， ∴， ∵，点在轴下方， ∴， ∵将代入抛物线的解析式， 可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）得， 令，则 即 如图所示：连接与抛物线的对称轴交于点Q，此时的周长最小． ∵， ∴ ∴ 设直线的解析式为：， ∵， ∴ 解得， ∴直线的解析式为：， 则的对称轴是直线， ∴当时，， ∴点Q的坐标是； （3）解：如图1所示，过点作轴，交于点， ∵该抛物线的对称轴为，， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为， ∵将代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为3， ∴的最大面积， ∴， ∴四边形的面积的最大值为13.5； （4）解：存在，理由如下： ①如图2，过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形， ∵，令， ∴， ∴； ②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，当时，四边形为平行四边形，当时，四边形为平行四边形， ∵， ∴的纵坐标均为3， 令，可得， 解得， ∴． 综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是，或． 【点睛】本题是二次函数综合题，一次函数的几何综合，涉及待定系数法求二次函数的解析式、利用二次函数求最值、平行四边形的判定与性质等知识，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 2．（2025九年级上·浙江·专题练习）二次函数的图象交轴于点，点两点，交轴于点．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，过点作轴交直线于点，交抛物线于点，连接，设运动的时间为秒． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，当时，求的面积； (3)在直线上存在一点，当是以为直角的等腰直角三角形时，求此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）依据二次函数经过点和两点，代入到解析式中计算即可得出结果； （2）由题意可知，面积为，分别计算出和的长度即可得出结果； （3）首先，在等腰中，利用勾股定理得到点到或点的距离，然后，运用两点距离公式建立等式，计算得到点横坐标，由于点横坐标与点横坐标相等，所以将坐标代入二次函数解析式即可得到结果． 【详解】（1）解：二次函数，过点，点， 点坐标代入解析式可得： ， 解得： ， 二次函数解析式为． （2）动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动， 当时，点坐标为， 将点和代入到直线中可得， ，， 直线． 直线， 令，代入直线可得， 同理，代入二次函数中得到， ，， 面积为． （3）设直线上存在一点，使得是以为直角的等腰直角三角形， 点和，由两点距离公式可知， ， 在等腰中，应用勾股定理可知， ， ， 利用两点距离坐标公式可知， ， ， 将可得， ， 将式代入式可得， ， 整理得： 解得：或． 点横坐标为或， 点与点横坐标相同， 点横坐标为或， 分别代入二次函数解析式可得， 或， 点的坐标为或． 【点睛】求解本题的关键是掌握勾股定理（在直角三角形中，两条直角边长平方的和等于斜边长的平方），两点距离坐标公式（例如，点和，则两点间距离为）． 3．（2025·青海西宁·三模）如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是，与y轴交于点 (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点P是抛物线上一点，连接使得，求出点P坐标； (3)如图3，连接与交于点D，是否存在点P，满足，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】本题考查二次函数与几何综合，涉及待定系数法求函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、坐标与图形等知识，熟练掌握数形结合与分类讨论思想，以及方程建模是解答的关键． （1）利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）过P作轴于H，证明是等腰直角三角形，得到，设，分P在x轴上方时和P在x轴下方时，利用坐标与图形性质列方程求解m值即可解答； （3）先利用待定系数法求得直线的函数表达式为，设，分当点D在线段上时，当点D在延长线上、当点D在延长线上，三种情况，过P作轴于H，交于Q，则轴，，证明得到，则，利用坐标与图形性质列方程求得m值即可解答． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是，与y轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过P作轴于H，则， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是， ∴， 当P在x轴上方时，有， 解得或（与B重合，舍去）， ， ∴； 当P在x轴下方时，有， 解得或（与B重合，舍去）， ， ∴， 综上，点P的坐标为或； （3）解：存在． 设直线的函数表达式为 ∵，， ∴，解得， ∴直线的函数表达式为， 设， 如图，当点D在线段上时，过P作轴于H，交于Q，则轴，， ∴， ∴，则， ∴， 解得或， ∴或， ∴或； 当点D在延长线上，如图， 同理可证， ∴，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴ ∴． 当点D在延长线上，如图， 同理可证， ∴，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴或， ∴． 综上，点P坐标为或或或． 【经典例题七 二次函数中特殊角度模型】 【例7】（2023·山西·模拟预测）如图，已知二次函数与x轴交于A、B两点，点A的坐标为，且与y轴交于点C，直线经过点C，与x轴交于点D． (1)求二次函数的解析式； (2)点E是图中的抛物线上的一个动点，设点E的横坐标为，求的面积的最大值及此时点E的坐标． (3)在抛物线上是否存在点P，使，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)最大值是3， (3)存在，P为或 【分析】（1）根据一次函数解析式求出点C的坐标，将A，C坐标代入二次函数解析式即可求出b，c，进而得到答案； （2）过点作轴于点，交于点，表示出G点坐标，从而表示出长度，根据即可表示出的面积，再结合二次函数图象性质即可求其最大值和此时E的坐标； （3）过点作一条直线与的夹角为，交二次函数的图象于点，过点作，两线交于点，过点作轴于点，分两种情况：当点在直线的右侧时和当点在直线的左侧时进行讨论即可． 本题主要考查二次函数的解析式求解、三角形面积的最大值求解以及特定角度的点坐标求解．需要利用给定的点坐标、直线方程和二次函数的性质来逐步解答各个小问． 【详解】（1）解：把代入，得， ， 二次函数图象与轴交于两点，点的坐标为， ， ， 二次函数的解析式为； （2）解：如图①，过点作轴于点，交于点， 设点的坐标是，则点的纵坐标为， 代入直线，得点的横坐标为， 点的坐标是， ， ， ， 的最大值是3，此时点的坐标为； （3）解：存在，如图，过点作一条直线与的夹角为，交二次函数的图象于点，过点作，两线交于点，过点作轴于点，情况一：如图②，当点在直线的右侧时， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 在与中，， ， ， 易知， ， ， ， 设直线的解析式为， 将代入，得， 直线的解析式为． 联立，得， 解得（舍去），， 将代入，得， 点的坐标为； 情况二：如图③， 当点在直线的左侧时，同理可得：直线的解析式为． 联立，得， 解得（舍去），， 将代入，得， 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 1．（24-25九年级上·重庆·期末）如图，已知抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，连接，为线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，作轴交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图，连接，在直线下方抛物线上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)的最大值为，此时； (3)存在，． 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的性质，待定系数法求解析式，二次函数的最值，全等三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）先求出，再求出直线表达式为，设，则，所以，然后通过二次函数的性质即可求解； （）当点在下方时，如图，作轴，作于点，与抛物线的交点为，连接，求出，则，证明，所以，又，，故有，则，可得点与点重合，从而求解． 【详解】（1）解：由题意知，解得， ∴解析式为； （2）解：∵点的坐标为，且抛物线对称轴为直线， ∴， 当，， ∴， 设直线表达式为：， ∴，解得， ∴直线表达式为， 设， 则， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值为，此时； （3）解：存在，理由如下： 当点在下方时，如图，作轴，作于点，与抛物线的交点为，连接， ∵， ∴当时，， 解得：或， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 如图，点与点重合， ∴． 2．（2025·山东烟台·模拟预测）如图，抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点，过点作轴，交抛物线于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)①在图1中，抛物线对称轴上是否存在一点，使为等腰三角形，若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由； ②在图2中，点为抛物线上第四象限上一点，连接交轴于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①存在，或或或或； ② 【分析】本题考查了求二次函数解析式，勾股定理，一元二次方程的应用. （1）先求出，再根据求出，，代入计算即可； （2）①先求出D点坐标，再分三种情况根据勾股定理计算一元二次方程即可； ②作轴交轴于F，连接，先根据平行线的判定和性质得到，由得到，根据等角对等边得到，设，根据勾股定理求出，进而求出直线的解析式为，联立求出，即可得解. 【详解】（1）当时， ∴ ∵ ∴， 分别将，代入得： 解得： ∴； （2）①存在. 设交对称轴于M，设交对称轴于N，则， 对称轴为直线， 设E点纵坐标为a 则 ∵过点作轴，交抛物线于点， ∴，关于直线对称， ∴ Ⅰ.当时，如图， 则 即， 解得： 即； Ⅱ.当时，如图， 或 则 即， 解得： 即或； Ⅲ.当时，如图， 或 则 即， 解得： 即或； 综上所述，点的坐标为或或或或； ②如图，作轴交轴于F，连接 ∴轴， 即 ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ 设与交于G， 则， 设， ∵， ∴ 整理得， 解得：， ∴ 设直线的解析式为 将， 则 解得 ∴， 联立得 解得：， ∵点为抛物线上第四象限上一点， ∴， ∴ 3．（24-25八年级下·江西宜春·阶段练习）如图，二次函数的图象与x轴交于点两点，与y轴交于点C，点D为的中点． (1)求二次函数的表达式； (2)若点E为直线上方抛物线上一点，过点E作轴，垂足为H，与、分别交于点F、G两点，设点E的横坐标为m． ①用含m的代数式表示线段的长度； ②若，求此时点E的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)① ② (3)存在；， 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）两点式写出函数解析式即可； （2）①求出直线的解析式，利用两点间的距离公式表示出的长度即可； ②求出的解析式，进而求出，根据，列出方程进行求解即可； （3）求出对称轴，设出点坐标，根据勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于点两点，， ∴抛物线的表达式为：， 即． （2）①∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， ∴， ∵点E为直线上方抛物线上一点，过点E作轴，垂足为H，与、分别交于点F、G两点，设点E的横坐标为m， ∴，， ∴； ②∵点D为的中点，， ∴， 同①得：直线的解析式为：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去）或， ∴； （3）存在： ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴设， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或； ∴，． 【经典例题八 二次函数中面积关系模型】 【例8】（23-24九年级上·福建厦门·期中）如图，抛物线经过两点，与y轴交于点B，点P为抛物线上的一个动点，连接与相交于点Q．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为第一象限内抛物线上的一个动点．设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2，求S1﹣S2的最大值，并求此时点P的坐标； (3)过点P作PD垂直于x轴于点D，与线段AB交于点N，设点D的横坐标为m，且，PD中点为点M，AB中点为点E，若，求m的值． 【答案】(1) (2)当时，取最大值，最大为，此时． (3) 【分析】（1）将分别代入中解方程即可； （2）设，理解即可解答； （3）求直线的表达式，表示出，，，根据列出方程求解即可； 【详解】（1）解：将分别代入 ， 得，， 解得：． ∴． （2）设， ， ， ， ∴， 当时，取最大值，最大为，此时． （3）由可得， 设直线的表达式为， 将分别代入得， 解得：， ∴， ∵点E为中点， ∴， ∵点D的横坐标为m， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴（舍去）， ∴．    【点睛】本题主要考查二次函数综合应用，正确求出解析式并能根据题意正确表示出各点是解题的关键． 1．（2025九年级·全国·专题练习）点A，B在抛物线y＝ax2（a＞0）上，AB交y轴于点C． (1)过点C作DC⊥y轴交抛物线于点D，若AB∥OD，AB的解析式为y＝x＋2，求a的值； (2)在（1）的条件下，过点B作BG⊥x轴交x轴于点G，BG的延长线交AO的延长线于点H，连接AG交y轴于点K，求OK•BH的值； (3)若a＝1，将抛物线平移后交x轴于点A（﹣1，0），B（2，0）两点，点P为y轴正半轴上一点，AP，BP交抛物线于点M，N，设△PNA的面积为S1，△PMB的面积为S2，△PBA的面积为S3，若，求点P的坐标． 【答案】(1)a＝ (2)4 (3)P（0，1） 【分析】（1）求出OD的解析式，确定D点坐标即可求出a值； （2）通过AB的解析式和抛物线解析式求解A、B两点坐标，从而可获得AH所在的解析式，再通过B点横坐标求出点H和点G的坐标，从而得到BH的长度，再通过点A和点G的坐标求解AG的解析式，从而得到OK的长度，最终可得OK、BH的长度； （3）通过平移前后a的值不变，代入A、B两点坐标求出平移后抛物线的解析式，设P点坐标为(0，e)，分别用n表示出BN、AM所在直线的解析式，将两条解析式与抛物线联立，求出N、M的坐标，再根据三角形面积公式分别表示出S1、S2、S3，最后根据题干条件求出P点坐标即可． 【详解】（1）解：∵AB∥OD，AB的解析式为y＝x+2， ∴OD的解析式为y＝x；C点的坐标为（0，2）； 又∵DC⊥y轴； ∴D点的纵坐标为2，将y＝2代入y＝x中，得x＝2， ∴D点的坐标为（2，2） 将点D（2，2）代入y＝ax2（a＞0）中，解得a＝； （2）解：由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2， 令， 解得，； ∴；； ∴由图可知点A坐标为， 点B的坐标为， 由图可知，直线AH过原点， ∴设AH的解析式为y＝kx，将A点坐标代入， 解得k＝； ∴， 又∵BG⊥x轴交x轴于点G，BG的延长线交AO的延长线于点H，点B的坐标为， ∴点G的坐标为（）点H的横坐标为， 将点H横坐标代到y＝x中得y＝﹣2， ∴点H的坐标为（）； ∴BH＝BG+GH＝； 设AG所在直线的解析式为y1＝k1x+b，代入A、G两点的坐标得： 解得：k1＝，b＝； ∴y1＝x+； ∴OK＝； ∴OK•BH＝＝4． （3）解：∵a＝1， ∴设平移后抛物线的解析式为y＝x2+bx+c， 将A（﹣1，0），B（2，0）两点代入可得b＝﹣1，c＝﹣2； ∴y＝x2﹣x﹣2； 设点P的坐标为（0，e） ∴将点A、P坐标代入可得AM所在直线的解析式为yAM＝ex+e； 将点B、P坐标代入可得BN所在直线的解析式为yBN＝﹣x+e； 又∵N、M在抛物线上， ∴ 解得xM＝e+2，∴ 解得xN＝﹣1﹣， ∴yN＝+e； ∵AB＝3， ∴S3＝S△APB＝•AB•OP＝； S1＝S△PNA＝S△NAB﹣S△APB ＝×3×（+e）﹣e ＝（+）； S2＝S△PMB＝S△MAB﹣S△APB ＝ ＝ 代入得e＝1或﹣5（舍弃）， ∴P（0，1）． 【点睛】本题主要考查直线与抛物线的综合应用，能通过待定系数法求解一次函数、二次函数的解析式和掌握根据函数解析式正确表示含有带参数的点的坐标是解决此题的关键． 2．（2025九年级·全国·专题练习）抛物线y＝ax2＋c的顶点为C（0，1），与直线y＝kx＋3（k为常数）相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．当k＝0时，点B的横坐标恰好为2（如图1）． (1)求a、c的值； (2)当k＝0时，若点P是抛物线上异于A、C的一点，且满足2PC2＝AB2＋2AP2，试判断△PAC的形状，并说明理由； (3)若直线y＝﹣1交y轴于点F，过点A、B分别作该直线的垂线，垂足分别为D、E，连接AF、BF（如图2）．设△ADF、△ABF、△BEF的面积分别为S1、S2、S3，是否存在常数t，使S22＝t•S1S3？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)a＝；c＝1 (2)直角三角形，见解析 (3)存在，t＝4 【分析】（1）∵抛物线y=ax2+c的顶点为C（0，1），故c=1，则抛物线的表达式为y=ax2+1，当k=0时，直线l∥y轴，则点B的纵坐标为3，故点B的坐标为（2，3），即可求解； （2）AB=4，AC=，故AB2=2AC2，而2PC2=AB2+2AP2，则PC2=AC2+AP2，即可求解； （3）设点A、B的坐标分别为（m，m2+1），（n，n2+1），则S1S3=×AD•DF××EF•BE=4k2+16，S22=4（4k2+16），进而求解． 【详解】（1）解：∵抛物线y＝ax2+c的顶点为C（0，1），故c＝1， 则抛物线的表达式为y＝ax2+1， 当k＝0时，直线l∥y轴，则点B的纵坐标为3， 故点B的坐标为（2，3）， 将点B的坐标代入抛物线表达式得：3＝4a+1， 解得a＝； （2）解：由（1）知，当k＝0时，点B（2，3），则点A（﹣2，3），则AB＝4， 由点A、C的坐标知，AC＝，故AB2＝2AC2， ∵2PC2＝AB2+2AP2，则PC2＝AC2+AP2， ∴△PAC为直角三角形； （3）解：设直线AB交y轴于点G，则点G（0，3）， 设点A、B的坐标分别为（m，m2+1），（n，n2+1）， 联立y＝x2+1和y＝kx+3并整理得：x2﹣2kx﹣4＝0， 则m+n＝2k，mn＝﹣4， 则m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝（2k）2， 由题意得：AD＝m2+2，DF＝﹣m；GF＝4，DE＝n﹣m；BE＝n2+2，EF＝n； 则S1S3＝×AD•DF××EF•BE ＝（m2+2）（﹣m）（n2+2）n ＝（mn）2+（m+n）2﹣2mn+4 ＝4k2+16， 同理可得：S22＝[FG（n﹣n）]2 ＝[4×（n﹣m）]2 ＝4（n﹣m）2 ＝4[（m+n）2﹣4mn] ＝4（4k2+16）， ∵S22＝t•S1S3， 即4（4k2+16）＝t（4k2+16）， ∵4k2+16＞0， 故t＝4． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、根与系数的关系、面积的计算等，用根与系数的关系处理复杂数据是本题的难点． 3．（2025·广东深圳·二模）如图1，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为点D． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点E是点D关于x轴的对称点，经过点A的直线y＝mx+1与该抛物线交于点F，点P是直线AF上的一个动点，连接AE、PE、PB，记△PAE的面积为S1，△PAB的面积为S2，那么的值是否是定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． (3)如图2，设直线AC与直线BD交于点M，点N是直线AC上一点，若∠ONC＝∠BMC，求点N的坐标． 【答案】(1)y＝x2﹣2x﹣3 (2)的值是一个定值，这个定值为 (3)N（﹣，） 【分析】(1)把点A和点B的坐标代入抛物线的解析式即可； (2) 分别过点B，E作BG∥y轴，EH∥y轴，与AF交于点G，H，利用铅垂法分别表示△PA E的面积和△PAB的面积，再求比值即可； (3) 过点B作BP⊥AC于点P，作∠BTC＝∠BMC，过点O作ON∥BT交AC于点N利用等腰三角形的性质，先求出∠BTC =∠BMC时， 直线BT的解析式，利用ON∥BT求出点N的坐标． 【详解】（1）解：由抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点可得， ， 解得，， ∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3； （2）解：的值是一个定值，这个定值为，理由如下： ∵抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3顶点为点D ∴D（1，﹣4），C（0，﹣3）， ∴E（1，4）， ∵直线y＝mx+1过点A（﹣1，0）， ∴直线AF：y＝x+1， 如图1，分别过点B，E作BG∥y轴，EH∥y轴，与AF交于点G，H， ∴S1＝（xP﹣xA）•EH，S2＝（xP﹣xA）•BG ∴＝， ∵B（3，0）， ∴G（3，4），BG＝4， ∵E（1，4）， ∴H（1，2），EH＝2， ∴＝＝ ＝， ∴的值是一个定值，这个定值为； （3）解：如图2，过点B作BP⊥AC于点P，作∠BTC＝∠BMC，过点O作ON∥BT交AC于点N， ∴∠ONC＝∠BTC＝∠BMC， ∴BT＝BM，点P是点T，点M的中点， ∵A（﹣1，0），C（0，﹣3）， ∴直线AC：y＝﹣3x﹣3， ∵BP⊥AC，B（3，0）， ∴直线BP：y＝x﹣1， 联立，解得， ∴P（﹣ ，- ）， ∵B（3，0），D（1，﹣4）， ∴直线BD：y＝2x﹣6， 联立，解得， ∴M（ ，﹣）， ∴由中点坐标公式可得，T（﹣，）， 设直线BT的解析式为y＝kx+b， ∴，解得，， ∴y＝﹣x+， ∴直线ON的表达式为：y＝﹣x， 联立，解得， ∴N（， ）． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查待定系数法，铅垂法求面积及函数交点问题，解题的关键在于作辅助线利用角相等转化构造等腰三角形，将求坐标问题转化为求方程组解的问题． 【经典例题九 二次函数中新定义模型】 【例9】（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义： 点是函数图像上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图像上所有点的“纵横值”中若存在最大值则称为函数的“最优纵横值”，若存在最小值则称为函数的“最劣纵横值”． 【举例】已知点在函数图像上． 点的“纵横值”为； 函数图像上所有点的“纵横值”可以表示为， 当时，的最大值为的最小值为， 所以函数的“最优纵横值”为7，“最劣纵横值”为4． 【问题】根据定义，解答下列问题： (1)①点的“纵横值”为__________； ②求出函数的“最优纵横值”和“最劣纵横值”； (2)若二次函数的对称轴为直线，且最优纵横值为5，求c的值； (3)已知二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为m，最劣纵横值为n，若，请直接写出t的值． 【答案】(1)①7；②最优纵横值是8，最劣纵横值是 (2) (3)或 【分析】（1）①根据“纵横值”的定义求解即可；②根据“纵横值”的定义，设函数图像上所有点的“纵横值”为，，结合二次函数图像的性质即可获得答案； （2）首先确定，设图像上所有点的“纵横值”为，则有，结合二次函数图像的性质以及“最优纵横值”的定义求解即可； （3）设函数图像上所有点的“纵横值”为，则有，易知关于的函数图像开口向上，且对称轴为，然后分、、三种情况讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：①根据题意，点的“纵横值”为； ②对于函数，设图像上所有点的“纵横值”为， 则有， ∵， ∴关于的函数图像开口向上，且对称轴为， ∴当时，可有“最劣纵横值”为， 又∵， ∴可有“最优纵横值”为． 故答案为：①7；②最优纵横值是8，最劣纵横值是； （2）若二次函数的对称轴为直线， 则有，解得， ∴该函数解析式为， 可设图像上所有点的“纵横值”为， 则有， ∵， ∴关于的函数图像开口向下，且对称轴为， ∴当时，可有“最优纵横值”，且为， 解得； （3）对于二次函数， 设图像上所有点的“纵横值”为， 则有， ∵， ∴关于的函数图像开口向下，且对称轴为， 分三种情况讨论： ①若，当时，取最大值，即， 当时，取最小值，即， ∵， ∴， 解得，不合题意，舍去； ②若，的最大值为4，即 或， ∵， 令，解得，（不合题意，舍去）； 令，解得，（不合题意，舍去）； ③若，即， 当时，取最小值，即， 当时，取最大值，即， ∵， ∴， 解得，不合题意，舍去． 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了新定义“纵横值”、二次函数的图像与性质、二次函数综合应用等知识，正确理解新定义是解题关键． 1．（24-25九年级下·湖南岳阳·开学考试）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数 M，对于任意的函数值y ，都满足 ，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的 M 中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数 是有上界函数，其上确界是 2 ． (1)函数① 和② 中是有上界函数的为 （只填序号即可）， 其上确界为 ； (2)若反比例函数的上确界是 ，且该函数的最小值为 2 ，求 a、b的值； (3)如果函数是以 6 为上确界的有上界函数，且满足，求实数a的值． 【答案】(1)②；7 (2)， (3)2 【分析】本题考查新定义，二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，将所求问题转化为求二次函数的最大值问题是解题的关键． （1），则函数是没有上界函数；时，则函数是有上界函数，上确界为7； （2）由题意可得，则，，分别求出、即可； （3）根据，根据，，则当时，有最大值，再根据6为上确界，得，解得或(舍去)即可． 【详解】（1）解： ， ， 没有上界函数； ， ， 有上界函数，上确界为7， 故答案为：②，7； （2）解：， 当时，有最大值，当时，有最小值， ， 函数上确界是， ， 函数的最小值为2， ， ， ； （3）解：， 又∵，， 当时，有最大值， ∵6为上确界， ， 或（舍去）； ． 2．（2025·云南昆明·三模）【定义】：已知y是x的函数．对于任意实数，当时，函数值y的取值范围是，则称m到n（含m、n）这段取值范围是该函数的一个“2倍取值范围”． 【举例】：对于函数，当时，函数值y的取值范围是，我们称1到3（含1、3）这段取值范围是函数的一个“2倍取值范围”． 【问题】：已知二次函数（b、c均为常数）的图象经过点，其对称轴为直线． (1)求二次函数的解析式； (2)若对于实数，从m到n（含m、n）这段取值范围是该函数的一个“2倍取值范围”，求m和n的值． 【答案】(1) (2)，或， 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质，弄懂题意，确定满足条件的点的位置是解题的关键． （1）用待定系数法求函数解析式即可； （2）分三种情况：Ⅰ．当时，随的增大而减小．Ⅱ．当时，的最小值为，Ⅲ．当时，随的增大而增大．分别求解即可． 【详解】（1）解： 二次函数的图象经过点， ，得，． 二次函数的图象的对称轴为直线， ， ． ． （2）解：二次函数的图象的对称轴为直线， 根据、与2的大小关系，可分为三种情况： Ⅰ．当时，随的增大而减小． 将、分别代入函数解析式得，，整理得，， 化简得，．代入得， 解得，（不符合题意，舍去），． 当时，（不符合题意，舍去）． Ⅱ．当时，的最小值为，． ，解得，，此时，． ①当时，解得，，此时． 此时，，符合题意． ②当时，当时，取得最大值． ，解得，或（舍去） 此时，，，符合题意． Ⅲ．当时，随的增大而增大． 将、分别代入函数解析式得，， 解得（舍去），． 综上所述，，或，时满足题意． 3．（2025·河南周口·三模）（1）写出下列二次函数的顶点坐标： ①的顶点坐标为________； ②的顶点坐标为________； ③的顶点坐标为________． （2）新定义：在平面直角坐标系中，若抛物线的顶点在坐标轴上，则称该抛物线为“数轴函数”．像上面①②③的函数均为“数轴函数”，请分别判断与是不是“数轴函数”，并说明理由． （3）与轴平行的直线交“数轴函数”于两点（点在点的左侧），，是直线上方抛物线上一点，且点到对称轴的距离大于2，请直接写出点横坐标的取值范围． 【答案】（1），，（2）是“数轴函数，不是“数轴函数”，理由见详解（3）或． 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，顶点坐标，新定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①根据二次函数的顶点式进行作答即可； ②根据二次函数的顶点式进行作答即可； ③根据二次函数的顶点式进行作答即可； （2）先化为顶点式，再根据“数轴函数”的定义进行分析，即可作答． （3）先化为顶点式，根据“数轴函数”的定义进行分析得出，再结合得出，，又因为是直线上方抛物线上一点，且点到对称轴的距离大于2，且结合二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 【详解】解：（1）①的顶点坐标为； ②的顶点坐标为； ③的顶点坐标为 故答案为：，，； （2）依题意， 则该函数的顶点坐标为，顶点坐标在轴上，符合“数轴函数”的要求， 故是“数轴函数， ， 则该函数的顶点坐标为，顶点坐标不在坐标轴上，不符合“数轴函数”的要求， 故不是“数轴函数”； （3）依题意， 此函数的顶点坐标为， ∵是“数轴函数” ∴， 解得； ∴，即函数的开口向下，对称轴为直线， 越靠近对称轴的所对应的函数值越大 ∵与轴平行的直线交“数轴函数”于两点（点在点的左侧），， ∴， ∵是直线上方抛物线上一点，且点到对称轴的距离大于2， ∴或者 即或． 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