专题07 与比例线段有关的六大题型（高效培优专项训练）数学华东师大版九年级上册

学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题07 与比例线段有关的六大题型 题型归纳 题型一：比例的性质 题型二：比例线段 题型三：成比例线段 题型四：黄金分割 题型五：由平行判断成比例线段 题型六：求线段的长或比值 题型专练 题型一：比例的性质 1.己知3x-4y=0(y≠0)，那么下列比例式中成立的是( A.=上 B.x_y C.=3 D. 34 43 3y 2.把等式7x=9y,写成比例式，其中错误的是（) 4.29 B.、9 C.y、x y7 97 D.x 7-9 3.己知5a=3b,则下列等式正确的是() A.95 B.b5 C.b5 D.a+b=4 3 b 3 a a 3 a-b 4.已知：g9,则3a+2b-c=（) 234 c-a A.8 B.4 C.1 D.I 8 4 5.若30-26=0，则告°的作为() A c. D. 2 2 3 6.如果a:b=1:2,那么0+36的值是() 2a+b c.7 D. 7 1/14 00学科网·上好课 www，zx (xk .com 上好每一堂课 7.已知 $$\frac { a } { 3 } = \frac { b } { 2 } e 0 ，$$ 且 2a-b=8， ，则a的值为. 8.若 3x=5y(y≠0)， ，则 的值为 9.若 $$\frac { x } { 7 } = \frac { y } { 3 } ，$$ ，则 $$1 \frac { x - y } { x } =$$ . 10.若 $$x = \frac { a } { b + c } = \frac { b } { a + c } = \frac { c } { a + b } ，$$ ，试求的值 11.已知 a：b=3：2. (1)求 $$\frac { a + b } { a }$$ 的值： (2)若 a+2b=21， ，求a、b的值. 12.已知线段a、b、c满足 a：b：c=3：2：4， 且 a+2b+c=33. (1)求a、b、c的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求 x 13.(1)已知 $$1 \frac { x } { 5 } = \frac { y } { 4 } ，$$ 求 $$\frac { x + y } { 3 x - 2 y }$$ 的值. (2)画出下面几何体的主视图、左视图和俯视图. 主视方向 14.设互不相等的非零实a.b，.c满足 $$a + \frac { 3 } { b } = b + \frac { 3 } { c } = c + \frac { 3 } { a } ，$$ ，求 $$\sqrt { \left( a + \frac { 3 } { b } \right) ^ { 2 } + \left( b + \frac { 3 } { c } \right) ^ { 2 } } + \left( c + \frac { 3 } { a } \right) ^ { 2 }$$ 的值. 2/14 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型二：比例线段 15.下列长度的四组线段中，成比例的一组是() A.2cm,2.5cm,3cm,3.5cm B.3cm,3cm,3cm,43cm C.2cm,4cm,8cm,18cm D.√2cmcm,√3cm,2cm,√6cm 16.若一张地图的比例尺是1：150000，在地图上量得甲、乙两地的距离是5cm,则甲、乙两地的实际距离 是() A.3000m B.3500m C.5000m D.7500m 17.如图，已知点C是线段AB上的一点，且满足 cAC,则AC AB BC () A C A.5-1 B.V5+1 c.2-1 D.V2+1 2 2 2 18.如果-3为和w的比例中项，则u的值为一 3 19.直线1上顺次有四个点4、B、C、D,且Ag=加=3，则8C BC DC AD 20.己知线段c是线段a、b的比例中项，且a:c=3:5,则b:c=_ 21.已知点B在线段4C上，且BC-4g,若4C=1cm,则线段BC=cm. AB AC 7图己知04,4D=6cmDB48m，E02m则A0m 23.如图1，己知ABC中，AB=8,BC=6,点D在线段BC上，CD=2.过点D作DE∥AC交AB于点 E 3/14 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E E F D D 图1 图2 (1)求线段AE的长： (2)在图1的基础上连接CE.过点D作DF∥CE交AB于点F,得到图2，请直接写出线段BF的长. 24.已知ABC三边a,b,c满足(a-ca+b:(c-b)=-2:71,且a+b+c=24. (1)求a,b,c的值 (2)判断ABC的形状. 25,已阳三条线段a么，c满足号合行1+6+c=18, (1)求a,b,c的值； (2)若线段d是线段a和b的比例中项，求d的值. 题型三：成比例线段 26.下列线段能成比例线段的是（) A.Icm,2cm,3cm,4cm B.1cm,v2cm,2v2cm,4cm C.2cm,5cm,v3cm 1cm D.2cm,5cm,3cm,4cm 4/14 而学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 27.己知线段a=2,b=8,线段c是a和b的比例中项，则c等于() A.2 B.4 C.±4 D.8 28.如果a,b,c,d按顺序是成比例线段，其中a=2cm,b=6cm,c=5cm,则线段d的长为() A.9cm B.15cm C.8cm D.2.4cm 29.a,b,c,d是四条线段，下列各组中四条线段成比例的是(） A.a 2cm,b =5cm.c 5cm,d =10cm B.a=5cm,b =3cm,c=10cm,d =6cm C.a =30cm,b =2cm,c=0.8cm,d 2cm D.a=5cm,b=0.2cm.c=7cm,d =0.3cm 30.下列四组线段中，是成比例线段的一组是() A.10,15,8,12 B.5,6,7,8 C.3,6,4,7 D.2,4,6,8 题型四：黄金分割 31.如图，线段AB的长度为1，线段AC的长度为x,线段AB上的点C满足关系式AC2=BC·AB,线段 AC上的点D满足关系式AD=CD·AC,线段AD上的点E满足关系式AE2=DE·AD,则线段AE的长度 是() A E D C B A.V5-1 B.25-4 C.V5-4 D.√5-2 32.如图，正五角星图案中，若点N是线段BE的黄金分割点，且BE=2,则BN的长为() A M A.5-1 B.5+1c.5-1D.5+1 2 2 33.大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美.如图，P为线段AB的黄金分割点 (AP>PB).如果AB的长度为10cm,那么AP的长度是() 5/14 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B A.(55-5cm B.15-5V5cm c.(10-55)cm D.(55+5)cm 34.宽与长的比是黄金比的矩形叫做黄金矩形.如图，AC是黄金矩形ABCD的对角线，ABC与ABC关 于直线AC成轴对称，AB交CD于点E,则DE的值是(). AD B E A.5 D.5 5 B.Z c 4 35.人体美学中的黄金分割有很多种，其中肚脐是头顶到足底的黄金分割点（从头顶到足底画一条线段， 肚脐是该线段的黄金分割点).小明同学从足底到肚脐的距离是105cm,小明同学的最佳身高是(). A.160cm B.170cm C.180cm D.190cm 36.如图，点C是线段AB的黄金分割点(AC<BC),若AB长为2，则线段AC的长为() 4C B A.3-√5 B.3+V5 c.V5+1 D.√5-1 37.点M在线段AB上，若AM2=AB·MB(AM>MB),那么MB:AM的值为一 38.如图，乐器上的一根弦AB=100cm,两个端点固定在乐器面板上，支撑点C和D分别放在琴弦的黄金 分割点上，则C、D之间距离为 cm（保留根号). A C D B 6/14 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 39.已知点P是线段AB的黄金分割点(AP>PB),若AB的长为4，则AP的长是」 40.大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”.如图，P为AB的黄金分割点(AP>PB),如果AB 的长度为8cm,那么PB的长度是cm. 41.达·芬奇的著名画作《蒙娜丽莎》被誉为艺术史上的经典，这幅画的构图巧妙地运用了黄金分割的比例. 图画中头顶到手的长度AB为90c,下巴的位置点E是头顶点A到手部点B的黄金分割点，则蒙娜丽莎的 头顶到下巴的长度AE为一cm(结果保留根号，黄金比为5-l). 2 42.如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD(AB>AD).若这个矩形为黄金矩形(AD与AB之 比等于黄金比5-l) 2 40cm (1)求该矩形的长.（结果保留根号） (2)求该矩形的面积.（结果保留根号） 43.阅读理解： 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式. 7/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 例如：化简3-2 解：将分子、分母同乘以√+√得： 1 V5+√2 V3-V2(5-V2V3+2 -=√5+√2. 类比运用： 1 (1)2-1 ； 拓展延伸： C B E C 图1 图2 宽与长的比是5-1的矩形叫黄金矩形.如图1，已知黄金矩形4BCD的宽AB=V2. 2 (2)求黄金矩形ABCD中BC边的长； (3)如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF,得到新的矩形DCEF，猜想矩形 DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论. 题型五：由平判断成比例线段 44.如图，已知DE∥BC,DF∥AC,那么下列比例式中正确的是() E B F A.AD_AC B. DE CE BC BD c器 D.BF CE CF AE 45.如图，已知a∥b∥c,下列比例式中成立的是() 8/14 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C E A.ADCE B.ADBC C.AF BE D. CE AD DF BC AF CE DE CE BE AF 46.如图所示，已知a∥b∥c,下列比例式一定成立的是() A D B b F AD BE B. AB DE A.BE CF AC DF cC船 D.AB、DE EF BC 47.在ABC中，点D、E分别在边BA、CA的延长线上（如图)，下列四个选项中，能判定DE∥BC的是 () E A. BD CE B.ABAE C.AB_BC D.AB AE AB AC AD AC AD DE AC AD 48.如图，己知ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，且DE∥BC,EF∥AB,且 AD:DB=1:2,若CF=9,那么BF=_ D B 49.如图，在ABC中，∠ACB=90°，DF垂直平分BC,DE⊥AB于点E,连接AD,且∠BAC=2LEDA ,若AD=23，,AC=2,则DF的长为一 9/14 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D E 50.如下图，在四边形ACBD中，对角线AB、CD相交于点O,∠ACB=90°，BD=CD,若 ∠DAB=2LABC,则4D 的值为 AB D 51.如图，AOB中，∠A0B=90°，0A=5,OB=8,点M为AB的中点，C为边OB上一点，把△A0C 沿直线AC翻折得到△ACD. (1)当点D恰好落在AB边上时，DM的长为一： (2)当MD与AOB的边平行时，OC的长为 52.己知：如图，在ABC的斜边BC上任取一点D,过点D分别作AC、AB的平行线，交AB于点E, 交AC于点F. E B D (1)求证：4E=CF EB FA (2)EF是否平行BC?若能，此时BD与DC有什么关系？ 10/14 专题07 与比例线段有关的六大题型 题型一：比例的性质 题型二：比例线段 题型三：成比例线段 题型四：黄金分割 题型五：由平行判断成比例线段 题型六：求线段的长或比值 题型一：比例的性质 1．已知，那么下列比例式中成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．直接利用比例的性质变形得出答案． 【详解】解：， ， 则， 故选：B． 2．把等式，写成比例式，其中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键． 根据内项之积等于外项之积对各选项进行判断． 【详解】解：， 或或，故A，B，D正确； 由得，故C不正确． 故选：C． 3．已知，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质逐项判断解答即可． 【详解】解：A.由可得，等式不成立； B.由可得，等式不成立； C.由可得，等式成立； D. 由可得，即，等式不成立； 故选：C． 4．已知：，则（   ） A．8 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键．利用设法进行计算，即可解答． 【详解】解：设， ，，， ， 故选：B． 5．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件可得，再根据合比性质求解即可． 本题主要考查了比例的基本性质和合比性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 两边同时除以， 得， ∴． 故选：B． 6．如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 7．已知，且，则a的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了比例的性质，设，根据比例的性质可得，，进而得到，解方程解答即可． 【详解】解：设， 则，， ， ， 解得， 故答案为： 8．若（），则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了比例的基本性质，掌握比例的基本性质是解题的关键．根据比例的基本性质直接得出答案即可． 【详解】解：∵， ∴的值为， 故答案为：． 9．若，则 ． 【答案】 【详解】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．先根据已知比例关系用含同一参数的式子表示和，再代入所求代数式计算即可． 【点睛】设， 则，， ， 故答案为：． 10．若，试求的值 【答案】或 【分析】本题考查了比例的性质，熟知比例的性质，根据题意分和两种情况分类讨论即可求解． 【详解】解：当时， ∵， ∴； 当时， ． 故答案为：或 11．已知． (1)求的值； (2)若，求a、b的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据已知条件设，再代入要求的式子进行计算即可得出答案； （2）根据已知条件设，再代入要求的式子进行计算即可得出答案． 本题考查比例，在用比例的基本性质进行相关计算时，常用值法，根据比例式设出合适的未知数，然后用含此未知数的代数式表示相应的字母，再代入求值． 【详解】（1）， 设，， ； （2）， 设，， ， ，解得， ，． 12．已知线段满足，且． (1)求的值； (2)若线段是线段的比例中项，求的值； 【答案】(1)，，； (2)． 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解题的关键． （）根据，设，，，再代入等式进行计算即可得； （）根据比例中项的定义列式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设，，， ∵， ∴，解得：， ∴，，； （2）解：∵线段是线段的比例中项， ∴， ∴， ∵，， ∴（负值已舍去）． 13．（1）已知，求的值． （2）画出下面几何体的主视图、左视图和俯视图． 【答案】（1），（2）见解析 【分析】本题考查比例的性质，作图-三视图，解题的关键是掌握比例的性质，理解三视图的定义． （1）设，则，，再代入计算即可 （2）根据三视图的定义画图即可． 【详解】（1）解：设，则，， ∴； （2）解：如图所示． 14．设互不相等的非零实数a，b，c满足，求的值． 【答案】3 【分析】本题考查了比例的性质，算术平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 设，则，，，从而得出，，，进而得出，由，，为互不相等的非零实数得出，从而得出答案． 【详解】解：设， 则，，， 由可得， ， ， 整理得：， 同理可得：，， ∴， ，，为互不相等的非零实数， ， ， ∵， ∴ ． ∴ 题型二：比例线段 15．下列长度的四组线段中，成比例的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．cm，，， 【答案】D 【分析】此题考查了比例线段，掌握比例的性质是解题的关键； 根据成比例线段的定义，若四条线段满足最大与最小的乘积等于中间两段的乘积，则它们成比例，逐项判定即可． 【详解】解：A．，，因为，所以这四条线段不成比例，故此选项不符合题意； B．，，因为，所以这四条线段不成比例，故此选项不符合题意； C．，，因为，所以这四条线段成比例，故此选项不符合题意； D．，，因为，所以这四条线段成比例，故此选项符合题意； 故选：D． 16．若一张地图的比例尺是，在地图上量得甲、乙两地的距离是，则甲、乙两地的实际距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例尺，用到的知识点是比例的性质，解题的关键是根据性质列出方程，注意单位的换算．设甲、乙两地的实际距离是，根据题意得，求出的值，再把单位换算为即可． 【详解】解：设甲、乙两地的实际距离是，根据题意得： ，解得， ． 故选：D． 17．如图，已知点是线段上的一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程，比例线段，根据题意列出比例式是关键．设，，根据求出x，得到和，再计算结果即可． 【详解】解：设，，则， ∵， ∴， 解得：或（舍）， 即， ∴， ∴， 故选A． 18．如果为和u的比例中项，则u的值为 ． 【答案】27 【分析】本题考查比例中项的概念，根据比例中项的概念写出比例，再根据比例的性质即可求出u的值． 【详解】∵为和u的比例中项， ∴， ∴， ∴， 故答案为：27． 19．直线上顺次有四个点A、B、C、D，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例线段． 根据得到，，进而得到，根据计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 20．已知线段c是线段a、b的比例中项，且，则 【答案】 【分析】本题考查比例线段，根据题意得到，即可求解． 【详解】解：∵线段c是线段a、b的比例中项， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 21．已知点B在线段上，且，若，则线段 ． 【答案】 【分析】本题考查的是比例的性质及解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 根据题意列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得，，（舍去）， ∴ 故答案为：． 22．如图，已知，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例线段，根据比例线段定义即可求解，解题的关键是掌握比例线段定义对于四条线段，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 23．如图1，已知中，，，点在线段上，．过点作交于点． (1)求线段的长； (2)在图1的基础上连接．过点作交于点，得到图2，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查比例线段的知识，解题的关键是比例线段的性质，进行求解，即可． （1）根据，得，求出，即可； （2）根据（1）可得的值，根据，根据，则，根据，进行解答，即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，，， ∴， ∴． （2）由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 24．已知三边满足，且． (1)求的值； (2)判断的形状． 【答案】(1)； (2)直角三角形． 【分析】（）设，，，可得，即得，进而得到，，再由，可得，据此即可求解； （）利用勾股定理逆定理即可判断求解； 本题考查了比例的有关计算，勾股定理的逆定理，掌握比例的有关计算是解题的关键． 【详解】（1）解：设，，， ∴， 即， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，，； （2）解：∵，， ∴， ∴为直角三角形． 25．已知三条线段，，满足，且. (1)求，，的值； (2)若线段是线段和的比例中项，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段； （1）设，用含的代数式分别表示出，再由，建立关于的方程，解方程求出的值，从而可求出的值； （2）由已知线段 是线段 和 的比例中项，可得到，代入计算求出的值． 【详解】（1）解：设，则， ∵ ∴ 即， 解得：， ∴； （2）解：∵线段是线段和的比例中项， ∴， ∵ ∴． 题型三：成比例线段 26．下列线段能成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】本题考查线段成比例的应用，熟练掌握该知识点是解题的关键．依次对每组的四条线段长度按从小到大顺序排列好，然后分别计算前两项的比值和后两项的比值，如果两个比值相等，则说明四条线段成比例，否则不成比例． 【详解】解：A、，故四条线段不成比例，不符合题意； B、，故四条线段成比例，符合题意； C、，故四条线段不成比例，不符合题意； D、，故四条线段不成比例，不符合题意； 故选：B． 27．已知线段，，线段是和的比例中项，则等于（   ） A．2 B．4 C．±4 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了比例线段；理解比例中项的概念，注意线段不能是负数．根据比例中项的定义，列出比例式即可求解． 【详解】解：线段，，线段是和的比例中项， ， ， ， （舍去负值）， 故选：B． 28．如果，，，按顺序是成比例线段，其中，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段，根据线段成比例，可以列出方程，代入数值求解即可． 【详解】解：∵线段a、b、c、d是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故选：B． 29．是四条线段，下列各组中四条线段成比例的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例线段的概念．把四条线段的长度按大小顺序排列，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等即可． 【详解】解：A．，不成比例，不合题意； B．，成比例， 符合题意； C．，不成比例，不合题意； D．，不成比例，不合题意； 故选B． 30．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（   ） A．，，8， B．5，6，7，8 C．3，6，4，7 D．2，4，6，8 【答案】A 【分析】本题考查了成比例线段．在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段．对于按顺序给出的四条线段，我们通常检验其是否满足，即．据此对各选项进行判断即可． 【详解】解：A中，由，可知这一组线段是成比例线段．所以A符合题意； B中，由，可知这一组线段不是成比例线段．所以B不符合题意； C中，由，可知这一组线段不是成比例线段．所以C不符合题意； D中，由，可知这一组线段不是成比例线段．所以D不符合题意． 故选：A． 题型四：黄金分割 31．如图，线段的长度为1，线段的长度为x，线段上的点C满足关系式，线段上的点D满足关系式，线段上的点E满足关系式，则线段的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了黄金分割比的定义，属于基础题，计算过程中细心即可． 由题意得出C为线段的黄金分割点，D为线段的黄金分割点，E为线段的黄金分割点，再由黄金分割比的比值为即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：(负值舍去)， 即C为线段的黄金分割点，且； 同理：由知，D为线段的黄金分割点， ∴， 由知，E为线段的黄金分割点， ∴， 故选：D． 32．如图，正五角星图案中，若点是线段的黄金分割点，且，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割的比值是解题的关键． 根据黄金分割点的定义得到，代入数据即可得出的长度． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且， ∴，即 ∴． 故选：C． 33．大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，为线段的黄金分割点如果的长度为，那么的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：根据黄金分割的定义进行计算得： ∴， 故选：A． 34．宽与长的比是黄金比的矩形叫做黄金矩形．如图，是黄金矩形的对角线，与关于直线成轴对称，交于点E，则的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠问题、黄金分割、勾股定理，利用黄金比例表示线段的长是解题的关键．设黄金矩形的长，则宽，利用矩形和轴对称的性质证出，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，得出的长即可求解． 【详解】解：设黄金矩形的长，则宽， ∵矩形， ∴，， ∴， ∵与关于直线成轴对称， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故选：B． 35．人体美学中的黄金分割有很多种，其中肚脐是头顶到足底的黄金分割点（从头顶到足底画一条线段，肚脐是该线段的黄金分割点）．小明同学从足底到肚脐的距离是，小明同学的最佳身高是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查线段的比、比例的性质，能根据题意列出比例式是解答的关键． 根据题意列出比例式，根据比例性质求解即可． 【详解】解：设头顶至肚脐的长度为，根据题意， 得：=， ∴， 则此人身高大约为， 故选：B． 36．如图，点C是线段的黄金分割点（），若长为2，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割，掌握较长线段是全线段的即是解题的关键． 【详解】解：∵点C是线段的黄金分割点，且，， ∴， ∴； 故选：A． 37．点在线段上，若，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，设，则，根据可得：，解方程可得：，所以可得：． 【详解】解：如下图所示， 设，则， 由题意得：， 整理得：， 解得：或不符合题意，舍去， ， ， 故答案为： 38．如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点C和D分别放在琴弦的黄金分割点上，则C、D之间距离为 （保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查黄金分割；根据黄金分割的定义得到，再把代入计算即可． 【详解】解：∵点C，点D是的黄金分割点， ∴， ∴， 故答案为：． 39．已知点P是线段的黄金分割点（），若的长为4，则的长是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割．根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可得出的长． 【详解】解：由于P为线段的黄金分割点，且是较长线段, 则． 故答案为：． 40．大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查黄金分割，掌握黄金分割的定义是解题的关键．设，则，根据黄金分割得到，代入即可求解． 【详解】解：设，则， ∵点P为的黄金分割点（）， ∴， ∴，即， 解得，（不合题意，舍去）， ∴． 故答案为：． 41．达芬奇的著名画作《蒙娜丽莎》被誉为艺术史上的经典，这幅画的构图巧妙地运用了黄金分割的比例．图画中头顶到手的长度为cm，下巴的位置点是头顶点到手部点的黄金分割点，则蒙娜丽莎的头顶到下巴的长度为 cm（结果保留根号，黄金比为）． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．因为点是线段的黄金分割点，根据黄金分割的定义，可求出长度，再进行计算即可． 【详解】解：由题知， ∵点是线段的黄金分割点， ∴． ∵， ， 故答案为： ． 42．如图，用长为的细铁丝围成一个矩形（）．若这个矩形为黄金矩形（与之比等于黄金比）． (1)求该矩形的长．（结果保留根号） (2)求该矩形的面积．（结果保留根号） 【答案】(1)该矩形的长为 (2)该矩形的面积为 【分析】本题考查了矩形的周长，矩形的面积，黄金比，解分式方程，分母有理化，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）设，那么，然后根据与之比等于黄金比，代入解方程即可； （2）利用长乘以宽，直接计算出答案即可． 【详解】（1）解：设，那么， 经检验，是原方程的根， ， 答：矩形的长为． （2）解：由（1）可知，，， 矩形的面积为：（）． 答：该矩形的面积为． 43．阅读理解： 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如：化简． 解：将分子、分母同乘以得： ． 类比运用： （1）______； 拓展延伸： 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图1，已知黄金矩形的宽． （2）求黄金矩形中边的长； （3）如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论． 【答案】（1）（2）（3）矩形是黄金矩形，理由见解析 【分析】本题考查了二次根式的性质，平方差公式，矩形的性质，此类问题要认真阅读材料，理解材料中的知识． （1）将分子、分母同乘以，再根据平方差公式计算即可； （2）根据黄金矩形的定义结合，进行计算即可解答； （3）根据题意算出的长，从而得出，证明和的比值为即可． 【详解】解：（1）． 故答案为：． （2）∵宽与长的比是的矩形叫黄金矩形， ∴黄金矩形的宽， 则黄金矩形的长； （3）矩形为黄金矩形，理由是： 由裁剪可知：， 根据黄金矩形的性质可得： ， ∴， ∴， 故矩形为黄金矩形． 题型五：由平行判断成比例线段 44．如图，已知，，那么下列比例式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理的推论，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例，由此可解． 【详解】解：，， ，． ． 故选D． 45．如图，已知，下列比例式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：， ，，，； 观察四个选项，选项C符合题意； 故选：C． 46．如图所示，已知，下列比例式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例， 根据平行线分线段成比例定理即可得出结论． 【详解】解：， ， 故选：B. 47．在中，点D、E分别在边的延长线上（如图），下列四个选项中，能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理，掌握相关的判定定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理判断即可． 【详解】解：当时，，A选项正确，符合题意； 当时，不能判定，B、C选项错误，不符合题意； 当时，不能判定，D选项错误，不符合题意． 故选：A． 48．如图，已知中，点D、E、F分别是边、、上的点，且，且，若，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理（包括三角形中位线定理的延伸），解题的关键是利用两组平行线、分别得出对应线段的比例关系，通过中间线段建立与的联系． 由，根据平行线分线段成比例定理得；由，同理得=；因此；已知、，代入比例式即可求出的长度． 【详解】解：∵（已知）， ∴（平行线分线段成比例定理）． ∵（已知）， ∴（平行线分线段成比例定理）． ∴（等量代换）． 已知， 设，则，解得． 故答案为： 49．如图，在中，，垂直平分，于点，连接，且，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，垂直平分线的性质；设交于点，过点作于点，则四边形是矩形，先证明，设，进而勾股定理表示出，根据建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点 ∵， 设，则 在中， ∵，垂直平分， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴ ∴ 过点作于点，则四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴ ∴ ∴， ∴ 设， 在中， 在中， ∵ ∴ 解得： ∴ ∴ 故答案为：． 50．如下图，在四边形中，对角线、相交于点，，，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】过D作于E，交于F，设，，利用等腰三角形的性质、三角形内角和定理证明，，再证，推出，根据推出，进而可证． 【详解】解：过D作于E，交于F， 设，， ∵ ∴， ∵， ∴， 在和中，由三角形内角和定理可知， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 则， ∴F是的中点， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等，正确作出辅助线，证明是解题的关键． 51．如图，中，，，，点M为的中点，C为边上一点，把沿直线翻折得到． （1）当点D恰好落在边上时，的长为 ； （2）当与的边平行时，的长为 ． 【答案】 或 【分析】（1）先由勾股定理求出，再由中点定义得，然后根据求解即可； （2）当时，作，交的延长线于K，的延长线交于T，证明四边形是矩形得，，由平行线分线段成比例定理得，然后先由勾股定理求出，再由勾股定理求出即可； 当时，作，交于点T，作于Q，延长交于N，则四边形、四边形、四边形都是矩形，由平行线分线段定理求出，然后先由勾股定理求出，再由勾股定理求出即可． 【详解】解：（1）如图， ∵，，， ∴， ∵点M为的中点， ∴． 由折叠的性质得， ∴． 故答案为：； （2）如图，当时，作，交的延长线于K，的延长线交于T， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，点M为的中点， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， 设，则． ∵， ∴ 解得，即； 当时，作，交于点T，作于Q，延长交于N，则四边形、四边形、四边形都是矩形， ∴，， ∵，点M为的中点， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， 设，则． ∵， ∴ 解得，即． 综上可知，的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，分类讨论是解答本题的关键，本题难度较大，属中考压轴题． 52．已知：如图，在的斜边上任取一点，过点分别作、的平行线，交于点，交于点． (1)求证：； (2)是否平行？若能，此时与有什么关系？ 【答案】(1)见解析 (2)能平行， 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，解题的关键是根据问题选择合适的比例式． （1）由和分别写出对应的比例式，即可求解问题； （2）假设，则，再根据和求得比例式，三个比例式综合考虑即可得到结果． 【详解】（1）证明：， ． ， ． ； （2）解：能平行． 若，则． ， ． ， ． ，即， 所以． 53．如图，在中，，为上一点，连接交于点，． (1)求的值； (2)当时，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）掌握相似三角形判定，通过得到对应边成比例，即可计算得出结论； （2）利用得到，利用对应边成比例，即可计算得出结果． 【详解】（1）解：由题意可知，， 在和中， ， ． ． （2）由题意可知，， ，， 在和中， ， ， 由（1）可知，， ，即． 【点睛】本题的关键是掌握相似三角形的判定，两个三角形，对应的两个内角相等，则三角形相似；相似三角形的性质，两个三角形相似，则对应边成比例． 54．如图，正方形的边长是，为上一动点，将绕点顺时针旋转至点的对应点为点，连接． (1)如图1，当时， ； (2)如图2，连接交于点， ①求证：为的中点； ②直接写出的值是 ． 【答案】(1) (2)见详解， 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握以上知识． （1）根据旋转的性质得，，为等腰直角三角形，再根据正方形的性质得，，利用勾股定理求出，再利用勾股定理即可求出答案； （2）①过点E作交于点N，得和，可证，可得，即可证明中点；②根据平行得，有，可求得，由，有，得到即可求得答案； 【详解】（1）解：根据旋转的性质得：，， ∴为等腰直角三角形． ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． （2）①过点E作交于点N，如图， 则，， ∵四边形为正方形，绕点A顺时针旋转至， ∴点C、点B和点F共线， ∵， ∴， 由旋转知，，则， ∵， ∴， ∴， 即M为的中点； ②∵， ∴， ∴， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型六：求线段的长或比值 55．如图，在中，，交于，交于，为上的一点，交于，，，求： (1)； (2)的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应线段． （1）已知，，根据平行线分线段成比例定理即可得到答案； （2）根据平行线分线段成比例定理得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ， 即； （2），， ， ， ． 56．请阅读下面材料，并回答所提出的问题． 三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例． 已知：． 证明：过作，交的延长线于． ，．----① 是角平分线， ． ．----② 又， ----③ ． (1)上述证明过程中，步骤①②③处的理由是什么？（写出两条即可） (2)用三角形内角平分线定理解答，已知，中，是角平分线，，，，求的长； (3)我们知道如果两个三角形的高相等，那么它们面积的比就等于底的比．请你通过研究和面积的比来证明三角形内角平分线定理． 【答案】(1)①平行线的性质定理，②等腰三角形的判定定理，③平行线分线段成比例定理 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据平行线的性质定理，等腰三角形的判定定理，平行线分线段成比例定理解答即可； （2）直接利用结论解答即可； （3）利用三角形的面积性质解答即可． 本题考查了平行线的性质定理，等腰三角形的判定定理；平行线分线段成比例定理，三角形的面积性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得证明过程中用到的定理有： ①平行线的性质定理； ②等腰三角形的判定定理； ③平行线分线段成比例定理； （2）解：是角平分线， ， 又，，， ， 故． （3）证明：和的高相等，设点到的高为，点到的高为， 可得：和面积的比， 可得：． 57．如图，，E，F分别在上，且，若，，求线段的长． 【答案】6 【分析】本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键；连接，延长交于点H，然后由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：连接，延长交于点H，如图所示： ∵，， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴， 58．如图，直线经过菱形的顶点C，分别交边和的延长线于点P和Q，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了利用平行线分线段成比例定理以及菱形的性质，掌握平行线分线段成比例定理、菱形的性质是解题的关键． 由菱形的性质可得，再结合平行线分线段成比例定理可得进而得证． 【详解】证明：四边形是菱形， ， ． 又，即， ． ． 59．如图，直线，直线m，n相交于点O，且分别与直线a，b，c相交于点A，B，C和点D，E，F．已知，求DO的长度． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应关系是解题的关键． 由平行线分线段成比例定理可得，进而求得的值，再根据平行线分线段成比例定理可得，进而求得的值． 【详解】解， ，即， 解得． ，即， 解得． 60．如图，在中，是边上的高线，点E，F分别在上，且．若，求的长． 【答案】32 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理，根据等腰三角形的性质可得，，再证明，则可证明，由平行线分线段成比例性质可得，求出即可得到答案． 【详解】解：是边上的高线， ，， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $