4.1 整式 导学案2025—2026学年 人教版七年级数学上册

该初中数学导学案聚焦整式概念的建构，以“单项式—多项式—整式”为主线，通过生活情境引入代数式表达，层层递进引导学生从具体数量关系中抽象出数学对象，建立符号意识与运算能力的学习支架。课前预习设问贴近实际，合作探究紧扣核心概念辨析，课堂检测分层设计，实现知识迁移与应用闭环。 资料亮点突出，体现数学眼光、思维与语言三大素养融合。通过真实问题情境（如邮票费用、国旗面积）激发学生观察力与建模意识，强化符号意识与数据观念。习题设计注重逻辑推理与分类讨论，如第3题判断五次单项式条件，培养严谨思维；第4题结合奥运背景，提升应用意识与实践能力，真正实现用数学语言表达现实世界，发展理性精神与创新意识。

第四章 整式 4.1 整式（第1课时） 【课标要求】 1.理解单项式、单项式的系数和次数的概念. 2.会用单项式表示简单的数量关系. 【预习导学】教材第89-90页 1.用代数式表示下列数量： (1) 若某种商品每袋 4.8 元，在一个月内销售量是 m 袋，，则这种商品的月收入是_______ ；  (2) 若圆柱体的底面半径、高分别是 r，h，则圆柱体的体积是_______； (3) 若青藏铁路列车在冻土地段以 100 km/h 的速度行驶 t 小时，则列车行驶的路程是_______；  自主归纳： 上面所填的这些式子中，由_______与_____（或______与_____）相乘组成的代数式叫做单项式.单独的一个______或一个_____也叫单项式. 单项式中的 叫做这个单项式的系数. 一个单项式中， 叫做这个单项式的次数. 【合作探究】 探究一、单项式的相关概念 问题1：用含有字母的式子填空： （1）棱长为a的正方体的表面积为______，体积为______ . （2）铅笔的单价为x元,圆珠笔的单价是铅笔的单价2.5倍,圆珠笔的单价是______元. （3）一辆汽车的速度是vkm/h,它t小时的行驶路程为______km. （4）一个圆的半径是r cm，它周长是______cm. 1.下列各式中哪些是单项式？ 方法归纳：判断单项式的方法 ①单独一个数或一个字母也是单项式. ②不含加减运算，单项式只含有乘积运算. ③单项式数字因数与字母可能一个或多个. ④可以含有除以数的运算，不能含有除以字母的运算．√ √ √ √ 2. 用单项式填空,并指出它们的系数和次数. （1）若三角形的一条边长为 a，这条边长的高为 h， 则这个三角形的面积为 ； （2）一个长方形包装盒的长、宽、高为 x cm，y cm，z cm，则长方形包装盒的体积为 cm3 （3）有理数 n 的相反数是 ； （4）《北京 2022 年冬奥会—冰上运动》是为了纪念北京 2022 年冬奥会冰上运动发行的邮票. 邮票 1 套共 5 枚，价格为 6 元. 其中一种版式为一张 10 枚( 2 套)，如图所示，某中学举行冬奥会有奖向答活动，买了 m 张这种版式的邮票作为奖品，共花费 元； （5）《中华人民共和国国旗法》规定：国旗旗面为红色长方形，其长与高之比为 3∶2，有五种通用尺度(即尺寸规格). 若一种尺度的国旗的长为 a cm，则这种尺度的国族旗面的面积为 cm2. （6）写出上述各代数式的系数和次数： 归纳总结：确定单项式的系数及次数时，应注意： ①圆周率π是常数； ②当一个单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写； ③省略1的字母指数别漏掉； ④单项式次数只与字母指数有关. 探究二、单项式的应用 3.若 (a-2)x2yb 是关于 x，y 的一个五次单项式，则a，b应满足什么条件？ 4. 已知 -xya 与 -22x2y2 的次数相同，求 a3 的值. 【课堂检测】 1.下列代数式中，单项式有 . 2.指出下列各单项式、、、、x的系数和次数. 3．已知 是八次单项式，则m的值是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 4.已知是四次单项式，则p2＝________. 【思维拓展】 1.已知是x，y的五次单项式，求a的值. 2．若(p＋3)xy4，2xyn＋1是关于x，y的两个系数和次数相同的单项式，求p2n＋1的值 4.1整式（第2课时） 【课标要求】 1.理解多项式、整式的概念. 2.会确定一个多项式的项数和次数. 【预习导学】教材第92-93页 1.几个________的和叫做多项式. 2.多项式中的每一个________都叫做这个多项式的项，多项式含有几项，这个多项式叫做_________. 3.不含________的项叫做常数项. 4.多项式里，__________的次数，叫做这个多项式的次数,多项式的次数是几，这个多项式叫做__________. 5.______和______统称为整式. 6.多项式有_____项，它们分别是 . 7.多项式a3－a2b＋ab2－b3的项数为_______，次数为_______. 8.多项式3n4－2n2＋1的次数为________，常数项为_________. 【合作探究】 探究一、多项式的相关概念 问题1：列式表示下列数量： (1) 一个长方形相邻两条边的长分别为 a，b，则这个长方形的周长为 . (2) m 为一个有期数，m 的立方与 2 的差为 . (3) 某公司向某地投放共享单车，前两年每年投放 a 辆. 为环保和安全起见，从第三年年初起不再投放，且每个月回收 b 辆. 第三年年底，该地区共有这家公司的共享单车的辆数为 . (4) 现存于陕西历史博物馆的我国南北朝时期的官员独孤信的印章如图所示，它由 18 个相同的正方形和 8 个相同的等边三角形围成. 如果其中正方形和等边三角形的边长都为 a，等边三角形的高为 b，那么这个印章的表面积为 . 问题2：上述几个式子都是单项式吗？这些式子有什么共同特点？与单项式有什么关系？ 问题3：完成下面的表格： 多项式 项 常数项 次数 名称 2a＋2b m2－2 2a－12b 18a2＋4ab 要点归纳： (1)几个单项式的和叫做多项式 (2)在多项式中，每个单项式叫做多项式的项 (3)不含字母的项叫做常数项 (4)多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数 (5)单项式与多项式统称为整式 练一练 1.若多项式 x|a|+1y3 - (a - 1)x + x2 是五次三项式，求 a 的值. 探究二、整式的概念 填序号： ① 3、② x + y、③、④、⑤、⑥. 单项式有： ；多项式有： ；整式有： . 探究三、多项式的应用 3.一个花坛的形状如图所示，其两端是半径相等的半圆，求：(1) 花坛的周长 L；(2) 花坛的面积 S. a r r 4.某公园的门票价格是：成人10元/张；学生5元/张. （1）一个旅游团有成人x人、学生y人，那么该旅游团应付多少门票费？ （2）如果该旅游团有37个成人、15个学生，那么他们应付多少门票费？ 【课堂检测】 1.将式子①3，②，③，④，⑤，⑥x2，⑦3a＋1，⑧，⑨－x2＋yz，⑩ 填入适当的空格中（填序号）：单项式有： ；多项式有： ； 整式有： . 2.多项式3m3-2m-5+m2的常数项是______，一次项是_____，二次项的系数是_____. 3.a，b分别表示长方形的长和宽，则长方形的周长l＝______，面积S＝___，当a＝2 cm，b＝3 cm时，l＝______ cm，S＝______cm 2 ； 4.如果xn－(m－1)x＋2为三次二项式，求m2＋n的值． 【思维拓展】 1.多项式是关于a、b的四次三项式，且最高次项的系数为－2，则x=___,y=_____. 2.已知多项式:是六次四项式,单项式的次数与这个多项式的次数相同,求n的值. 学科网（北京）股份有限公司 $