精品解析：贵州省贵阳市第十九中学2021-2022学年八年级下学期半期考试 数学试题

贵阳市第十九中学2021-2022学年度第二学期期中测试试题卷 （八年级 数学） 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．本卷为数学试卷，全卷共4页，三大题，21小题，满分100分，考试时间90分钟． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3．不能使用科学计算器． 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列式子：①-2≤0；②3x+2y＞0；③b=2；④m≠3；⑤x+y；⑥x+5≤6是不等式的有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 2. 下列环保标志，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点 4. 若一个不等式的负整数解为，，则该不等式的解集在数轴上的表示可能是下列的（ ） A. B. C. D. 5. 把多项式分解因式时，应提出的公因式是（ ） A. B. C. D. 6. 已知一次函数（k为常数且）的图象如图所示，当时，y的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法中正确的是（ ） A. 斜边相等的两个直角三角形全等 B. 腰相等的两个等腰三角形全等 C. 有一边相等的两个等边三角形全等 D. 两条边相等的两个直角三角形全等 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段平移，使得点A平移到点，则平移后点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 或 9. 如图，中，，，，将沿翻折，使点A与点B重合，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 4 10. 如图，在等腰直角三角形中，，O是的中点，且，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与，相交，交点分别为点D，E，则等于（　　） A. B. 2 C. D. 二、填空题（共4小题，每题4分，共16分） 11. 如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是______． 12. 如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心是______． 13. 如图，点O在内部，且到三角形三边的距离相等，若，则_________°． 14. 如图，有一块边长为b的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为α的正方形，然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒．用M表示其底面积与侧面积的差，则M可因式分解为_________． 三、解答题（共7小题，共54分） 15. 在学习中小明发现：当时，的值都是负数，于是小明猜想：当n为任意正整数时，的值都是负数． （1）小明的猜想正确吗？说明你的理由． （2）如果小明的猜想不正确，那么当n取哪些正整数时，不是负数？ 16. （1）解不等式，并把它的解集表示在数轴上； （2）解不等式组． 17. 如图，在中，，， F为延长线上一点，点E在上，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 18. 如图，三个顶点的坐标分别是，，． （1）请画出关于原点对称的，并写出点、、的坐标； （2）若在x轴上有一点P，使得周长最小，请直接写出点P的坐标． 19. 如图，点O是等边△ABC内一点，，．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转得△ADC，连接OD． （1）求证：△COD是等边三角形； （2）当时，试判断△AOD的形状，并说明理由． 20. 某商店准备销售甲、乙两种商品共80件，已知甲种商品进货价为每件70元，乙种商品进货价为每件35元，在定价销售时，甲种商品售价定为每件90元，乙种商品售价定为每件60元． （1）若甲、乙两种商品的进货总投入不超过4200元，则至多进货甲种商品多少件？ （2）在（1）的条件下，若这批商品全部按定价售完，该商店至少盈利多少元？ 21. 已知，△ABC为等边三角形，有一块含有30°角的直角三角形DEF如图放置，让三角板在BC所在的直线上向右平移， （1）如图1，当点E与点B重合时，点A恰好落在三角形的斜边DF上，试证明：EF=2BC； （2）在三角板的平移过程中，设AB，AC与三角形斜边的交点分别为G，H，试在图2中探究EB=AH是否始终成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市第十九中学2021-2022学年度第二学期期中测试试题卷 （八年级 数学） 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1．本卷为数学试卷，全卷共4页，三大题，21小题，满分100分，考试时间90分钟． 2．一律在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题视为无效． 3．不能使用科学计算器． 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列式子：①-2≤0；②3x+2y＞0；③b=2；④m≠3；⑤x+y；⑥x+5≤6是不等式的有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的定义逐个判断即可． 【详解】解：不等式有，，，共4个． 故选：B． 【点睛】本题考查了不等式的定义，注意：用不等号表示不等关系的式子，叫不等式，不等号有：， ，，，等． 2. 下列环保标志，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念和中心对称图形的概念，对每个选项进行判断即可． 【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，则此项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟记定义是解题关键． 3. A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用； 游戏公平需要凳子到三顶点距离相等，此点为三角形外心，即三边垂直平分线的交点． 【详解】解：∵凳子到A、B、C距离相等， ∴凳子应放于的三边垂直平分线的交点， 故选：A． 4. 若一个不等式的负整数解为，，则该不等式的解集在数轴上的表示可能是下列的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的负整数解，用数轴表示不等式的解集，熟练掌握，向右画；，向左画；在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示是解题的关键． 观察数轴得到不等式的解集，即可求解． 【详解】解：A、该不等式的解集为，负整数解为，故本选项不符合题意； B、该不等式的解集为，负整数解为，，，……，不是，，故本选项不符合题意； C、该不等式的解集为，负整数解为，，故本选项符合题意； D、该不等式的解集为，负整数解为，，，……，不是，，故本选项不符合题意． 故选：C． 5. 把多项式分解因式时，应提出的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法因式分解．根据公因式的定义即可作答． 【详解】解：中的两项，系数部分有公因数，字母a部分都有，字母c部分都有， 故在因式分解时，提的公因式为， 故选：B． 6. 已知一次函数（k为常数且）的图象如图所示，当时，y的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由一次函数与坐标轴的交点求不等式的解集，熟练掌握函数图象与坐标轴的交点，是解此题的关键． 首先根据函数图象可得出一次函数与y轴的交点为，再根据时，图象在上方，即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数的图象交y轴于点， ∴当时，． 故选：A． 7. 下列说法中正确的是（ ） A. 斜边相等的两个直角三角形全等 B. 腰相等的两个等腰三角形全等 C. 有一边相等的两个等边三角形全等 D. 两条边相等的两个直角三角形全等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定，解题的关键是从选项中挖掘条件及熟练掌握判定．根据三角形全等的判定逐个判断即可得到答案． 【详解】A． 斜边相等的两个直角三角形不一定全等，故本选项错误； B．腰相等的等腰三角形，能推论两条边相等，不能证明两个三角形全等，故错误； C． 一边相等的两个等边三角形一定全等，故此选项正确； D． 两条边相等的两个直角三角形不一定全等，故此选项错误； 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段平移，使得点A平移到点，则平移后点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据点平移到点可得该线段平移的方法，用这个平移方法即可得到平移后点B的坐标．本题考查了平移，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：点A的坐标为，点A平移到点， 故平移的方法为：向右平移2个单位，向上平移4个单位， 故将点向右平移2个单位，向上平移4个单位后，坐标为， 故选：B． 9. 如图，中，，，，将沿翻折，使点A与点B重合，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了含30度角直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先得到，然后由折叠得到，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】∵，，， ∴， ∵将沿翻折，使点A与点B重合， ∴，， ∴， ∴ ∴． 故选：A． 10. 如图，在等腰直角三角形中，，O是的中点，且，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与，相交，交点分别为点D，E，则等于（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．连接，根据证明，得出，即可得出答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵等腰直角中，，点O是的中点， ∴，平分， ∴， ∵，， ∴，同理得， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题（共4小题，每题4分，共16分） 11. 如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质和解不等式，根据不等式的性质求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】∵关于的不等式的解集为， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心是______． 【答案】点 【解析】 【分析】本题考查了旋转的定义和必抽，掌握对应点到旋转中心的距离相等是解题的关键，观察图象，由旋转的性质长到旋转中心即可得到答案． 【详解】解：由图可知，各对应点到点的距离相等， ∴点为旋转中心， 故答案为：点． 13. 如图，点O在内部，且到三角形三边的距离相等，若，则_________°． 【答案】100 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理及角平分线的逆定理来求解的度数．首先，理解点O是内部的内心，且到三边的距离相等，意味着点O是角平分线的交点，然后利用已知的度数和三角形内角和定理来推导的度数． 【详解】解：分别过点O作，，的垂线，交，，于点E，F，D， ∵点O在内部，且到三角形三边的距离相等， ∴，，，， ∴射线为的角平分线，射线为的角平分线， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴， 在中，， 即． 故答案为：100． 14. 如图，有一块边长为b的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为α的正方形，然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒．用M表示其底面积与侧面积的差，则M可因式分解为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题需要计算一个无盖长方体纸盒的底面积与侧面积的差，并进行因式分解．主要用到的概念有面积计算和因式分解． 【详解】解：由图可知，底面积为，侧面积为， ， ， 故答案为：． 三、解答题（共7小题，共54分） 15. 在学习中小明发现：当时，的值都是负数，于是小明猜想：当n为任意正整数时，的值都是负数． （1）小明的猜想正确吗？说明你的理由． （2）如果小明的猜想不正确，那么当n取哪些正整数时，不是负数？ 【答案】 （1）小明的猜想不正确，理由是：当时，，不是负数． （2）当n取大于或等于6的正整数时，不是负数． 【解析】 【分析】（1）举反例即可判断； （2）先将原式提公因式n，然后根据n为任意正整数以及乘法法则即可求得答案． 【详解】解：（1） 略 （2）因为为正整数． 所以，当，即时，，不是负数． 因此，当n取大于或等于6的正整数时，不是负数． 【点睛】本题考查了提公因式法分解因式的应用，熟练掌握因式分解的方法以及乘法法则是解决本题的关键． 16. （1）解不等式，并把它的解集表示在数轴上； （2）解不等式组． 【答案】（1），数轴见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1，从而可得不等式的解，并在数轴上表示出来即可； （2）分别解出两个不等式，从而可得不等式组的解； 本题考查了一元一次不等式（组）的解法，掌握一元一次不等式的解法是解题关键． 【详解】解：（1） 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，， 解得：． 在数轴上表示为： ； （2）， 解不等式①： 去分母：， 去括号：， 移项，合并同类项：， 系数化为1：． 解不等式②： 去括号：， 移项，合并同类项：， 系数化为1：， 不等式组的解集为：． 17. 如图，在中，，， F为延长线上一点，点E在上，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） ， ， ， 又， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握相关知识点，数形结合是解题的关键； （1）根据题中条件，利用“HL”判定； （2）由等腰三角形的性质，求出，利用（1）的结论， 可得，再由求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， ， ， 由（1）知，，可得， ． 18. 如图，三个顶点的坐标分别是，，． （1）请画出关于原点对称的，并写出点、、的坐标； （2）若在x轴上有一点P，使得周长最小，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1） 即为所求： ，，的坐标分别为，，． （2） 【解析】 【分析】（1）依据中心对称的性质，即可得到关于原点O对称的图形，进而得出，，的坐标； （2）作点B关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，此时的最小值等于的长，利用待定系数法即可得的解析式，进而得出点P的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，作点B关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，此时的最小值等于的长， 设的解析式为， 把和代入，可得，解得， ∴的解析式为， 当时，， ∴． 【点睛】本题主要考查了利用中心对称变换作图以及一次函数的应用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 19. 如图，点O是等边△ABC内一点，，．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转得△ADC，连接OD． （1）求证：△COD是等边三角形； （2）当时，试判断△AOD的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）△AOD是等腰直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得CO＝CD，∠OCB＝∠DCA，根据等边三角形的性质及判定方法即可得到△OCD是等边三角形； （2）由旋转的性质可得∠BOC＝∠ADC＝150°，由（1）结论可求得∠ADO的度数，结合周角即可求得所求∠AOD的度数，从而可判定△AOD的形状． 【详解】（1）因为△ADC是△BOC旋转得到 所以CO＝CD，∠OCB＝∠DCA 因为△ABC是等边三角形 所以∠ACB＝60°． 因为∠ACB＝∠OCB＋∠ACO，∠OCD＝∠DCA＋∠ACO，而∠OCB＝∠DCA 所以∠ACB＝∠OCD＝60° 所以△COD是等边三角形 （2）因为△ADC是△BOC旋转得到 所以∠BOC＝∠ADC＝150° 由（1）得△COD是等边三角形， 所以∠ADO＝∠ADC−∠ODC＝90° ∠AOD＝360°−∠AOB−∠BOC−∠DOC＝45° 所以△AOD是等腰直角三角形 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，关键是利用旋转的性质． 20. 某商店准备销售甲、乙两种商品共80件，已知甲种商品进货价为每件70元，乙种商品进货价为每件35元，在定价销售时，甲种商品售价定为每件90元，乙种商品售价定为每件60元． （1）若甲、乙两种商品的进货总投入不超过4200元，则至多进货甲种商品多少件？ （2）在（1）的条件下，若这批商品全部按定价售完，该商店至少盈利多少元？ 【答案】（1）40 （2）1800 【解析】 【分析】（1）设进货甲商品件，乙商品件，根据题意列出不等式，求解不等式即可得到答案； （2）设进货乙商品件，利润为元，根据a的范围求出b的范围，用b表示M，根据一次函数的增减性即可求出利润的最小值． 本题考查了一元一次不等式、一次函数的增减性，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【小问1详解】 解：设进货甲商品件，则乙商品件． 依题意得， 解得， ∴至多进货甲种商品40件； 【小问2详解】 解：设进货乙商品件，利润为元． 由（1）得，则， 1600， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值，即（元）， ∴若这批商品全部按定价售完，该商店至少盈利1800元． 21. 已知，△ABC为等边三角形，有一块含有30°角的直角三角形DEF如图放置，让三角板在BC所在的直线上向右平移， （1）如图1，当点E与点B重合时，点A恰好落在三角形的斜边DF上，试证明：EF=2BC； （2）在三角板的平移过程中，设AB，AC与三角形斜边的交点分别为G，H，试在图2中探究EB=AH是否始终成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】 解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°，AC=BC． ∵∠F=30°， ∴∠CAF=60°-30°=30°， ∴∠CAF=∠F， ∴CF=AC， ∴CF=AC=EC， ∴EF=2BC； （2）成立． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°，AC=BC． ∵∠F=30°， ∴∠CHF=60°-30°=30°， ∴∠CHF=∠F， ∴CH=CF． ∵EF=2BC， ∴BE+CF=BC． 又∵AH+CH=AC，AC=BC， ∴AH=BE． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，得∠ACB=60°，AC=BC．结合三角形外角的性质，得∠CAF=60°-30°=30°，则CF=AC，从而证明结论； （2）根据（1）中的证明方法，得到CH=CF．根据（1）中的结论，知BE+CF=AC，从而证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题综合运用了等边三角形的性质、三角形的外角性质以及等腰三角形的判定及性质．熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $