3.1用树状图或表格求概率（第1课时）（教学课件）数学北师大版九年级上册

该初中数学课件聚焦“用树状图或表格求概率”，通过“掷硬币游戏公平性”情境导入，衔接概率、频率、频数等旧知，引导学生从生活问题出发探究分步试验概率计算，搭建新旧知识学习支架。 其亮点在于以试验探究为核心，通过小组抛硬币收集数据、验证猜想，培养学生用数学眼光观察现象的抽象能力。结合问题链引导推理，用树状图与表格系统表达概率，体现数学思维的推理意识和数学语言的模型应用。小结明确分步试验等可能性、图表工具共性及公平性标准，学生能提升探究与推理能力，教师可高效备课，逻辑清晰助力教学。

北师大版·九年级上册 3.1 用树状图或表格求概率 （第1课时） 第三章 概率的进一步认识 学 习 目 标 1.掌握分步试验的概率计算以及树状图和表格的绘制方法，能对等可能性事件进行判断；（重点） 2.灵活运用树状图与表格解决问题.（难点） 知识回顾 在此前的学习中，我们已经对概率有了初步的了解，对于概率的相关概念你还记得吗？ 1. 概率的定义: 表示一个事件发生的可能性大小的数 2. 频率的定义: 指某一类别的频数占总观测数的比例或百分比 3.频数的定义: 指某一特定类别或数值在数据集中出现的次数. 情境引入 问题：小明、小颖和小凡都想去看周末电影，但只有一张电影票，三人决定一起做游戏，获胜者就去看电影。游戏规则如下： 连续掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜；若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上、一枚反面朝上，则小凡获胜. 你认为这个游戏公平吗？ 新知探究 探究一：连续掷两枚硬币的概率问题 连续掷两枚质地均匀的硬币，“两枚正面朝上（事件A）”“两枚反面朝上（事件B）”“一枚正面朝上、一枚反面朝上（事件C）”这三个事件发生的概率相同吗？ 小组合作： 问题1：你猜想这三个事件发生的概率是否相同？ （ ） 相同（各1/3） （）不同（请写出你的猜测：C事件概率最大） 问题2：你猜想的依据是什么？ （ ） 直觉 （ ） 生活经验 （） 之前的小试验 □ 其他：_________________ 新知探究 (注：表格数据以实际实验数据为准) 2.填写下表： 试验小组 抛硬币总次数 事件A（两正） 事件B（两反） 事件C（一正一反） 第1组 20次 _____次 _____次 _____次 第2组 20次 _____次 _____次 _____次 第3组 20次 _____次 _____次 _____次 5 5 5 5 5 5 10 10 10 新知探究 问题3：根据以上表格数据，各组的频率有差异吗？全班汇总后的频率有什么规律？ （1） 各组频率不同，但汇总后事件C的频率接近（填数值）； （2）事件A和事件B的频率接近（填数值）. 3.验证猜想 每种组合的概率相等吗？为什么？ 相等，因为硬币质地均匀，每步结果______（独立/不独立），每步正面/反面概率均为；因此，事件A（1种组合）的概率=，事件B（1种组合）的概率=，事件C（2种组合）的概率=. 独立 新知探究 连续掷两枚硬币的概率问题： 知识归纳 通过大量重复试验我们发现，在一般情况下，“一枚正面朝上、一枚反面朝上”发生的概率大于其他两个事件发生的概率。所以，这个游戏不公平，它对小凡比较有利 注意：游戏公平的前提是每个人获胜的概率相等 新知探究 三人修改了原游戏规则，新规则如下： 连续掷两枚质地均匀的硬币，若正面朝上的次数为偶数（0次或2次），则小明获胜；若正面朝上的次数为奇数（1次），则小颖获胜. （1）小明获胜的条件包含哪些事件？（ ） A. 两正、两反 B. 两正、一正一反 C. 两反、一正一反 D. 只有两正 （2）小明获胜的概率是（ ） A. B. C. D. 1 （3）这个游戏是否公平？（ ） 公平，因为两人概率相等 B. 不公平，小明概率大 C. 不公平，小颖概率大 D. 无法判断 A A B 新知探究 探究二：分步试验中的等可能性与独立性 （1）单步试验的等可能性 ①抛第一枚硬币可能出现哪些结果？它们发生的可能性是否一样？ 议一议 解：抛第一枚硬币可能出现正面朝上、反面朝上两种结果；由于硬币质地均匀，它们发生的可能性一样 ②抛第二枚硬币可能出现哪些结果？它们发生的可能性是否一样？ 解：抛第二枚硬币同样可能出现正面朝上、反面朝上两种结果；可能性一样 新知探究 （2）分步试验的独立性 ③在第一枚硬币正面朝上的情况下，第二枚硬币可能出现哪些结果？它们发生的可能性是否一样？如果第一枚硬币反面朝上呢？ 解：在第一枚硬币正面朝上的情况下，第二枚硬币可能出现正面朝上、反面朝上两种结果，它们发生的可能性一样； 若第一枚硬币反面朝上，第二枚硬币仍可能出现正面朝上、反面朝上两种结果，可能性一样 新知探究 分步试验中的等可能性与独立性： 知识归纳 （1）单步等可能性：抛一枚均匀硬币，“正面朝上”与“反面朝上”是等可能事件； （2）分步独立性：抛多枚硬币时，每一步的结果不会影响后续步骤的可能性； 组合结果的等可能性：由于单步等可能且分步独立，抛两枚硬币的所有组合结果相同 新知探究 1.抛三枚均匀硬币，求“第一枚正面朝上、第二枚反面朝上、第三枚正面朝上”的概率. 解：抛一枚均匀硬币，正面朝上的概率为，反面朝上的概率也为​ 三枚硬币的结果是独立事件，因此联合概率为每枚硬币对应结果概率 的乘积： =​×​×​=​ 新知探究 探究三：用树状图与表格系统求概率 观察示例（抛两枚硬币的树状图） 试验的起点 每一步试验的可能结果 （1）树状图的“根”（开始）代表___________________，“分支”代表_____________________________; （2）从树状图中能找到所有可能的结果吗？ 能，共有4种 （3）这些结果的发生概率相等吗？为什么？（ ） A. 相等，因为硬币质地均匀 B. 不相等，因为结果不同 C. 无法判断 A 新知探究 观察示例（抛两枚硬币的表格） （1）表格的“行”代表______________________，“列”代表_____________________ 第一枚硬币的可能结果 第二枚硬币的可能结果 （2）表格中“（正，反）”和“（反，正）”是同一个结果吗？为什么？（ ） A. 是，因为都是一正一反 B. 不是，因为顺序不同 C. 无法判断 B （3）表格与树状图的共同点是_________________________________ 都能列举分步试验的所有可能结果 新知探究 用树状图与表格系统求概率： 知识归纳 利用树状图或表格，我们可以不重复、不遗漏地列出所有可能的结果，从而比较方便地求出某些事件发生的概率 小凡获胜的概率是小明的_____倍，游戏________（公平/不公平），因为游戏中__________________________ 2 每个人获胜的概率不一样 不公平 新知探究 1. 袋中有1枚红球（记为A）和1枚蓝球（记为B），采用放回摸球的方式（摸出后放回，摇匀再摸），连续摸两次。 （1）请用树状图列举所有可能的摸球结果 第二枚硬币/第一枚硬币 A B A （A,A） （A,B） B （B,A） （B,B） （2）请用列表法列举所有可能的摸球结果 第一步：第一次摸球 ┌─────┴─────┐ （A） （B） │ │ 第二步：第二次摸球 第二步：第二次摸球 ┌─────┴─────┐ ┌─────┴─────┐ （A） （B） （A） （B） │ │ │ │ （A,A） （A,B） （B,A） （B,B） 巩固练习 基础巩固题 1. 抛两枚质地均匀的硬币，用树状图表示时，树状图有（ ）层. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2.袋中有1个红球（R）和1个白球（W），放回摸两次，“第一次摸红球、第二次摸白球”的结果数是（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3.抛两枚质地均匀的硬币，“恰好有一枚正面朝上”的概率是（ ） A. B. C. D. 1 B A B 巩固练习 基础巩固题 4.两人玩抛两枚硬币游戏，规则：小明胜“两枚都是正面”，小颖胜“其他情况”.这个游戏（ ）. A. 公平 B. 对小明有利 C. 对小颖有利 D. 无法判断 5.抛两枚质地均匀的硬币，用树状图列举所有可能的结果，总结果数是___. 6.袋中有1个红球（A）和1个黄球（B），放回摸两次，“两次都摸红球”的概率是. 7.连续抛两枚质地均匀的硬币，“至少有一枚正面朝上”的结果数是_____. C 3 4 巩固练习 基础巩固题 8.抛两枚质地均匀的硬币，用树状图列举所有可能的结果，并计算“两枚都是反面朝上”的概率. 开始 第一步：第一枚硬币 ┌─────┴─────┐ （正） （反） │ │ 第二步：第二枚硬币 第二步：第二枚硬币 ┌─────┴─────┐ ┌─────┴─────┐ （正） （反） （正） （反） │ │ │ │ （正，正） （正，反） （反，正） （反，反） “两枚都是反面朝上”的概率：结果只有（反,反）1种，概率为 . 课堂小结 用树状图或表格求概率 分步试验的等可能性与独立性 单步等可能性：均匀材料的单步试验，结果等可能 树状图与表格的共同点 都是列举法的具体方法，均能系统列举分步试验的所有可能结果. 分步独立性：每一步结果不影响后续步骤的可能性 公平性验证 游戏公平的核心标准是双方赢的概率相等 （重点） 作业布置 1.必做题：随堂练习 2.探究性作业：习题3.1第3题。 感谢聆听! $