《统计基础知识》课题15 算术平均数和调和平均数 45分钟专题训练（解析版+原卷版）

吉林省（高职分类考试）《统计基础知识》45分钟专题训练专辑，共22份试卷。本试卷紧扣吉林省（高职分类考试）大纲与财经商贸专业考试要求，侧重考察学生对专业知识掌握情况与实践应用能力。题型包含单选、多选、判断等客观题及简答、业务题等主观题，解析部分不仅给出答案，更梳理解题思路与关联知识点。题量匹配考试时长，题型符合高考要求，既能用于日常练习查漏补缺，也可作为考前模拟训练，助力考生高效备考。 与本专辑配套的还有《企业财务会计》《市场营销知识》《基础会计》《财政与金融基础知识》《经济法律法规》5大核心课程的45分钟专题训练专辑，欢迎同学和老师们下载使用。 《基础会计》 项目四： 综合指标 课题15 算术平均数和调和平均数 时间：45分钟 总分：100分 班级___________ 姓名__________ 学号__________ 成绩________ 一、单选题（本大题共15小题，每题2分，共30分） 1.下列关于 “算术平均数” 概念的表述，最准确的是（ ） A. 算术平均数是总体中出现次数最多的标志值，反映集中趋势 B. 算术平均数是将总体各单位标志值相加，再除以总体单位总数得到的平均指标 C. 算术平均数是根据标志值在数列中的位置确定的平均指标，不受极端值影响 D. 算术平均数仅适用于品质数列，不适用于变量数列 2.某班级 10 名学生的数学成绩（单位：分）分别为：85、92、78、90、88、95、85、80、85、93，该班级学生数学成绩的简单算术平均数为（ ） A. 86.1 分 B. 87.1 分 C. 88.1 分 D. 89.1 分 3.下列关于 “调和平均数” 的说法，错误的是（ ） A. 调和平均数是算术平均数的变形形式，核心公式仍为 “总体标志总量 / 总体单位总数” B. 当已知标志值和标志总量，未知单位总量时，适合采用调和平均数计算 C. 调和平均数受极端值影响比算术平均数更小 D. 调和平均数的计算前提是所有标志值均为正数，若存在零或负数则无法计算 4.某企业生产三种产品，已知其单位成本（元 / 件）和总成本（万元）：A 产品单位成本 50，总成本 100；B 产品单位成本 80，总成本 240；C 产品单位成本 120，总成本 180。该企业三种产品的平均单位成本（调和平均数）为（ ） A. 78 元 / 件 B. 80 元 / 件 C. 82 元 / 件 D. 85 元 / 件 5.某商场 2023 年 1-4 月的销售额（单位：万元）分别为：120、150、180、210，若以每月天数为权重（1 月 31 天、2 月 28 天、3 月 31 天、4 月 30 天），计算加权算术平均月销售额为（ ） A. 162.5 万元 B. 165.5 万元 C. 168.5 万元 D. 171.5 万元 6.下列场景中，适合采用 “调和平均数” 计算平均指标的是（ ） A. 计算某班级学生的平均考试成绩（已知每人成绩） B. 计算某企业各车间的平均产值（已知各车间产值和人数） C. 计算某地区居民的平均年收入（已知每户年收入） D. 计算某超市销售商品的平均单价（已知每种商品单价和销售额） 7.已知某组数据的简单算术平均数为 80，若将该组数据中每个标志值都增加 10，则新数据的简单算术平均数为（ ） A. 70 B. 80 C. 90 D. 100 8.某企业 2023 年各季度的产值（单位：万元）分别为：300、360、420、480，若计算该企业 2023 年季度产值的加权算术平均数（以季度为权重，权重均为 1），则结果与简单算术平均数的关系是（ ） A. 加权算术平均数大于简单算术平均数 B. 加权算术平均数小于简单算术平均数 C. 二者相等 D. 无法确定 9.某组数据包含 5 个标志值：10、20、30、40、50，若删除其中的极端值 50，剩余数据的简单算术平均数为（ ） A. 25 B. 30 C. 35 D. 40 10.某超市销售两种水果：苹果单价 8 元 / 千克，销售额 4000 元；香蕉单价 6 元 / 千克，销售额 3000 元。该超市销售这两种水果的平均单价（调和平均数）为（ ） A. 6.8 元 / 千克 B. 7.0 元 / 千克 C. 7.2 元 / 千克 D. 7.4 元 / 千克 11.下列关于算术平均数数学性质的说法，正确的是（ ） A. 总体各单位标志值与算术平均数的离差之和为 1 B. 总体各单位标志值与算术平均数的离差平方和为最小值 C. 算术平均数不受数据中极端值的影响 D. 算术平均数不能反映数据的离散程度 12.某企业有三个车间，甲车间人数 20 人，人均产值 15 万元；乙车间人数 30 人，人均产值 12 万元；丙车间人数 50 人，人均产值 10 万元。该企业的总人均产值（加权算术平均数）为（ ） A. 11.5 万元 / 人 B. 12.0 万元 / 人 C. 12.5 万元 / 人 D. 13.0 万元 / 人 13.已知某组数据的调和平均数为 60，若将该组数据中每个标志值都扩大为原来的 2 倍，则新数据的调和平均数为（ ） A. 30 B. 60 C. 120 D. 240 14.某班级学生的英语成绩分布如下：80 分以下 5 人，80-90 分 20 人，90 分以上 5 人。若以组中值（75、85、95）计算加权算术平均成绩，结果为（ ） A. 83 分 B. 85 分 C. 87 分 D. 89 分 15.下列关于算术平均数与调和平均数关系的说法，正确的是（ ） A. 对于同一组正数数据，算术平均数一定大于调和平均数 B. 对于同一组正数数据，算术平均数一定小于调和平均数 C. 对于同一组正数数据，算术平均数与调和平均数一定相等 D. 二者关系无法确定，取决于数据分布 二、多选题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1.下列关于 “简单算术平均数” 的说法，正确的有（ ） A. 简单算术平均数适用于总体各单位标志值权重相等的情况 B. 简单算术平均数 = 总体标志总量 / 总体单位总数 C. 某组数据为 5、10、15、20，简单算术平均数 =（5+10+15+20）/4=12.5 D. 简单算术平均数受极端值影响较大，如数据中存在极大值，会显著拉高平均数 E. 简单算术平均数仅适用于连续型变量数列，不适用于离散型变量数列 2.下列关于 “加权算术平均数” 的说法，正确的有（ ） A. 加权算术平均数适用于总体各单位标志值权重不相等的情况 B. 加权算术平均数 =Σ（标志值 × 权重）/Σ 权重 C. 权重越大的标志值，对加权算术平均数的影响越大 D. 权重可以是绝对数（如人数、销量），也可以是相对数（如频率、占比） E. 若所有权重相等，加权算术平均数等于简单算术平均数 3.下列场景中，适合采用 “加权算术平均数” 计算的有（ ） A. 计算某企业各车间的平均产值（已知各车间产值和人数，人数为权重） B. 计算某商场各商品的平均单价（已知各商品单价和销量，销量为权重） C. 计算某班级学生的平均考试成绩（已知每人成绩，权重均为 1） D. 计算某地区居民的平均年收入（已知每户年收入和家庭人数，家庭人数为权重） E. 计算某股票近 5 年的平均收益率（已知每年收益率，权重均为 1） 4.下列关于 “调和平均数” 的说法，正确的有（ ） A. 调和平均数是算术平均数的变形，本质都是 “总体标志总量 / 总体单位总数” B. 当已知标志值和标志总量，无法直接获取单位总量时，调和平均数是便捷的计算形式 C. 某组数据为 2、4、8，调和平均数 = 3/（1/2 + 1/4 + 1/8）=3/（7/8）≈3.43 D. 调和平均数受极小值影响较大，极小值会显著拉低调和平均数 E. 调和平均数适用于品质数列和变量数列 5.下列关于算术平均数数学性质的说法，正确的有（ ） A. 总体各单位标志值与算术平均数的离差之和为 0 B. 总体各单位标志值与算术平均数的离差平方和为最小值 C. 若将每个标志值都加上一个常数 a，算术平均数也增加 a D. 若将每个标志值都乘以一个常数 k，算术平均数也乘以 k E. 算术平均数的大小与数据的排列顺序无关 6.下列关于调和平均数与算术平均数关系的说法，正确的有（ ） A. 调和平均数是算术平均数的变形形式，核心公式均为 “总体标志总量 / 总体单位总数” B. 当已知 “标志值 × 单位总量”（即标志总量）和单位总量时，用算术平均数；已知标志值和标志总量时，用调和平均数 C. 对于同一组正数数据（不完全相同），算术平均数大于调和平均数 D. 当所有标志值相等时，算术平均数与调和平均数相等 E. 调和平均数可视为算术平均数的 “倒数平均数”，二者计算逻辑完全不同 7.下列场景中，适合采用 “调和平均数” 的有（ ） A. 计算某餐厅菜品的平均单价（已知每种菜品单价和销售额） B. 计算某运输公司的平均运输速度（已知各路段速度和运输距离） C. 计算某工厂的平均单位成本（已知各批次单位成本和总成本） D. 计算某班级学生的平均考试成绩（已知每人成绩和人数） E. 计算某超市的平均库存周转率（已知各商品周转率和库存金额） 8.下列关于加权算术平均数中 “权重” 的说法，正确的有（ ） A. 权重是衡量各标志值在总体中重要程度的指标，权重越大，该标志值对均值影响越大 B. 权重可以是绝对数（如销量、人数），也可以是相对数（如销量占比、人数占比） C. 若以相对数为权重，加权算术平均数 =Σ（标志值 × 权重占比） D. 权重的选择需结合研究目的，如计算 “平均价格”，权重应为 “销量” 而非 “商品种类数” E. 权重一旦确定，不可调整，否则会导致均值计算结果失真 9.下列关于算术平均数应用的注意事项，正确的有（ ） A. 计算算术平均数时，需确保总体各单位标志值具有同质性（如 “职工工资” 与 “学生补贴” 不可混合计算） B. 当数据存在极端值时，算术平均数可能偏离总体一般水平，需结合中位数或众数分析 C. 算术平均数适用于变量数列，不适用于品质数列（如 “商品品牌” 无法计算均值） D. 算术平均数仅能反映总体集中趋势，需结合离散指标（如标准差）全面反映数据特征 E. 计算加权算术平均数时，需确保权重与标志值的逻辑关联（如 “平均产值” 的权重应为 “人数” 而非 “车间数”） 10.下列关于调和平均数应用的注意事项，正确的有（ ） A. 调和平均数的计算前提是所有标志值均为正数，若存在零或负数，调和平均数无实际意义 B. 调和平均数受极小值影响较大，因此在存在极小值的数据中，需谨慎使用 C. 调和平均数仅适用于变量数列，且需已知 “标志值” 和 “标志总量” 两个核心数据 D. 应用调和平均数时，需确保 “标志总量” 与 “标志值” 的逻辑匹配（如 “销售额” 应与 “单价” 匹配，而非 “销量”） E. 调和平均数与算术平均数的选择，取决于数据的呈现形式，而非研究目的 三、判断题（本题共10小题，每题1分，共10分） 1.简单算术平均数适用于总体各单位标志值权重相等的情况，若权重不相等，必须采用加权算术平均数，否则会导致计算结果失真。（ ） 2.调和平均数是算术平均数的变形形式，因此对于同一组数据，无论用算术平均数还是调和平均数计算，结果都一定相等。（ ） 3.算术平均数受极端值影响较大，因此在存在极端值的数列中，算术平均数的代表性会降低，此时应优先选择中位数或众数反映总体一般水平。（ ） 4.加权算术平均数中，权重的大小仅取决于绝对数（如人数、销量），与相对数（如占比）无关，因此用绝对数权重和相对数权重计算的结果会不同。（ ） 5.调和平均数仅适用于 “已知标志值和标志总量” 的场景，若已知标志值和单位总量，则无法用调和平均数计算，只能用算术平均数。（ ） 6.某组数据为 1、2、3、4、5，其简单算术平均数为 3，调和平均数为 2.19，说明对于同一组正数数据，算术平均数一定大于调和平均数，即使数据完全对称分布也是如此。（ ） 7.计算某企业的平均单位成本时，若已知各批次产品的单位成本和产量，适合用加权算术平均数（以产量为权重）；若已知各批次单位成本和总成本，适合用调和平均数。（ ） 8.算术平均数的数学性质 “离差之和为 0”，意味着总体各单位标志值围绕算术平均数对称分布，不存在偏斜。（ ） 9.某商场销售 A、B 两种商品，A 商品单价 50 元，销量 200 件；B 商品单价 80 元，销量 300 件。若计算平均单价，用简单算术平均数（（50+80）/2=65 元）与加权算术平均数（（50×200+80×300）/500=68 元）结果不同，说明简单算术平均数在此场景下无意义。（ ） 10.调和平均数受极端值影响比算术平均数更大，因此在存在极小值的数据中，调和平均数的代表性比算术平均数更差，应避免使用。（ ） 四、计算分析题（本大题共2小题，每题10分，共20分） 1某企业 2023 年各季度的生产数据如下： 季度 单位产品成本（元 / 件） 产量（万件） 总成本（万元） 一季度 80 5 400 二季度 85 6 510 三季度 78 8 624 四季度 75 10 750 要求： （1）分别用加权算术平均数和调和平均数计算该企业 2023 年的平均单位产品成本（保留 2 位小数），并验证两种方法结果是否一致； （2）若四季度产量增加 2 万件，单位产品成本不变，重新计算平均单位产品成本（加权算术平均数），并分析产量变动对平均单位成本的影响； （3）若二季度单位产品成本降低至 82 元 / 件，产量不变，重新计算平均单位产品成本（加权算术平均数），并分析单位成本变动对平均单位成本的影响。 2.某超市 2023 年上半年销售三种生鲜商品的相关数据如下： 商品名称 单价（元 / 千克） 销量（千克） 销售额（元） 猪肉 30 5000 150000 牛肉 60 3000 180000 鸡肉 15 8000 120000 要求： （1）分别用加权算术平均数（以销量为权重）和调和平均数计算三种商品的平均销售单价（保留 2 位小数），并说明两种方法的适用场景差异； （2）若猪肉单价上涨 10%，销量不变；牛肉销量增加 20%，单价不变；鸡肉销售额增加 30%，单价不变，重新计算平均销售单价（加权算术平均数），并分析各商品变动对平均单价的影响； （3）若因促销活动，三种商品均降价 5%，销量分别增加 15%、10%、20%，计算促销后的平均销售单价（加权算术平均数），并对比促销前后平均单价的变化幅度（保留 2 位小数）。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省（高职分类考试）《统计基础知识》45分钟专题训练专辑，共22份试卷。本试卷紧扣吉林省（高职分类考试）大纲与财经商贸专业考试要求，侧重考察学生对专业知识掌握情况与实践应用能力。题型包含单选、多选、判断等客观题及简答、业务题等主观题，解析部分不仅给出答案，更梳理解题思路与关联知识点。题量匹配考试时长，题型符合高考要求，既能用于日常练习查漏补缺，也可作为考前模拟训练，助力考生高效备考。 与本专辑配套的还有《企业财务会计》《市场营销知识》《基础会计》《财政与金融基础知识》《经济法律法规》5大核心课程的45分钟专题训练专辑，欢迎同学和老师们下载使用。 《基础会计》 项目四： 综合指标 课题15 算术平均数和调和平均数 时间：45分钟 总分：100分 班级___________ 姓名__________ 学号__________ 成绩________ 一、单选题（本大题共15小题，每题2分，共30分） 1.下列关于 “算术平均数” 概念的表述，最准确的是（ ） A. 算术平均数是总体中出现次数最多的标志值，反映集中趋势 B. 算术平均数是将总体各单位标志值相加，再除以总体单位总数得到的平均指标 C. 算术平均数是根据标志值在数列中的位置确定的平均指标，不受极端值影响 D. 算术平均数仅适用于品质数列，不适用于变量数列 【答案】B 【解析】算术平均数的核心定义是 “总体标志总量 / 总体单位总数”，即标志值总和除以单位数，B 选项正确。A 选项是众数的定义，C 选项是位置平均数（如中位数）的特征，D 选项错误，算术平均数适用于变量数列，故正确答案为 B。 2.某班级 10 名学生的数学成绩（单位：分）分别为：85、92、78、90、88、95、85、80、85、93，该班级学生数学成绩的简单算术平均数为（ ） A. 86.1 分 B. 87.1 分 C. 88.1 分 D. 89.1 分 【答案】B 【解析】简单算术平均数 =（85+92+78+90+88+95+85+80+85+93）/10=871/10=87.1 分。计算时需注意所有数据累加的准确性，A、C、D 选项均为累加错误导致的结果，故正确答案为 B。 3.下列关于 “调和平均数” 的说法，错误的是（ ） A. 调和平均数是算术平均数的变形形式，核心公式仍为 “总体标志总量 / 总体单位总数” B. 当已知标志值和标志总量，未知单位总量时，适合采用调和平均数计算 C. 调和平均数受极端值影响比算术平均数更小 D. 调和平均数的计算前提是所有标志值均为正数，若存在零或负数则无法计算 【答案】C 【解析】调和平均数受极端值的影响比算术平均数更大：例如数据 1、2、3、100，算术平均数 = 26.5，调和平均数≈1.98，极小值 1 对调和平均数的拉低作用远大于对算术平均数的影响，C 选项表述错误。A、B、D 选项均为调和平均数的正确特征，故正确答案为 C。 4.某企业生产三种产品，已知其单位成本（元 / 件）和总成本（万元）：A 产品单位成本 50，总成本 100；B 产品单位成本 80，总成本 240；C 产品单位成本 120，总成本 180。该企业三种产品的平均单位成本（调和平均数）为（ ） A. 78 元 / 件 B. 80 元 / 件 C. 82 元 / 件 D. 85 元 / 件 【答案】B 【解析】调和平均数 = 总标志总量（总成本）/Σ（标志总量 / 标志值）（总销售量），总销售量 =（100×10000/50）+（240×10000/80）+（180×10000/120）=20000+30000+15000=65000 件，总本成本 = 100+240+180=520 万元 = 5200000 元，平均单位成本 = 5200000/65000=80 元 / 件。A、C、D 选项均为计算过程中单位换算或公式应用错误导致，故正确答案为 B。 5.某商场 2023 年 1-4 月的销售额（单位：万元）分别为：120、150、180、210，若以每月天数为权重（1 月 31 天、2 月 28 天、3 月 31 天、4 月 30 天），计算加权算术平均月销售额为（ ） A. 162.5 万元 B. 165.5 万元 C. 168.5 万元 D. 171.5 万元 【答案】C 【解析】加权算术平均数 =（120×31 + 150×28 + 180×31 + 210×30）/（31+28+31+30）=（3720+4200+5580+6300）/120=19800/120=168.5 万元。计算时需注意权重（天数）与销售额的正确相乘及总和计算，A、B、D 选项均为权重应用错误或累加错误，故正确答案为 C。 6.下列场景中，适合采用 “调和平均数” 计算平均指标的是（ ） A. 计算某班级学生的平均考试成绩（已知每人成绩） B. 计算某企业各车间的平均产值（已知各车间产值和人数） C. 计算某地区居民的平均年收入（已知每户年收入） D. 计算某超市销售商品的平均单价（已知每种商品单价和销售额） 【答案】D 【解析】调和平均数适用于 “已知标志值（单价）和标志总量（销售额），未知单位总量（销售量）” 的场景，D 选项符合；A、C 选项适合简单算术平均数，B 选项适合加权算术平均数（以人数为权重），故正确答案为 D。 7.已知某组数据的简单算术平均数为 80，若将该组数据中每个标志值都增加 10，则新数据的简单算术平均数为（ ） A. 70 B. 80 C. 90 D. 100 【答案】C 【解析】算术平均数具有 “线性变换不变性”，即每个数据增加常数 a，平均数也增加 a。原平均数 80，每个数据增加 10，新平均数 = 80+10=90。A 选项为减少 10 的结果，B 选项为不变的错误结果，D 选项为增加 20 的结果，故正确答案为 C。 8.某企业 2023 年各季度的产值（单位：万元）分别为：300、360、420、480，若计算该企业 2023 年季度产值的加权算术平均数（以季度为权重，权重均为 1），则结果与简单算术平均数的关系是（ ） A. 加权算术平均数大于简单算术平均数 B. 加权算术平均数小于简单算术平均数 C. 二者相等 D. 无法确定 【答案】C 【解析】当所有权重相等时，加权算术平均数 = 简单算术平均数。本题中季度权重均为 1，加权算术平均数 =（300×1+360×1+420×1+480×1）/（1+1+1+1）=1560/4=390，简单算术平均数 =（300+360+420+480）/4=390，二者相等，故正确答案为 C。 9.某组数据包含 5 个标志值：10、20、30、40、50，若删除其中的极端值 50，剩余数据的简单算术平均数为（ ） A. 25 B. 30 C. 35 D. 40 【答案】A 【解析】剩余数据为 10、20、30、40，平均数 =（10+20+30+40）/4=100/4=25。B 选项为原 5 个数据的平均数，C、D 选项为计算错误结果，故正确答案为 A。 10.某超市销售两种水果：苹果单价 8 元 / 千克，销售额 4000 元；香蕉单价 6 元 / 千克，销售额 3000 元。该超市销售这两种水果的平均单价（调和平均数）为（ ） A. 6.8 元 / 千克 B. 7.0 元 / 千克 C. 7.2 元 / 千克 D. 7.4 元 / 千克 【答案】C 【解析】平均单价 = 总销售额 / 总销售量，总销售额 = 4000+3000=7000 元，总销售量 =（4000/8）+（3000/6）=500+500=1000 千克，平均单价 = 7000/1000=7.2 元 / 千克。A、B、D 选项均为总销售量计算错误导致，故正确答案为 C。 11.下列关于算术平均数数学性质的说法，正确的是（ ） A. 总体各单位标志值与算术平均数的离差之和为 1 B. 总体各单位标志值与算术平均数的离差平方和为最小值 C. 算术平均数不受数据中极端值的影响 D. 算术平均数不能反映数据的离散程度 【答案】B 【解析】算术平均数的核心数学性质之一是 “离差平方和最小”，即各标志值与均值的离差平方和小于与其他任何数值的离差平方和，B 选项正确。A 选项错误，离差之和为 0；C 选项错误，算术平均数受极端值影响大；D 选项错误，虽不能直接反映离散程度，但可结合标准差等指标分析，故正确答案为 B。 12.某企业有三个车间，甲车间人数 20 人，人均产值 15 万元；乙车间人数 30 人，人均产值 12 万元；丙车间人数 50 人，人均产值 10 万元。该企业的总人均产值（加权算术平均数）为（ ） A. 11.5 万元 / 人 B. 12.0 万元 / 人 C. 12.5 万元 / 人 D. 13.0 万元 / 人 【答案】A 【解析】总人均产值 = 总产 值 / 总人数，总产 值 =（20×15）+（30×12）+（50×10）=300+360+500=1160 万元，总人数 = 20+30+50=100 人，总人均产值 = 1160/100=11.5 万元 / 人。B、C、D 选项均为总产 值计算错误导致，故正确答案为 A。 13.已知某组数据的调和平均数为 60，若将该组数据中每个标志值都扩大为原来的 2 倍，则新数据的调和平均数为（ ） A. 30 B. 60 C. 120 D. 240 【答案】C 【解析】调和平均数具有 “同向比例变换性”，即每个数据扩大为原来的 k 倍，调和平均数也扩大为原来的 k 倍。原调和平均数 60，扩大 2 倍后为 60×2=120。A 选项为缩小 2 倍的结果，B 选项为不变的错误结果，D 选项为扩大 4 倍的结果，故正确答案为 C。 14.某班级学生的英语成绩分布如下：80 分以下 5 人，80-90 分 20 人，90 分以上 5 人。若以组中值（75、85、95）计算加权算术平均成绩，结果为（ ） A. 83 分 B. 85 分 C. 87 分 D. 89 分 【答案】B 【解析】加权算术平均数 =（75×5 + 85×20 + 95×5）/（5+20+5）=（375+1700+475）/30=2550/30=85 分。A、C、D 选项均为组中值应用错误或权重计算错误导致，故正确答案为 B。 15.下列关于算术平均数与调和平均数关系的说法，正确的是（ ） A. 对于同一组正数数据，算术平均数一定大于调和平均数 B. 对于同一组正数数据，算术平均数一定小于调和平均数 C. 对于同一组正数数据，算术平均数与调和平均数一定相等 D. 二者关系无法确定，取决于数据分布 【答案】A 【解析】对于任意一组不相等的正数数据，算术平均数 > 调和平均数；当所有数据相等时，二者相等。因此在一般情况下（数据不完全相同），算术平均数大于调和平均数，A 选项正确，B、C、D 选项错误，故正确答案为 A。 二、多选题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1.下列关于 “简单算术平均数” 的说法，正确的有（ ） A. 简单算术平均数适用于总体各单位标志值权重相等的情况 B. 简单算术平均数 = 总体标志总量 / 总体单位总数 C. 某组数据为 5、10、15、20，简单算术平均数 =（5+10+15+20）/4=12.5 D. 简单算术平均数受极端值影响较大，如数据中存在极大值，会显著拉高平均数 E. 简单算术平均数仅适用于连续型变量数列，不适用于离散型变量数列 【答案】ABCD 【解析】简单算术平均数的特征：适用权重相等场景（A 正确）、公式（B 正确）、实例计算（C 正确）、抗极端值性（D 正确）。E 选项错误，简单算术平均数适用于离散型（如人数、件数）和连续型（如收入、身高）变量数列，故正确答案为 ABCD。 2.下列关于 “加权算术平均数” 的说法，正确的有（ ） A. 加权算术平均数适用于总体各单位标志值权重不相等的情况 B. 加权算术平均数 =Σ（标志值 × 权重）/Σ 权重 C. 权重越大的标志值，对加权算术平均数的影响越大 D. 权重可以是绝对数（如人数、销量），也可以是相对数（如频率、占比） E. 若所有权重相等，加权算术平均数等于简单算术平均数 【答案】ABCDE 【解析】加权算术平均数的核心特征：适用场景（A 正确）、公式（B 正确）、权重影响（C 正确）、权重形式（D 正确）、与简单算术平均数的关系（E 正确），五项均符合知识点，故正确答案为 ABCDE。 3.下列场景中，适合采用 “加权算术平均数” 计算的有（ ） A. 计算某企业各车间的平均产值（已知各车间产值和人数，人数为权重） B. 计算某商场各商品的平均单价（已知各商品单价和销量，销量为权重） C. 计算某班级学生的平均考试成绩（已知每人成绩，权重均为 1） D. 计算某地区居民的平均年收入（已知每户年收入和家庭人数，家庭人数为权重） E. 计算某股票近 5 年的平均收益率（已知每年收益率，权重均为 1） 【答案】ABD 【解析】加权算术平均数适用于 “权重不相等” 的场景：A（人数权重不同）、B（销量权重不同）、D（家庭人数权重不同）符合；C、E 选项权重均为 1，适合简单算术平均数，故正确答案为 ABD。 4.下列关于 “调和平均数” 的说法，正确的有（ ） A. 调和平均数是算术平均数的变形，本质都是 “总体标志总量 / 总体单位总数” B. 当已知标志值和标志总量，无法直接获取单位总量时，调和平均数是便捷的计算形式 C. 某组数据为 2、4、8，调和平均数 = 3/（1/2 + 1/4 + 1/8）=3/（7/8）≈3.43 D. 调和平均数受极小值影响较大，极小值会显著拉低调和平均数 E. 调和平均数适用于品质数列和变量数列 【答案】ABCD 【解析】调和平均数的特征：与算术平均数的关系（A 正确）、适用条件（B 正确）、实例计算（C 正确）、抗极端值性（D 正确）。E 选项错误，调和平均数仅适用于变量数列，不适用于品质数列，故正确答案为 ABCD。 5.下列关于算术平均数数学性质的说法，正确的有（ ） A. 总体各单位标志值与算术平均数的离差之和为 0 B. 总体各单位标志值与算术平均数的离差平方和为最小值 C. 若将每个标志值都加上一个常数 a，算术平均数也增加 a D. 若将每个标志值都乘以一个常数 k，算术平均数也乘以 k E. 算术平均数的大小与数据的排列顺序无关 【答案】ABCDE 【解析】算术平均数的数学性质：离差之和为 0（A 正确，如数据 10、20、30，均值 20，离差 - 10、0、10，和为 0）；离差平方和最小（B 正确，如数据与均值的平方和小于与其他值的平方和）；线性变换性质（C、D 正确，符合均值的数学运算逻辑）；与排列顺序无关（E 正确，数据顺序不影响总和与单位数），五项均正确，故正确答案为 ABCDE。 6.下列关于调和平均数与算术平均数关系的说法，正确的有（ ） A. 调和平均数是算术平均数的变形形式，核心公式均为 “总体标志总量 / 总体单位总数” B. 当已知 “标志值 × 单位总量”（即标志总量）和单位总量时，用算术平均数；已知标志值和标志总量时，用调和平均数 C. 对于同一组正数数据（不完全相同），算术平均数大于调和平均数 D. 当所有标志值相等时，算术平均数与调和平均数相等 E. 调和平均数可视为算术平均数的 “倒数平均数”，二者计算逻辑完全不同 【答案】ABCD 【解析】调和平均数与算术平均数的关系：本质一致（A 正确）、应用场景互补（B 正确）、数值大小关系（C 正确，如数据 2、4、8，算术平均数≈4.67，调和平均数≈3.43）、特殊情况相等（D 正确）。E 选项错误，二者计算逻辑本质相同（均为 “总量 / 单位数”），非 “完全不同”，故正确答案为 ABCD。 7.下列场景中，适合采用 “调和平均数” 的有（ ） A. 计算某餐厅菜品的平均单价（已知每种菜品单价和销售额） B. 计算某运输公司的平均运输速度（已知各路段速度和运输距离） C. 计算某工厂的平均单位成本（已知各批次单位成本和总成本） D. 计算某班级学生的平均考试成绩（已知每人成绩和人数） E. 计算某超市的平均库存周转率（已知各商品周转率和库存金额） 【答案】ABCE 【解析】调和平均数适用于 “已知标志值和标志总量，未知单位总量” 的场景：A（单价为标志值，销售额为标志总量）、B（速度为标志值，距离为标志总量）、C（单位成本为标志值，总成本为标志总量）、E（周转率为标志值，库存金额为标志总量）均符合；D 选项已知成绩（标志值）和人数（单位总量），适合算术平均数，故正确答案为 ABCE。 8.下列关于加权算术平均数中 “权重” 的说法，正确的有（ ） A. 权重是衡量各标志值在总体中重要程度的指标，权重越大，该标志值对均值影响越大 B. 权重可以是绝对数（如销量、人数），也可以是相对数（如销量占比、人数占比） C. 若以相对数为权重，加权算术平均数 =Σ（标志值 × 权重占比） D. 权重的选择需结合研究目的，如计算 “平均价格”，权重应为 “销量” 而非 “商品种类数” E. 权重一旦确定，不可调整，否则会导致均值计算结果失真 【答案】ABCD 【解析】加权算术平均数中权重的特征：定义与影响（A 正确）、表现形式（B 正确）、相对数权重计算（C 正确，如标志值 50、80，权重占比 40%、60%，均值 = 50×0.4+80×0.6=68）、选择原则（D 正确，符合 “权重与标志值关联” 要求）。E 选项错误，权重可根据研究目的调整（如分析不同维度的平均水平，可选择不同权重），并非不可调整，故正确答案为 ABCD。 9.下列关于算术平均数应用的注意事项，正确的有（ ） A. 计算算术平均数时，需确保总体各单位标志值具有同质性（如 “职工工资” 与 “学生补贴” 不可混合计算） B. 当数据存在极端值时，算术平均数可能偏离总体一般水平，需结合中位数或众数分析 C. 算术平均数适用于变量数列，不适用于品质数列（如 “商品品牌” 无法计算均值） D. 算术平均数仅能反映总体集中趋势，需结合离散指标（如标准差）全面反映数据特征 E. 计算加权算术平均数时，需确保权重与标志值的逻辑关联（如 “平均产值” 的权重应为 “人数” 而非 “车间数”） 【答案】ABCDE 【解析】算术平均数应用的核心注意事项：同质性要求（A 正确）、抗极端值局限（B 正确）、适用范围（C 正确）、与离散指标结合（D 正确）、权重逻辑（E 正确），五项均符合均值应用的规范，故正确答案为 ABCDE。 10.下列关于调和平均数应用的注意事项，正确的有（ ） A. 调和平均数的计算前提是所有标志值均为正数，若存在零或负数，调和平均数无实际意义 B. 调和平均数受极小值影响较大，因此在存在极小值的数据中，需谨慎使用 C. 调和平均数仅适用于变量数列，且需已知 “标志值” 和 “标志总量” 两个核心数据 D. 应用调和平均数时，需确保 “标志总量” 与 “标志值” 的逻辑匹配（如 “销售额” 应与 “单价” 匹配，而非 “销量”） E. 调和平均数与算术平均数的选择，取决于数据的呈现形式，而非研究目的 【答案】ABCD 【解析】调和平均数应用的注意事项：计算前提（A 正确，零会导致分母为零，负数无实际意义）、抗极端值局限（B 正确，极小值会显著拉低均值）、适用条件（C 正确）、数据逻辑匹配（D 正确）。E 选项错误，调和平均数与算术平均数的选择，需结合研究目的（如侧重 “单位总量” 或 “标志总量”）和数据形式，故正确答案为 ABCD。 三、判断题（本题共10小题，每题1分，共10分） 1.简单算术平均数适用于总体各单位标志值权重相等的情况，若权重不相等，必须采用加权算术平均数，否则会导致计算结果失真。（ ） 【答案】√ 【解析】简单算术平均数默认权重相等（如每人成绩权重均为 1），若权重不相等（如不同车间人数不同），不考虑权重会导致均值偏离实际水平（如仅用各车间产值简单平均，忽略人数差异），必须用加权算术平均数，题干表述正确。 2.调和平均数是算术平均数的变形形式，因此对于同一组数据，无论用算术平均数还是调和平均数计算，结果都一定相等。（ ） 【答案】× 【解析】二者结果相等的前提是 “数据对应关系正确”：若算术平均数用 “标志值 × 单位总量” 计算，调和平均数用 “标志总量” 计算，且数据匹配（标志总量 = 标志值 × 单位总量），结果才相等；若数据对应错误（如混淆标志值和标志总量），结果会不同，题干中 “一定相等” 表述绝对化，错误。 3.算术平均数受极端值影响较大，因此在存在极端值的数列中，算术平均数的代表性会降低，此时应优先选择中位数或众数反映总体一般水平。（ ） 【答案】√ 【解析】极端值会显著拉高或拉低算术平均数（如数据 10、20、30、1000，均值 265，偏离多数数据水平），此时中位数（25）或众数（无）更能代表总体一般水平，题干表述正确。 4.加权算术平均数中，权重的大小仅取决于绝对数（如人数、销量），与相对数（如占比）无关，因此用绝对数权重和相对数权重计算的结果会不同。（ ） 【答案】× 【解析】权重的核心是 “相对重要程度”，绝对数权重和相对数权重本质一致（相对数 = 绝对数 / 总绝对数），计算结果相同（如标志值 50、80，绝对数权重 40、60，均值 =（50×40+80×60）/100=68；相对数权重 40%、60%，均值 = 50×0.4+80×0.6=68），题干表述错误。 5.调和平均数仅适用于 “已知标志值和标志总量” 的场景，若已知标志值和单位总量，则无法用调和平均数计算，只能用算术平均数。（ ） 【答案】√ 【解析】调和平均数的公式为 “总标志总量 /Σ（标志总量 / 标志值）”，需已知标志值和标志总量；若已知标志值和单位总量，公式变为 “Σ（标志值 × 单位总量）/ 总单位总量”，即算术平均数，题干表述正确。 6.某组数据为 1、2、3、4、5，其简单算术平均数为 3，调和平均数为 2.19，说明对于同一组正数数据，算术平均数一定大于调和平均数，即使数据完全对称分布也是如此。（ ） 【答案】√ 【解析】对于任意一组不完全相同的正数数据，无论分布是否对称，算术平均数都大于调和平均数（因调和平均数更受小值影响）；仅当所有数据相等时，二者才相等，题干表述正确。 7.计算某企业的平均单位成本时，若已知各批次产品的单位成本和产量，适合用加权算术平均数（以产量为权重）；若已知各批次单位成本和总成本，适合用调和平均数。（ ） 【答案】√ 【解析】平均单位成本 = 总成本 / 总产量：已知单位成本（标志值）和产量（单位总量），用 “Σ（单位成本 × 产量）/ 总产量”（加权算术平均数）；已知单位成本（标志值）和总成本（标志总量），用 “总本成本 /Σ（总成本 / 单位成本）”（调和平均数），题干表述正确。 8.算术平均数的数学性质 “离差之和为 0”，意味着总体各单位标志值围绕算术平均数对称分布，不存在偏斜。（ ） 【答案】× 【解析】“离差之和为 0” 是算术平均数的固有数学性质，与数据分布是否对称无关（如偏斜数据 10、20、30、100，均值 40，离差 - 30、-20、-10、60，和为 0，但分布右偏），题干表述错误。 9.某商场销售 A、B 两种商品，A 商品单价 50 元，销量 200 件；B 商品单价 80 元，销量 300 件。若计算平均单价，用简单算术平均数（（50+80）/2=65 元）与加权算术平均数（（50×200+80×300）/500=68 元）结果不同，说明简单算术平均数在此场景下无意义。（ ） 【答案】√ 【解析】该场景下商品销量（权重）不同，简单算术平均数忽略权重差异，结果偏离实际（实际总销售额 = 50×200+80×300=34000 元，平均单价 = 34000/500=68 元），无实际意义，需用加权算术平均数，题干表述正确。 10.调和平均数受极端值影响比算术平均数更大，因此在存在极小值的数据中，调和平均数的代表性比算术平均数更差，应避免使用。（ ） 【答案】√ 【解析】极小值会导致调和平均数的分母（1 / 标志值）显著增大，从而拉低调和平均数（如数据 1、2、3、100，算术平均数 26.5，调和平均数≈1.98，调和平均数更偏离多数数据），代表性更差，题干表述正确。 四、计算分析题（本大题共2小题，每题10分，共20分） 1某企业 2023 年各季度的生产数据如下： 季度 单位产品成本（元 / 件） 产量（万件） 总成本（万元） 一季度 80 5 400 二季度 85 6 510 三季度 78 8 624 四季度 75 10 750 要求： （1）分别用加权算术平均数和调和平均数计算该企业 2023 年的平均单位产品成本（保留 2 位小数），并验证两种方法结果是否一致； （2）若四季度产量增加 2 万件，单位产品成本不变，重新计算平均单位产品成本（加权算术平均数），并分析产量变动对平均单位成本的影响； （3）若二季度单位产品成本降低至 82 元 / 件，产量不变，重新计算平均单位产品成本（加权算术平均数），并分析单位成本变动对平均单位成本的影响。 答案与解析 （1）平均单位产品成本计算与验证 加权算术平均数计算： 平均单位成本 =Σ（单位成本 × 产量）/Σ 产量 =（80×5 + 85×6 + 78×8 + 75×10）/（5+6+8+10） =（400 + 510 + 624 + 750）/29=2284/29≈78.76 元 / 件 调和平均数计算： 平均单位成本 =Σ 总成本 /Σ（总成本 / 单位成本）=（400 + 510 + 624 + 750）/（400/80 + 510/85 + 624/78 + 750/75） =2284/（5 + 6 + 8 + 10）=2284/29≈78.76 元 / 件 结果验证：两种方法结果一致，因调和平均数是算术平均数的变形，且数据对应关系正确（总成本 = 单位成本 × 产量），符合 “总体标志总量 / 总体单位总数” 的核心逻辑。 （2）四季度产量变动后的平均单位成本计算与影响分析 变动后数据：四季度产量 = 10+2=12 万件，单位成本 75 元 / 件，总成本 = 75×12=900 万元 平均单位成本计算： =（80×5 + 85×6 + 78×8 + 75×12）/（5+6+8+12） =（400 + 510 + 624 + 900）/31=2434/31≈78.52 元 / 件 影响分析：产量增加后，平均单位成本从 78.76 元 / 件降至 78.52 元 / 件，下降 0.24 元 / 件。因四季度单位成本（75 元 / 件）低于原平均水平，增加其产量（权重）会拉低整体平均单位成本，体现 “权重向低成本区间倾斜” 的影响。 （3）二季度单位成本变动后的平均单位成本计算与影响分析 变动后数据：二季度单位成本 = 82 元 / 件，产量 6 万件，总成本 = 82×6=492 万元 平均单位成本计算： =（80×5 + 82×6 + 78×8 + 75×10）/（5+6+8+10） =（400 + 492 + 624 + 750）/29=2266/29≈78.14 元 / 件 影响分析：单位成本降低后，平均单位成本从 78.76 元 / 件降至 78.14 元 / 件，下降 0.62 元 / 件。因二季度单位成本降低，直接减少了总成本，进而拉低整体平均单位成本，体现 “标志值降低对均值的直接影响”。 2.某超市 2023 年上半年销售三种生鲜商品的相关数据如下： 商品名称 单价（元 / 千克） 销量（千克） 销售额（元） 猪肉 30 5000 150000 牛肉 60 3000 180000 鸡肉 15 8000 120000 要求： （1）分别用加权算术平均数（以销量为权重）和调和平均数计算三种商品的平均销售单价（保留 2 位小数），并说明两种方法的适用场景差异； （2）若猪肉单价上涨 10%，销量不变；牛肉销量增加 20%，单价不变；鸡肉销售额增加 30%，单价不变，重新计算平均销售单价（加权算术平均数），并分析各商品变动对平均单价的影响； （3）若因促销活动，三种商品均降价 5%，销量分别增加 15%、10%、20%，计算促销后的平均销售单价（加权算术平均数），并对比促销前后平均单价的变化幅度（保留 2 位小数）。 答案与解析 （1）平均销售单价计算与适用场景差异 加权算术平均数计算（以销量为权重）： 平均单价 =Σ（单价 × 销量）/Σ 销量 =（30×5000 + 60×3000 + 15×8000）/（5000+3000+8000） =（150000 + 180000 + 120000）/16000=450000/16000≈28.13 元 / 千克 调和平均数计算： 平均单价 =Σ 销售额 /Σ（销售额 / 单价）=（150000 + 180000 + 120000）/（150000/30 + 180000/60 + 120000/15） =450000/（5000 + 3000 + 8000）=450000/16000≈28.13 元 / 千克 适用场景差异： ① 加权算术平均数适用于 “已知单价（标志值）和销量（单位总量）” 的场景，当销量数据易获取（如超市库存管理系统直接记录销量）时，计算更便捷； ② 调和平均数适用于 “已知单价（标志值）和销售额（标志总量）” 的场景，当销量需通过销售额和单价推算（如仅统计了每日销售额，未直接记录销量）时，调和平均数可避免额外的销量计算步骤，更高效。 （2）数据变动后的平均销售单价计算与影响分析 各商品变动后数据： ① 猪肉：单价 = 30×（1+10%）=33 元 / 千克，销量 = 5000 千克，销售额 = 33×5000=165000 元； ② 牛肉：销量 = 3000×（1+20%）=3600 千克，单价 = 60 元 / 千克，销售额 = 60×3600=216000 元； ③ 鸡肉：销售额 = 120000×（1+30%）=156000 元，单价 = 15 元 / 千克，销量 = 156000/15=10400 千克。 变动后平均单价计算（加权算术平均数）： =（33×5000 + 60×3600 + 15×10400）/（5000+3600+10400） =（165000 + 216000 + 156000）/19000=537000/19000≈28.26 元 / 千克 变动影响分析： 平均单价从 28.13 元 / 千克升至 28.26 元 / 千克，上升 0.13 元 / 千克，主要受三方面因素影响： ① 猪肉单价上涨（从 30 元升至 33 元）：作为中权重商品（原销量占比 31.25%），单价上涨直接拉高整体平均单价； ② 牛肉销量增加（从 3000 千克升至 3600 千克）：牛肉单价（60 元）高于原平均单价，增加其权重（从 18.75% 升至 18.95%），进一步推高平均单价； ③ 鸡肉销售额增加（销量从 8000 千克升至 10400 千克）：鸡肉单价（15 元）低于原平均单价，增加其权重（从 50% 升至 54.74%），对平均单价有拉低作用，但因前两项因素影响更大，最终平均单价仍上升。 （3）促销活动前后平均单价对比分析 促销前平均单价：28.13 元 / 千克（同（1）中计算结果）。 促销后各商品数据： ① 猪肉：促销单价 = 30×（1-5%）=28.5 元 / 千克，促销销量 = 5000×（1+15%）=5750 千克； ② 牛肉：促销单价 = 60×（1-5%）=57 元 / 千克，促销销量 = 3000×（1+10%）=3300 千克； ③ 鸡肉：促销单价 = 15×（1-5%）=14.25 元 / 千克，促销销量 = 8000×（1+20%）=9600 千克。 促销后平均单价计算（加权算术平均数）： =（28.5×5750 + 57×3300 + 14.25×9600）/（5750+3300+9600） =（163875 + 188100 + 136800）/18650=488775/18650≈26.21 元 / 千克 平均单价变化幅度： 变化幅度 =（促销后平均单价 - 促销前平均单价）/ 促销前平均单价 ×100% =（26.21 - 28.13）/28.13×100%≈-6.82% 结论：促销活动后，三种商品平均销售单价下降 6.82%，既通过降价吸引消费者，又通过销量提升实现销售额的潜在增长，符合促销活动 “以价换量” 的常见策略逻辑。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $