专题03 立体几何（讲义）-2026版河北省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版河北省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及河北省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版河北省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第3个专题，内容为立体几何。 2026版河北省（对口升学）二轮复习 《数学考纲专题练》 专题03 立体几何 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一、课标解读 1.理解两条直线的位置关系，了解两条异面直线及其所成的角的概念；理解平行于同一条直线的两条不重合的直线互相平行；对于异面直线间的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离 2. 理解直线与平面的位置关系，了解直线与平面平行的判定和性质，了解直线与平面垂直的判定和性质，了解直线与平面所成的角的含义；理解三垂线定理；能运用这些概念、定理论证和解决相关简单的问题 3. 了解两平面的位置关系，了解两平面平行的判定和性质，了解二面角及其平面角，理解两平面相互垂直的判定和性质；能运用这些概念、定理论证和解决相关简单的问题． 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025样卷 解答题 29 线线垂直、三棱柱的体积 10 （1）题型：解答题 （2）分值：2024年前分值在7分，2025年样卷为10分。 2024 解答题 36 面面垂直、二面角、线面所成角 7 2023 解答题 36 线面平行、面面垂直、异面直线垂直 7 2022 解答题 36 异面直线垂直、点到直线的距离 7 2021 选择题 14 二面角 3 解答题 36 面面垂直、点到直线的距离 7 三、考点预测 根据2021-2025年的真题考情，预估2026年河北省对口招生考试有1道解答题考查立体几何，分值为10分。 具体考点可能涉及如下内容： · 线面平行和线面垂直、面面平行和面面垂直 · 异面直线所成角、线面所成角、二面角 · 几何体的表面积、体积 四、知识梳理 （一）简单几何体 1.圆柱、圆锥的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 侧面展 开图 侧面积公式 S圆柱侧＝ 2πrl　 S圆锥侧＝ πrl　 2.柱体、锥体和球体的表面积和体积 　　　名称 几何体　　　 表面积 体积 柱体 (棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝ S底h　 锥体 (棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝ S底·h　 球 S＝ 4πR2　 V＝πR3 （二）空间平面、直线的位置关系 1.异面直线所成角、平行公理及等角定理 (1)异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角． ②范围：. (2)平行公理 平行于同一条直线的两条直线平行. (3)等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. （三）直线、平面平行的判定与性质 1.直线与平面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 a∩α＝∅ a⊂α，b⊄α， _a∥b__ _a∥α__ a∥α，a⊂β， _α∩β＝b__ 结论 a∥α b∥α a∩α＝∅ _a∥b__ 2.面面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 _α∩β＝∅__ _a⊂β，b⊂β， a∩b＝P，a∥α，b∥α__ _α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b__ α∥β，a⊂β 结论 α∥β α∥β a∥b a∥α （四）直线、平面垂直的判定与性质 1. 直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直 ①定义：若直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直． ②判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直)．即：a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝P⇒l⊥α. ③性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.即：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. (2)直线与平面所成的角 ①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角． 若直线与平面平行或直线在平面内，直线与平面所成角为0，若直线与平面垂直，直线与平面所成角为. ②线面角θ的范围：θ∈. 2.平面与平面垂直 (1)二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． ②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角． ③二面角θ的范围：θ∈[0，π]． (2)平面与平面垂直 ①定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． ②判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．即：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β. ③性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．即：α⊥β，a⊂α，α∩β＝b，a⊥b⇒a⊥β.　 五、10分钟小测验 一、解答题 1．已知正四棱锥的底面边长为4，高为4. (1)求正四棱锥的体积； (2)求正四棱锥外接球的表面积. 2．如图，在正方体中，为线段的中点. (1)证明：直线⊥平面； (2)若正方体的棱长为2，求三棱锥的体积. 答案 1．(1) (2) 【分析】（1）计算底面的面积，然后根据椎体体积公式计算即可； （2）结合图形找到球心，然后建立关系，代值计算即可. 【详解】（1）对于正四棱锥，底面为正方形，顶点P在底面的投影是底面的中心O， 即OP是正四棱锥的高，底面边长，高， =，，即正四棱锥的体积为 （2）正棱锥外接球的球心一定在高上，设球心为，连接，    则， 在中，，即，解得， ，即正四棱锥外接球的表面积为 2．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明直线垂直于平面内两条相交直线即可证明直线⊥平面； （2）根据正方形的面积得到底面的面积，再由正方体的棱长得到三棱锥的高，最后代三棱锥的体积公式即可求出. 【详解】（1）在正方体中，平面， 平面，， 又为线段中点，，， 且平面，， 直线⊥平面. （2）正方体的棱长为2，正方形的面积为， 底面面积是正方形的面积的一半，的面积为， 到底面的距离即三棱锥的高为， 三棱锥的体积为：. 六、经典例题解析 【考试题型1】线线垂直、几何体的体积 【例1】（2025河北对口升学样）如图所示，在三棱柱中，CA=CB，AB=AA1，． （1）证明：； （2）若AB=CB=2，，求三棱柱的体积． 解:(1)证明:如图,取AB的中点0,连接OC,OA ,A1B.因为CA=CB,所以 OC⊥AB. 由于AB=AA1，∠BAA1=60°,故△AA1B为等边三角形,所以OA1⊥AB. 因为OC∩ OA=o,所以AB⊥平面 OA1C. 又A1C⊂平面OA1C,故AB⊥A1C. (2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OC=OA1=， 又 AC=，则，故OA1 ⊥OC. 因为OC∩AB=O,所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱的高. 又△ABC的面积, 故三棱柱 的体积. 【考试题型2】面面垂直、角 【例2】（2024河北对口升学）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，是等边三角形，． （1）求证：平面平面PCD； （2）求直线BD与平面PBC所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理求解即可. （2）首先找到直线BD与平面PBC所成角，再根据余弦定理以及同角三角函数的关系求解. 【详解】（1）因为四边形ABCD是正方形，所以. 又因为，平面PCD. 所以平面PCD. 又因为平面，所以平面平面PCD （2） 如图所示，取的中点E，连接. 因为是等边三角形，E是的中点， 所以. 由（1）知平面PCD，平面PCD，所以. 因为，，平面， 所以平面. 从而是直线BD与平面PBC所成角. 因为四边形ABCD是正方形，是等边三角形，是直角三角形 所以，，. 则. 进而. 【考试题型3】直线、平面垂直 【例3】（2023河北对口升学）已知圆的直径为，是圆周上不同于的点，为圆外点，平面PEO. （1）求证：点为的中点; （2）若平面平面，求证：. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由线面平行的性质证出线线平行即，再由中点得到为的中位线即可证明为中点. （2）由圆的直径所对圆周角为直角证出，再根据面面垂直性质证明平面，即可证明平面，进而证明. 【小问1详解】 证明：因为平面，且平面， 平面平面，所以， 又因为为直径的中点，所以为的中位线， 所以为中点. 【小问2详解】 因为为圆O的直径，C为圆周上一点， 所以，所以. 又因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面. 又由（1）知，，所以平面. 又因为平面，所以. 【考试题型4】点到线、点到面距离 【例4】（2022年河北对口）如图，在棱长为2的正方体中，已知E, F分别是BC, CC的中点. (1)求证: A,D⊥EF; (2)求点F到直线BD的距离. 【解析】（1）如图所示，连接， 在正方形中，分别是的中点，所以， 又因为，所以， 因为，所以. （2）如图所示，连接. 在中，， 在中，， 所以为等腰三角形，取的中点，连接， 是正方体的对角线，所以，则， 根据等腰三角形三线合一的性质，则为点到的距离， 所以, 即点到的距离为. 【例5】（2022年河北对口）如图所示，四边形ABCD为菱形，边长为6，E为PC的中点， （1）求证平面 （2）求点E到平面PAD的距离. 【解析】（1）连接交于点，连接. 因为四边形ABCD为菱形，所以点为的中点， 又点为的中点，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）因为，不在平面内，平面，所以平面， 所以点到平面的距离为点到平面的距离. 过点作于点. 又平面，所以， 因为，所以平面， 所以为点到平面的距离， 因为菱形ABCD中，，所以， 所以为等边三角形，， 即点到平面的距离为. 七、专题归纳小结 （一）、专题核心内容总结 1. 2. 空间中的位置关系（八大判定定理与性质定理） 关系判定口诀：“证明线面平行，就在面内找条线；证明线面垂直，面内两条交线要垂直” （二）、解题策略与技巧 1. 平行与垂直的证明策略 ​关系 核心证明思路 关键定理 线//线 1. 平移：构造平行四边形 2. 中位线 3. 线//面 → 线//线 (性质定理) 4. 面//面 → 线//线 (性质定理) 公理4；线面平行性质定理；面面平行性质定理 线//面 1. 线//线 → 线//面 (判定定理) 2. 面//面 → 线//面 (性质定理) 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 面//面 线//面 → 面//面 (判定定理) （一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面） 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 线⊥线 1. 三垂线定理及其逆定理 (超级重要！) 2. 线⊥面 → 线⊥线 (定义) 3. 勾股定理逆定理 (转化到平面图形) 三垂线定理：如果平面内的一条直线垂直于平面的斜线在平面内的射影，则它也与这条斜线垂直 线⊥面 线⊥线 → 线⊥面 (判定定理) （一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直） 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 面⊥面 线⊥面 → 面⊥面 (判定定理)（一个平面过另一个平面的一条垂线） 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 口诀：“线线平行是根基，线面平行看线线；面面平行看线面，垂直关系同理翻。” 2. 空间角与距离的求解 作角技巧： 异面直线角：平移拼接，使其在同一平面内。 线面角：找斜足，作垂线，连垂足与斜足，解直角三角形。关键：寻找射影。 二面角：① 定义法：在棱上找一点，在两个面内分别作棱的垂线。② 三垂线法。③ 垂面法。 求距离技巧： 点面距：① 直接法：作垂线段，求垂线段长度。② 等体积法： (最常用、最有效的方法)。 （三）、易错点总结 易错点 典型案例 避坑策略 论证不充分 证明线面平行时，只说明线线平行，未说明该直线不在平面内。 严格按照判定定理的条件书写，缺一不可。 二面角平面角找错 所作角度的顶点不在棱上。 “三要素”：点在棱上、边在面内、边与棱垂直。 忽略异面直线所成角的范围 计算出异面直线所成角的余弦值为负，未取其锐角。 异面直线所成角的范围是。公式中已取绝对值，确保计算正确。 （四）、复习建议 一、平面向量 1、学生能力培养重点： 作图能力：每天练习画正方体、长方体、正棱锥、圆柱的直观图。力求图形清晰、线面关系明确。“不会画图，满盘皆输”。 证题语言：模仿教材和例题，规范书写证明过程。例如，证明线面平行时，必须写出“∵...∴...”，并且三个条件（平面外一条线、平面内一条线、两线平行）一个都不能少。 平行与垂直的证明：专项训练线线、线面、面面相互转化的证明题，总结常见的辅助线作法（如取中点构造中位线、连接对角线等）。 空间角与距离： 重点攻克“等体积法”求点面距。这是几何法中最常用、最有效的方法，必须熟练掌握。 练习用定义法作二面角的平面角。 2. 真题演练方向： 题型1：线线、线面、面面平行； 题型2：线线、线面、面面垂直； 题型3：线线角、线面角； 题型4：二面角； 题型5：点面距。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $