2 第3课时 矩形的性质与判定的综合应用-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版）

第3课时 矩形的性 ②基础过关。逐点击破 知识点 矩形的性质与判定的综合应用 1.已知在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C= 90°，对角线AC,BD相交于点O.下列结论 一定成立的是 ) A.AC⊥BD B.AC-BD C.AB=BC D.AB-AC 2.如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相交于点 O,且OA=OD,∠OAD=55°，则∠OCD的度数 为 A.35° B.40° C.45° D.50° (第2题图) (第3题图) 3.如图，面积为S的菱形ABCD中，点O为对 角线的交点，点E是线段BC的中点，过点E 作EF⊥BD于点F,EG⊥AC于点G,则四 边形EFOG的面积为 AiS C.12s D.5 4.如图，直角∠AOB内的一点P到这个角的 两边的距离之和为6，则图中四边形的周长 为 (第4题图) (第5题图)》 5.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD 垂足为O,点E,F,G,H分别为边DA,AB, BC,CD的中点.若AC=8,BD=6,则四边 形EFGH的面积为 11名师测控·数学九年级上册配BSD版 质与判定的综合应用 6.如图，□ABCD的对角线AC,BD相交于点 O,△OAB是等边三角形， (1)求证：□ABCD为矩形； (2)若AB=4,求□ABCD的面积. 7.(2024·贵州)如图，四边形ABCD的对角线 AC与BD相交于点O,AD∥BC,∠ABC= 90°，有下列条件：①AB∥CD;②AD=BC. (1)请从以上①②中任选1个作为条件，求 证：四边形ABCD是矩形； (2)在(1)的条件下，若AB=3,AC=5,求四 边形ABCD的面积. 周1 能力提升。整合运用 8.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长 AD到E,使DE=AD,连接EB,EC,DB,添 加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形 的是 A.AB-BE B.BE⊥DC C.∠ADB=90 D.CE⊥DE 9.(2024·北京西城区校级模拟)如图，菱形 ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点 B作BM∥AC,过点C作CN∥DB交BM 于点E. (1)求证：四边形BECO是矩形； (2)连接DE,若AB=2,∠BAC=60°，求DE 的长。 ⊙！ 思维拓展。学科素养 10.已知△ABC的三边BC=a,AC=b,AB= c,且满足|a-√/13+√b-2+(c-3)2=0. 如图，P为BC边上一动点，PM⊥AB于点 M,PN⊥AC于点N. (1)求证：四边形AMPN是矩形； (2)在点P的运动过程中，MN的长度是否 存在最小值？若存在，请求出最小值； 若不存在，请说明理由. 【变式】(2024·西藏)如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，AC= 12,BC=5,点P是边AB上任 意一点，过点P作PD⊥AC, PE⊥BC,垂足分别为点D,E,连接DE,则 DE的最小值是 ( ) c号 山智 第一章特殊平行四边形12参考答案 正文答案 第一章特殊平行四边形 1菱形的性质与判定 第1课时菱形的性质 基础过关 1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形2.(2，一3)3.D4.30cm5.证明：，四 边形ABCD是菱形，∴.AD=CD.:'AE⊥CD,CF⊥AD,∴∠AED=∠CFD=90°.在 △AED和△CFD中，∠AED=∠CFD,∠D=∠D,AD=CD,∴.△AED≌△CFD (AAS),..DE=DF,..AD-DF=CD-DE,.'.AF=CE.6.D 7.A 8.32 9.: (1)60°(2)：四边形ABCD是菱形，∴.ACLBD,OD=号BD=号X6=3,AC=20C :在Rt△OCD中，∠ACD=30°，∴.DC=2OD=6,∴.OC=√/DC-OD=√/J6-32= 35,.AC=20C=6√5. 弥能力提升 10.C11.20√512.解：(1)四边形ABCD是菱形，.AB=AD,∠B=∠D.又AE ⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,∴.∠AEB=∠AFD=90°.在△ABE和△ADF中， :∠B=∠D,∠AEB=∠AFD,AB=AD,∴.△ABE≌△ADF(AAS),.AE=AF;(2) ,四边形ABCD是菱形，∴.∠B十∠BAD=180°，而∠B=60°，∴.∠BAD=180°-∠B =180°-60°=120.，∠AEB=90°，∠B=60°，∴.∠BAE=180°-∠AEB-∠B=180 -90°-60°=30°.由(1)知△ABE≌△ADF,∴.∠DAF=∠BAE=30°，∴.∠EAF= ∠BAD-∠BAE-∠DAF=120°-30°-30°=60°.又.AE=AF,.△AEF是等边三 角形，∠AEF=60° 她 思维拓展 13.解：(1)△AMN是等边三角形.证明如下：如图，连接AC, D,四边形 EM ABCD是菱形，∴.∠B=∠D=60°，AB=BC=CD=AD.∴.△ABC,△ACD都是等边三 角形.∴.AB=AC,∠BAC=∠ACD=60°=∠MAN..∠BAC-∠MAC=∠MAN ∠MAC,即∠BAM=∠CAN.又∠B=∠ACN=60°，∴.△BAM≌△CAN.∴.AM= 0 AN.又，∠MAN=60°，∴.△AMN是等边三角形：(2)四边形AMCN的面积是定值 由(I)得△BAM≌△CAV,∴.S△BAM=S△cN.∴.S四边形CN=S△AC+S△MCN=S△MMC十 S△BM=S△BC.S四边形wCv不发生变化.如图，过点A作AE⊥BC于点E.:△ABC是 等边三角形，BE=EC=号X2=1,·AE=√AB-BE=/2-下=3， 2 “SMe=Sa慨=子X2X月=E 第2课时菱形的判定 基础过关 线 1.2有一组邻边相等的平行四边形是菱形2.证明：AE∥BF,.∠ADB ∠DBC.:BD平分∠ABC,∴.∠DBC=∠ABD,∴.∠ADB=∠ABD,∴.AB=AD. 又，AB=BC,∴.AD=BC.AE∥BF,即AD∥BC,∴.四边形ABCD是平行四边形 又AB=AD,∴.四边形ABCD是菱形.3.C4.证明：四边形ABCD是平行四边 形，∴AD=BC,AD∥BC.DE=BF,∴AD-DE=BC-BF,即AE=CF.又AE∥ CF,∴.四边形AECF是平行四边形.：AC⊥EF,∴.四边形AECF是菱形.5.D 6.证明：AB=AC,AD是BC边上的中线，∴.AD垂直平分BC,∴.EB=EC,FB=FC BD=CD.,CF∥BE,∴.∠BED=∠CFD,∠EBD=∠FCD.又：BD=CD,∴.△EBD ≌△FCD(AAS),∴.BE=FC,∴.EB=BF=FC=EC,∴.四边形BECF是菱形 能力提升 7.D8.(3,5)或(2,6)9.证明：(1)连接BD,交AC于点O.四边形ABCD是平行 四边形，∴.OB=OD.,BM∥DN,.∠MBO=∠NDO.又，∠BOM=∠DON, ∴.△BOM≌△DON(ASA),∴.BM=DN,∴.四边形BMDN是平行四边形，∴.BN∥ DM,.∠DMN=∠BNM;(2),四边形ABCD是平行四边形，∴.BC∥AD,.∠BCA =∠DAC.∠BAC=∠DAC,∴.∠BAC=∠BCA,∴.AB=BC,∴.四边形ABCD是菱 形，AC⊥BD,∴.MN⊥BD.又由(1)知四边形BMDN是平行四边形，.四边形 BMDN是菱形. 第1页（共48页） 思维拓展 10.解：(1)由题意，得AB=AF,∠BAM=∠FAN,∠B=∠F.在△ABM和△AFN中， .∠BAM=∠FAN,AB=AF,∠B=∠F,∴.△ABM≌△AFN(ASA).∴.BM=FN; (2)当旋转角a=30时，四边形ABPF是菱形.理由如下：：a=30°，∴.∠FAN=30°， ∠FAB=120°.∠B=60°，.∠B+∠FAB=180°..AF∥BP..∠FPC=∠F=60. ∴.∠FPC=∠B=60°.AB∥FP.四边形ABPF是平行四边形.又：AB=AF,.平 行四边形ABPF是菱形. 第3课时菱形的性质与判定的综合应用 基础过关 1.B2.52cm3.解：(1).四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD,AO=CO,BO=DO, ∠ABD=号∠ABC=合×60°=30，∴A0=号AB=号×20=10(m,AC=2A0=2 X10=20(m).在Rt△AB0中，由勾股定理，得BO=√/AB-AO=√202-10= 103(m),∴.BD=2B0=2×103=20√3(m:(2)200√54.C5.①②③④6.83 7.解：(1)由尺规作∠BAD的平分线的过程可得AB=AF,∠BAE=∠FAE.:四边形 ABCD是平行四边形，∴.AD∥BC,.∠FAE=∠AEB,.∠BAE=∠AEB,∴.AB= BE,∴.BE=AF,∴.四边形ABEF是平行四边形..AB=AF,.四边形ABEF是菱形： (2)②：四边形ABEF是菱形，.AELBF,B0=BF=合X6=3,AE=2A0在 Rt△AOB中，由勾股定理，得AO=√AB-BO=√52-3=4，∴.AE=2AO=8. 能力提升 8.D9.510.解：(1).DE∥AC,DF∥AB,.四边形AEDF是平行四边形，∠EAD =∠ADF.:AD是△ABC的角平分线，∴.∠EAD=∠FAD,∴.∠ADF=∠FAD, .FA=FD,.四边形AEDF是菱形；(2)连接EF交AD于点O.由(1)可知，四边形 AEDF是菱形，.OA=OD=2AD=7X24=12,OE=OF,EF⊥AD,∠AOE- 00O-AB-OA-13-125EF-20E-10.Mr-AD EF=7×24×10=120. 思维拓展 11.解：(1).AD∥BC,∴.∠ADO=∠CBO.在△ADO和△CBO中，.∠ADO= ∠CBO,∠AOD=∠COB,OA=OC,∴.△ADO≌△CBO(AAS),∴.OD=OB,∴.四边形 ABCD是平行四边形.，AB=BC,∴.四边形ABCD是菱形；(2)与线段CE相等的线段 有：AE,DE,AG,CF.[解析：由(1)知：四边形ABCD是菱形，∴.AB=BC=CD=AD, AC⊥BD.:'AB=AC,.AB=BC=CD=AD=AC,.△ABC和△ADC为等边三角 形.，CH⊥AD,∴.AH=DH,即CH为AD的垂直平分线，∴.AE=DE.同理可得：CE =AE,∴AE=DE=EC.:△ADC为等边三角形，CH⊥AD,·∠ACH=7∠ACD= 30°.：∠FEC=75,∴.∠EFC=180°-∠ACH-∠FEC=75°，∴.∠EFC=∠FEC, ∴.CF=CE.,△ABC和△ADC为等边三角形，∴.∠BAC=∠CAD=60°..CE=AE, .∴∠EAC=∠ECA=30°，∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=90°，∠AEC=180°-∠EAC ∠ECA=120°，∴∠AEG=∠AEC-∠FEC=45°，.△AGE为等腰直角三角形，∴.AE =AG,∴.AG=EC.综上所述，AE=DE=CF=AG=CE.] 2矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 基础过关 1.C2.20°3.证明：，四边形ABCD为矩形，∴.AB=CD,∠B=∠C=90°.，BE= CF,∴.BE+EF=CF+EF,即BF=CE.在△ABF和△DCE中，：AB=DC,∠B= ∠C,BF=CE,∴.△ABF≌△DCE(SAS),∴.AF=DE.4.C5.C6.证明：四边形 ABCD是矩形，∴.AC=BD,AD∥BC.又.BE∥AC,.四边形AEBC是平行四边形， .BE=AC,.BE=BD.7.A8.A9.2.5【拓展设问】24 能力提升 10.B11.312.解：(1).在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB的中线，.CD =AD=AB.:CF⊥DE,·∠CFD=∠CFE=9O.又：DF=EF,CF=CR, ∴.△CFD2△CFE(SAS),.CE=CD,∴.AD=CE,(2)由(I)知，CE=CD=2AB=5, ∴AB=10.在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=√AB-AC=/102-6=8..BE 第2页（共48页） =BC+EC=8+5=13,.S△m=2BE·AC=2×13X6=39. 思维拓展 13.解：(1).四边形BCAD是矩形，.AD∥BC,∠DAC=90°，∴.∠F=∠CBF,∠EAF =90.点G是EF的中点AG=2EF=FG,∠F=∠GAR.:EF=2AB,∴AB =AG,∴.∠ABG=∠AGB=∠F+∠GAF=2∠F=2∠CBF,∴.∠ABC=∠ABG+ ∠CBF=2∠CBF+∠CBF=3∠CBF,∴射线BF是∠ABC的一条三等分线：(2)30 第2课时矩形的判定 基础过关 1.C2.证明：O是边AB的中点，∴.OA=OB.在△AOD和△BOC中，∠AOD= ∠BOC,OA=OB,∠A=∠B,∴△AOD≌△BOC(ASA),∴.DA=CB.∠A=∠B= 90°，∴∠A十∠B=180°，DA∥CB,.四边形ABCD是平行四边形.又：∠A=90 ∴.四边形ABCD是矩形.3.对角线相等的平行四边形为矩形4.AC=BD(答案不 唯一)5.证明：AB=CD,AD=BC,∴.四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2OA, BD=2OD..OA=OD,∴AC=BD,∴.四边形ABCD是矩形.6.A7.证明：，AE BE,AD⊥BD,∴.∠E=∠D=90°.BD,BE分别平分∠ABC,∠ABP,∴∠ABD= ∠ABC,∠ABE=Z∠ABP.:∠ABC+∠ABP=1S0,∠ABD+∠ABE- 3(∠ABC+∠ABP)=号X180=90,即∠EBD=90,∠E=∠EBD=∠D=90, ∴四边形AEBD是矩形. 能力提升 8.A9.D10.解：(1)四边形PBCE是平行四边形.理由如下：，CF∥AB,PE∥BC, ∴.四边形PBCE是平行四边形；(2)当P为AB的中点时，四边形APCE是矩形.理由 如下：：P为AB的中点，AP=BP.:由(1)知四边形PBCE是平行四边形，∴.BP= CE,∴.AP=CE.:CF∥AB,即EC∥AP,∴四边形APCE是平行四边形.又，△ABC 是等边三角形，P为AB的中点，∴.CP⊥AB,∴∠APC=90°，∴.四边形APCE是矩形 思维拓展 11.解：(1)PQ=CD.理由如下：由题意，得AP=tcm,CQ=2tcm,.DP=AD-AP= (21-t)cm,BQ=BC-CQ=(24-2t)cm.当t=7时，DP=21-7=14(cm),CQ=2X7 =14(cm),.DP=CQ.AD∥BC,即DP∥CQ,.四边形DPQC是平行四边形.∴.PQ =CD:(2)存在.理由如下：·在四边形ABCD中，AD∥BC,∠B=90°，∴.当AP=BQ 时，四边形ABQP是矩形.∴1=24一21，解得1=8.∴.当1=8时，四边形ABQP是矩形. 第3课时矩形的性质与判定的综合应用 基础过关 1.B2.A3.B4.125.126.解：(1)：△AOB为等边三角形，∴.∠BAO=60°= ∠AOB,OA=OB.四边形ABCD是平行四边形，∴.OB=OD,∴.OA=OD,易得 ∠OAD=∠ODA=30°，∴.∠BAD=∠BAO+∠OAD=60°+30°=90，.□ABCD为 矩形；(2)在Rt△ABD中，∠ADB=30°，AB=4,.BD=8.由勾股定理，得AD= √BD-AB=√82-4=4√5.∴.☐ABCD的面积为AB·AD=4×45=165. 7.解：(1)选择①，证明：AD∥BC,AB∥CD,.四边形ABCD是平行四边形 :∠ABC=90°，∴.四边形ABCD是矩形；选择②，证明：AD∥BC,AD=BC,四边 形ABCD是平行四边形.：∠ABC=90°，.四边形ABCD是矩形；(2)：四边形ABCD 是矩形，∴.∠ABC=90°.，AB=3,AC=5,∴.BC=√AC-AB=√52-3=4，.四 边形ABCD的面积为AB·BC=3×4=12. 能力提升 8.B9.解：(1)，BM∥AC,CN∥DB,∴.四边形BECO是平行四边形.，四边形ABCD 是菱形，∴.AC⊥BD,∴.∠BOC=90°，∴.平行四边形BECO是矩形；(2)四边形ABCD 是菱形，∴.BC=AB=2,OA=OC,OB=OD,AC⊥BD.:'∠BAC=60°，∴.△ABC是等 边三角形，AC=AB=2,0C=号AC=1.在R△B0C中，由勾股定理，得OB= √BC-O=√22-1卫=√5，∴.BD=2OB=2√3.由(1)可知，四边形BECO是矩形， ∴.BE=OC=1,∠OBE=90°.在Rt△BDE中，由勾股定理，得DE=√BE+BD= √12+(2√5)=√3，即DE的长为√3. 思维拓展 10.解：(1)：a-√13|+√b-2+(c-3)2=0,a-√13|≥0，√6-2≥0，(c-3)≥ 0,∴.a-√13=0，b-2=0,c-3=0,∴.a=√/13，b=2,c=3..6+c2=22+32=13= 第3页（共48页） a2,∴.△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°.：PM⊥AB,PN⊥AC,∴.∠AMP= ∠ANP=90°，∴.∠BAC=∠AMP=∠ANP=90°，∴.四边形AMPN是矩形；(2)存在. 理由如下：连接AP.,四边形AMPN是矩形，∴.MN=AP.易得当AP⊥BC时，AP最 短.此时S=AB·AC=BC·AP∴2X3=EAP,∴AP-6厘.即MN 13 的长度最小值为5国 13 【变式B 3正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 基础过关 1.C2.C3.C4.B5.15°【变式1】75°【变式2】60°6.证明：(1)四边形AB- CD为正方形，∴.AB=BC,∠ABE=∠CBE=45°.在△EAB和△ECB中，AB=CB, ∠ABE=∠CBE,BE=BE,∴.△EAB≌△ECB(SAS):(2):四边形ABCD为正方形， ∴∠BDC=2∠CDA=45°，'△EAB≌△ECB,∠AEC=45,∴∠CED=∠AED= z∠AEC=22.5.∠BDC=∠CED+∠DCE=45,∴∠DCE=45°-22.5°=22.5， 1 ∴.∠CED=∠DCE,∴.DC=DE. 能力提升 7.A8B9.D10.(1)2(2) 2 11.解：(1)90°-a(2)AF=DE.证明如下： △OEF是等腰直角三角形，∴.OE=OF.四边形ABCD是正方形，.OA=OD, ∠COD=90°.'∠AOF=90°-a,∠DOE=90°-a,.∠AOF=∠DOE,∴.△AOF≌ △DOE(SAS),∴.AF=DE. 思维拓展 12.解：(1)PE+PF的值是定值.四边形ABCD为正方形，∴.AC⊥BD,∴.∠AOB= 90°.：PF⊥BD,PE⊥AC,∴∠PFO=∠PEO=90°，∴.∠EOF=∠PFO=∠PEO= 90°，∴四边形PFOE为矩形，∴.PE=OF.又：∠PBF=45°，易得△PBF是等腰直角 三角形.PF=BF,PE+PF=0F+BF=OB=号a:(2:∠BF=∠PED= ∠PFO=90°，∴.四边形PFOE为矩形，∴.PE=OF.又·∠PBF=∠ABO=45°，易得 △PBF是等餐直角三角形，PF=B邵PE一PF-OF-BF=OB=号a 第2课时正方形的判定 基础过关 1.A2.AC⊥BD3.证明：CD平分∠ACB,DE⊥AC,DF⊥BC,.DE=DF, ∠DFC=∠DEC=90°.又，∠ACB=90°，.四边形CEDF是矩形.，DE=DF,∴.四边 形CEDF是正方形.4.对角线互相垂直且相等5.AC=BD(答案不唯一)6.证 明：：四边形ABCD是正方形，∴.AB=BC=CD=DA,∠A=∠B=∠C=∠D=90°. 又.AA'=BB'=CC=DD',.DA=A'B=B'C=CD.易得△AA'D≌△BBA'≌ △CCB'≌△DDC',∴.DA'=A'B'=B'C'=CD',∴.四边形A'B'C'D'是菱形.由全等 知∠ADA'=∠BA'B'.又，∠ADA'+∠AA'D'=90°，∴.∠AA'D'+∠BA'B'=90°， ∴∠DA'B'=180°-（∠AA'D'+∠BA'B)=90°，∴.四边形A'B'C'D'是正方形. 能力提升 7.C8.3√29.解：(1)：菱形AECF的对角线AC和EF交于点O,∴.AC⊥EF,OA =OC,OE=OF..DE=BF,∴.BO=DO.,.四边形ABCD是平行四边形.又AC1 BD,∴.四边形ABCD是菱形.：∠ADO=45°，∴∠ADC=90°，.四边形ABCD是正方 形：(2)：正方形ABCD的面积为72.2AC·BD=72号BD=72.BD=12. ∴.AC=12,.BO=DO=CO=AO=6.BF=4,.OF=2,.EF=2OF=4,∴.菱形 AECF的面积为AC,EF=24. 思维拓展 10.解：(1)如图 过点E作EM⊥BC于点M,EN⊥CD于点N,易得 B M F ∠MEN=90°.：点E是正方形ABCD对角线上的点，∴.EM=EN.:∠DEF=90°， ∴.∠DEN=∠MEF.在△DEN和△FEM中，：'∠DNE=∠FME=9O°，EN=EM, 第4页（共48页） ∠DEN=∠FEM,∴.△DEN≌△FEM(ASA),∴.EF=DE.∴.矩形DEFG是正方形： (2)CE+CG的值是定值，定值为6.理由如下：，四边形DEFG和四边形ABCD是正 方形，∴.DE=DG,AD=DC..∠CDG+∠CDE=∠ADE+∠CDE=-90°，∴.∠CDG= ∠ADE.在△ADE和△CDG中，，AD=CD,∠ADE=∠CDG,DE=DG,∴△ADE≌ △CDG(SAS),∴.AE=CG,∴.CE+CG=CE+AE=AC=2AB=2X32=6,是定值. 模型构建专题与正方形有关的常考题型 1.解：AE=BF且AE⊥BF.理由如下：，四边形ABCD是正方形，∴.AB=BC,∠ABE =∠C=90°.又.BE=CF,.∴.△ABE2△BCF,.∠BAE=∠CBF,AE=BF. 又，∠BAE+∠AEB=90,∴.∠CBF+∠AEB=90°.∠BOE=90°，.AE⊥BF. 【变式】AE=DFDE=CF2.解：(1)：四边形ABCD和四边形A1BCO是正方形， ∴.AO=BO,∠AOB=∠AOC=90°，∠OAB=∠OBC=45°，∴.∠AOE+∠EOB=90°， ∠BOF+∠EOB=90°，∴.∠AOE=∠BOF.∴.△AOE≌△BOF(ASA);(2)两个正方形 重叠部分的面积等于于2.理由如下：：△AOE≌△BOF,∴S△E=S△F, :Sm=Sm十Saw=SaRs十SE=S版=子S形m=子.【变式D 1 【变式2】53.解：.四边形ABCD是正方形，∴.BA=BC,∠ADB=∠ABE=∠CBE= 45°.又BE=BE,∴△ABE≌△CBE(SAS),∴.∠BEA=∠BEC.∠BEA=∠ADB +∠DAF=45°+15°=60°，∴.∠BEC=60°.4.证明：在AB上截取BM=BE,连接 ME.四边形ABCD是正方形，.∠B=∠DCB=90°，AB=BC,,∴.∠BME=∠BEM =45°，∴.∠AME=180°-∠BME=180°-45°=135°.：CF是正方形外角∠DCG的平 分线，.∠DCF=45°，∴.∠ECF=∠ECD+∠DCF=90°+45°=135°.：∠AEF=90°， ∴.∠AEB+∠CEF=90°.又：'∠AEB+∠MAE=90°，∴.∠MAE=∠CEF.AB= BC,BM=BE,∴.AB-BM=BC-BE,即AM=EC.:∠AME=∠ECF=135, .△AME≌△ECF(ASA),∴.AE=EF.5.解：(1)，四边形ABCD是正方形，∴.BC =CD,∠B=∠CDF=90.又，BE=DF,∴.△CBE≌△CDF(SAS),∴.CE=CF; (2)GE=BE+GD成立.理由如下：由(1)得，△CBE≌△CDF,∴.∠BCE=∠DCF, ∴.∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,即∠BCD=∠ECF=90°.又.'∠GCE=45°， ∴.∠GCF=∠ECF-∠GCE=90°-45°=45°，∴.∠GCF=∠GCE.又CE=CF,GC= GC,∴.△ECG≌△FCG(SAS),.GE=GF.,GF=DF+DG,∴.GE=BE+GD. 重点突破专题特殊平行四边形中的折叠问题 1.B2.解：(1)，四边形ABCD为平行四边形，.BC∥AD.∴∠AEB=∠EAF.由折 叠知∠EAB=∠EAF,AB=AF,BE=EF.,∴.∠BEA=∠BAE.,∴.AB=BE..∴.AB=AF =BE=EF.∴.四边形ABEF是菱形；(2)453.54.解：(1)由折叠得△BDC≌ △BDE,∴.∠DBC=∠DBE.:四边形ABCD是矩形，∴.AD∥BC,.∠DBC= ∠FDB,.∠DBE=∠FDB,∴.DF=BF,△BDF是等腰三角形；(2)①四边形 BFDG是菱形.理由如下：，四边形ABCD是矩形，.FD∥BG.又，DG∥BE,∴.四边 形BFDG是平行四边形.，DF=BF,∴.四边形BFDG是菱形；②在Rt△ABD中，由勾 股定理，得BD=√AB+AD=√6+8=10.：四边形BFDG是菱形，∴，GF⊥BD, FG=2FO,OB=2BD=5.设DF=BF=x,则AF=AD-DF=8-x.在R△ABF中， 由勾股定理，得AB+AR=BFP,即6十(8一)P=2,解得x=草，·BF=草在 Rt△FOB中，由勾股定理，得FO=√BF一OB 25 -5=5,FG=2F0= 第一章整合与提升 高频考点突破 1.B2.333.解：(1)D是边BC的中点，∴.BD=CD.DF=ED,.四边形BF CE是平行四边形.：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，E是边AC的中点，∴.BE=CE, “四边形BFCE是菱形；(2)：四边形BFCE是菱形，BC=4,EF=2,∴BD=号BC= 2,DE=EF=1,∴BE=2+下=5，∴AC=2BE=25,.AB=AC-BC- √/20-16=2，.AD=/AB2+BD=2√2.4.A5.B6.证明：(1)，四边形ABCD 是矩形，∴.AB=DC,∠B=∠C=90°.E是BC的中点，.BE=CE.在△ABE和 △DCE中，：AB=DC,∠B=∠C,BE=CE,∴△ABE≌△DCE(SAS):(2)·△ABE ≌△DCE,.AE=DE,.∠EAD=∠EDA.7.解：(I):四边形ABCD是菱形，.AC 第5页（共48页） ⊥BD,A0=OC=号AC,∠DOC=90,:DE∥AC,DE=号AC,DE=OC,DE,∥ OC,∴.四边形OCED是平行四边形.又，∠DOC=90°，.四边形OCED为矩形： (2):四边形ABCD是菱形，ACLBD,BC=CD=4,OB=OD,A0=OC=号AC :∠BCD=60°，.△BCD是等边三角形，OD=OB=2.∴.OC=√CD-OD= √42-2=23，.AC=2OC=4√3.由(1)，得四边形OCED为矩形，.CE=OD=2, ∠OCE=90°.在Rt△ACE中，由勾股定理，得AE=√AC+CE=√(43)2+22= 2√3，即AE的长为2√13.8.C9.410.C11.1012.解：(1)四边形ABCD 是正方形，∠A=∠B=90°，∠AEH+∠AHE=90°.，四边形EFGH是正方形， .EH=EF,∠HEF=90°，∴.∠AEH+∠BEF=90°..∠BEF=∠AHE.在△AEH 和△BFE中，∠A=∠B=90°，∠AHE=∠BEF,EH=FE,∴.△AEH≌△BFE (AAS),∴.AH=BE.∴.AE+AH=AE+BE=AB;(2)AE=CF 易错易混专攻 1.(1)×(2)×(3)×(4)×2.C 常考题型演练 1.D2.√103.解：(1)四边形BEFE是正方形.理由如下：由旋转的性质可知， ∠CEB=∠AEB=90°，∠EBE=90°，BE=BE.:'∠BEF+∠AEB=180°，∴∠BEF =90°.∴.四边形BEFE是矩形.又BE=BE,.矩形BEFE是正方形；(2)CF= FE.证明如下：过点D作DH⊥AE于点H,则∠DAH十∠ADH=90°.DA=DE, ∴AH=EH=号AE.:四边形ABCD是正方形，∴AB=DA,∠DAB=90.∠DAH +∠BAE=90°.∴.∠ADH=∠BAE.在△ADH和△BAE中，：∠AHD=∠BEA, ∠ADH=∠BAE,AD=BA,∴.△ADH≌△BAE(AAS.∴.AH=BE.由旋转的性质可 知，AE=CE.:四边形BEFE是正方形，BE=EF.EF=AH=号AE=CE. ..CF=FE'. 第二章一元二次方程 1认识一元二次方程 第1课时一元二次方程 基础过关 1.A2.a≠13.A4.3,-4,-15.B6.x2+4x-60=0 能力提升 7.C【变式】-28.-509.解：(1)(90-2x)(70-2x)(90-2x)(70-2x)= 1700(2)用到了数形结合的数学思想：(3)化为一般形式为x2一80x十1150=0；是一 元二次方程；二次项系数为1，一次项系数为一80，常数项为1150. 第2课时一元二次方程的解及其估算 基础过关 1.3【变式】-42.-1,63.C4.(1)-1334-0.010.363.33.4 (2)33 能力提升 5.A6.D7.x2-1=0(答案不唯一)8.解：把a代人原方程，得a2-2024a十1=0. d-202a=-1a+1=202ad2-2025a+g-a-202a-a)+208器 =-1-a+a=-1. 2用配方法求解一元二次方程 第1课时用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 基础过关 1.D2.D3.x-1=3x-1=-34-24.5(答案不唯一，只要c≥0即可) 5.解：(1)移项、化简，得x=4.两边开平方，得x=士2.1=2，x2=一2；(2)由原方 程，得（红一1=是.两边开平方，得x一1=士号，即x-1=号，或x一1=一号.∴ =号=-合6142(2)366(3)号号(0%吉1.x-10-4 8.A9.解：(1)移项，得x2+2x=1.配方，得x2+2x十1=1十1，即(x十1)2=2.两边 开平方，得x十1=士2，即x十1=2，或x+1=一√2..x=√2-1，x2=一√2-1；(2) 移项，得x2一3x-3x=1.合并同类项，得x2-6.x=1.配方，得x2-6x十32=1十32，即 (x-3)2=10.两边开平方，得x一3=士√10，即x-3=√10，或x-3=-/10..x= 第6页（共48页）