第3章 概率的进一步认识 综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版）

第三章综合评价 (时间：120分钟满分：120分) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.做“抛掷一个质地均匀标有1,2,3,4四个数字的正四面体试 验”，在大量重复试验中，对于事件“着地面为奇数”的频率和概 率，下列说法正确的是 A.概率等于频率 B频率等于号 C.当试验次数很多时，频率稳定在概率附近 D.试验得到的频率和概率不可能相等 2.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬 币反面向上的概率是 ) A日 R号 c 2 D. 3.如图，A是某公园的进口，B,C,D是三个不 同的出口，小明从A处进入公园，那么在B, C,D三个出口中恰好从B出口出来的概率 为 ( A B月 c日 n 4.从1,2，一3三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率 是 封 A.0 B司 c号 D.1 5.一个不透明的袋中装有黄、白两种颜色的球共40个，这些球除 颜色外都相同，小亮通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频 率稳定在0.3左右，则袋中黄球可能有 ) A.10个 B.12个 C.14个 D.16个 6.随着《国家宝藏》的热播，小颖和小梅计划利用假期时间到河南 博物院担任“贾湖骨笛”“妇好鹗尊”“云纹铜禁”的讲解员.由于 能力水平的限制，她们一人只能讲解其中一个文物，小颖和小 梅制作了三张质地大小完全相同的卡片，背面朝上洗匀后各自 抽取一张（第一人抽取后不放回），则“贾湖骨笛”未被抽到的概 率为 ( A司 B号 c n 7.用如图所示的两个转盘进行“配紫色”（红色与蓝色能配成紫 色)游戏.如果同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的 颜色可配得紫色的概率是 ( ) 华 1 A.2 1 D.6 黄 红 白 01234567次数（百次） (第7题图) (第8题图) 第1页（共6页） 8.数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透 明袋子中有4个黑球、3个白球、2个蓝球和1个红球，这些球 除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出一个球，某一颜色的 球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是 ( A.黑球 B.白球 C.蓝球 D.红球 9.如图①，有6张写有实数的卡片，它们的背面都相同.现将它 们的背面朝上洗匀后如图②摆放，从中任意翻开两张都是无 理数的概率是 ( /12 22 阿 2025 图① 图② A. B吉 c n吉 10.如图，电路图上有4个开关和一个小灯泡，随机闭合4个开关 中的两个，形成通路可使小灯泡发光的概率是 A号 B c 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.某射击运动员在相同的条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 40 100 200 400 1000 射中9环以上次数 15 33 78 158 321 801 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次“射中9环以 上”的概率是 (精确到0.1) 12.同时掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，两个骰子 的点数相同的概率是 13.小明与小乐一起玩“石头、剪刀、布”的游戏，两同学同时出 “布”的概率是 14.若从一1,1,2这三个数中，任取两个数分别作为点M的横、纵 坐标，则点M在第二象限的概率是 15.在学校组织的义务植树活动中，甲、乙两组各四名同学的植树 棵数如下：甲组：9,9,11,10；乙组：9,8,9,10.分别从甲、乙两组 中随机选取一名同学，则这两名同学的植树总棵数为19的概 率是 16.如图，经过某丁字路口的汽车，它可能向左转， 也可能向右转，且这两种可能性的大小相同， 若三辆汽车经过这个丁字路口，则至少有两辆 汽车向左转的概率为 第2页（共6页） 17.某学校为了了解九年级学生“一分钟内跳绳次数”的情况，随 机选取了3名女生和2名男生，则从这5名学生中选取2名 同时跳绳，恰好选中2名男生的概率是 18.已知关于x的一元二次方程x2十bx十c=0,从一1,2,3三个 数中任取一个数，作为方程中b的值，再从剩下的两个数中任 取一个数作为方程中c的值，能使该一元二次方程有实数根 的概率是 三、解答题（共66分） 19.(6分)王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口 袋中并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球，然 后放回并搅匀.下表是活动进行中的一组统计数据， 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 31 60 130 203 251 摸到黑球的频率四 0.23 0.21 0.30 0.26 0.25 (1)补全上表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一 个球是黑球的概率是 ;(结果精确到0.01) (2)估算袋中白球的个数. 20.(6分)从甲、乙、丙3名同学中随机抽取环保志愿者，求下列 事件的概率. (1)抽取1名，恰好是甲； (2)抽取2名，甲在其中， 第3页（共6页） 21.(8分)如图，把一个可自由转动的转盘分成四等份，依次标上 数字1,2,3,4.若连续自由转动转盘两次，指针指向的数字分 别记作a,b,把a,b作为点A的横、纵坐标 (1)求点A(a,b)的个数； (2)求点A(a,b)在函数y=x图象上的概率， 22.(8分)彤彤和朵朵玩纸牌游戏.如图是同一副扑克中的4张 扑克牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，彤彤先从中 抽出一张，朵朵从剩余的3张牌中也抽出一张. 彤彤说：若抽出的两张牌上的数字都是偶数，你获胜；否则，我 获胜 (1)请用画树状图法（或列表法）表示出两人抽牌可能出现的 所有结果； (2)若按彤彤说的规则进行游戏，这个游戏对双方公平吗？请 说明理由. 第4页（共6页） 23.(8分)一个不透明的袋子中装有三个小球，上面分别标有数 字一1,0,1，它们除了数字不同外，其他完全相同. (1)随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正 数的概率为 (2)小明先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直 角坐标系内点M的横坐标，然后放回搅匀，接着小军从袋 子中随机摸出一个小球，记下数字作为点M的纵坐标.请 用画树状图或列表的方法求点M在坐标轴上的概率. 24.(8分)中秋节前，学校举行“传经典·乐中秋”系列活动，共有四 项活动，并分别制作了编号为A,B,C,D的4张卡片（如图，除编 号和内容外完全相同)，并将它们背面朝上洗匀后放在桌面上 A品月饼 B讲故事 C诵诗词 D创美文 (1)小丽随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为A的概率为 (2)小丽从4张卡片中随机抽取1张（不放回），小明再从余下 的3张卡片中随机抽取1张，求小丽、小明两人中恰好有 一人抽到“诵诗词”的概率（请用画，树状图或列表的方法 求解) 第5页（共6页） 25.(10分)一个不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小 球，这些小球分别标有3,4,5，x.甲、乙两人每次同时从袋中 各随机摸出一个小球，并计算摸出的这2个小球上数字之和， 记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复试验，试验数据如下表 摸球总次数 1020306090120180240330450 “和为8”出现的频数210132430375882110150 “和为8”出现的频率0.200.500.430.400.330.310.320.340.330.33 根据以上信息，解答下列问题： (1)如果试验继续进行下去，根据上表数据，“和为8”出现的频率 将稳定在它的概率附近，估计“和为8”出现的概率是 (2)如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是了，那么 x的值可以取7吗？请用列表法或画树状图说明理由. 26.(12分)某校“优秀中华文化传承”合作学习小组准备制作 “A:蛇腾龙跃，福星高照；B:蛇有智慧，吉祥常在；C:蛇盘蛰 伏，吉运将至；D:蛇蜕旧皮，新生吉祥”四种祝福热词书签送 给同学们，为了解同学们对这四种祝福热词书签的喜爱程度， 随机对部分学生进行调查，要求每名学生从中选择自己最喜 欢的一种，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图. 被抽到的学生喜爱的 被抽到的学生喜爱的 祝福热词条形统计图 祝福热词扇形统计图 人数人 80 D 80 60 60 20% 40 40 20 00 A BCD热词选项 根据图中所给信息解答下列问题： (1)这次抽样调查共抽取 人，并补全条形统计图； (2)若该校有3500名学生，估计喜爱“蛇有智慧，吉祥常在” 祝福热词书签的学生共有多少人； (3)学校要从A,B,C,D四种祝福热词书签中，随机抽出两张 送给九(1)班的同学，请用列表或画树状图的方法，求抽出 的两种祝福热词书签恰好是“蛇腾龙跃，福星高照”和“蛇 有智慧，吉祥常在”的概率. 第6页（共6页）x2-10x=-9.配方，得x2-10x+5=-9+5,即(x一5)2=16.两边开平方，得x一5 =士4，即x-5=一4，或x-5=4.∴.x1=1,2=9;(2)将原方程化为一般形式，得x2+ 3.x-10=0.这里a=1,b=3,c=-10.,6-4ac=32-4×1×(-10)=49>0,.x= -⑧=-3±7，即0=-5，=2.20.解：原式=. 2×1 2 x+1 (x-1)2 2-3x+2=0x=1,或x=2.当x=1时，(x-1)2=0,分式22无 x=2,即原式=2.21.解：由题意，得≠0， {4=[-(3m-1)]2-4m(2m-1)=1. 解得m =2.六方程为2x-5x十3=0，解得1=号，=1.2，解：1)关于x的-元二次 方程x2一4x+k=0有两个不相等的实数根，△>0，即（一4）2一4k>0,解得k<4.∴.k 的取值范围为k<4;(2),k是符合条件的最大整数，k<4,∴.k=3,∴.原方程为x2一4x 十3=0，解得=3,2=1.∴.此时方程的根为3或1.23.解：(1)设该快递网点每月 完成快递件数的月平均增长率为x.根据题意，得40000(1+x)2=48400.解得m= 0.1=10%,2=一2.1（不符合题意，舍去）.答：该快递网点每月完成快递件数的月平 均增长率为10%：(2)根据题意，得48400×(1+30%)÷11=5720（件）.答：该网点11 月份平均每名快递员投放5720件快递.24.解：①当x一3≥0，即x≥3时，方程为x 一2(x一3)+7=0，即x2一2x+13=0.,△=（一2）24×13=一48<0，..方程没有实 数根：②当x-3<0,即x<3时，方程为x2+2(x一3)十7=0，即x2+2x+1=0,.(x+ 1)2=0,解得x1=2=一1.综上所述，原方程的根为=x2=一1.25.解：(1)设丝绸 花边的宽度为xcm.根据题意，得2x·40十x·60-2x2=650.整理，得x2一70x+325 =0.解得x1=5,x2=65(不符合题意，舍去).答：丝绸花边的宽度为5cm:(2)设该公司 应该把每件的售价定为y元.根据题意，得(y一40)[200+20(100一y)]一2000= 18000.整理，得y2-150y十5400=0.解得y1=60,y2=90.当y=60时，销售量为200 +20×(100一60)=1000（件）；当y=90时，销售量为200+20×(100-90)=400（件）. .400800,y=90应舍去..y=60.答：该公司应该把每件的售价定为60元. 26.解：(1)设y与x的函数关系式为y=kx十b(k≠0).函数图象经过点(0,200)和 200=b, (10,300),∴. 300=706十b.解得，200y与x的函数关系式为y=10x+20 (2)根据题意，得(100-x-60)(10x十200)=8910.整理，得x2-20x十91=0.解得x1 =7,2=13.优惠力度最大，∴.x=13,此时售价为100-13=87（元）.答：每双运动 鞋的售价应该定为87元：(3)根据题意，得(100一x一60)(10x+200)=9000.整理，得 x2一20x十100=0.解得=2=10.·要保证每双运动鞋的利润不低于成本价的 50%,∴.100-x-60≥60×50%，解得x≤10.∴.x=10,此时售价为100-10=90（元. 答：公司每天能获得9000元的利润，此时每双运动鞋的售价为90元. 第三章综合评价 1.C2.C3B4B5B6D7.D8C9D10.B1.0.812.513.月 14.弓15.号16717.018.令19.解：1)0.25(2)设袋中白球有x个.根 据题意，得十=0.2点，解得1=3经检验，x=3是原方程的解答：估计袋中有3个 白球.20.解：(1)从甲、乙、丙3名同学中随机抽取环保志愿者，抽取1名，恰好是甲的 概率为3；(2)·抽取2名，可得：甲乙、甲丙、乙丙，共3种可能的结果，每种结果出现 的可能性相同.其中，甲在其中的结果有2种：甲乙、甲丙，∴P(抽取2名，甲在其中)= 号。21解，1列表如下 、b (a,b) 1 2 3 4 a (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) ∴.点A(a,b)有16个；(2)由(1)知，总共有16种可能的结果，每种结果出现的可能性相 同.其中，点A(a,b)在函数y=x图象上的结果有4种：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)， 第28页（共48页） ∴PL点Aa,在函数y=x图象上]=音=子2.解：(1)画树状图如下： 开始 总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同： (2)公平.理由如下：：两张牌上的数字都是偶数有6种结果：(6,10)，(6,2)，(10,6)， （10,2,2.6),(2,10∴P(朵朵获胜)=是-分P(形形获胜)=1-合=分P(朵 朵获胜)=P(彤彤获胜)，∴这个游戏对双方公平. 23.解：1号 (2)列表如下： 纵坐标 1 0 横坐标 -1 (-1,-1) (-1,0) (-1,1) 0 (0,-1) (0,0) (0,1) 1 (1,-1) (1,0) (1,1) 总共有9种可能的结果，每种结果出现的可能性相同.其中，点M在坐标轴上的结果有 5种：(-1,0.0，-1.0.0,0,1D.1.0)P(点M在坐标轴上)=号.24解： (1)4 (2)列表如下： 小明 A 小丽 A (A,B) (A,C) (A,D) B (B,A) (B,C) (B,D) C (C,A) (C,B) (C,D) D (D,A) (D,B) (D,C) 总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同.其中，小丽、小明两人中恰好有 一人抽到“诵诗词”的结果有6种：(A,C),(B,C),(C,A),(C,B),(C,D),(D,C), 一P(小丽、小明两人中恰好有一人抽到“诵诗词”)=点=号 12 21 25.解：(1)0.33(2) 和乙 5 7 3 7 8 10 不可以取7.理由如下：，当x=7时，列表如图 4 9 11 总共有12种可 5 89 12 1 101112 能的结果，每种结果出现的可能性相同.其中，摸出的两个小球上数字之和为9的结果 211 有2种：(4,5)，(5,4)心P(摸出的两个小球上数字之和为9)=立=6≠3心x的值 不可以取7.26.解：(1)200“℃：蛇盘蛰伏，吉运将至”的人数为200-60-80-40= 80 20.补全的条形统计图如图；1人数人 (2)3500×20=1400(人)， 80 60 20 0 A B D热词选项 即估计喜爱“蛇有智慧，吉祥常在”祝福热词书签的学生有1400人；(3)列表如下： A B C D A (A,B) (A,C) (A,D) B (B,A) (B,C) (B,D) C (C,A) (C,B) (C,D) D (D,A) (D,B) (D,C) 总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同.其中，抽出的两种祝福热词书 签恰好是“蛇腾龙跃，福星高照”和“蛇有智慧，吉祥常在”的结果有2种：(A,B),(B, 第29页（共48页） A),∴.P(抽出的两种祝福热词书签恰好是“蛇腾龙跃，福星高照”和“蛇有智慧，吉祥常 在)=- 期中综合评价 1.C2.B3.A4.A5.A6.D7.A8.C9.B10.B11.x=±√212.2023 13.2014.12或1615.216.2-，)17.号18.受或519.解：1)原方程可 变形为x(x一3)十x一3=0，(x一3)(x十1)=0.x一3=0，或x+1=0.∴.x1=3,x2= 一1；(2)将原方程化为一般形式，得x2一5x一5=0.这里a=1,b=一5，c=一5..b2 4c=(-5》-4X1X(-5)=45>0,.x=二（-，5)法压=5±35，即0=5+3E 2×1 2 2 =535.20.解：(1)：4=[-(m-3P-4X1X(一m)=2-2m+9=(m-1Dy 2 十8>0，.方程有两个不相等的实数根；(2)，方程的两实数根为x1,x2,∴·x十2=m 一3，x1x2=-m.'1+x号-012=7，.(0+x2)2-3012=7,.(m-3)2-3X （一m)=7,解得m1=1,2=2,即m的值是1或2.21.解：设剪掉的正方形纸片的边 长为xcm.根据题意，得(30-2x)(20-2x)=264.整理，得x2-25x十84=0.解得= 4,2=21(不符合题意，舍去).答：剪掉的正方形纸片的边长为4cm.22.解：，四边 形ABCD是矩形，AC=BD,OC=号AC,OB=号BD,.OC=OB,∠OCB= ∠OBC=15°，.∠AOB=∠OCB+∠OBC=15°+15°=30°..AE⊥OB,∴.在Rt△OAE 中，∠AOE=30°，AE=5cm,.OA=2AE=2X5=10(cm),∴.OB=10cm,∴.S△xB= 20B·AE=合×10X5=25(cm2)..SE形m=4SAB=4X25=100(cm㎡). 23.解1)是(2)画树状图如下： 开始 总共有16种可能 D 的结果，每种结果出现的可能性相同.其中，抽到的两张卡片内容一致的结果有4种： (A,A,B.BD,C,CO,D.DP抽取到的两张卡片内容一致)=是=子24解： I):∠BAC=90,D是BC的中点，AD=2BC=BD=CD.:AE=BD,心AE= DC.又AE∥DC,.四边形ADCE是平行四边形.AD=DC,.四边形ADCE是菱 形；(2)：四边形ADCE是菱形，.S△Ac=S△.：点D是BC的中点，∴.S△ADc= SmS形NE=Sa=之ACXAB=-号X6X8=24.25.解：)设甲商品的进 匠单价为元，乙商品的进货单价为y元根据题意，得2，，解得，答 {y=2. 甲商品的进货单价为1元，乙商品的进货单价为2元；(2)根据题意，得(2一m一1) (50+100×0）十3-2)×1300=180.整理，得2m-m=0,解得m=0.5,m- 0(不符合题意，舍去).答：当m=0.5时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为 1800元.26.解：(1)(2,8)(17,0)(2)当1=7时，四边形AONM是矩形；(3)在运 动过程中，四边形MVCB能为菱形.由题意可知OA=8,AB=15.如图， y 过点B作BD⊥OC于点D,易得四边形AODB是矩形，∴.OD=AB D CX =15,BD=OA=8,∴.CD=OC-OD=6.在Rt△BCD中，BC=√BD+CD= √82+6=10.，AB∥OC,即BM∥CN,∴.当BM=CN时，四边形MNCB为平行四边 形.BM=15-t,CN=2t,∴.15-1=2t,解得t=5.此时CN=5×2=10.∴.BC=CN, ∴.四边形MNCB是菱形..当t=5时，四边形MNCB为菱形. 第四章综合评价 1.C2.C3.C4.C5.B6.D7.A8.B9.B10.C11.4512.513.(W5 +3》14万215号16（是1）或（号，-1）1n39183 19解设是=音-名=安a===法2-法2=4：②a+6 2k 第30页（共48页）