2.4 自由落体运动 题型分类训练-2025-2026学年高一上学期物理人教版（2019）必修第一册

自由落体与竖直上抛运动题型分类训练 【重要考点归纳】 考点一 自由落体运动的理解与规律 【例1】下列关于自由落体运动，下列说法正确的是( ) A.不同的物体做自由落体运动，它们的运动规律是不同的 B.自由落体运动的加速度与物体的质量大小有关 C.羽毛在空气中从静止开始下落的运动一定是自由落体运动 D.伽利略在研究自由落体运动的规律时采用了实验与逻辑推理相结合的方法 【答案】D 【详解】不同的物体做自由落体运动，它们的运动规律是相同的，A错误；自由落体运动的加速度为重力加速度，与物体的质量大小无关，B错误；羽毛在空气中从静止开始下落，羽毛除了受到重力外，还受到空气阻力，羽毛的运动不是自由落体运动，C错误；伽利略在研究自由落体运动的规律时采用了实验与逻辑推理相结合的方法，D正确． 【变式1-1】（多选）伽利略对自由落体运动的研究，是科学实验和逻辑推理的完美结合，如图所示，可大致表示其实验和思维的过程，对这一过程的分析，下列说法正确的是( ) A.甲图的目的是“冲淡”重力影响，便于测量小球运动所用时间 B.伽利略直接测量的是小球自由落体的位移，验证位移与时间的平方的关系 C.伽利略从实验得到结论：速度与位移成正比 D.丁图是实验现象，甲图是经过合理的逻辑推理得到的结论 【答案】AB 【详解】做自由落体运动的物体下落得很快，测量其运动时间比较困难，因此伽利略从放慢运动速度入手，研究斜面上的小球运动，小球在斜面上运动，加速度减小，运动时间增长，因此甲图的目的是“冲淡”重力影响，便于测量小球运动所用时间，A正确；伽利略时代物体的瞬时速度很难测量，所以验证位移与时间的平方的关系，从实验得到位移与时间的平方成正比的结论，B正确，C错误；甲、乙、丙图是实验现象，丁图是经过合理的逻辑推理得到的结论，D错误. 【变式1-2】（多选）伽利略为了研究自由落体运动的规律，利用斜面做了上百次实验。如图所示，让小球从光滑斜面上的不同位置自由滚下，测出小球从不同起点滚动到斜面底端的位移以及所用的时间，若比值为定值，小球的运动即为匀变速运动。则下列叙述符合实验事实的是（　　）   A．采用斜面做实验，是为了便于测量小球运动的时间 B．小球从倾角一定的斜面上的不同位置处滚下，比值不同 C．改变斜面倾角，发现从不同倾角的斜面上的不同位置滚下，比值保持不变 D．将小球在斜面上运动的实验结论合理外推至当斜面倾角为时，若比值保持不变，则可认为自由落体运动为匀变速运动 【答案】AD【详解】A．小球在斜面上运动时的加速度相对较小，运动时间较长，更容易测量，故A正确；B．由，可得故小球从倾角一定的斜面上的不同位置滚下，比值是相同的，故B错误；CD．同理可知，改变斜面倾角，比值将发生变化，将小球在斜面上运动的实验结论合理外推至当斜面倾角为90°时，若该比值保持不变，则可认为自由落体运动为匀变速运动，故C错误，D项正确。故选AD。 【例2】（多选）一个物体做自由落体运动，重力加速度g取，该物体（　　） A．第末的速度大小为 B．前内的平均速度大小为 C．在第内下落的距离为 D．在前内下落的距离为 【答案】BC【详解】A．第末的速度大小为故A错误；B．前内的平均速度大小为故B正确；C．在第内下落的距离为故C正确；D．在前内下落的距离为故D错误。故选BC。 【变式2-1】（多选）（2023牡丹江期中）如图是用频闪周期为t的相机拍摄的一张真空中羽毛与苹果自由下落的局部频闪照片.关于提供的信息及相关数据处理，下列说法中正确的是( ) A.一定满足关系 x1:x2:x3=1:3:5 B.一段时间后苹果会在羽毛下方 C.苹果下落的加速度大小为 D.羽毛下落到 C 点时的速度大小为 【答案】D 【详解】题图是局部频闪照片，经过 A 点的速度不一定等于零，则不一定满足关系 x1:x2:x3=1:3:5 ，A错误；真空中苹果和羽毛下落快慢相同，B错误；苹果的加速度为 ，C正确；羽毛下落到 C 点时的速度大小为 ，D正确.故选CD 【变式2-2】一根长为2 m的木棒，上端悬挂在天花板上的O点，如图所示，木棒的正下方距棒的下端2 m处固定着一个高为1 m的中空圆筒，木棒被释放后自由落下，取重力加速度大小g＝10 m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是（　 　） A. 木棒的下端到圆筒上端时的速度大小为2 m/s B. 木棒的下端到圆筒上端时的速度大小为2m/s C. 木棒通过圆筒所用的时间为（1－）s D. 木棒通过圆筒所用的时间为（1－）s 【答案】BC 【详解】设木棒下落L时的速度为v，由位移—速度关系式解得m/s，选项A错误，B正确；木棒刚进入圆筒时的位移大小为L，由位移—时间关系得，解得s，刚通过圆筒的总位移大小h＝2L＋H＝，解得t2＝1s，所以木棒通过圆筒所用的时间t＝t2－t1＝（ 1－）s，选项C正确，D错误.故选BC. 考点二 自由落体中的比例关系 【例3】（多选）某物体由静止开始自由下落，运动中只受重力作用。以运动开始时刻为计时起点，物体经过5s后落地，下列说法正确的是（    ） A．计时开始后1s内、2s内、3s内的位移之比为1∶4∶9 B．计时开始后1s末、2s末、3s末的速度之比为1∶3∶5 C．计时开始后第1s内、第2s内、第3s内的平均速度之比为1∶2∶3 D．落地前，相等时间内物体的速度变化量相同 【答案】AD【详解】A．根据可知，计时开始后1s内、2s内、3s内的位移之比为1∶4∶9，选项A正确；B．根据v=gt可知，计时开始后1s末、2s末、3s末的速度之比为1∶2∶3，选项B错误；C．计时开始后第1s内、第2s内、第3s内的位移之比为1:3:5，根据可知，平均速度之比为1∶3∶5，选项C错误；D．根据∆v=g∆t可知，落地前相等时间内物体的速度变化量相同，选项D正确。故选AD。 【变式3-1】如图所示，在一个桌面上方有三个金属小球a、b、c，离桌面高度分别为。若先后顺次释放a、b、c，三球刚好同时落到桌面上，不计空气阻力，则（　　）     A．三者到达桌面时的速度大小之比是 B．三者运动时间之比为 C．b与a开始下落的时间差大于c与b开始下落的时间差 D．三个小球运动的加速度与小球受到的重力成正比，与质量成反比 【答案】A【详解】A．根据可得则三者到达桌面时的速度大小之比为故A正确；B．根据可得则三者运动时间之比为故B错误；C．设c下落的时间为，则b与a开始下落的时间差为c与b开始下落的时间差为可得故C错误；D．三个小球运动的加速度均为重力加速度，与小球受到的重力和质量均无关，故D错误。故选A。 【变式3-2】如图是一张在真空实验室里拍摄的羽毛与苹果同时下落的局部频闪照片，已知频闪照相机的频闪周期为T。下列说法中正确的是（   ）   A．x1、x2、x3一定满足x1：x2：x3= 1：3：5 B．苹果在点C的速度大小为2gT C．x1、x2、x3一定满足2x2= x1＋x3 D．羽毛下落的加速度大小为 【答案】C【详解】A．只有初速度为零的匀变速直线运动，从开始计时，连续相等时间内位移之比为x1：x2：x3 = 1：3：5，A点不一定是起点，故A错误；B．如果A点是起点，苹果在C点的速度大小为2gT，但题目无此条件，故B错误；C．由于羽毛与苹果做自由落体运动则有x2－x1 = gT2，x3－x2 = gT2联立有2x2 = x1＋x3故C正确；D．羽毛下落的加速度大小为故D错误。故选C。 【变式3-3】如图所示，一栋三层楼房，每层楼高均为3m，且每层楼墙壁正中间有一个高为1m的窗户。现将一石块从楼顶边缘自由释放，不计空气阻力，以下说法正确的是（　　） A．石块依次到达三个窗户上边缘的速度大小之比为1∶2∶ B．石块依次通过三个窗户的平均速度之比为（＋1）∶（＋2）∶（2＋） C．石块依次到达三个窗户下边缘的时间之比为2∶5∶8 D．石块依次通过三个窗户的时间之比为（－1）∶（－2）∶（2－）） 【答案】ABD【详解】A．根据题意可知，石块经过第一、第二、第三个窗户上边缘时的位移分别为1m、4m、7m，根据，可得由此可得石块依次到达三个窗户上边缘的速度大小之比为故A正确；C．根据题意，可知石块到达三个窗户下边缘的位移分别那为2m、5m、8m，则根据可得石块依次到达三个窗户下边缘的时间之比为故C错误；BD．根据题意，可得石块依次经过三个窗户上边缘的时间之比为结合以上分析可知，石块依次通过三个窗户的时间之比为根据可得石块依次通过三个窗户的平均速度之比为故BD正确。故选ABD。 考点三 非质点自由落体运动 24．如图所示，一个小孩在公园里玩“眼疾手快”游戏。游戏者需接住从支架顶部随机落下的圆棒。已知支架顶部距地面，圆棒长，小孩站在支架旁边，手能触及所有圆棒的下落轨迹的某一段范围，上边界A距离地面，下边界B距离地面。不计空气阻力，重力加速度。求： （1）圆棒下落到A点所用的时间； （2）圆棒通过AB所用的时间。    【答案】（1）；（2）【详解】（1）圆棒底部距离A点高度圆棒做自由落体运动下落到A点有代入数据解得（2）圆棒通过AB的过程即圆棒底部到达A点和圆棒顶端离开B点这一过程，可知圆棒底部到达A点的速度为圆棒通过AB下落的高度为圆棒通过AB过程由代入数据解得 25．如图所示，一根长为L=5m的竖直杆，下端距离地面h=50m。空中有一竖直隧道，高度H=5m。现让这根杆自由下落，已知它的下端刚进入竖直隧道时的速度v1=10m/s、不计空气阻力，g=10m/s2。求： （1）在图中画出竖直杆在自由下落过程中的三个特殊位置（并在杆旁分别标出“①、②、③”）； ①竖直杆下端恰好到达隧道上端， ②竖直杆上端刚出隧道的下端， ③竖直杆下端落到地面的瞬时； （2）竖直杆通过隧道的时间； （3）从“初速度、末速度、加速度、时间、位移”中，至少选择3个量；准确描述“竖直杆完全通过隧道之后，直至其下端落地瞬间的运动过程”。 【答案】(1)见详解；（2）；(3)见详解【详解】(1)如图所示，竖直杆在自由下落过程中的三个特殊位置(2)设竖直杆通过隧道的时间为t解得(3)竖直杆落地时的速度解得竖直杆完全通过隧道时的速度为解得因此竖直杆完全通过隧道之后，做初速度为，加速度为的匀加速直线运动，落地时的末速度为。 26．如图所示，用绳拴住木棒AB的A端，使木棒在竖直方向上静止不动，在悬点A端正下方有一点C距A端0.8m．若把绳轻轻剪断，测得A、B两端通过C点的时间差是0.2s，重力加速度g=10m/s2，不计空气阻力．求： （1）木棒AB的长度？ （2）D为AB棒上的一点，若AD、DB两段通过C点的时间相同，求AD=？ 【答案】（1）0.6m；（2）0.35m。【详解】（1）设木棒的长度为，绳子剪断后木棒自由下落，故可将A、B两端分别看做自由下落的质点，它们下落到C点所用时间分别为，依题意有：ms解得：m，s，s（2）由于AD、DB两段通过C点的时间相同，则根据可得：s而且：m联立解得：m【点睛】本题关键是明确杆的运动规律，然后选择恰当的过程运用位移时间关系公式列式求解． 27．如图所示，直棒AB长11.25m，上端为A、下端为B，在B的正下方5m处有一长度为15m，内径比直棒大得多的固定空心竖直管，手持直棒由静止释放，让棒做自由落体运动，不计空气阻力，重力加速度g=10m/s2，求： （1）直棒下端B刚好开始进入空心管时的瞬时速度vB； （2）直棒下端B通过空心管所用的时间； （3）直棒在空心管中运动的时间。 【答案】（1）10m/s；（2）1s；（3）1.5s【详解】（1）设直棒下端B刚好开始进入空心管时下落的高度为，则有解得（2）设直棒下端B通过空心管所用的时间为，空心管长度为，则有解得（3）设直棒在空心管中运动的时间为，直棒长度为，则有解得 考点四 竖直上抛运动 【例5】 (多选)在某一高度以v0＝20 m/s的初速度竖直上抛一个小球(不计空气阻力)，当小球速度大小为10 m/s时，以下判断正确的是(g取10 m/s2)(　　) A.小球在这段时间内的位移大小一定是15 m，方向竖直向上 B.小球在这段时间内的平均速度可能是5 m/s C.小球在这段时间内的速度变化大小可能是10 m/s，方向竖直向上 D.小球上升的最大高度一定为15 m 【答案】AB 【详解】小球的位移大小一定是s＝＝ m＝15 m，方向竖直向上，故A正确；当小球速度大小为10 m/s，方向竖直向上时，小球在这段时间的平均速度为＝＝15 m/s；当小球速度大小为10 m/s，方向竖直向下时，小球在这段时间的平均速度为＝＝5 m/s，故B正确；当小球速度大小为10 m/s，方向竖直向上时，在这段时间的速度变化为Δv＝vt－v0＝(10－20) m/s＝－10 m/s，方向竖直向下；当小球速度大小为10 m/s，方向竖直向下时，在这段时间的速度变化为Δv＝vt－v0＝(－10－20) m/s＝－30 m/s，方向竖直向下，故C错误；小球上升的最大高度为h＝＝ m＝20 m，故D错误 【变式5-1】（多选）在某高塔顶层的墙外侧，以20 m/s的速度竖直上抛一个小石子(小石子可看成质点)，忽略空气阻力，当小石子运动到离抛出点15 m时，运动时间可能是(g取10 m/s2)(　　) A.2s B.3 s C.4 s D.(2＋) s 【答案】BD 【详解】小石子离抛出点最远的距离为sm＝＝20 m，当小石子运动到离抛出点上方15 m时，有s＝v0t－gt2，解得t1＝1 s，t2＝3 s，当小石子运动到离抛出点下方15 m时，有－s＝v0t－gt2，解得t3＝(2＋) s，t4＝(2－) s(舍去)，故、B、D正确。 【变式5-2】(多选)某物体以30 m/s的初速度竖直上抛，不计空气阻力，g取10 m/s2，5 s 内物体(　　) A．路程为65 m B．位移大小为25 m，方向向上 C．速度改变量的大小为10 m/s D．平均速度大小为13 m/s，方向向上 【答案】B 【详解】由竖直上抛运动的规律可知：物体经3 s到达最大高度h1＝45 m处．将物体运动的全程视为匀减速直线运动，则有v0＝30 m/s，a＝－g＝－10 m/s2，故5 s内物体的位移h＝v0t＋at2＝25 m>0，说明物体5 s末在抛出点上方25 m 处，故路程为65 m，位移大小为25 m，方向竖直向上，A、B正确；速度的变化量Δv＝aΔt＝－50 m/s，C错误；5 s末物体的速度v＝v0＋at＝－20 m/s，所以平均速度＝＝5 m/s>0，方向竖直向上，D错误． 【变式5-3】(多选)自高为H的塔顶自由落下A物体的同时B物体自塔底以初速度v0竖直上抛，且A、B两物体在同一直线上运动，重力加速度为g，下面说法正确的是(　　) A．若v0＞，两物体相遇时，B正在下降途中 B．若v0＝，两物体在地面相遇 C．若 ＜v0＜，两物体相遇时B物体正在空中下落 D．若v0＝ ，则两物体在地面相遇 【答案】CD 【详解】假设B物体在上升到最高点时与A相遇，则t＝，H＝gt2＋，v0＝，则当v0＞时，两物体在B上升中相遇，选项A错误；当v0＝时，两物体在B上升到最高点时相遇，选项B错误；如果两物体在B下落到地面时相遇，则t＝，H＝gt2，v0＝ ，则当 ＜v0＜时，两物体相遇时，B物体正在空中下落，选项C、D正确． 考点五 自由落体与竖直上抛运动综合训练 1．某校课外活动小组，自制一枚土火箭，设火箭发射后，始终在垂直于地面的方向上运动。火箭点火后可认为做初速度为零的匀加速直线运动，经过4s到达离地面40m高处燃料恰好用完。（空气阻力忽略不计，g取10）求： （1）燃料恰好用完时火箭的速度的大小； （2）火箭上升离地面的最大高度； （3）火箭从发射到残骸落回地面的总时间。（结果可用根式表示） 【答案】(1)20m/s； (2) 60m；(3) 【详解】(1)火箭的加速过程，根据匀变速直线运动公式得代入数据解得火箭燃料用完的末速度为v1=at解得v1=5×4m/s=20m/s(2)火箭燃料用完后，做竖直上抛运动，最高时候，速度为0，有代入数据解得则火箭升离地面的最大高度H=x+x′=60m(3)火箭燃料用完后，做竖直上抛运动，最高时候，速度为0，有0=v1-gt2解得火箭上升到最高点后，又自由落下解得火箭从发射到落地的时间为 2．气球以1.25 m/s2的加速度从地面开始竖直上升，离地30 s后，从气球上掉下一物体，不计空气阻力，g取10 m/s2，则物体到达地面所需时间为(　　) A．7 s B．8 s C．12 s D．15 s 【答案】D【详解】物体刚从气球上掉下时气球的高度为，此时气球的速度为 v=at=1.25×30m/s=37.5m/s,物体从气球上掉下后做竖直上抛运动，取竖直向上为正方向，将竖直上抛运动看成一种匀减速直线运动，则有：.代入得：-562.5=37.5t-5t2，解得t1=15s，t2=-7.5s（舍去）.故选D.【点睛】解决本题的关键理清气球和物体的运动情况，将竖直上抛运动看成一种匀减速运动，根据运动学公式进行求解．要注意位移的方向． 3．一个从地面竖直上抛的物体，它两次经过一个较低的点A的时间间隔是TA，两次经过一个较高的点B的时间间隔是TB，则A、B之间的距离为(　　) A． B． C． D． 【答案】C【详解】从最高点到A所用时间间隔为从最高点到B所用时间间隔为则A、B之间的距离为故选C。 4．一烟花弹获得初速度v0后，从地面竖直升空，当烟花弹上升的速度为零时，弹中火药爆炸将烟花弹炸为两部分，两部分获得的速度大小均为，且一部分竖直向上运动，另一部分竖直向下运动。爆炸时间极短，重力加速度为g，不计空气阻力，求： （1）烟花弹爆炸时距地面的高度； （2）爆炸后烟花弹向上、向下运动的两部分落地的时间差。 【答案】（1）；（2）【详解】（1）烟花弹上升时，有所以烟花弹爆炸时距地面的高度为（2）根据竖直上抛与自由落体运动的对称性可知，烟花弹两部分落地时间差是由爆炸后上升的那部分从爆炸至回到爆炸处而产生的，此部分继续上升时有即故落地时间差 5．气球下挂一重物，以v0=10m/s匀速上升，当到达离地高h=175m处时，悬挂重物的绳子突然断裂，气球保持上升的速度保持不变（空气阻力不计，取g=10m/s2）求： (1)重物经多少时间落到地面？ (2)落地的速度多大？ (3)重物落地时气球与重物间的距离是多少？ 【答案】(1)7s；(2)60m/s；(3)245m【详解】(1)规定竖直向下为正方向，根据运动学公式则有代入数据得解得（舍去）(2)根据速度时间公式得落地的速度(3)悬挂重物的绳子断裂后，气球做匀速则有重物落地时气球与重物间的距离是 6．某人站在高楼的平台边缘，以20m/s的初速度竖直向上抛出一石子。不考虑空气阻力，取。求： （1）石子上升的最大高度；回到抛出点所用的时间。 （2）石子抛出后到达距抛出点下方20m处所需的时间。 【答案】（1）20m，4s；（2）【详解】（1）某人站在高楼的平台边缘，以20m/s的初速度竖直向上抛出一石子，做竖直上抛运动，根据速度时间关系公式，有则回到抛出点所用的时间上升的高度为解得，（2）石子抛出后，到达距抛出点下方20m处，规定向下为正方向，则，，设所需的时间为，则有解得 7．在竖直的井底，将一物块以11m/s的速度竖直地向上抛出，物块在井口时被人接住，在被人接住前1s内物块的位移是4m，位移方向向上，不计空气阻力，g取，求： （1）物块被接住前1s时刻的速度； （2）物块从抛出到被人接住所经历的时间； （3）竖井的深度h。 【答案】（1）9m/s；（2）1.2s；（3）6m【详解】（1）设竖直向上为正方向，物块在被人接住前1s内的平均速度为竖直上抛运动是匀变速直线运动，某段时间的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，即物块在被人接住前0.5s的瞬时速度为根据匀变速直线运动速度与时间的关系可得物块被接住前1s时刻的速度为（2）根据匀变速直线运动速度与时间的关系可得物块从被抛出到被接住前1s过程中所经历的时间为则物块从抛出到被人接住所经历的时间为（3）由于物块在井口被人接住，则根据匀变速直线运动位移与时间的关系可得竖井的深度为 8．（多选）如图所示，乙球静止于地面上，甲球位于乙球正上方h处，现从地面上竖直上抛乙球，初速度，同时让甲球自由下落，不计空气阻力。（取，甲乙两球可看作质点）下列说法正确的是（　　） A．无论h为何值，甲乙两球一定能在空中相遇 B．当时，乙球恰好在最高点与甲球相遇 C．当时，乙球能在下降过程中与甲球相遇 D．当时，乙球能在上升过程中与甲球相遇 【答案】BCD【详解】A．设两球在空中相遇，所需时间为t，根据运动学公式可得可得而乙球的落地时间两球在空中相遇的条件是整理得A错误；B．若两球恰好在最高点相遇，满足的条件是代入数据整理得B正确；C．由于可得乙球能在下降过程中与甲球相遇，C正确；D．当时，乙球还没有上升到最高点就与甲球相遇，D正确。故选BCD。 9．（多选）将小球A从一座高度为H的高塔塔顶静止释放的同时，另一个小球B自塔底以初速度竖直上抛，A，B两小球在同一直线上运动，均不考虑空气阻力。下面判断正确的是（　　） A．若，则A、B两小球一定能在空中相遇 B．若，则B球一定能在上升途中与A球相遇 C．若，则A、B两小球可能在空中相遇 D．若，则B球一定能在下落过程中与A球相遇 【答案】BD【详解】若B球正好运动到最高点时相遇，则B速度减为零所用的时间A自由下落的位移为B竖直上抛的位移为又联立得将t代入解得当AB两球恰好在落地时相遇，则有A自由下落的位移为代入时间得由以上分析可知当时，A、B两小球不能在空中相遇，当时，A、B两小球能在空中相遇，所以若，A、B两小球不一定能在空中相遇；若，则B球一定能在上升途中与A球相遇；当时，A、B两小球不能在空中相遇；若，则B球一定能在下落过程中与A球相遇，故AC错误，BD正确。故选BD。 10．如图所示，离地面足够高处有一用绳悬挂的竖直空管，管长L=30m.在顶端M处一个大小不计的小球沿管的轴线以初速度v0=20m/s竖直上抛，经过t=3s后剪断绳子，空管开始下落，不计一切阻力，取g=10m/s2。求： （1）小球上升至最大高度时，空管底端与小球的距离是多少? （2）从小球开始运动时计时，经过多长时间小球从管的底端穿出? 【答案】（1）50m；（2）7.5s【详解】（1）根据则d=h+ L=50m（2）取向下为正方向，设球运动时间为t，则当h1-h2=L时；有t=7.5s 11．如图所示，AB为空心圆管，长度为＝10m，C为可视为质点的小球，AB与C在同竖直线上，AC之间距离为＝20m。＝0时刻，由静止释放AB，同时C从地面以初速度竖直向上抛出。忽略空气阻力，AB若落地则立即静止，取＝。 （1）要使C在AB落地前从B端穿出，至少多大？ （2）若＝20m/s，求C从A端进入管中至由B端穿出所经过的时间？ （3）若＝20m/s，求C在圆管外部运动的时间。（答案可保留根号） 【答案】（1）15m/s；（2）0.5s；（3）s【详解】（1）要使C在AB落地前穿过AB的条件是，圆管落地的瞬间小球与B点相遇，圆管的落地时间为此时C恰好与B相遇v0t-gt2=L解得v0=15m/s（2）由上可知，小质点一定在空中穿过圆管，设C遇到A点的时间为t1 设C遇到B点的时间为t2C从A端穿过AB所用的时间为Δt=t2-t1解得Δt=0.5s（3）若＝20m/s，则球从抛出到落地的总时间为小球第二次穿过管时，管已经落地，则设穿过管时用时间为t3，则结合逆向思维，该时间等于球从开始抛出向上运动L=10m的时间，则 即解得（另一值舍掉）则C在圆管外部运动的时间 12．从12m高的平台边缘有一个小球A自由落下，此时恰有一小球B在A球正下方从地面上以20m/s的初速度竖直上抛（取g=10m/s2），求： (1)经过多长时间两球在空中相遇； (2)相遇时两球的速度； (3)若要使两球能在空中相遇，B球上抛的初速度最小必须为多少？ 【答案】(1)0.6s；(2) vA=6m/s；vB=14m/s；(3)7.7m/s【详解】（1）设经过时间t，AB在空中相碰，A球做自由落体运动的位移为h1=gt2B球做竖直上抛运动的位移为h2=v0t-gt2由几何关系有H=h1+h2联立以上各式解得（2）相遇时（3）若要两球在空中相遇，则相遇的时间要小于B球上抛的总时间，即满足＜解得v0＞ 学科网（北京）股份有限公司 $ 自由落体与竖直上抛运动题型分类训练 【重要考点归纳】 考点一 自由落体运动的理解与规律 【例1】下列关于自由落体运动，下列说法正确的是( ) A.不同的物体做自由落体运动，它们的运动规律是不同的 B.自由落体运动的加速度与物体的质量大小有关 C.羽毛在空气中从静止开始下落的运动一定是自由落体运动 D.伽利略在研究自由落体运动的规律时采用了实验与逻辑推理相结合的方法 【变式1-1】（多选）伽利略对自由落体运动的研究，是科学实验和逻辑推理的完美结合，如图所示，可大致表示其实验和思维的过程，对这一过程的分析，下列说法正确的是( ) A.甲图的目的是“冲淡”重力影响，便于测量小球运动所用时间 B.伽利略直接测量的是小球自由落体的位移，验证位移与时间的平方的关系 C.伽利略从实验得到结论：速度与位移成正比 D.丁图是实验现象，甲图是经过合理的逻辑推理得到的结论 【变式1-2】（多选）伽利略为了研究自由落体运动的规律，利用斜面做了上百次实验。如图所示，让小球从光滑斜面上的不同位置自由滚下，测出小球从不同起点滚动到斜面底端的位移以及所用的时间，若比值为定值，小球的运动即为匀变速运动。则下列叙述符合实验事实的是（　　）   A．采用斜面做实验，是为了便于测量小球运动的时间 B．小球从倾角一定的斜面上的不同位置处滚下，比值不同 C．改变斜面倾角，发现从不同倾角的斜面上的不同位置滚下，比值保持不变 D．将小球在斜面上运动的实验结论合理外推至当斜面倾角为时，若比值保持不变，则可认为自由落体运动为匀变速运动 【例2】（多选）一个物体做自由落体运动，重力加速度g取，该物体（　　） A．第末的速度大小为 B．前内的平均速度大小为 C．在第内下落的距离为 D．在前内下落的距离为 【变式2-1】（多选）（2023牡丹江期中）如图是用频闪周期为t的相机拍摄的一张真空中羽毛与苹果自由下落的局部频闪照片.关于提供的信息及相关数据处理，下列说法中正确的是( ) A.一定满足关系 x1:x2:x3=1:3:5 B.一段时间后苹果会在羽毛下方 C.苹果下落的加速度大小为 D.羽毛下落到 C 点时的速度大小为 【变式2-2】一根长为2 m的木棒，上端悬挂在天花板上的O点，如图所示，木棒的正下方距棒的下端2 m处固定着一个高为1 m的中空圆筒，木棒被释放后自由落下，取重力加速度大小g＝10 m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是（　 　） A. 木棒的下端到圆筒上端时的速度大小为2 m/s B. 木棒的下端到圆筒上端时的速度大小为2m/s C. 木棒通过圆筒所用的时间为（1－）s D. 木棒通过圆筒所用的时间为（1－）s 考点二 自由落体中的比例关系 【例3】（多选）某物体由静止开始自由下落，运动中只受重力作用。以运动开始时刻为计时起点，物体经过5s后落地，下列说法正确的是（    ） A．计时开始后1s内、2s内、3s内的位移之比为1∶4∶9 B．计时开始后1s末、2s末、3s末的速度之比为1∶3∶5 C．计时开始后第1s内、第2s内、第3s内的平均速度之比为1∶2∶3 D．落地前，相等时间内物体的速度变化量相同 【变式3-1】如图所示，在一个桌面上方有三个金属小球a、b、c，离桌面高度分别为。若先后顺次释放a、b、c，三球刚好同时落到桌面上，不计空气阻力，则（　　）     A．三者到达桌面时的速度大小之比是 B．三者运动时间之比为 C．b与a开始下落的时间差大于c与b开始下落的时间差 D．三个小球运动的加速度与小球受到的重力成正比，与质量成反比 【变式3-2】如图是一张在真空实验室里拍摄的羽毛与苹果同时下落的局部频闪照片，已知频闪照相机的频闪周期为T。下列说法中正确的是（   ）   A．x1、x2、x3一定满足x1：x2：x3= 1：3：5 B．苹果在点C的速度大小为2gT C．x1、x2、x3一定满足2x2= x1＋x3 D．羽毛下落的加速度大小为 【变式3-3】如图所示，一栋三层楼房，每层楼高均为3m，且每层楼墙壁正中间有一个高为1m的窗户。现将一石块从楼顶边缘自由释放，不计空气阻力，以下说法正确的是（　　） A．石块依次到达三个窗户上边缘的速度大小之比为1∶2∶ B．石块依次通过三个窗户的平均速度之比为（＋1）∶（＋2）∶（2＋） C．石块依次到达三个窗户下边缘的时间之比为2∶5∶8 D．石块依次通过三个窗户的时间之比为（－1）∶（－2）∶（2－）） 考点三 非质点自由落体运动 24．如图所示，一个小孩在公园里玩“眼疾手快”游戏。游戏者需接住从支架顶部随机落下的圆棒。已知支架顶部距地面，圆棒长，小孩站在支架旁边，手能触及所有圆棒的下落轨迹的某一段范围，上边界A距离地面，下边界B距离地面。不计空气阻力，重力加速度。求： （1）圆棒下落到A点所用的时间； （2）圆棒通过AB所用的时间。    25．如图所示，一根长为L=5m的竖直杆，下端距离地面h=50m。空中有一竖直隧道，高度H=5m。现让这根杆自由下落，已知它的下端刚进入竖直隧道时的速度v1=10m/s、不计空气阻力，g=10m/s2。求： （1）在图中画出竖直杆在自由下落过程中的三个特殊位置（并在杆旁分别标出“①、②、③”）； ①竖直杆下端恰好到达隧道上端， ②竖直杆上端刚出隧道的下端， ③竖直杆下端落到地面的瞬时； （2）竖直杆通过隧道的时间； （3）从“初速度、末速度、加速度、时间、位移”中，至少选择3个量；准确描述“竖直杆完全通过隧道之后，直至其下端落地瞬间的运动过程”。 26．如图所示，用绳拴住木棒AB的A端，使木棒在竖直方向上静止不动，在悬点A端正下方有一点C距A端0.8m．若把绳轻轻剪断，测得A、B两端通过C点的时间差是0.2s，重力加速度g=10m/s2，不计空气阻力．求： （1）木棒AB的长度？ （2）D为AB棒上的一点，若AD、DB两段通过C点的时间相同，求AD=？ 27．如图所示，直棒AB长11.25m，上端为A、下端为B，在B的正下方5m处有一长度为15m，内径比直棒大得多的固定空心竖直管，手持直棒由静止释放，让棒做自由落体运动，不计空气阻力，重力加速度g=10m/s2，求： （1）直棒下端B刚好开始进入空心管时的瞬时速度vB； （2）直棒下端B通过空心管所用的时间； （3）直棒在空心管中运动的时间。 考点四 竖直上抛运动 【例5】 (多选)在某一高度以v0＝20 m/s的初速度竖直上抛一个小球(不计空气阻力)，当小球速度大小为10 m/s时，以下判断正确的是(g取10 m/s2)(　　) A.小球在这段时间内的位移大小一定是15 m，方向竖直向上 B.小球在这段时间内的平均速度可能是5 m/s C.小球在这段时间内的速度变化大小可能是10 m/s，方向竖直向上 D.小球上升的最大高度一定为15 m 【变式5-1】（多选）在某高塔顶层的墙外侧，以20 m/s的速度竖直上抛一个小石子(小石子可看成质点)，忽略空气阻力，当小石子运动到离抛出点15 m时，运动时间可能是(g取10 m/s2)(　　) A.2s B.3 s C.4 s D.(2＋) s 【变式5-2】(多选)某物体以30 m/s的初速度竖直上抛，不计空气阻力，g取10 m/s2，5 s 内物体(　　) A．路程为65 m B．位移大小为25 m，方向向上 C．速度改变量的大小为10 m/s D．平均速度大小为13 m/s，方向向上 【变式5-3】(多选)自高为H的塔顶自由落下A物体的同时B物体自塔底以初速度v0竖直上抛，且A、B两物体在同一直线上运动，重力加速度为g，下面说法正确的是(　　) A．若v0＞，两物体相遇时，B正在下降途中 B．若v0＝，两物体在地面相遇 C．若 ＜v0＜，两物体相遇时B物体正在空中下落 D．若v0＝ ，则两物体在地面相遇 考点五 自由落体与竖直上抛运动综合训练 1．某校课外活动小组，自制一枚土火箭，设火箭发射后，始终在垂直于地面的方向上运动。火箭点火后可认为做初速度为零的匀加速直线运动，经过4s到达离地面40m高处燃料恰好用完。（空气阻力忽略不计，g取10）求： （1）燃料恰好用完时火箭的速度的大小； （2）火箭上升离地面的最大高度； （3）火箭从发射到残骸落回地面的总时间。（结果可用根式表示） 2．气球以1.25 m/s2的加速度从地面开始竖直上升，离地30 s后，从气球上掉下一物体，不计空气阻力，g取10 m/s2，则物体到达地面所需时间为(　　) A．7 s B．8 s C．12 s D．15 s 3．一个从地面竖直上抛的物体，它两次经过一个较低的点A的时间间隔是TA，两次经过一个较高的点B的时间间隔是TB，则A、B之间的距离为(　　) A． B． C． D． 4．一烟花弹获得初速度v0后，从地面竖直升空，当烟花弹上升的速度为零时，弹中火药爆炸将烟花弹炸为两部分，两部分获得的速度大小均为，且一部分竖直向上运动，另一部分竖直向下运动。爆炸时间极短，重力加速度为g，不计空气阻力，求： （1）烟花弹爆炸时距地面的高度； （2）爆炸后烟花弹向上、向下运动的两部分落地的时间差。 5．气球下挂一重物，以v0=10m/s匀速上升，当到达离地高h=175m处时，悬挂重物的绳子突然断裂，气球保持上升的速度保持不变（空气阻力不计，取g=10m/s2）求： (1)重物经多少时间落到地面？ (2)落地的速度多大？ (3)重物落地时气球与重物间的距离是多少？ 6．某人站在高楼的平台边缘，以20m/s的初速度竖直向上抛出一石子。不考虑空气阻力，取。求： （1）石子上升的最大高度；回到抛出点所用的时间。 （2）石子抛出后到达距抛出点下方20m处所需的时间。 7．在竖直的井底，将一物块以11m/s的速度竖直地向上抛出，物块在井口时被人接住，在被人接住前1s内物块的位移是4m，位移方向向上，不计空气阻力，g取，求： （1）物块被接住前1s时刻的速度； （2）物块从抛出到被人接住所经历的时间； （3）竖井的深度h。 8．（多选）如图所示，乙球静止于地面上，甲球位于乙球正上方h处，现从地面上竖直上抛乙球，初速度，同时让甲球自由下落，不计空气阻力。（取，甲乙两球可看作质点）下列说法正确的是（　　） A．无论h为何值，甲乙两球一定能在空中相遇 B．当时，乙球恰好在最高点与甲球相遇 C．当时，乙球能在下降过程中与甲球相遇 D．当时，乙球能在上升过程中与甲球相遇 9．（多选）将小球A从一座高度为H的高塔塔顶静止释放的同时，另一个小球B自塔底以初速度竖直上抛，A，B两小球在同一直线上运动，均不考虑空气阻力。下面判断正确的是（　　） A．若，则A、B两小球一定能在空中相遇 B．若，则B球一定能在上升途中与A球相遇 C．若，则A、B两小球可能在空中相遇 D．若，则B球一定能在下落过程中与A球相遇 10．如图所示，离地面足够高处有一用绳悬挂的竖直空管，管长L=30m.在顶端M处一个大小不计的小球沿管的轴线以初速度v0=20m/s竖直上抛，经过t=3s后剪断绳子，空管开始下落，不计一切阻力，取g=10m/s2。求： （1）小球上升至最大高度时，空管底端与小球的距离是多少? （2）从小球开始运动时计时，经过多长时间小球从管的底端穿出? 11．如图所示，AB为空心圆管，长度为＝10m，C为可视为质点的小球，AB与C在同竖直线上，AC之间距离为＝20m。＝0时刻，由静止释放AB，同时C从地面以初速度竖直向上抛出。忽略空气阻力，AB若落地则立即静止，取＝。 （1）要使C在AB落地前从B端穿出，至少多大？ （2）若＝20m/s，求C从A端进入管中至由B端穿出所经过的时间？ （3）若＝20m/s，求C在圆管外部运动的时间。（答案可保留根号） 12．从12m高的平台边缘有一个小球A自由落下，此时恰有一小球B在A球正下方从地面上以20m/s的初速度竖直上抛（取g=10m/s2），求： (1)经过多长时间两球在空中相遇； (2)相遇时两球的速度； (3)若要使两球能在空中相遇，B球上抛的初速度最小必须为多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $