第06讲 分类数图形（知识梳理+例题讲解+考点练习）-五年级奥数培优讲义

第06讲 分类数图形 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.认识并准确辨认常见基本图形（如线段、角、三角形、长方形、正方形等），理解不同图形的构成特点。 2.理解“分类数图形”的意义，掌握按标准（大小、位置、组成部分等）分类的方法，培养有序思考和分类讨论能力。 3.学会用“分类计数法”数出复杂图形中某类基本图形的总个数，做到不重复、不遗漏。 4.运用所学方法解决稍复杂的图形计数问题，提升观察能力、空间想象能力和逻辑推理能力。 知识梳理 知识点一、为什么要分类数图形？ 复杂图形直接计数易重复或遗漏。“分类数图形”是将复杂图形分解为简单规则的部分，按类计数后求和，确保结果准确。 知识点二、基本图形的计数方法 1. 数线段 （1）方法：以线段左（右）端点为起点，依次向右（左）数出以该点为起点的线段，再求和。 （2）技巧：若线段上有 个点（含两端点），则线段总数为 。 （3）公式：线段总数 （ 为端点数）。 （4）举例：线段 上有 4 个点 ： ①以 为起点：（3 条）；以 为起点：（2 条）；以 为起点：（1 条）。 ②总数： 条，公式验证： 条。 2. 数角 （1）方法：以一条边为起始边，依次向右（左）数出以该边为起始边的角，再求和。 （2）技巧：若同一顶点引出 条射线（角的边），则角的总数为 。 （3）公式：角的总数 （ 为射线条数）。 （4）举例：顶点 引出 4 条射线 ： ①以 为边：（3 个）；以 为边：（2 个）；以 为边：（1 个）。 ②总数： 个，公式验证： 个。 3. 数三角形 （1）分类标准： ①按边长（含基本三角形个数）：先数最小基本三角形，再数由 2 个、3 个……基本三角形组成的三角形，求和。 ②按“底座”线段：若三角形有共同顶点，底边在同一直线，则底边上的线段总数 = 三角形总数（底边线段数按“数线段公式”计算）。 （2）举例：底边有 4 个点的三角形（顶点固定），底边上线段总数为 条，故三角形总数为 6 个。 4. 数长方形和正方形（网格图形为例） （1）数长方形：长方形由长、宽两对线段围成。在 行 列网格（横向 条线，纵向 条线）中： ①横向线段总数 ②纵向线段总数 ③长方形总数 横向线段总数 纵向线段总数。 （2）数正方形：需按边长分类（假设网格为 行 列，）： ①边长为 1： 个 ②边长为 2： 个 ③边长为 3： 个 …… ④边长为 ： 个 ⑤正方形总数 = 上述各项之和。 知识点三、复杂组合图形的计数核心 1.分类标准： （1）按大小（单个、由 2 个/3 个基本图形组成等）； （2）按位置（上层/下层、左半/右半等）； （3）按组成部分（独立图形、重叠图形等）。 2.关键：确保每类图形不重复、不遗漏，分类后逐一计数再求和。 知识点四、解题步骤与技巧 1.明确目标：看清题目要求数的图形类型（线段/角/三角形等）。 2.合理分类：根据图形特点选择分类标准（如三角形按“底座线段”分类）。 3.有序计数：按类依次计数，用符号/数字标记已数图形，避免重复/遗漏。 4.公式辅助：熟练运用线段、角、网格图形的计数公式，简化计算。 5.从简到难：先分解复杂图形为基本图形，掌握基础后再解决综合问题。 例题讲解 一、数线段 【例题1】下图中有　 　条线段。 【例题2】下图中有　 　条线段。 【例题3】数一数，下面的图形中一共有多少条线段？ 二、数角 【例题1】下图中有　 　个角。 【例题2】数一数，图中共有多少个角？ 三、数三角形 【例题1】数一数，下图中共有　 　个三角形。 【例题2】数一数，下图中有　 　个三角形。 【例题3】请你认真数—数，下图中共有　 　个三角形。 【例题4】数一数图中有　 　个三角形． 四、数长方形和正方形 【例题1】数一数，下面的图形有　 　个长方形。 【例题2】数一数，下图中共有　 　个长方形。 【例题3】数一数，下面图形有　 　个正方形。 【例题4】数一数，下面有多少个长方形？ 考点练习 一、数线段 1．下图中一共有　 　条线段。 2．下面图形中有　 　条线段。 3．图中有几条线段？ 4．数一数，下图中有多少条线段？ 5．从甲市到乙市的铁路沿线上共有8个站点（包括起点站和终点站），铁路局要准备多少种不同的车票才能满足所有乘客的需求？ 6．在图中，一共有　 　条线段。 二、数角 1．下面图形中有　 　个角。 2．下图中有　 　个角。 3．下列图形中，一共有　 　个角。 4．数一数图中一共有　 　个角。 5．数一数，下图中各有多少个角？ 　 　个角 　 　个角 三、数三角形 1．数一数，下面的图形中一共有　 　个三角形。 2．数一数，下图有　 　个三角形。 3．数一数，下图有　 　个三角形。 4．数一数，图中共有　 　个三角形。 5．数一数，图中一共有　 　个三角形。 6．在图中，一共有　 　个三角形。 7．数一数，有　 　个三角形。 8．数一数，图中有　 　个三角形。 9．数一数，下图中共有多少个三角形？ 四、数长方形和正方形 1．数一数，图中一共有　 　个长方形。 2．如下图，数一数一共有　 　个长方形。 3．数一数，下图中共有多少个长方形？ 4．数一数，下图中共有多少个正方形？ 5．数一数，下图中有多少个长方形？ 6．数一数，图中共有　 　 个正方形。 7．数一数，图中共有　 　个长方形。 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 分类数图形 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.认识并准确辨认常见基本图形（如线段、角、三角形、长方形、正方形等），理解不同图形的构成特点。 2.理解“分类数图形”的意义，掌握按标准（大小、位置、组成部分等）分类的方法，培养有序思考和分类讨论能力。 3.学会用“分类计数法”数出复杂图形中某类基本图形的总个数，做到不重复、不遗漏。 4.运用所学方法解决稍复杂的图形计数问题，提升观察能力、空间想象能力和逻辑推理能力。 知识梳理 知识点一、为什么要分类数图形？ 复杂图形直接计数易重复或遗漏。“分类数图形”是将复杂图形分解为简单规则的部分，按类计数后求和，确保结果准确。 知识点二、基本图形的计数方法 1. 数线段 （1）方法：以线段左（右）端点为起点，依次向右（左）数出以该点为起点的线段，再求和。 （2）技巧：若线段上有 个点（含两端点），则线段总数为 。 （3）公式：线段总数 （ 为端点数）。 （4）举例：线段 上有 4 个点 ： ①以 为起点：（3 条）；以 为起点：（2 条）；以 为起点：（1 条）。 ②总数： 条，公式验证： 条。 2. 数角 （1）方法：以一条边为起始边，依次向右（左）数出以该边为起始边的角，再求和。 （2）技巧：若同一顶点引出 条射线（角的边），则角的总数为 。 （3）公式：角的总数 （ 为射线条数）。 （4）举例：顶点 引出 4 条射线 ： ①以 为边：（3 个）；以 为边：（2 个）；以 为边：（1 个）。 ②总数： 个，公式验证： 个。 3. 数三角形 （1）分类标准： ①按边长（含基本三角形个数）：先数最小基本三角形，再数由 2 个、3 个……基本三角形组成的三角形，求和。 ②按“底座”线段：若三角形有共同顶点，底边在同一直线，则底边上的线段总数 = 三角形总数（底边线段数按“数线段公式”计算）。 （2）举例：底边有 4 个点的三角形（顶点固定），底边上线段总数为 条，故三角形总数为 6 个。 4. 数长方形和正方形（网格图形为例） （1）数长方形：长方形由长、宽两对线段围成。在 行 列网格（横向 条线，纵向 条线）中： ①横向线段总数 ②纵向线段总数 ③长方形总数 横向线段总数 纵向线段总数。 （2）数正方形：需按边长分类（假设网格为 行 列，）： ①边长为 1： 个 ②边长为 2： 个 ③边长为 3： 个 …… ④边长为 ： 个 ⑤正方形总数 = 上述各项之和。 知识点三、复杂组合图形的计数核心 1.分类标准： （1）按大小（单个、由 2 个/3 个基本图形组成等）； （2）按位置（上层/下层、左半/右半等）； （3）按组成部分（独立图形、重叠图形等）。 2.关键：确保每类图形不重复、不遗漏，分类后逐一计数再求和。 知识点四、解题步骤与技巧 1.明确目标：看清题目要求数的图形类型（线段/角/三角形等）。 2.合理分类：根据图形特点选择分类标准（如三角形按“底座线段”分类）。 3.有序计数：按类依次计数，用符号/数字标记已数图形，避免重复/遗漏。 4.公式辅助：熟练运用线段、角、网格图形的计数公式，简化计算。 5.从简到难：先分解复杂图形为基本图形，掌握基础后再解决综合问题。 例题讲解 一、数线段 【例题1】下图中有　 　条线段。 【答案】10 【解析】【解答】解：4+3+2+1=10（条） 故答案为：10。 【分析】单独的线段有4条；两条线段组成的线段有3条；三条线段组成的线段有2条；四条线段组成的线段有1条。 【例题2】下图中有　 　条线段。 【答案】25 【解析】【解答】(4+3+2+1)×2+5 =10×2+5 =25(条) 故答案为：25 【分析】线段有两个端点，有限长；先数出上边和下边横着的线段条数，再加上竖着的线段条数即可. 【例题3】数一数，下面的图形中一共有多少条线段？ 【答案】解：3+3=6（条） 3+3+3=9（条） 6+9=15（条） 答：一共有15条线段。 【解析】【分析】观察图形可知，图形的线段有横向的和纵向的两种，横向的有两层，每层的线段数是3条，所以横向的有3+3=6（条）；纵向的有3列，每列的线段数是3条，所以纵向的有3+3+3=9（条）。所以图中一共有线段的条数=6＋9=15条。 二、数角 【例题1】下图中有　 　个角。 【答案】15 【解析】【解答】解：5+4+3+2+1=15（个） 故答案为：15。 【分析】单个的角5个，两个角组成的角4个，三个角组成的角3个，四个角组成的角有2个，五个角组成的角有1个。把这些角的个数相加即可求出角的总数。 【例题2】数一数，图中共有多少个角？ 【答案】解：锐角、直角各4个，共8个角。 答： 图中共有8个角。 【解析】【分析】先数一共有几个直角，（正方形共用4个直角）；一条斜线又把一个直角分成了2个锐角，一共就有4个锐角。那么图中一共就有8个角。 三、数三角形 【例题1】数一数，下图中共有　 　个三角形。 【答案】10 【解析】【解答】4+3+2+1=10（个） 故答案为：10。 【分析】根据题意，先数单独一个的三角形，有4个，再数两个三角形组合的，有3个，然后数3个三角形组合的，有2个，最后数4个三角形组合的，有1个，用连加计算。 【例题2】数一数，下图中有　 　个三角形。 【答案】8 【解析】【解答】解：4+4=8（个） 图中有8个三角形。 故答案为：8。 【分析】由1个三角形组成的三角形有4个；由2个三角形组成的三角形有4个；一共有8个三角形。 【例题3】请你认真数—数，下图中共有　 　个三角形。 【答案】15 【解析】【解答】解：如图进行点标记： △ABC里面有6个三角形，△BCD里面有3个三角形，△ABD里面有6个三角形， 所以一共三角形的个数是6+3+6=15（个）。 故答案为：15。 【分析】在同一平面内，由三条线段首尾相邻围成的图形是三角形，本题据此进行解答。本题进行点标记，再数出每个三角形中小三角形的个数，据此即可得出答案。 【例题4】数一数图中有　 　个三角形． 【答案】12 【解析】【解答】解：只由一个三角形构成的有6个， 由两个小三角形组合而成的三角形有3个。 由三个小三角形组合而成的三角形有3个， 一共有（个）。 故答案为：12。 【分析】分别计数出由一个三角形、两个三角形和三个三角形组合而成的三角形，再求和。 四、数长方形和正方形 【例题1】数一数，下面的图形有　 　个长方形。 【答案】9 【解析】【解答】解：下面的图形有9个长方形。 故答案为：9。 【分析】长方形的总个数=4个小的长方形＋两个小的长方形组成4个稍大的长方形＋整个大的长方形。 【例题2】数一数，下图中共有　 　个长方形。 【答案】8 【解析】【解答】解：4＋2＋1＋1=8（个）。 故答案为：8。 【分析】长方形的总个数=4个小的长方形＋两个小的长方形组成2个稍大的长方形＋三个小长方形组成1个稍大长方形＋整个长方形。 【例题3】数一数，下面图形有　 　个正方形。 【答案】30；14 【解析】【解答】 9+4+1 =13+1 =14， 所以有14个正方形。 【分析】根据正方形的特点，数出1个正方形的有9个；4个小正方形拼成的稍大正方形有4个；最大的正方形有1个。 【例题4】数一数，下面有多少个长方形？ 【答案】解：1个长方形组成：9； 2个长方形组成：12； 3个长方形组成：6； 4个长方形组成：4； 6个长方形组成：4； 9个长方形组成：1。 共9+12+6+4+4+1=36（个） 答：有36个长方形。 【解析】【分析】按照从小到大的顺序，先查由1个小长方形构成的长方形个数，再查由2个小长方形构成的长方形个数，再查由3个小长方形构成的长方形个数，再查由4个小长方形构成的长方形个数，再查由6个小长方形构成的长方形个数，最后查最大的长方形个数，并把它们的和相加。 考点练习 一、数线段 1．下图中一共有　 　条线段。 【答案】15 【解析】【解答】解：这个图中一共有15条线段。 故答案为：15。 【分析】从图中第一个端点开始，两个点的线段有5条，三个点的线段有4条，四个点的线段有3条，五个点的线段有2条，六个点的线段有1条，所以一共有5+4+3+2+1=15条线段。 2．下面图形中有　 　条线段。 【答案】10 【解析】【解答】解：共有1+3+6=10(条)线段。 故答案为：10。 【分析】共有线段的条数=1＋3＋6=10条。 3．图中有几条线段？ 【答案】 【解析】【解答】解：4＋3＋2＋1=10（条）； 4+3+2+1=10(条) 10+10+10=30(条) 2+1=3(条) 3+3+3+3+3=15(条) 30+15=45(条)。 故答案为：45。 【分析】第一幅题图中，从A点画出了4条线段，横着有4 个点，有3+2+1=6(条)线段，一共有4+6=10(条)线段。第二幅题图中，横线有3 条，每条横线上的5个点把整条横线分成了4段，有4+3+2+1=10(条)线段，则3条横线共有10+10+10=30(条)线段；竖线有5条，每条竖线上的3个点把整条竖线分成了2段，有2+1=3(条)线段，则5条竖线共有3+3+3+3+3=15(条)线段。整个图形共有30+15=45(条)线段。 4．数一数，下图中有多少条线段？ 【答案】解：2+1=3（条 3+3+4=10（条） 答：共有10条线段。 【解析】【分析】正方形内的两条斜线上各有2+1=3条，正方形的四条边也是4条线段，这个图形中共有线段的条数=3＋3＋4=10条。 5．从甲市到乙市的铁路沿线上共有8个站点（包括起点站和终点站），铁路局要准备多少种不同的车票才能满足所有乘客的需求？ 【答案】解：单程：8×（8-1）÷2 =8×7÷2 =28（种） 28×2=56（种） 答：铁路局要准备56种不同的车票才能满足所有乘客的需求。 【解析】【分析】n表示点的个数，线段的总条数=n×（n-1）÷2，据此求出单程需要准备的车票数；单程需要准备的车票数×2=往返一共需要准备的车票数。 6．在图中，一共有　 　条线段。 【答案】40 【解析】【解答】解：一共有40条线段．中间五角星中有5条长线段，每条长线段上共可以数出：3+2+1=6（条）线段，那么五角星中共有6×5=30（条）线段，30+5+5=40。 故答案为：40。 【分析】 对于线段，则需计算独立的线段以及作为边界被多次计数的线段。 分别对三角形和线段进行计数即可。 二、数角 1．下面图形中有　 　个角。 【答案】6 【解析】【解答】图形有6个角。 故答案为：6。 【分析】单个的角有3个，两个角组成的角有2个，三个角组成的角有1个，因此共6个角。 2．下图中有　 　个角。 【答案】10 【解析】【解答】解：角的个数：4+3+2+1=10（个）。 故答案为：10。 【分析】射线有5条，由于两条射线可以组成一个角，单独的角有4个，两个角组成的角有3个，三个角组成的角有2个，四个角组成的角有1个。 3．下列图形中，一共有　 　个角。 【答案】21 【解析】【解答】解：一共有7条射线， 1+2+3+4+5+6=21（个） 一共有21个角。 故答案为：21。 【分析】从一点引出几条射线，求这些射线组成的角的总数，方法是：先查有几条射线，然后从1依次加到（几-1），和就是角的个数。即：角的总个数=1+2+3+......+（射线条数-1）。 4．数一数图中一共有　 　个角。 【答案】8 【解析】【解答】图中一共有8个角。 故答案为：8. 【分析】数角时，按顶点一个一个的数，最后求出它们的和； 1+3+3+1=8（个）。 5．数一数，下图中各有多少个角？ 　 　个角 　 　个角 【答案】15；14 【解析】【解答】解：5+4+3+2+1=15（个），9+4+1=14（个）， 有15个角 有14个角 故答案为：15；14。 【分析】数角的数量， 先数单个角， 再数由2个角、3个角……组成的角的数量，最后相加即可。 三、数三角形 1．数一数，下面的图形中一共有　 　个三角形。 【答案】15。 【解析】【解答】解：5+4+3+2+1=15（个），下面的图形中一共有15个三角形。 故答案为：15。 【分析】单个的三角形有5个，两个三角形组成的三角形有4个，三个三角形组成的三角形有3个，四个三角形组成的三角形有2个，五个三角形组成的三角形有1个。 2．数一数，下图有　 　个三角形。 【答案】12 【解析】【解答】解：下图有12个三角形。 故答案为：12。 【分析】图形的上半部分从左到右数有6个三角形；整个图形从左到右数有6个三角形；一共有12个三角形。 3．数一数，下图有　 　个三角形。 【答案】8 【解析】【解答】解：3+4+1=8（个） 故答案为：8。 【分析】单独的三角形有3个，两个图形组成的三角形有4个，最大的三角形有1个。 4．数一数，图中共有　 　个三角形。 【答案】16 【解析】【解答】解：由1个三角形组成的三角形是6个， 由2个三角形组成的三角形是3个， 由3个三角形组成的三角形是6个， 由6个三角形组成的三角形是1个， 一共有6+3+6+1=16个三角形 故答案为：16 【分析】 首先数出由1个三角形组成的三角形是6个，由2个三角形组成的三角形是3个，由3个三角形组成的三角形是6个，由6个三角形组成的三角形是1个，由此得出答案即可． 5．数一数，图中一共有　 　个三角形。 【答案】13 【解析】【解答】解：9+3+1=13（个） 故答案为：13。 【分析】观察图可知，单个的小三角形有9个，由4个小三角形组成的大三角形有3个，由9个小三角形组成的大三角形有1个，将数量相加即可。 6．在图中，一共有　 　个三角形。 【答案】10 【解析】【解答】解：一共有10个三角形．五角星的每个角上分别有1个小三角形，总共有5个； 另外还有5个较大的三角形，所以共有（个）三角形． 故答案为：10。 【分析】 对于三角形，需要考虑单个小三角形以及由多个小三角形组合成的大三角形。 7．数一数，有　 　个三角形。 【答案】12 【解析】【解答】解：5+4+2+1=12（个） 故答案为：12。 【分析】单独的三角形有5个，两个三角形组成的三角形有4个，三个三角形组成的三角形有2个，最大的三角形有1个。 8．数一数，图中有　 　个三角形。 【答案】10 【解析】【解答】解： 由1个小三角形组成的三角形有3个； 由2个小三角形组成的三角形有4个； 由3个小三角形组成的三角形有1个； 由4个小三角形组成的三角形有1个； 由6个小三角形组成的三角形有1个。 3+4+1+1+1=10（个） 故答案为：10。 【分析】按照三角形的大小和组合进行分类，分类计算出每一类三角形的个数，在求出总和。 9．数一数，下图中共有多少个三角形？ 【答案】解：如图， 以AC边上的线段为底，B为顶点的三角形有10个； 以AC边上的线段为底，分别以H、I、J、G为顶点的三角形有4个； 以AG边上的线段为底，B为顶点的三角形有10个。 所以图中共有10+4+10=24（个）三角形。 【解析】【分析】分别以AC为底、B为顶点和以H、I、J、G为顶点数三角形个数；以AG为底，B为顶点数三角形个数，然后将所有三角形加起来即可. 四、数长方形和正方形 1．数一数，图中一共有　 　个长方形。 【答案】10 【解析】【解答】解：4+3+2+1＝10（个） 图中一共有10个长方形。 故答案为：10。 【分析】有1个图形的长方形有4个，由2个长方形组成的长方形有3个，由3个长方形组成的长方形有2个，由4个长方形组成的长方形有1个，据此解答。 2．如下图，数一数一共有　 　个长方形。 【答案】15 【解析】【解答】解：6+6+2+1=15（个） 故答案为：15。 【分析】单独的长方形6个，两个长方形组合的长方形有6个，三个长方形组合的长方形有2个，最大的长方体1个。 3．数一数，下图中共有多少个长方形？ 【答案】长方形的个数=长边上的线段数×宽边上的线段数，长边上的线段数为1+2=3(条)，宽边上的线段数为1+2+3+4=10(条)，长方形个数为3×10=30(个) 【解析】【分析】组合图形中长方形的计数问题，一般情况下，如果有类似图中的任一个长方形一边上有(n-1)个点(不包括这条边的两个端点)，另一边上有(m-1)个点(不包括这条边的两个端点)，通过这些点分别作对边的平行线且与另一边相交，这两组平行线将长方形分为许多长方形，这时长方形的总数为：(1+2+3+……+m)×(1+2+3+…….+n) 4．数一数，下图中共有多少个正方形？ 【答案】1×1+2×2+3×3+4×4=30(个) 【解析】【分析】我们可以分类数出该题的正方形。 (1)由1个小方格组成的正方形一共有4×4=16(个)； (2)由4个小方格组成的正方形一共有3×3=9(个)； (3)由9个小方格组成的正方形一共有2×2=4(个)； (4)由16个小方格组成的正方形只有1个。 16+9+4+1=30(个)，所以一共有30个正方形 5．数一数，下图中有多少个长方形？ 【答案】解：长边上有5+4+3+2+1=15(条)线段， 短边上有3+2+1 =6(条)线段， 所以共有15×6=90(个)长方形。 【解析】【分析】数长方形可以用标数法，分别求出横向和纵向各有多少条不同的线段，长方形个数等于横向不同线段数乘纵向不同线段数。 6．数一数，图中共有　 　 个正方形。 【答案】35 【解析】【解答】解：按面积从小到大4+17+9+4+1=35个 故答案为：35。 【分析】按照正方形的面积大小对正方形进行分类，分别计数再进行求和。 7．数一数，图中共有　 　个长方形。 【答案】1575 【解析】【解答】解：9×7+（8+7+6+5+4+3+2+1）×7+（7+6+5+4+3+2+1）×9+（8+7+6+5+4+3+2+1）×（7+6+5+4+3+2+1） =63+36×7+28×9+36×28 =63+252+252+1008 =1575（个） 故答案为：1575。 【分析】观察图形，单个的长方形有9×7=63（个），单行和单列长方形组成的长方形有（8+7+6+5+4+3+2+1）×7+（7+6+5+4+3+2+1）×9=504（个），其他多行多列的长方形有（8+7+6+5+4+3+2+1）×（7+6+5+4+3+2+1）=1008（个），相加即为总个数。 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $