第13章 三角形-【重点班提分练】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步知识册（人教版2024）

第十三章三角形 知识·学习区 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次 定义 相接所组成的图形 -0 三角形的边一组成三角形的线段 三角形 0 三角形的顶点—相邻两边的公共端点 三角形的角一 三角形 相邻两边所组成的角 的概念 0 三边都不相等的三角形 按边的相等关系分 等腰三角形 分类 0 直角三角形 按最大内角分 锐角三角形 0钝角三角形 三角形的 -三角形两边的和大于第三边 三边关系 三角形的两边的差小于第三边 三角形的边 0 组成三角形的条件 三角形 与三角 形有关 三角形的稳定性 的线段 分得的两个三角形面积相等 中线 三条中线相交于三角形内部一 点，该点叫作三角形的重心 三角形的中 0 线、角平分 角平 o三角形的内角被分成的两个角相等 线、高 分线 。三条角平分线交于三角形内部一点 。高 三角形的内角和定理一三角形的内角和等于180° 三角形 o性质一 直角三角形的两个锐角互余 的内角 o直角三角形 与外角 。判定一有两个角互余的三角形是直角三角形 外角 一三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 1○ 重点班提分练数学八年级上册 技巧·提升区 扫码批改 ⊙重点题讲解 技巧提分1角平分线遇上垂线段 模型解读 ◇模型过角平分线上一点向角的两边作垂线段 M 已知：如图，点P在∠MON的平分线上，PA⊥OM A 力 于点A. 辅助线：过P点作PB⊥ON于点B. B -N 结论：PB=PA,OA=OB 过角平分线上一点向角的两边作垂线段，利用角平 分线上的点到角两边的距离相等的性质来解决问 P,名师点晴 题若题目中已经有了角平分线和角平分线上一点 到一边的垂线段（距离)，则作另一边的垂线段 模型演练 1.如图，BO,C0分别平分∠ABC, 2.如图，AD∥BC,AP,BP分别平 ∠ACB,OD⊥BC于点D,OD=2, 分∠DAB,∠ABC,CD过点P且 △ABC的周长为28，求△ABC的 与AD垂直.若CD=8,AB=10, 面积. 求△ABP的面积. 2 第十三章)三角形 ◇技巧提分2角平分线遇上平行线 模 型解读 ◇模型「作平行线构造等腰三角形 M 已知：点P在∠MON的平分线上 辅助线：过点P作PQ∥ON交OM于点Q. D 结论：△POQ是等腰三角形，Q0=QP,∠Q0P= ∠QP0 已知：OP是∠MON的平分线，点Q在OM上 辅助线：过点Q作OP的平行线交ON的反向延长线 于点R R 结论：△ROQ是等腰三角形，OQ=OR,∠QR0= ∠OQR 已知角平分线上的一点，过这一点作角的一边的平 行线与另一边相交，构造等腰三角形；已知角的一 P,名师点晴 边上的一点，过这一点作角的平分线的平行线，与 角的另一边所在的直线相交，也可构造等腰三角形 模型演练 1.如图，在△ABC中，AB=5,AC=8, 2.如图，在△ABC中，AB=6,AC=5, BD,CD分别平分∠ABC,∠ACB, BC=9,AI平分∠BAC,CI平分∠ACB. 过点D作EF∥BC,分别交AB,AC 将∠BAC平移，使其顶点A与点I重 于点E,F,求△AEF的周长. 合，求图中阴影部分的周长. 3 重点班提分练数学八年级上册 满分·冲刺区 ◇压轴满分集训 1.如图，点E在∠BOA的平分线上， 3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC EC⊥OB,垂足为C,点F在OA上， 交BC于点D,点E,F分别在BD, 若∠AFE=30°，EC=2,求EF的长. AD上，EF∥AB,且DE=CD.求证： B EF=AC. 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， 4.如图，∠A0E=15°，OE平分∠AOB, 以点A为圆心，适当长为半径作弧， DE∥OB交OA于点D,EC⊥OB, 分别交AB,AC于点D,E,再分别 垂足为C.若EC=2,求OD的长， 以点D,E为圆心，大于DE的长 为半径作弧，两弧交于点F,作射线 AF交BC于点G,若AB=12,GC=3, 求△ABG的面积. 4知识讲解册参考答案 第十三章三角形 2.解：如图，连接BI,设将AB,AC平移后分别交 技巧·提升区 BC于点E,F. 技巧提分1角平分线遇上垂线段 1.解：如图，连接OA,过点O作OE⊥AB于点 E,OF⊥AC于点F. B0,C0分别平分 :AM平分LBAC,CI平分∠ACB,三角形的三条 ∠ABC和∠ACB,OD⊥ 角平分线交于一点， BC于点D,且OD=2, .0D=0E=0F=2, ∴.BI平分∠ABC,∠ACI=∠BCI, ∴.∠ABI=∠CBI. Saac=S△0Ms+Sa0c+Sa0ac=2AB·0E+ 根据平移的性质，得AB∥IE,ACIF, c-0r+ 2BC·0D= 2(AB+AC+BC)· ·∠ABI=∠BIE,∠ACI=∠CIF, ∴.∠EBI=∠EIB,∠FIC=∠FCI, 00-7×282=28 ∴.EB=EI,FC=FI, ∴.阴影部分的周长为EI+EF+FI=EB+EF+ 2.解：如图，过点P作PE⊥AB于点E, FC=BC=9 AD∥BC,CD⊥AD, 满分·冲刺区 ∴.CD⊥BC AP,BP分别平分∠DAB, 压轴满分集训 ∠ABC, 1.解：如图，过点E作ED⊥OA于点D. .PE=PD=PC. 点E在∠BOA的平 B C CD=8,.PE=PD=1CD= 分线上，EC⊥OB, 2×8=4, ∴.ED=EC.EC= E 1 2,∴.ED=2 SM=2AB PE-2x10X4=20. .∠AFE=30°，∴.EF=2ED=4. 技巧提分2角平分线遇上平行线 2.解：如图，过点G作GH⊥AB于点H. 1.解：，EF∥BC, ∴.LEDB=∠DBC,∠FDC=∠DCB. BD,CD分别平分∠ABC,∠ACB, ∴.∠EBD=∠DBC,∠DCB=∠DCF, D ∴.∠EBD=∠EDB,∠DCF=∠FDC, 由题知，AF是∠CAB的角平分线.，∠C= .ED=EB,FD=FC, 90°，∴.AC⊥CG.GH⊥AB,.GC=GH. ∴.△AEF的周长=AE+ED+DF+FA=AE+EB+ 1 AF+FC=AB+AC=13. GC=3..GH=3,SAAG=XABXCH= 63 寸*12x3=18 ,∠EFA=∠AGB, 在△EFA和△AGB中，∠EAF=∠ABG, 3.证明：如图，标注∠1，∠2，∠3，过点C作CM∥ AE=BA, EF,交AD的延长线于点M,则∠3=∠M. ∴.△EFA≌△AGB(AAS),∴.AF=BG=3,EF= 在△EDF和△CDM中， AG=6. r∠3=∠M, 同理，可得△BGC≌△CHD,则GC=HD= ∠EDF=∠CDM, ED=CD, 3 4,BG=CH=3, ∴.△EDF≌△CDMB .FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16, D (AAS), S阴影都分=2×(6+4)×16-3×4-6×3=50. ∴.EF=CM. M 3.解：·AD⊥CE,BE⊥CE,∴.ADC= CM∥EF,EF∥AB,∴.CM∥AB,∴.∠1=∠M. ∠BEC=90. ,AD平分∠BAC,∴.∠1=∠2，.∠M= ∠2，∴.CA=CM,∴.EF=AC. ·∠BCE+∠DCA=90°，∠BCE+CBE= 4.解：如图，过点E作EF⊥A0于点F 90°，∴.∠DCA=∠CBE. :OE平分LA0OB, ∠ACD=∠CBE, F EC⊥OB,EF⊥OA, 在△ACD和△CBE中 ∠ADC=∠CEB, D 、E EC=2, AC=CB, 0 ∴.EF=EC=2. .△ACD≌△CBE(AAS), .0E平分∠A0B,∠A0E=15°， ∴.CE=AD=3,CD=BE=1,∴.DE=CE-CD= .∠C0E=∠AOE=15. 3-1=2 DE∥OB,∴.∠DE0=∠C0E=15°， 4.解：，AB⊥BC,DH⊥BH,∴.∠B=∠H=90°. ∴.DE0=∠D0E=15°， .AC⊥CD,∴.∠ACD=90°， ∴.∠FDE=∠DE0+∠D0E=30°，DE=OD. ∴.∠ACB+∠DCH=90° 又EF⊥A0,.OD=DE=2EF=4 .∠ACB+∠BAC=90°，∴.∠DCH=∠BAC 第十四章全等三角形 又AC=CD,∴.△ABC≌△CHD(AAS), 技巧·提升区 ∴.CH=AB=3, 技巧提分1一线三等角模型 ∴.BH=BC+CH=1+3=4. 1.D,∠ACE=∠B+∠BAC=∠ACF+ 5.解：如图，过点E作EN⊥BM, 0 ∠ECF,∠B=∠E=∠ACF=60°， 垂足为N. .∠ECF=∠BAC.AB=CE,∴.△ABC≌ .∠AOB=∠ABE=∠BNE=9O°， △CEF(ASA),∴.BC=EF: ∴.∠ABO+∠BAO=∠AB0+ 2.A·AE⊥AB且AE=AB,EF⊥FH,BG⊥ ∠NBE=90° FH,∴.∠EAB=∠EFA=∠BGA=90°. ∴.∠BAO=∠NBE. .·∠EAF+∠BAG=90°，∠ABG+∠BAG= ,·△ABE,△BFO均为等腰三角形， 90°，∴.∠EAF=∠ABG ∴.AB=BE,BF=BO. 64