精品解析：河南省郑州市第四中学2020-2021学年下期八年级期中考试数学试卷

郑州四中2020-2021学年下期八年级期中考试数学试卷 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，逐一判断即可． 【详解】解：A、绕某一点旋转度后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； B、绕某一点旋转度后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； C、绕某一点旋转度后，能够与原图形重合，是中心对称图形，故符合题意； D、绕某一点旋转度后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：C． 2. 将下列多项式分解因式，得到的结果不含因式x-1的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方差公式、完全平方公式、提公因式法，进行因式分解，据此即可一一判定． 【详解】解：A.，故该选项不符合题意； B.，故该选项不符合题意； C.，故该选项不符合题意； D.，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了利用平方差公式、完全平方公式、提公因式法分解因式，熟练掌握和运用因式分解的方法是解决本题的关键． 3. 一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，然后根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则将不等式组的解集在数轴上表示出来，即可选择． 【详解】解：， 解不等式得：； 解不等式得：； 所以不等式组的解集为：． 在数轴上表示不等式组的解集为： 故选：C． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法及其数轴表示，掌握求一元一次不等式组的解的口诀“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了”是解题的关键． 4. 若关于的分式方程有增根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x﹣1＝0，求出x的值，代入整式方程计算即可求出a的值． 【详解】解：方程两边都乘以x﹣1，得：a＋1＋x＝0， ∵方程有增根， ∴x＝1， 将x＝1代入整式方程，得：a＋1＋1＝0， 解得：a＝﹣2， 故选：C． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 5. 下列选项中，平行四边形不一定具有的性质是( ) A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，对角线互相平分，可得正确选项． 【详解】解：∵平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分， ∴选项A. B. C正确，D错误. 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题关键在于对平行四边形性质的理解． 6. 若分式有意义且它的值为零，其中a、b、c为三角形的三条边，则此三角形一定为（　） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 各边都不相等的三角形 D. 直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式为零的条件可得=0且a≠c，即a=b或b=c且a≠c，则可得三角形为等腰三角形. 【详解】解：∵分式有意义且它的值为零， ∴=0且a≠c，即（a﹣b）（b﹣c）=0且a≠c， ∴a=b或b=c且a≠c， 又∵a、b、c为三角形的三条边， ∴此三角形一定为等腰三角形. 故选A. 【点睛】本题主要考查分式为零的条件，（1）分子的值为零；（2）分母的值不为零；两个条件必须同时具备，缺一不可. 7. 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工3个月，这时增加了乙队，两队又共同工作了2个月，总工程全部完成，已知甲队单独完成全部工程比乙队单独完成全部工程多用2个月，设甲队单独完成全部需x个月，则根据题意可列方程中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设甲队单独完成全部工程需个月，则乙队单独完成全部工程需要（x－2）个月，根据甲队施工5个月的工程量+乙队施工2个月的工程量=总工程量1列出方程，然后依次对各方程的左边进行变形即可判断． 【详解】解：设甲队单独完成全部工程需个月，则乙队单独完成全部工程需要（x－2）个月，根据题意，得：； A．的左边化简得，所以本选项不符合题意； B．可变形为，所以本选项不符合题意； C．可变形为，所以本选项不符合题意； D．，与上述方程不符，所以本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，找准相等关系“工作效率工作时间=工作量”列方程，是解题的关键． 8. 如图，的面积为，垂直的平分线于，则的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（）是解题的关键．通过延长 交 于点 ，利用角平分线和垂直的条件证明三角形全等，进而得出线段和面积的关系来求解． 【详解】解：延长 交 于点 平分， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， 和 等底等高， ， ， ， ， 故选： 9. 如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上一点，将沿AE折叠至处，与CE交于点F，若，，则的度数为（ ） A. 40° B. 36° C. 50° D. 45° 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得出，由折叠的性质得，，由三角形的外角性质求出，由三角形内角和定理求出，即可得出的大小． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， 由折叠的性质得：，， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出和是解决问题的关键． 10. 如果关于的分式方程有正整数解，且关于的一元一次不等式组的解集为，则所有满足条件的整数的和为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程和一元一次不等式组，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先求解分式方程，得出，再求解一元一次不等式组，结合题意可得，或，分别代入求解计算即可． 【详解】解：， 去分母：， 解得：，为正整数，且， 解不等式， 可得：， 解不等式：， 可得：， ∵关于的一元一次不等式组的解集为， ∴， 又∵，为正整数，且， ∴或， 若，则， 得， 若，则， 得， ∴所有满足条件的整数的和为：， 故选：D． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若成立，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的性质及成立的条件可直接进行求解． 【详解】解：若成立，则有， ∴， 故答案为． 【点睛】本题主要考查分式成立的条件及性质，熟练掌握分式的成立的条件及性质是解题的关键． 12. 已知a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足a2+b2-6a-8b+25=0，则这个等腰三角形的周长为______________. 【答案】10或11 【解析】 【分析】先运用分组分解法进行因式分解，求出a，b的值，然后根据等腰三角形的性质即可得出结论. 【详解】解：∵a2+b2-6a-8b+25=0， ∴(a2﹣6a+9)+(b2﹣8b+16)=0， ∴(a﹣3)2+(b﹣4)2=0， ∴a=3，b=4. 分两种情况讨论： ①当腰为3时，等腰三角形的周长为3+3+4=10， 当腰为4时，等腰三角形的周长为4+4+3=11. 综上所述：该等腰三角形的周长为10或11. 故答案为：10或11. 【点睛】本题考查了因式分解及等腰三角形的性质，解题的关键是运用分组分解法进行因式分解. 13. 如图，在中，，将沿向右平移得到．若四边形的面积等于，则的长为_________． 【答案】1 【解析】 【分析】先求出，再根据四边形的面积等于求出，由即可得到答案．本题考查了勾股定理解三角形、图形的平移、平行四边形的面积． 【详解】在中， ， 由平移易得四边形为平行四边形， 故答案为：1． 14. 如图，在中，，，，将绕点C逆时针旋转得到．且恰好落在上，连接，取的中点D，连接，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明为等边三角形得到．再证明为的中垂线得到，则，进而求得，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由及旋转性质可知，， 为等边三角形． ， ． 又， ， 为的中垂线， ． ， ， 又D为中点， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、线段垂直平分线的判定与性质、锐角三角函数等知识，熟练掌握相关性质是解答的关键． 15. 如图，在中， ，点D是的中点，点E、F分别是上的动点， ，M、N分别是的中点，连接，若，则的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质得，点在线段的垂直平分线上，在上时， 最大，最小，此时最大，，，，N是的中点，则点在线段上，当在上时，设，，，，在三角形用勾股定理可得，进而可得此时的最大值． 【详解】解：如图，连接，， ∵，，是的中点， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴在上时最大，最小，此时最大， ∵，，，N是的中点， ∴点在线段上，如图，      ∵N是的中点， ∴， 、分别是、的中点， ， 设，则，， 在直角三角形中，根据勾股定理，得， ， 解得， ， 此时． 的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质、线段垂直平分线的判定与性质，三角形的三边关系，勾股定理，解决本题的关键是掌握直角三角形斜边中线性质． 三、解答题（共7小题55分） 16. （1）解分式方程：． （2）化简求值：，． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，分式的化简求值，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）将分式方程去分母，转化为整式方程，求解并检验即可； （2）先根据分数的混合运算对式子化简，再代入求值即可． 【详解】解：（1） 方程两边同乘，得， 解得：， 检验：时，， ∴是分式方程的解． （2） ， 当时，原式． 17. 图1是某公交公司1路车从起点站A站途经B站和C站，最终到达终点站D站的格点站路线图．（8×8的格点图是由边长为1的小正方形组成） （1）求1路车从A站到D站所走的路程（精确到0.1）； （2）在图2、图3和图4的网格中各画出一种从A站到D站的路线图．（要求：①与图1路线不同、路程相同；②途中必须经过两个格点站；③所画路线图不重复） 【答案】（1）9.7；（2）图形见解析． 【解析】 【分析】（1）先根据网格求得AB、BC、CD三条线段的长，再相加求得所走的路程的近似值； （2）根据轴对称、平移或中心对称等图形的变换进行作图即可． 【详解】（1）根据图1可得：，，CD=3 ∴A站到B站的路程=≈9.7； （2）从A站到D站的路线图如下： 【点睛】考点：作图—应用与设计作图；勾股定理的应用． 18. 已知：线段，，求作：平行四边形，以下是甲、乙两同学的作业． 甲：①以点为圆心，长为半径作弧； ②以点为圆心，长为半径作弧； ③两弧在上方交于点，连接，． 四边形即为所求平行四边形．（如图1） 乙：①连接，作线段的垂直平分线，交于点； ②连接并延长，在延长线上取一点，使，连接，． 四边形即为所求平行四边形．（如图2） 老师说甲、乙同学的作图都正确，你更喜欢__________的作法，他的作图依据是：_________． 【答案】甲；两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定解决问题即可． 【详解】甲，两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 乙，对角线互相平分的四边形是平行四边形. 由甲图可知：，， ∴四边形是平行四边形. 由乙图可知：，， ∴四边形是平行四边形. 我喜欢甲的作法．作图理由：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 故答案为：甲；两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19. 对于任意两个数、的大小比较，有下面的方法：当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．请根据以上材料完成下面的题目： （1）已知：，，且，试判断的符号； （2）已知：、、为三角形的三边，比较和的大小． 【答案】（1）y＞0；（2）＜ 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，因式分解得到，进而得到y的符号即可； （2）将和作差，结合已知及三角形的两边之和大于第三边可求． 【详解】解：（1）因为A＞B， 所以A-B＞0， 即， ∴， 因为， ∴y＞0 （2）因为a2−b2＋c2−2ac＝a2＋c2−2ac−b2＝（a−c）2−b2＝（a−c−b）（a−c＋b）， ∵a＋b＞c，a＜b＋c， 所以（a−c−b）（a−c＋b）＜0， 所以a2−b2＋c2−2ac的符号为负． ∴＜ 【点睛】本题考查了作差法比较两个式子的大小以及因式分解，解题的关键是理解题中的“求差法”比较两个数的大小，并熟练掌握因式分解的方法． 20. 春节期间，根据习俗每家每户都会在门口挂红灯笼和贴对联，某商店看准了商机，准备购进一批红灯笼和对联进行销售，已知每幅对联的进价比每个红灯笼的进价少10元：且购进对联50幅比购进红灯笼20个多花费40元． （1）对联和红灯笼的单价分别为多少？ （2）由于销售火爆，第一批售完后，该商店以相同的进价再购进300幅对联和200个红灯笼，已知对联的销售价格为12元一福，红灯笼的销售价格为24元一个，销售一段时间后发现对联售出了总数的，红灯笼售出了总数的，为了清仓，该店老板决定对剩下的红灯笼和对联以相同的折扣数打折销售，并很快全部售出，问商店最低打几折，才能使总的利润率不低于20%？ 【答案】（1）对联的进货单价为8元/幅，红灯笼的进货单价为18元/个．（2）商店最低打5折，才能使总的利润率不低于20%． 【解析】 【分析】（1）设对联的进货单价为x元/幅，则红灯笼的进货单价为（x+10）元/个，根据题意列方程，解之即可得出结论； （2）设该店老板决定对剩下的红灯笼和对联打y折销售，根据总利润＝单件利润×销售数量结合总的利润率不低于20%，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论． 【详解】解：（1）设对联的进货单价为x元/幅，则红灯笼的进货单价为（x+10）元/个， 依题意，得：50x-20（x+10）=40， 解得：x＝8， ∴x+10＝18． 答：对联的进货单价为8元/幅，红灯笼的进货单价为18元/个． （2）设该店老板决定对剩下的红灯笼和对联打y折销售， 依题意，得：， 解得：y≥5． 答：商店最低打5折，才能使总的利润率不低于20%． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 21. 阅读下面材料，并解答问题． 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母为，可设． 则 ∴，∴ ∴ 这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和． 根据上述作法，将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算是解题的关键，根据题意，由分母为，可设．求出的值，即可得到答案． 【详解】解：由分母为，可设． 则 ∴，∴ ∴ ． 22. 如图，在正方形中，点，分别在边，上，且，延长到点，使得，连接，，． （1）图中与的数量关系是_____． （2）图，将图中的绕着点逆时针旋转，连接并延长到点，使得，连接，，，此时与还存在（1）中的数量关系吗？判断并说明理由． （3）在（2）的条件下，若，，当是以为直角边的直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】（1） （2） 解：（2）GE与CE 仍然存在（1）中的数量关系． 理由：如图，连接， ∵将图中的绕着点逆时针旋转， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵ ， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴GE与CE 仍然存在（1）中的数量关系； （3）或 【解析】 【分析】（1）连接，证明，由全等三角形的性质得出，，得出为等腰直角三角形即可； （2）类似（1）的方法，先证明，再证，得出为等腰直角三角形即可； （3）分两种情况：当时；当时，结合（2）中结论，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴图中与的数量关系是， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，如图， ∵，，，， ∴， ， ∴， ∴、、在一条直线上， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，如图， ∴， 由（2）得，， ∴，， ∴， ∴、、在一条直线上， 过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，正方形的性质，旋转的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郑州四中2020-2021学年下期八年级期中考试数学试卷 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将下列多项式分解因式，得到的结果不含因式x-1的是（　　　） A. B. C. D. 3. 一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 若关于的分式方程有增根，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 下列选项中，平行四边形不一定具有的性质是( ) A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 6. 若分式有意义且它的值为零，其中a、b、c为三角形的三条边，则此三角形一定为（　） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 各边都不相等的三角形 D. 直角三角形 7. 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工3个月，这时增加了乙队，两队又共同工作了2个月，总工程全部完成，已知甲队单独完成全部工程比乙队单独完成全部工程多用2个月，设甲队单独完成全部需x个月，则根据题意可列方程中错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，的面积为，垂直的平分线于，则的面积为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上一点，将沿AE折叠至处，与CE交于点F，若，，则的度数为（ ） A. 40° B. 36° C. 50° D. 45° 10. 如果关于的分式方程有正整数解，且关于的一元一次不等式组的解集为，则所有满足条件的整数的和为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若成立，则x的取值范围是_____． 12. 已知a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足a2+b2-6a-8b+25=0，则这个等腰三角形的周长为______________. 13. 如图，在中，，将沿向右平移得到．若四边形的面积等于，则的长为_________． 14. 如图，在中，，，，将绕点C逆时针旋转得到．且恰好落在上，连接，取的中点D，连接，则的长为________． 15. 如图，在中， ，点D是的中点，点E、F分别是上的动点， ，M、N分别是的中点，连接，若，则的最大值为_________． 三、解答题（共7小题55分） 16. （1）解分式方程：． （2）化简求值：，． 17. 图1是某公交公司1路车从起点站A站途经B站和C站，最终到达终点站D站的格点站路线图．（8×8的格点图是由边长为1的小正方形组成） （1）求1路车从A站到D站所走的路程（精确到0.1）； （2）在图2、图3和图4的网格中各画出一种从A站到D站的路线图．（要求：①与图1路线不同、路程相同；②途中必须经过两个格点站；③所画路线图不重复） 18. 已知：线段，，求作：平行四边形，以下是甲、乙两同学的作业． 甲：①以点为圆心，长为半径作弧； ②以点为圆心，长为半径作弧； ③两弧在上方交于点，连接，． 四边形即为所求平行四边形．（如图1） 乙：①连接，作线段的垂直平分线，交于点； ②连接并延长，在延长线上取一点，使，连接，． 四边形即为所求平行四边形．（如图2） 老师说甲、乙同学的作图都正确，你更喜欢__________的作法，他的作图依据是：_________． 19. 对于任意两个数、的大小比较，有下面的方法：当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．请根据以上材料完成下面的题目： （1）已知：，，且，试判断的符号； （2）已知：、、为三角形的三边，比较和的大小． 20. 春节期间，根据习俗每家每户都会在门口挂红灯笼和贴对联，某商店看准了商机，准备购进一批红灯笼和对联进行销售，已知每幅对联的进价比每个红灯笼的进价少10元：且购进对联50幅比购进红灯笼20个多花费40元． （1）对联和红灯笼的单价分别为多少？ （2）由于销售火爆，第一批售完后，该商店以相同的进价再购进300幅对联和200个红灯笼，已知对联的销售价格为12元一福，红灯笼的销售价格为24元一个，销售一段时间后发现对联售出了总数的，红灯笼售出了总数的，为了清仓，该店老板决定对剩下的红灯笼和对联以相同的折扣数打折销售，并很快全部售出，问商店最低打几折，才能使总的利润率不低于20%？ 21. 阅读下面材料，并解答问题． 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母为，可设． 则 ∴，∴ ∴ 这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和． 根据上述作法，将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 22. 如图，在正方形中，点，分别在边，上，且，延长到点，使得，连接，，． （1）图中与的数量关系是_____． （2）图，将图中的绕着点逆时针旋转，连接并延长到点，使得，连接，，，此时与还存在（1）中的数量关系吗？判断并说明理由． （3）在（2）的条件下，若，，当是以为直角边的直角三角形时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $