精品解析：广东省兴宁市沐彬中学2020-2021学年用八年级下册数学月考试卷

兴宁市沐彬中学初二第二学期月考数学试题 （时间：90分钟 满分120分） 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分，在每小题列出的4个选项中，只有一个是正确的） 1. 在中，，则的度数是（　　）． A. B. C. D. 2. 如图，，点A在直线a上，点C在直线b上，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 3. 在中，已知，则的长为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 4 4. 在等腰中，，中线将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（　　） A. 7 B. 11 C. 7或11 D. 7或10 5. 如图，四边形中，，则四边形的面积是 （　　） A. B. 3 C. D. 4 6. 如图，D为内一点，平分，，垂足为D，交于点E，．若，，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 1 7. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB，AC于D、E两点，若BD＝2，则AC的长是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 8. 如图，在四边形中，于点E，连接，四边形的面积为．若平分，则四边形（阴影部分）的面积为（　　）． A. B. C. D. 9. 如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE＝∠DEC＝60°，AB＝3，CE＝4，则AD等于(　　) A. 10 B. 12 C. 24 D. 48 10. 如图，在中，，平分，，E，F为垂足，则下列四个结论：①；②；③平分；④垂直平分．其中结论正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分） 11. 如图，在△ABC中，∠C=40°，CA=CB，则△ABC的外角∠ABD= °． 12. 如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点P是底边BC上一点，则AP的最小值是________ 13. 等腰直角三角形底边上的高为，则该三角形的面积是________． 14. 命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是____________命题．（填“真”或“假”） 15. 如图，在中，，于点D，则______． 16. 一棵树在一次强台风中于离地3米处折断倒下，倒下部分与地面成角，示意图如图所示，这棵树在折断前的高度为__________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，OA=OB=，AB=．若点A坐标为（1，2），则点B的坐标为_____． 三、解答题（共62分） 18. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，求证：∠DBC=∠DCB． 19. 如图，在∆ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E. 求证：∠CBE=∠BAD. 20. 如图，．试说明：． 21. 如图，在中，． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD． 23. 如图，已知∠BAC=60° ,∠B=80° ,DE垂直平分AC交BC于点D,交AC于点E. （1）求∠BAD的度数； （2）若AB=10,BC=12,求△ABD的周长. 24. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，两线相交于F点． （1）若∠BAC=60°，∠C=70°，求∠AFB的大小； （2）若D是BC的中点，∠ABE=30°，求证：△ABC是等边三角形． 25. 如图，已知A，B，C，D四个城镇（除B，C外）都有笔直的公路相接，公共汽车行驶于城镇之间，公共汽车票价与路程成正比，已知各城镇间公共汽车票价如下： 为了B，C间的交通方便，打算在B，C之间建一条笔直公路，请按上述标准预算出B，C之间的公共汽车票价． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兴宁市沐彬中学初二第二学期月考数学试题 （时间：90分钟 满分120分） 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分，在每小题列出的4个选项中，只有一个是正确的） 1. 在中，，则的度数是（　　）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角、三角形内角和定理等知识点，掌握等边对等角是解题的关键． 根据等边对等角得到，再由三角形内角和定理可求解即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 2. 如图，，点A在直线a上，点C在直线b上，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、等腰直角三角形、平行线的性质，关键是求出的度数．根据等腰直角三角形性质求出，求出的度数，根据平行线的性质得出，代入求出即可． 【详解】解：如图， ， ， ， ， , ， 故选：B． 3. 在中，已知，则的长为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定以及勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 先得到以及是直角三角形，再由勾股定理求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 4. 在等腰中，，中线将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（　　） A. 7 B. 11 C. 7或11 D. 7或10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质及相关计算．学生在解决本题时，有的同学会审题错误，以为15，12中包含着中线的长，从而无法解决问题，有的同学会忽略掉等腰三角形的分情况讨论而漏掉其中一种情况；注意：求出的结果要看看是否符合三角形的三边关系定理．故解决本题最好先画出图形再作答． 题中给出了周长关系，要求底边长，首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关系，列方程求解，然后结合三角形三边关系验证答案． 【详解】解：设等腰三角形的底边长为，腰长为，则根据题意， 得①或②， 解方程组①得：，根据三角形三边关系定理，此时能组成三角形； 解方程组②得：，根据三角形三边关系定理此时能组成三角形， 即等腰三角形的底边长是11或7； 故选：C． 5. 如图，四边形中，，则四边形的面积是 （　　） A. B. 3 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】延长相交于点E，利用含30度角的直角三角形的性质，设，则，然后列出方程，得出，，利用割补法求面积即可． 【详解】解：如图，延长相交于点E， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴，. 四边形的面积为：－ ． 故选A． 【点睛】题目主要考查一元一次方程的应用及含30角的直角三角形的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 6. 如图，D为内一点，平分，，垂足为D，交于点E，．若，，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件判定，得到，的等腰三角形，进而得到，由等角对等边判定，则易求． 【详解】解：∵平分，， ，， 在与中， ， ， ， 是等腰三角形， ， 又， 是等腰三角形， ， ， ∵，， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键． 7. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB，AC于D、E两点，若BD＝2，则AC的长是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出AD=CD，进而结合已知角得出DC，BC的长，进而利用勾股定理得出答案． 【详解】连接DC， 在Rt△BCA中，∵DE为AC的垂直平分线， ∴AD＝CD， ∴∠A＝∠DCA＝30°， ∴∠BDC＝60°， 在Rt△CBD中，BD=2， ， 解得：DC＝4，BC＝2， 在Rt△CBA中，BC＝2，AC＝2BC＝4 故选C． 【点睛】此题主要考查了含30度角的直角三角形和线段垂直平分线的性质，正确得出DC的长是解题关键． 8. 如图，在四边形中，于点E，连接，四边形的面积为．若平分，则四边形（阴影部分）的面积为（　　）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形中线等知识点，掌握等腰三角形三线合一的性质成为解题的关键． 由等腰三角形三线合一的性质可得，再根据三角形中线的性质可得，，最后结合图形即可解答． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∴，， ∴． 故选B． 9. 如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE＝∠DEC＝60°，AB＝3，CE＝4，则AD等于(　　) A. 10 B. 12 C. 24 D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，求出∠AEB和∠EDC，即可证出△AED为直角三角形，然后根据30°所对的直角边是斜边的一半即可求出AE和DE，最后利用勾股定理即可求出AD的值． 【详解】解：∵∠BAE＝∠DEC＝60° ∴∠AEB=90°－∠BAE=30°，∠EDC=90°－∠DEC=30° ∴∠AED=180°－∠AEB－∠DEC=90° ∴△AED为直角三角形 在Rt△ABE中，AE=2AB=6 在Rt△DEC中，DE=2CE=8 在Rt△AED中，AD= 故选A． 【点睛】此题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两个锐角互余、30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理是解决此题的关键． 10. 如图，在中，，平分，，E，F为垂足，则下列四个结论：①；②；③平分；④垂直平分．其中结论正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边对等角、角平分线的性质与判定定理、垂直平分线的定义等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． ①由角平分线的性质可得，再结合等边对等角可得，即①正确；②易证，可得，即②正确；③由角平分线的判定定理可判定③；④由垂直平分线的定义可知垂直平分，即④错误． 【详解】解：①∵平分，，E，F为垂足， ∴， ∴，即①正确； ②∵， ∴， ∴，即②正确； ③∵，， ∴平分，即③正确； ④∵， ∴垂直平分，而不是垂直平分，即④错误； 综上，说法正确的个数是3个． 故选C． 二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分） 11. 如图，在△ABC中，∠C=40°，CA=CB，则△ABC的外角∠ABD= °． 【答案】110 【解析】 【详解】试题解析：解：∵∠C＝40°，CA＝CB， ∴∠A＝∠ABC＝70°， ∴∠ABD＝∠A＋∠C＝110°. 考点：等腰三角形的性质、三角形外角的性质 点评：本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质.等腰三角形的两个底角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和. 12. 如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点P是底边BC上一点，则AP的最小值是________ 【答案】8 【解析】 【分析】根据等腰三角形三线合一性质及垂线段最短性质，可得当点P是底边BC的中点时，AP的值最小，在利用勾股定理解题即可． 【详解】解：等腰△ABC中，AB＝AC＝10，根据垂线段最短得， 当点P是底边BC的中点时，AP的值最小 根据三线合一性质得， 故答案为：8． 【点睛】本题考查等腰三角形、三线合一性质、垂线段最短、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 13. 等腰直角三角形底边上的高为，则该三角形的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，掌握等腰直角三角形既有等腰三角形的性质，也有直角三角形的性质成为解题的关键． 先根据等腰三角形三线合一的性质得出斜边上的高与斜边上的中线重合，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，即可求得其斜边长，最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形其底边上的高也是底边上的中线，等腰直角三角形斜边上的高为， ∴等腰直角三角形斜边上的中线为， 又∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ∴斜边长是， ∴该三角形的面积是． 故答案为：16． 14. 命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是____________命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【解析】 【分析】本题考查逆命题的知识，属于基础题，根据逆命题的概念来回答：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题，继而也能判断出真假． 【详解】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”， 所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”，是真命题． 故答案为：真． 15. 如图，在中，，于点D，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、直角三角形两锐角互余等知识点，掌握等腰三角形两个底角相等成为解题的关键． 先求出等腰三角形的底角度数，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 16. 一棵树在一次强台风中于离地3米处折断倒下，倒下部分与地面成角，示意图如图所示，这棵树在折断前的高度为__________． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的实际应用．根据直角三角形中角所对直角边等于斜边一半得到求解即可． 【详解】解：∵，，米， ∴米， ∴（米）， 即这棵树折断前的高度为米． 故答案为：米． 17. 如图，在平面直角坐标系中，OA=OB=，AB=．若点A坐标为（1，2），则点B的坐标为_____． 【答案】（﹣2，1）． 【解析】 【分析】作BN⊥x轴，AM⊥x轴，根据题意易证得△BNO≌△OMA，再根据全等三角形的性质可得NB=OM，NO=AM，又已知A点的坐标，即可得B点的坐标. 【详解】 解：作BN⊥x轴，AM⊥x轴， ∵OA=OB=，AB=， ∴AO2+OB2=AB2， ∴∠BOA=90°， ∴∠BON+∠AOM=90°， ∵∠BON+∠NBO=90°， ∴∠AOM=∠NBO， ∵∠AOM=∠NBO，∠BNO=∠AMO，BO=OA， ∴△BNO≌△OMA， ∴NB=OM，NO=AM， ∵点A的坐标为（1,2）， ∴点B的坐标为（-2,1）. 故答案为（-2,1）. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定与性质. 三、解答题（共62分） 18. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，求证：∠DBC=∠DCB． 【答案】 证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD． 又∵AB=AC，AD=AD， ∴△BAD≌△CAD（SAS）． ∴BD=CD． ∴∠DBC=∠DCB 【解析】 【分析】由已知，根据SAS可证△BAD≌△CAD，从而根据全等三角形对应边相等的性质可得BD=CD，根据等腰三角形等边对等角的性质可得∠DBC=∠DCB． 【详解】略 19. 如图，在∆ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E. 求证：∠CBE=∠BAD. 【答案】 ∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC， 又∵BE⊥AC，∴∠ADC=∠BEC=90°， ∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∴∠CBE=∠CAD． ∵AB=AC，AD是BC边上的中线， ∴∠BAD=∠CAD, ∴∠CBE=∠BAD． 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得出∠ADC=∠BEC=90°，再根据∠C为公共角即可得∠CBE=∠CAD．再有等腰三角形的三线合一，可以得到∠BAD=∠CAD,再通过等量代换即可得到结果. 【详解】略 20. 如图，．试说明：． 【答案】证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证得是解题的关键． 先根据角的和差可得，再运用证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】略 21. 如图，在中，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ， ， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由等边对等角以及三角形内角和定理可得，进而得到，即，则；然后根据等腰三角形三线合一的性质成为解题的关键； （2）由30度所对的直角边是斜边的一半可得，同理可得，最后根据线段的和差即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 22. 已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是矩形 ∴∠B=∠C=90° ∵EF⊥DF ∴∠EFD=90° ∴∠EFB+∠CFD=90° ∵∠EFB+∠BEF=90° ∴∠BEF=∠CFD 在△BEF和△CFD中， ∴△BEF≌△CFD（ASA） ∴BF=CD． 【解析】 【分析】由四边形ABCD为矩形，得到四个角为直角，再由EF与FD垂直，利用平角定义得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形BEF与三角形CFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证． 【详解】略 【点睛】考点：（1）矩形的性质；（2）全等三角形的判定与性质 23. 如图，已知∠BAC=60° ,∠B=80° ,DE垂直平分AC交BC于点D,交AC于点E. （1）求∠BAD的度数； （2）若AB=10,BC=12,求△ABD的周长. 【答案】（1）20°；（2）22. 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠C，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，求出∠DAC，计算即可； （2）根据DA=DC，三角形的周长公式计算． 【详解】解：（1）∵∠BAC=60°，∠B=80°， ∴∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-60°-80°=40°， ∵DE垂直平分AC， ∴DA=DC. ∴∠DAC=∠C=40°， ∴∠BAD=60°-40°=20°； （2）∵DE垂直平分AC， ∴AD=CD， ∴AB+AD+BD=AB+CD+BD=AB+BC=10+12=22， ∴△ABD的周长为22． 【点睛】题目主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质等，熟练掌握运用各个性质是解题关键． 24. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，两线相交于F点． （1）若∠BAC=60°，∠C=70°，求∠AFB的大小； （2）若D是BC的中点，∠ABE=30°，求证：△ABC是等边三角形． 【答案】（1）115°； （2）证明：∵∠ABE=30°，BE平分∠ABC， ∴∠ABC=60°， ∵BD=DC，AD⊥BC， ∴AB=AC， ∴△ABC是等边三角形． 【解析】 【分析】（1）根据∠ABF=∠FBD+∠BDF，想办法求出∠FBD，∠BDF即可； （2）只要证明AB=AC，∠ABC=60°即可； 【详解】（1）∵∠BAC=60°，∠C=70°， ∴∠ABC=180°﹣60°﹣70°=50°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠FBD=∠ABC=25°， ∵AD⊥BC， ∴∠BDF=90°， ∴∠AFB=∠FBD+∠BDF=115°． （2）略 【点睛】本题考查等边三角形的判定、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型. 25. 如图，已知A，B，C，D四个城镇（除B，C外）都有笔直的公路相接，公共汽车行驶于城镇之间，公共汽车票价与路程成正比，已知各城镇间公共汽车票价如下： 为了B，C间的交通方便，打算在B，C之间建一条笔直公路，请按上述标准预算出B，C之间的公共汽车票价． 【答案】15元 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，充分挖掘题目中给出的信息并灵活利用勾股定理求解是解题的关键． 先利用勾股定理逆定理说明，进而说明，D，C三个点在一条直线上，可知，最后根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴A，D，C三个点在一条直线上，可知． 又∵， ∴． 答：B，C之间的公共汽车票价为15元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $