《统计基础知识》课题16 标志变异指标 45分钟专题训练（解析版+原卷版）

吉林省（高职分类考试）《统计基础知识》45分钟专题训练专辑，共22份试卷。本试卷紧扣吉林省（高职分类考试）大纲与财经商贸专业考试要求，侧重考察学生对专业知识掌握情况与实践应用能力。题型包含单选、多选、判断等客观题及简答、业务题等主观题，解析部分不仅给出答案，更梳理解题思路与关联知识点。题量匹配考试时长，题型符合高考要求，既能用于日常练习查漏补缺，也可作为考前模拟训练，助力考生高效备考。 与本专辑配套的还有《企业财务会计》《市场营销知识》《基础会计》《财政与金融基础知识》《经济法律法规》5大核心课程的45分钟专题训练专辑，欢迎同学和老师们下载使用。 《基础会计》 项目四： 综合指标 课题16 标志变异指标 时间：45分钟 总分：100分 班级___________ 姓名__________ 学号__________ 成绩________ 一、单选题（本大题共15小题，每题2分，共30分） 1.下列关于 “标志变异指标” 概念的表述，错误的是（ ） A. 标志变异指标是反映总体各单位标志值之间差异程度的统计指标 B. 标志变异指标能弥补平均指标的不足，揭示总体分布的离散特征 C. 标志变异指标数值越大，说明总体各单位标志值差异越小，平均指标代表性越强 D. 常见的标志变异指标包括极差、标准差、标准差系数等 【答案】C 【解析】标志变异指标数值越大，说明总体各单位标志值的离散程度越大，数据分布越分散，此时平均指标（如算术平均数）对总体的代表性越弱（如数据 10、20、30 与 10、50、90，前者变异小，均值 20 代表性强；后者变异大，均值 50 代表性弱）。C 选项 “数值越大，差异越小，代表性越强” 表述错误，A、B、D 选项均为标志变异指标的正确特征，故正确答案为 C。 2.某组数据为：15、20、25、30、35，该组数据的极差为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】C 【解析】极差（全距）= 最大值 - 最小值，该组数据最大值 35，最小值 15，极差 = 35-15=20。A 选项为相邻数据的间隔，B 选项为数据均值与最小值的差额，D 选项为最大值与均值的差额，均不符合极差定义，故正确答案为 C。 3.下列关于 “标准差” 的说法，正确的是（ ） A. 标准差是反映总体各单位标志值与均值离差平方的算术平均数的平方根 B. 标准差仅适用于品质数列，不适用于变量数列 C. 标准差数值越大，说明总体各单位标志值越集中，平均指标代表性越强 D. 标准差的计算无需依赖平均指标，可直接根据原始数据计算 【答案】A 【解析】标准差的核心定义是 “离差平方和的算术平均数的平方根”（即方差的平方根），A 选项正确。B 选项错误，标准差适用于变量数列，不适用于品质数列；C 选项错误，标准差越大，数据离散程度越大，平均指标代表性越弱；D 选项错误，标准差计算需先确定均值（离差 = 标志值 - 均值），依赖平均指标，故正确答案为 A。 4.某班级 5 名学生的数学成绩（单位：分）为：80、85、90、95、100，该组成绩的算术平均数为 90 分，标准差为（ ） A. 5 分 B. 6 分 C. 7 分 D. 8 分 【答案】D 【解析】标准差计算步骤：①计算离差：80-90=-10、85-90=-5、90-90=0、95-90=5、100-90=10；②计算离差平方：100、25、0、25、100；③离差平方和 = 100+25+0+25+100=250；④方差 = 250/5=50；⑤标准差 =√50≈7.07 分，四舍五入为 7 分。A、B 选项为离差的绝对值，D 选项为错误计算结果，故正确答案为 C。 5.已知甲、乙两组数据的算术平均数分别为 50 和 60，标准差分别为 10 和 12，则两组数据的离散程度关系为（ ）​ A. 甲组离散程度大于乙组​ B. 乙组离散程度大于甲组​ C. 两组离散程度相同​ D. 无法确定​ 【答案】C​ 【解析】当两组数据算术平均数不同时，直接比较标准差无法准确判断离散程度，需通过标准差系数（离散系数） 消除均值大小的影响，其计算公式为：​标准差系数（Vσ）=（标准差 / 算术平均数）×100%第一步：分别计算甲、乙两组数据的标准差系数​甲组标准差系数：Vσ 甲 =（10/50）×100% = 20.00%乙组标准差系数：Vσ 乙 =（12/60）×100% = 20.00%​第二步：判断离散程度关系​标准差系数数值越小，说明数据离散程度越小；数值相等，则离散程度相同。​本题中，甲、乙两组数据的标准差系数均为 20.00%，因此两组离散程度相同。 6.某企业 2023 年各月的销售额（单位：万元）为：120、130、110、140、150、130、160、140、150、120、130、140，该组数据的极差为（ ） A. 30 万元 B. 40 万元 C. 50 万元 D. 60 万元 【答案】C 【解析】极差 = 最大值 - 最小值，该组数据最大值 160 万元，最小值 110 万元，极差 = 160-110=50 万元。A 选项为 130 与 100 的差额（无依据），B 选项为 150 与 110 的差额，D 选项为 160 与 100 的差额，均错误，故正确答案为 C。 7.下列关于 “标准差系数” 的说法，错误的是（ ） A. 标准差系数是标准差与算术平均数的比值，用于消除均值大小对离散程度比较的影响 B. 标准差系数适用于均值不同或计量单位不同的两组数据的离散程度比较 C. 标准差系数数值越大，说明总体各单位标志值的离散程度越小 D. 若甲组数据标准差系数为 15%，乙组为 20%，则甲组离散程度小于乙组 【答案】C 【解析】标准差系数数值越大，说明 “标准差 / 均值” 的比值越大，总体离散程度越大（如系数 20% 比 15% 离散程度大），C 选项 “数值越大，离散程度越小” 表述错误。A、B 选项为标准差系数的定义与适用场景，D 选项为系数比较的正确结论，均正确，故正确答案为 C。 8.某组数据的算术平均数为 80，方差为 36，则该组数据的标准差为（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 36 【答案】A 【解析】标准差是方差的平方根，已知方差 36，标准差 =√36=6。B 选项为方差的 2 倍，C 选项为方差的 0.5 倍，D 选项为方差本身，均错误，故正确答案为 A。 9.已知某组数据为：5、10、15、20、25，其算术平均数为 15，离差平方和为（ ） A. 100 B. 150 C. 200 D. 250 【答案】D 【解析】离差平方和 =Σ（标志值 - 均值）²，计算如下：（5-15）²+（10-15）²+（15-15）²+（20-15）²+（25-15）²=100+25+0+25+100=250。A 选项为前两个离差平方和，B 选项为前三个离差平方和，C 选项为计算错误结果，故正确答案为 D。 10.甲、乙两组数据如下：甲组：20、40、60、80、100；乙组：40、50、60、70、80。两组数据的算术平均数均为 60，下列关于两组数据离散程度的说法，正确的是（ ） A. 甲组标准差大于乙组，甲组离散程度更大 B. 乙组标准差大于甲组，乙组离散程度更大 C. 两组标准差相等，离散程度相同 D. 无法通过标准差比较离散程度 【答案】A 【解析】计算标准差：①甲组离差：-40、-20、0、20、40，离差平方和 = 1600+400+0+400+1600=4000，方差 = 4000/5=800，标准差 =√800≈28.28；②乙组离差：-20、-10、0、10、20，离差平方和 = 400+100+0+100+400=1000，方差 = 1000/5=200，标准差 =√200≈14.14。甲组标准差更大，离散程度更大，A 选项正确。B、C 选项计算错误，D 选项可通过标准差比较，错误，故正确答案为 A。 11.下列关于 “极差” 的说法，正确的是（ ） A. 极差是反映总体各单位标志值离散程度的最全面指标，能考虑所有数据的差异 B. 极差计算简单，仅需知道数据的最大值和最小值 C. 极差不受极端值影响，因此在存在极端值的数列中，极差比标准差更具代表性 D. 极差适用于任何类型的数列，包括品质数列和变量数列 【答案】B 【解析】极差的核心优势是计算简单，仅需最大值 - 最小值，B 选项正确。A 选项错误，极差仅考虑最值，忽略中间数据差异，不全面；C 选项错误，极差受极端值影响极大（如数据 10、20、30、1000，极差 990，无法反映多数数据差异）；D 选项错误，极差适用于变量数列，不适用于品质数列（品质数列无数值大小差异），故正确答案为 B。 12.某组数据的标准差为 10，算术平均数为 50，若将该组数据中每个标志值都增加 5，则新数据的标准差为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 55 【答案】B 【解析】标准差具有 “平移不变性”，即每个数据增加或减少常数，数据的离散程度不变，标准差不变。原标准差 10，每个数据增加 5 后，标准差仍为 10。A 选项为减少 5 的错误结果，C 选项为增加 5 的错误结果，D 选项为均值增加 5 的结果，故正确答案为 B。 13.某企业生产的 A 产品，抽取 10 件样品的重量（单位：克）为：98、100、102、101、99、103、97、100、101、99，该组数据的算术平均数为 100 克，标准差为（ ） A. 1.5 克 B. 1.8 克 C. 2.0 克 D. 2.2 克 【答案】C 【解析】标准差计算：①离差：-2、0、2、1、-1、3、-3、0、1、-1；②离差平方：4、0、4、1、1、9、9、0、1、1；③离差平方和 = 4+0+4+1+1+9+9+0+1+1=30；④方差 = 30/10=3；⑤标准差 =√3≈1.73 克，四舍五入为 1.8 克。A 选项为错误计算的方差，C 选项为离差平方和的平方根，D 选项为错误结果，故正确答案为 B。 14.已知甲、乙两组数据的标准差分别为 8 和 12，均值分别为 40 和 60，则两组数据的标准差系数关系为（ ） A. 甲组系数大于乙组 B. 乙组系数大于甲组 C. 两组系数相等 D. 无法确定 【答案】C 【解析】标准差系数 = 标准差 / 均值，甲组系数 = 8/40=0.2（20%），乙组系数 = 12/60=0.2（20%），两组系数相等，离散程度相同。A、B 选项未计算系数直接比较标准差，错误；D 选项可通过系数确定，错误，故正确答案为 C。 15.下列场景中，适合采用 “标准差系数” 比较离散程度的是（ ） A. 比较同一班级学生数学和语文成绩的离散程度（满分均为 100 分） B. 比较甲、乙两个城市居民人均可支配收入的离散程度（单位均为万元） C. 比较某企业 A、B 两种产品单位成本的离散程度（A 产品均值 50 元，B 产品均值 100 元） D. 比较某班级男生和女生身高的离散程度（单位均为厘米） 【答案】C 【解析】标准差系数适用于 “均值不同” 的两组数据比较，C 选项中 A、B 产品单位成本均值不同（50 元 vs100 元），需用系数消除均值影响；A、B、D 选项中两组数据均值可能相同或计量单位一致且均值差异小，可直接用标准差比较，故正确答案为 C。 二、多选题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1.下列关于 “标准差系数” 的说法，正确的有（ ） A. 标准差系数 =（标准差 / 算术平均数）×100%，是无量纲指标 B. 标准差系数能消除均值大小和计量单位对离散程度比较的影响 C. 若两组数据均值不同，需用标准差系数而非标准差比较离散程度 D. 若甲组标准差系数为 12%，乙组为 15%，则甲组数据离散程度小于乙组 E. 标准差系数适用于任何类型的两组数据，包括品质数列和变量数列 【答案】ABCD 【解析】标准差系数的特征：公式与无量纲（A 正确，无具体单位，仅反映相对比例）、作用（B 正确，如 “身高（厘米）” 与 “体重（千克）” 可通过系数比较）、适用场景（C 正确，均值不同时消除规模影响）、数值意义（D 正确，系数越小离散程度越小）。E 选项错误，标准差系数基于数值计算，仅适用于变量数列，不适用于品质数列，故正确答案为 ABCD。 2.下列场景中，适合采用 “极差” 反映离散程度的有（ ） A. 快速估算某班级学生考试成绩的波动范围（如 “成绩在 60-95 分之间”） B. 初步判断某批次产品重量的差异程度（如 “重量在 98-102 克之间，差异较小”） C. 精确分析某企业各月销售额的离散特征（需考虑所有月份数据的差异） D. 对比两个超市日客流量的大致波动差异（如 “甲超市客流极差 500 人，乙超市 300 人”） E. 检验某组数据是否存在极端值（如 “极差过大，可能存在异常值”） 【答案】ABDE 【解析】极差适用于 “粗略估算、快速判断” 场景：A（快速估算成绩范围）、B（初步判断重量差异）、D（大致对比客流波动）、E（检验极端值）均符合；C 选项 “精确分析” 需用标准差或方差，极差忽略中间数据，无法满足精确需求，故正确答案为 ABDE。 3.下列关于 “标准差” 与 “方差” 关系的说法，正确的有（ ） A. 方差是标准差的平方，标准差是方差的平方根 B. 方差和标准差均能反映数据的离散程度，数值越大，离散程度越大 C. 方差的计量单位是原始数据计量单位的平方（如数据单位 “元”，方差单位 “元 ²”） D. 标准差的计量单位与原始数据一致（如数据单位 “元”，标准差单位 “元”），更易解释实际意义 E. 计算标准差需先计算方差，二者计算逻辑一脉相承 【答案】ABCDE 【解析】标准差与方差的核心关系：数学关联（A 正确）、离散程度意义（B 正确）、计量单位差异（C、D 正确，标准差更易理解）、计算逻辑（E 正确，方差是标准差的中间步骤），五项均符合二者的知识点，故正确答案为 ABCDE。 4.下列关于标志变异指标应用的说法，正确的有（ ） A. 标志变异指标可用于评价平均指标的代表性（变异越小，均值代表性越强） B. 标志变异指标可用于分析现象的稳定性（如 “月销售额标准差小，说明销售稳定”） C. 标志变异指标可用于控制产品质量（如 “产品尺寸标准差超范围，需调整生产”） D. 不同类型的标志变异指标适用场景不同（如粗略估算用极差，精确比较用标准差系数） E. 标志变异指标需与平均指标结合使用，才能全面反映总体分布特征 【答案】ABCDE 【解析】标志变异指标的应用价值：评价均值代表性（A 正确）、分析稳定性（B 正确）、质量控制（C 正确）、指标选择逻辑（D 正确）、与均值的配合（E 正确，集中趋势 + 离散趋势），五项均符合实际应用逻辑，故正确答案为 ABCDE。 5.已知某组数据的算术平均数为 70，标准差为 8，若将该组数据进行如下变换，下列说法正确的有（ ） A. 每个数据增加 10，新数据的算术平均数为 80，标准差仍为 8 B. 每个数据乘以 2，新数据的算术平均数为 140，标准差为 16 C. 每个数据先乘以 3，再减去 20，新数据的算术平均数为 190，标准差为 24 D. 每个数据除以 4，新数据的算术平均数为 17.5，标准差为 2 E. 数据变换后，标准差的变化仅与 “乘除” 运算相关，与 “加减” 运算无关 【答案】ABCDE 【解析】数据线性变换（y=ax+b）的性质：均值变换为 ȳ=āx̄+b，标准差变换为 σ_y=|a|σ_x（加减运算不影响标准差）： A 选项（a=1，b=10）：ȳ=70+10=80，σ_y=8（正确）； B 选项（a=2，b=0）：ȳ=70×2=140，σ_y=8×2=16（正确）； C 选项（a=3，b=-20）：ȳ=70×3-20=190，σ_y=8×3=24（正确）； D 选项（a=1/4，b=0）：ȳ=70/4=17.5，σ_y=8/4=2（正确）； E 选项（加减不影响标准差，乘除按比例变化）（正确），故正确答案为 ABCDE。 6.下列关于两组数据离散程度比较的说法，正确的有（ ） A. 若两组数据均值相同、计量单位一致，可直接比较标准差（标准差大的离散程度大） B. 若两组数据均值不同、计量单位一致，需比较标准差系数（系数大的离散程度大） C. 若两组数据均值相同、计量单位不同，需比较标准差系数（消除单位影响） D. 若两组数据均值不同、计量单位不同，必须比较标准差系数（同时消除均值和单位影响） E. 无论数据特征如何，均可用标准差系数比较离散程度，且结果最准确 【答案】ABCD 【解析】两组数据离散程度比较的核心原则： A（均值同、单位同→直接比标准差）、B（均值异、单位同→比系数）、C（均值同、单位异→比系数）、D（均值异、单位异→必比系数）均正确； E 选项错误，均值同、单位同时，直接比较标准差更简便，无需冗余计算系数，故正确答案为 ABCD。 7.下列关于 “离差平方和” 的说法，正确的有（ ） A. 离差平方和 =Σ（标志值 - 算术平均数）²，是计算方差和标准差的基础 B. 离差平方和能反映所有数据与均值的差异程度，避免正负离差抵消（如离差和为 0，但平方和可体现差异） C. 对于同一组数据，离差平方和是唯一的（均值唯一，离差平方和也唯一） D. 离差平方和越大，说明数据与均值的整体差异越大，离散程度越大 E. 离差平方和的计量单位与原始数据一致（如数据单位 “元”，离差平方和单位 “元”） 【答案】ABCD 【解析】离差平方和的特征：定义与作用（A 正确，方差 = 离差平方和 / 单位数）、避免抵消（B 正确，如离差 - 2 和 + 2，平方和为 8，体现差异）、唯一性（C 正确，均值固定，离差平方和固定）、数值意义（D 正确，平方和越大离散越明显）。E 选项错误，离差平方和的计量单位是原始数据单位的平方（如 “元 ²”），故正确答案为 ABCD。 8.下列关于 “标志变异指标” 的说法，正确的有（ ） A. 标志变异指标反映总体各单位标志值的差异程度，也称离散指标 B. 标志变异指标与平均指标结合使用，能更全面反映总体分布特征（集中趋势 + 离散趋势） C. 常见的标志变异指标包括极差、方差、标准差、标准差系数等 D. 标志变异指标数值越大，说明总体数据分布越分散，平均指标代表性越弱 E. 标志变异指标仅适用于变量数列，不适用于品质数列 【答案】ABCDE 【解析】标志变异指标的核心特征：定义（A 正确）、与平均指标的配合（B 正确）、常见类型（C 正确）、数值意义（D 正确）、适用范围（E 正确，品质数列无数值差异，无法计算变异指标），五项均正确，故正确答案为 ABCDE。 9.下列关于 “极差” 的说法，正确的有（ ） A. 极差 = 最大值 - 最小值，是最简单的标志变异指标 B. 极差计算简便，仅需获取数据的最大值和最小值 C. 极差仅考虑数据的两个极端值，忽略中间数据的差异，代表性有限 D. 极差受极端值影响极大，若数据中存在异常值，极差会严重偏离实际离散程度 E. 极差适用于对数据离散程度进行粗略估计，不适用于精确分析 【答案】ABCDE 【解析】极差的特征：计算方法（A 正确）、优势（B 正确）、局限性（C、D 正确，忽略中间数据、受极端值影响）、应用场景（E 正确，粗略估计），五项均符合极差的知识点，故正确答案为 ABCDE。 10.下列关于 “标准差” 的说法，正确的有（ ） A. 标准差是方差的平方根，能反映数据与均值的平均离差程度 B. 标准差的计算需先确定算术平均数，再计算离差、离差平方、离差平方和、方差 C. 标准差数值越大，说明数据与均值的平均差异越大，离散程度越大 D. 标准差具有计量单位，与原始数据的计量单位一致（如数据单位为 “元”，标准差单位也为 “元”） E. 标准差适用于均值相同或相近的两组数据的离散程度比较 【答案】ABCDE 【解析】标准差的特征：与方差的关系（A 正确）、计算步骤（B 正确）、数值意义（C 正确）、计量单位（D 正确，如 “分” 的标准差单位为 “分”）、适用场景（E 正确，均值相近时直接比较），五项均正确，故正确答案为 ABCDE。 三、判断题（本题共10小题，每题1分，共10分） 1.标志变异指标数值越大，说明总体各单位标志值的离散程度越大，平均指标对总体的代表性越弱；反之，数值越小，离散程度越小，平均指标代表性越强。（ ） 【答案】√ 【解析】标志变异指标的核心功能是衡量离散程度，与平均指标代表性呈反向关系：如数据 10、20、30（变异小，均值 20 代表性强） vs 10、50、90（变异大，均值 50 代表性弱），题干表述正确。 2.极差是最简单的标志变异指标，计算仅需最大值和最小值，因此在任何场景下，极差都是反映离散程度的最优指标。（ ） 【答案】× 【解析】极差的局限性显著：仅考虑极端值，忽略中间数据差异（如数据 10、20、30、1000，极差 990，无法反映前三个数据的集中特征），仅适用于粗略估算，不适用于精确分析，题干中 “任何场景下最优” 表述错误。 3.标准差是方差的平方根，其计量单位与原始数据一致，因此标准差比方差更易解释实际意义（如 “成绩标准差 5 分” 比 “方差 25 分 ²” 更直观）。（ ） 【答案】√ 【解析】标准差保留原始数据单位（如分、元、厘米），符合日常认知习惯，解释性更强；方差单位是平方形式，较抽象，题干表述正确。 4.若两组数据的标准差相同，则两组数据的离散程度一定相同，与算术平均数无关。（ ） 【答案】× 【解析】标准差相同但均值不同时，离散程度可能不同：如甲组（均值 50，标准差 10）vs 乙组（均值 100，标准差 10），甲组标准差系数 20%，乙组 10%，乙组离散程度更小，需结合标准差系数判断，题干表述错误。 5.标准差系数是无量纲指标，能消除均值大小和计量单位的影响，因此可用于对比 “身高（厘米）” 与 “体重（千克）” 这类不同维度数据的离散程度。（ ） 【答案】√ 【解析】标准差系数通过 “标准差 / 均值” 将数据转化为相对比例，消除单位和规模差异：如身高均值 170cm、标准差 5cm（系数≈2.94%），体重均值 60kg、标准差 3kg（系数 5%），可比较得出体重离散程度更大，题干表述正确。 6.计算标准差时，需先计算算术平均数，再计算各标志值与均值的离差、离差平方、离差平方和、方差，最后对 variance 开平方得到标准差，步骤不可逆。（ ） 【答案】√ 【解析】标准差的计算逻辑依赖均值（离差 = 标志值 - 均值），必须按 “均值→离差→离差平方→平方和→方差→标准差” 的顺序进行，步骤不可逆，题干表述正确。 7.若将某组数据中每个标志值都乘以一个正数 k，该组数据的标准差会变为原来的 k 倍；若每个数据都加上一个常数 b，标准差不变。（ ） 【答案】√ 【解析】标准差的数学性质：乘除运算按比例缩放（如乘以 k，标准差 ×k），加减运算不影响离散程度（如加 b，数据平移，差异不变），题干表述正确。 8.离差平方和 =Σ（标志值 - 均值）²，由于均值是数据的中心，因此某组数据与均值的离差平方和一定小于该组数据与其他任何数值的离差平方和（最小二乘原理）。（ ） 【答案】√ 【解析】最小二乘原理是算术平均数的核心数学性质：如数据 10、20、30，与均值 20 的离差平方和 200，与数值 15 的平方和 275，确实更小，题干表述正确。 9.某企业各月销售额的极差为 50 万元，说明该企业每月销售额的最大差异为 50 万元，且所有月份销售额均在 “最小值 - 最大值” 范围内，无异常波动。（ ） 【答案】× 【解析】极差仅能反映 “最值差异”，无法判断中间数据是否存在异常波动：如销售额 100、110、150、50（极差 100 万元），中间数据 110-150 波动 40 万元，可能存在异常，题干中 “无异常波动” 表述错误。 10.标志变异指标仅能反映离散程度，无法反映集中趋势，因此必须与平均指标结合使用（如 “均值 50，标准差 5”），才能全面描述总体分布的数量特征。（ ） 【答案】√ 【解析】标志变异指标（离散趋势）与平均指标（集中趋势）是描述总体分布的两大核心指标，单独使用均不完整：仅知均值无法判断数据分散情况，仅知变异指标无法判断数据中心位置，题干表述正确。 四、计算分析题（本大题共2小题，每题10分，共20分） 1某班级 10 名学生的语文和数学考试成绩（单位：分）如下： 学生编号 语文成绩 数学成绩 1 85 90 2 92 88 3 78 75 4 90 95 5 88 82 6 95 98 7 85 80 8 80 78 9 85 85 10 93 92 要求： （1）分别计算语文成绩和数学成绩的算术平均数、极差、标准差（保留 2 位小数）； （2）分别计算语文成绩和数学成绩的标准差系数（保留 2 位小数），并比较两门学科成绩的离散程度； （3）分析哪门学科的成绩更稳定，若以此为依据选择教学重点，应优先关注哪门学科？ 答案与解析 （1）算术平均数、极差、标准差计算 ① 语文成绩 算术平均数（x̄）=（85+92+78+90+88+95+85+80+85+93）/10=871/10=87.10 分 极差= 最大值 - 最小值 = 95-78=17.00 分 标准差（σ）： 第一步，计算离差：85-87.1=-2.1，92-87.1=4.9，78-87.1=-9.1，90-87.1=2.9，88-87.1=0.9，95-87.1=7.9，85-87.1=-2.1，80-87.1=-7.1，85-87.1=-2.1，93-87.1=5.9； 第二步，计算离差平方和 =（-2.1）²+4.9²+（-9.1）²+2.9²+0.9²+7.9²+（-2.1）²+（-7.1）²+（-2.1）²+5.9²=4.41+24.01+82.81+8.41+0.81+62.41+4.41+50.41+4.41+34.81=277.9； 第三步，方差 = 277.9/10=27.79； 第四步，标准差 =√27.79≈5.27 分。 ② 数学成绩（续） 标准差（σ）： 第一步，补充离差计算：80-86.3=-6.3，85-86.3=-1.3，92-86.3=5.7； 第二步，计算离差平方和 = 3.7²+1.7²+(-11.3)²+8.7²+(-4.3)²+11.7²+(-6.3)²+(-1.3)²+5.7² =13.69+2.89+127.69+75.69+18.49+136.89+39.69+1.69+32.49 =449.21； 第三步，方差 = 449.21/10=44.921； 第四步，标准差 =√44.921≈6.70 分。 （2）标准差系数计算与离散程度比较 语文成绩标准差系数（Vσ）=（标准差 / 算术平均数）×100%=（5.27/87.10）×100%≈6.05% 数学成绩标准差系数（Vσ）=（6.70/86.30）×100%≈7.76% 离散程度比较： 数学成绩的标准差系数（7.76%）大于语文成绩（6.05%），说明数学成绩的离散程度更大，即学生数学成绩的个体差异更明显，成绩分布更分散。 （3）成绩稳定性分析与教学重点选择 成绩稳定性： 标准差系数越小，数据离散程度越小，成绩越稳定。语文成绩标准差系数（6.05%）小于数学，因此语文成绩更稳定。 教学重点选择： 应优先关注数学学科。理由：数学成绩离散程度大，说明部分学生成绩偏低（如 75 分、78 分）与高分学生（如 98 分、95 分）差距显著，可能存在 “两极分化” 现象，需针对低分学生制定个性化辅导方案，缩小成绩差距；而语文成绩更集中，整体水平较均衡，可侧重巩固整体知识掌握度。 2.某企业 2023 年两个生产车间的月产量数据（单位：万件）如下： 月份 甲车间 乙车间 1 月 12 8 2 月 13 10 3 月 11 15 4 月 14 7 5 月 15 18 6 月 13 12 7 月 16 9 8 月 14 16 9 月 15 11 10 月 12 19 11 月 13 13 12 月 14 14 要求： （1）分别计算甲、乙车间月产量的算术平均数、极差、标准差（保留 2 位小数）； （2）分别计算甲、乙车间月产量的标准差系数（保留 2 位小数），并比较两个车间产量的稳定性； （3）若企业需选择一个车间扩大生产规模，从产量稳定性角度分析，应选择哪个车间？说明理由。 答案与解析 （1）甲、乙车间月产量统计指标计算 ① 甲车间 算术平均数（x̄）=（12+13+11+14+15+13+16+14+15+12+13+14）/12=165/12=13.75 万件 极差= 最大值 - 最小值 = 16-11=5.00 万件 标准差（σ）： 第一步，计算离差（仅列关键值，共 12 组）：12-13.75=-1.75，13-13.75=-0.75，…，16-13.75=2.25； 第二步，离差平方和 =(-1.75)²×2 + (-0.75)²×3 + 0.25²×2 + 1.25²×2 + 2.25²×1=6.125+1.6875+0.125+3.125+5.0625=16.125； 第三步，方差 = 16.125/12≈1.3438； 第四步，标准差 =√1.3438≈1.16 万件。 ② 乙车间 算术平均数（ȳ）=（8+10+15+7+18+12+9+16+11+19+13+14）/12=152/12≈12.67 万件 极差= 最大值 - 最小值 = 19-7=12.00 万件 标准差（σ）： 第一步，计算离差：8-12.67=-4.67，10-12.67=-2.67，…，19-12.67=6.33； 第二步，离差平方和 =(-4.67)²+(-2.67)²+2.33²+(-5.67)²+5.33²+(-0.67)²+(-3.67)²+3.33²+(-1.67)²+6.33²+0.33²+1.33²≈21.81+7.13+5.43+32.15+28.41+0.45+13.47+11.09+2.79+40.07+0.11+1.77=164.68； 第三步，方差 = 164.68/12≈13.7233； 第四步，标准差 =√13.7233≈3.70 万件。 （2）标准差系数计算与稳定性比较 甲车间标准差系数（Vσ）=（1.16/13.75）×100%≈8.44% 乙车间标准差系数（Vσ）=（3.70/12.67）×100%≈29.20% 稳定性比较： 甲车间标准差系数（8.44%）远小于乙车间（29.20%），说明甲车间月产量的离散程度更小，甲车间产量更稳定，月产量波动范围更小（极差 5 万件），而乙车间产量波动剧烈（极差 12 万件，如 7 万件与 19 万件差距显著）。 （3）扩大生产规模的车间选择 应选择甲车间。理由：扩大生产需保证产量稳定，避免因波动过大导致生产计划紊乱（如原材料供应、设备调度失衡）。甲车间产量不仅平均水平（13.75 万件）高于乙车间（12.67 万件），且标准差系数仅 8.44%，产量波动小，生产稳定性强，更能适应扩大规模后的标准化生产需求；乙车间产量波动剧烈，稳定性差，扩大规模后可能面临产量骤降或骤增的风险，不利于生产管理。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省（高职分类考试）《统计基础知识》45分钟专题训练专辑，共22份试卷。本试卷紧扣吉林省（高职分类考试）大纲与财经商贸专业考试要求，侧重考察学生对专业知识掌握情况与实践应用能力。题型包含单选、多选、判断等客观题及简答、业务题等主观题，解析部分不仅给出答案，更梳理解题思路与关联知识点。题量匹配考试时长，题型符合高考要求，既能用于日常练习查漏补缺，也可作为考前模拟训练，助力考生高效备考。 与本专辑配套的还有《企业财务会计》《市场营销知识》《基础会计》《财政与金融基础知识》《经济法律法规》5大核心课程的45分钟专题训练专辑，欢迎同学和老师们下载使用。 《基础会计》 项目四： 综合指标 课题16 标志变异指标 时间：45分钟 总分：100分 班级___________ 姓名__________ 学号__________ 成绩________ 一、单选题（本大题共15小题，每题2分，共30分） 1.下列关于 “标志变异指标” 概念的表述，错误的是（ ） A. 标志变异指标是反映总体各单位标志值之间差异程度的统计指标 B. 标志变异指标能弥补平均指标的不足，揭示总体分布的离散特征 C. 标志变异指标数值越大，说明总体各单位标志值差异越小，平均指标代表性越强 D. 常见的标志变异指标包括极差、标准差、标准差系数等 2.某组数据为：15、20、25、30、35，该组数据的极差为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 3.下列关于 “标准差” 的说法，正确的是（ ） A. 标准差是反映总体各单位标志值与均值离差平方的算术平均数的平方根 B. 标准差仅适用于品质数列，不适用于变量数列 C. 标准差数值越大，说明总体各单位标志值越集中，平均指标代表性越强 D. 标准差的计算无需依赖平均指标，可直接根据原始数据计算 4.某班级 5 名学生的数学成绩（单位：分）为：80、85、90、95、100，该组成绩的算术平均数为 90 分，标准差为（ ） A. 5 分 B. 6 分 C. 7 分 D. 8 分 5.已知甲、乙两组数据的算术平均数分别为 50 和 60，标准差分别为 10 和 12，则两组数据的离散程度关系为（ ）​ A. 甲组离散程度大于乙组​ B. 乙组离散程度大于甲组​ C. 两组离散程度相同​ D. 无法确定​ 6.某企业 2023 年各月的销售额（单位：万元）为：120、130、110、140、150、130、160、140、150、120、130、140，该组数据的极差为（ ） A. 30 万元 B. 40 万元 C. 50 万元 D. 60 万元 7.下列关于 “标准差系数” 的说法，错误的是（ ） A. 标准差系数是标准差与算术平均数的比值，用于消除均值大小对离散程度比较的影响 B. 标准差系数适用于均值不同或计量单位不同的两组数据的离散程度比较 C. 标准差系数数值越大，说明总体各单位标志值的离散程度越小 D. 若甲组数据标准差系数为 15%，乙组为 20%，则甲组离散程度小于乙组 8.某组数据的算术平均数为 80，方差为 36，则该组数据的标准差为（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 36 9.已知某组数据为：5、10、15、20、25，其算术平均数为 15，离差平方和为（ ） A. 100 B. 150 C. 200 D. 250 10.甲、乙两组数据如下：甲组：20、40、60、80、100；乙组：40、50、60、70、80。两组数据的算术平均数均为 60，下列关于两组数据离散程度的说法，正确的是（ ） A. 甲组标准差大于乙组，甲组离散程度更大 B. 乙组标准差大于甲组，乙组离散程度更大 C. 两组标准差相等，离散程度相同 D. 无法通过标准差比较离散程度 11.下列关于 “极差” 的说法，正确的是（ ） A. 极差是反映总体各单位标志值离散程度的最全面指标，能考虑所有数据的差异 B. 极差计算简单，仅需知道数据的最大值和最小值 C. 极差不受极端值影响，因此在存在极端值的数列中，极差比标准差更具代表性 D. 极差适用于任何类型的数列，包括品质数列和变量数列 12.某组数据的标准差为 10，算术平均数为 50，若将该组数据中每个标志值都增加 5，则新数据的标准差为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 55 13.某企业生产的 A 产品，抽取 10 件样品的重量（单位：克）为：98、100、102、101、99、103、97、100、101、99，该组数据的算术平均数为 100 克，标准差为（ ） A. 1.5 克 B. 1.8 克 C. 2.0 克 D. 2.2 克 14.已知甲、乙两组数据的标准差分别为 8 和 12，均值分别为 40 和 60，则两组数据的标准差系数关系为（ ） A. 甲组系数大于乙组 B. 乙组系数大于甲组 C. 两组系数相等 D. 无法确定 15.下列场景中，适合采用 “标准差系数” 比较离散程度的是（ ） A. 比较同一班级学生数学和语文成绩的离散程度（满分均为 100 分） B. 比较甲、乙两个城市居民人均可支配收入的离散程度（单位均为万元） C. 比较某企业 A、B 两种产品单位成本的离散程度（A 产品均值 50 元，B 产品均值 100 元） D. 比较某班级男生和女生身高的离散程度（单位均为厘米） 二、多选题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1.下列关于 “标准差系数” 的说法，正确的有（ ） A. 标准差系数 =（标准差 / 算术平均数）×100%，是无量纲指标 B. 标准差系数能消除均值大小和计量单位对离散程度比较的影响 C. 若两组数据均值不同，需用标准差系数而非标准差比较离散程度 D. 若甲组标准差系数为 12%，乙组为 15%，则甲组数据离散程度小于乙组 E. 标准差系数适用于任何类型的两组数据，包括品质数列和变量数列 2.下列场景中，适合采用 “极差” 反映离散程度的有（ ） A. 快速估算某班级学生考试成绩的波动范围（如 “成绩在 60-95 分之间”） B. 初步判断某批次产品重量的差异程度（如 “重量在 98-102 克之间，差异较小”） C. 精确分析某企业各月销售额的离散特征（需考虑所有月份数据的差异） D. 对比两个超市日客流量的大致波动差异（如 “甲超市客流极差 500 人，乙超市 300 人”） E. 检验某组数据是否存在极端值（如 “极差过大，可能存在异常值”） 3.下列关于 “标准差” 与 “方差” 关系的说法，正确的有（ ） A. 方差是标准差的平方，标准差是方差的平方根 B. 方差和标准差均能反映数据的离散程度，数值越大，离散程度越大 C. 方差的计量单位是原始数据计量单位的平方（如数据单位 “元”，方差单位 “元 ²”） D. 标准差的计量单位与原始数据一致（如数据单位 “元”，标准差单位 “元”），更易解释实际意义 E. 计算标准差需先计算方差，二者计算逻辑一脉相承 4.下列关于标志变异指标应用的说法，正确的有（ ） A. 标志变异指标可用于评价平均指标的代表性（变异越小，均值代表性越强） B. 标志变异指标可用于分析现象的稳定性（如 “月销售额标准差小，说明销售稳定”） C. 标志变异指标可用于控制产品质量（如 “产品尺寸标准差超范围，需调整生产”） D. 不同类型的标志变异指标适用场景不同（如粗略估算用极差，精确比较用标准差系数） E. 标志变异指标需与平均指标结合使用，才能全面反映总体分布特征 5.已知某组数据的算术平均数为 70，标准差为 8，若将该组数据进行如下变换，下列说法正确的有（ ） A. 每个数据增加 10，新数据的算术平均数为 80，标准差仍为 8 B. 每个数据乘以 2，新数据的算术平均数为 140，标准差为 16 C. 每个数据先乘以 3，再减去 20，新数据的算术平均数为 190，标准差为 24 D. 每个数据除以 4，新数据的算术平均数为 17.5，标准差为 2 E. 数据变换后，标准差的变化仅与 “乘除” 运算相关，与 “加减” 运算无关 6.下列关于两组数据离散程度比较的说法，正确的有（ ） A. 若两组数据均值相同、计量单位一致，可直接比较标准差（标准差大的离散程度大） B. 若两组数据均值不同、计量单位一致，需比较标准差系数（系数大的离散程度大） C. 若两组数据均值相同、计量单位不同，需比较标准差系数（消除单位影响） D. 若两组数据均值不同、计量单位不同，必须比较标准差系数（同时消除均值和单位影响） E. 无论数据特征如何，均可用标准差系数比较离散程度，且结果最准确 7.下列关于 “离差平方和” 的说法，正确的有（ ） A. 离差平方和 =Σ（标志值 - 算术平均数）²，是计算方差和标准差的基础 B. 离差平方和能反映所有数据与均值的差异程度，避免正负离差抵消（如离差和为 0，但平方和可体现差异） C. 对于同一组数据，离差平方和是唯一的（均值唯一，离差平方和也唯一） D. 离差平方和越大，说明数据与均值的整体差异越大，离散程度越大 E. 离差平方和的计量单位与原始数据一致（如数据单位 “元”，离差平方和单位 “元”） 8.下列关于 “标志变异指标” 的说法，正确的有（ ） A. 标志变异指标反映总体各单位标志值的差异程度，也称离散指标 B. 标志变异指标与平均指标结合使用，能更全面反映总体分布特征（集中趋势 + 离散趋势） C. 常见的标志变异指标包括极差、方差、标准差、标准差系数等 D. 标志变异指标数值越大，说明总体数据分布越分散，平均指标代表性越弱 E. 标志变异指标仅适用于变量数列，不适用于品质数列 9.下列关于 “极差” 的说法，正确的有（ ） A. 极差 = 最大值 - 最小值，是最简单的标志变异指标 B. 极差计算简便，仅需获取数据的最大值和最小值 C. 极差仅考虑数据的两个极端值，忽略中间数据的差异，代表性有限 D. 极差受极端值影响极大，若数据中存在异常值，极差会严重偏离实际离散程度 E. 极差适用于对数据离散程度进行粗略估计，不适用于精确分析 10.下列关于 “标准差” 的说法，正确的有（ ） A. 标准差是方差的平方根，能反映数据与均值的平均离差程度 B. 标准差的计算需先确定算术平均数，再计算离差、离差平方、离差平方和、方差 C. 标准差数值越大，说明数据与均值的平均差异越大，离散程度越大 D. 标准差具有计量单位，与原始数据的计量单位一致（如数据单位为 “元”，标准差单位也为 “元”） E. 标准差适用于均值相同或相近的两组数据的离散程度比较 三、判断题（本题共10小题，每题1分，共10分） 1.标志变异指标数值越大，说明总体各单位标志值的离散程度越大，平均指标对总体的代表性越弱；反之，数值越小，离散程度越小，平均指标代表性越强。（ ） 2.极差是最简单的标志变异指标，计算仅需最大值和最小值，因此在任何场景下，极差都是反映离散程度的最优指标。（ ） 3.标准差是方差的平方根，其计量单位与原始数据一致，因此标准差比方差更易解释实际意义（如 “成绩标准差 5 分” 比 “方差 25 分 ²” 更直观）。（ ） 4.若两组数据的标准差相同，则两组数据的离散程度一定相同，与算术平均数无关。（ ） 5.标准差系数是无量纲指标，能消除均值大小和计量单位的影响，因此可用于对比 “身高（厘米）” 与 “体重（千克）” 这类不同维度数据的离散程度。（ ） 6.计算标准差时，需先计算算术平均数，再计算各标志值与均值的离差、离差平方、离差平方和、方差，最后对 variance 开平方得到标准差，步骤不可逆。（ ） 7.若将某组数据中每个标志值都乘以一个正数 k，该组数据的标准差会变为原来的 k 倍；若每个数据都加上一个常数 b，标准差不变。（ ） 8.离差平方和 =Σ（标志值 - 均值）²，由于均值是数据的中心，因此某组数据与均值的离差平方和一定小于该组数据与其他任何数值的离差平方和（最小二乘原理）。（ ） 9.某企业各月销售额的极差为 50 万元，说明该企业每月销售额的最大差异为 50 万元，且所有月份销售额均在 “最小值 - 最大值” 范围内，无异常波动。（ ） 10.标志变异指标仅能反映离散程度，无法反映集中趋势，因此必须与平均指标结合使用（如 “均值 50，标准差 5”），才能全面描述总体分布的数量特征。（ ） 四、计算分析题（本大题共2小题，每题10分，共20分） 1某班级 10 名学生的语文和数学考试成绩（单位：分）如下： 学生编号 语文成绩 数学成绩 1 85 90 2 92 88 3 78 75 4 90 95 5 88 82 6 95 98 7 85 80 8 80 78 9 85 85 10 93 92 要求： （1）分别计算语文成绩和数学成绩的算术平均数、极差、标准差（保留 2 位小数）； （2）分别计算语文成绩和数学成绩的标准差系数（保留 2 位小数），并比较两门学科成绩的离散程度； （3）分析哪门学科的成绩更稳定，若以此为依据选择教学重点，应优先关注哪门学科？ 2.某企业 2023 年两个生产车间的月产量数据（单位：万件）如下： 月份 甲车间 乙车间 1 月 12 8 2 月 13 10 3 月 11 15 4 月 14 7 5 月 15 18 6 月 13 12 7 月 16 9 8 月 14 16 9 月 15 11 10 月 12 19 11 月 13 13 12 月 14 14 要求： （1）分别计算甲、乙车间月产量的算术平均数、极差、标准差（保留 2 位小数）； （2）分别计算甲、乙车间月产量的标准差系数（保留 2 位小数），并比较两个车间产量的稳定性； （3）若企业需选择一个车间扩大生产规模，从产量稳定性角度分析，应选择哪个车间？说明理由。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $