专题10 与相似有关的计算和画图八大题型（高效培优专项训练）数学华东师大版九年级上册

专题10 与相似有关的计算和画图八大题型 题型一：与中位线有关的求解 题型二：三角形中位线的实际应用 题型三：位似图形的相关概念 题型四：求位似图形的相似比 题型五：位似图形画图 题型六：利用位似求坐标 题型七：坐标与图形综合 题型一：与中位线有关的求解 1．如图，的对角线相交于点，是的中点．若，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质，三角形中位线的性质，由勾股定理可得，进而由三角形中位线的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵是的中点， ∴， 故选：． 2．如图，在平行四边形中，，相交于O点，E为的中点，连接．若，则的长度为（   ） A． B．5 C．10 D．20 【答案】C 【分析】此题主要考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．首先根据平行四边形的性质可得，再根据三角形的中位线定理可得，进而可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．在中，、分别是、的中点．若，则的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：根据题意，如图所示， ∵D、E分别为的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：D． 4．如图，的周长为8，对角线、相交于点，点为的中点，，则的周长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质和三角形中位线的性质等知识．根据平行四边形性质得到，，根据中位线性质求出，进而求出，即可求出的周长为． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵的周长为8， ∴， ∵点为的中点， ∴，为中位线， ∴， ∴， ∴的周长为． 故选：B 5．如图，在中，对角线相交于点O，E是的中点，若，则的长为（   ） A．5 B． C．6 D．7 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质，三角形中位线定理解答即可． 本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：中，对角线相交于点O，E是的中点， 故， 故是的中位线， 故， 又， 故， 故选：D． 6．如图，菱形中，分别是的中点，若，则菱形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了中位线定理，菱形的性质，由是的中位线得，又四边形是菱形，则，从而求出周长，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的周长， 故答案为：． 7．（正方形面积）如图，三角形是直角三角形，是斜边的中点，四边形是正方形，点N在上，点P在上，如果的长度是12 厘米，的长度是8厘米，那么，正方形的面积是 平方厘米． 【答案】20 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 取的中点，连接，先根据三角形的中位线定理可得厘米，，再证出，根据全等三角形的性质可得厘米，则可得厘米，然后利用勾股定理可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵是直角三角形，且是斜边， ∴， ∵是斜边的中点，点是的中点，的长度是12 厘米， ∴是的中位线，厘米， ∴厘米，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴厘米， ∴厘米， ∴在中，（平方厘米）， ∴正方形的面积是（平方厘米）， 故答案为：20． 8．如图，正方形的面积是平方厘米，是的中点，是的中点，四边形的面积是 平方厘米． 【答案】 【分析】本题主要考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形面积的计算与比例关系.通过作交于交，于，于，连接，结合正方形面积公式及中点性质，利用平行线分线段成比例定理，逐步推导得出相关线段的比例关系，进而推出，通过设，最终联立方程，解得,由图可知即可解答． 【详解】解：过作交于交，于，于，连接， 根据正方形面积公式，， ∵是中点， ∴， ， 同理可得：， ∵由正方形的性质得：， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵是中点， ∴点是的中点， 同理可得：点是的中点，点是的中点， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 设， ∴， ， ， ∵与是等高三角形， ∴， 同理可得：， ， 即， 解得：，即， ∴； 故答案为：． 9．如图所示，在平行四边形中，与相交于，为的中点，连接并延长交于点，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，先证明得到，由平行四边形的性质结合已知条件推出，进而得出，即可得出结论． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， ， 为的中点， ∴， ， ， ， ， ． 故答案为：． 10．【提出问题】兴趣小组活动中老师提出了如下问题：如图，在中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使得， 再连接（或将绕点D 逆时针旋转得到）， 把集中在中， 利用三角形的三边关系可得， 则． 【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”，把一条过中点的线段延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法． 【解决问题】如图， 在中， 点D是边的中点， 点E在边上， 过点D作；交边于点 F， 连接． (1)求证：． (2)若， 则线段之间的等量关系为 ． (3)【应用拓展】如图， 在中，， 点D为边的中点， 点E和点F分别在边上，点M为线段的中点．若，则的长为 ． 【答案】(1)详见解析 (2) (3) 【分析】（1）延长到G，使得， 再连接，由可证明，则，从而有，再由线段垂直平分线的性质得，即可证明结论成立； （2）与（1）同理得，得，，从而有，得，由勾股定理即可得线段之间的等量关系； （3）连接，过点C作交的延长线于点H，连接，先证明，得；在中由勾股定理求得，再由三角形中位线定理即可求得的长． 【详解】（1）证明：如图，延长到G，使得，连接， ∵D点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：如图，与（1）同理得， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， 即线段之间的等量关系为：， 故答案为：； （3）解：如图，连接，过点C作交的延长线于点H，连接， ∵， ∴， ∴， ∵D点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∵点D为边的中点，点M为线段的中点， ∴为的中位线， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，三角形中位线定理等知识，证明三角形全等是解题的关键． 11．如图，在中，D，E分别为，的中点，，垂足为F，点G在DE的延长线上，． (1)若，求的度数： (2)若，，，求和的长． 【答案】(1) (2)的长为，的长为 【分析】（1）先证明是的中位线，得，再证明四边形是矩形，最后通过得出的度数； （2）证明是等腰直角三角形，得，由勾股定理求出的长度，根据D为的中点求出的长度，同时根据已知条件得出的长度，再由三角形中位线定理求出，然后由矩形的性质得，，则，进而由勾股定理求出的长，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵D，E分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴, ∴平行四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵点D为的中点， ∴， 由（1）可知，是的中位线，四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 12．（面积计算）如图所示，平行四边形中，分别是的中点，，交于点P，Q．求与平行四边形的面积比． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理等知识、平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．取的中点，连接，设，，则，先证出，根据相似三角形的性质可得，再证出，根据相似三角形的性质可得，，然后求出，，，最后根据可得，由此即可得． 【详解】解：如图，取的中点，连接， 设，，则， ∵分别是的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴与平行四边形的面积比为． 题型二：三角形中位线的实际应用 13．如图，在四边形中，E是的中点，交于点F，，连接 (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 对于，根据三角形中位线定理得到，根据平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，进而得证； 对于，首先推导出，在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：是的中点， ， ， 是的中位线， ， ， ， 四边形为平行四边形， ； （2）解：由知，是的中位线，四边形为平行四边形， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得： 14．【综合与实践】 任务 如图1，测出水池A，B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）． 测量工具 皮尺 皮尺的功能：直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2，在水池外选点C，用皮尺测得，； （2）分别在AC，BC上用皮尺测得，，测得． 求解过程 由测量可知： ∵，，，， ∴点M是AC的中点，点N是BC的中点， ∴MN是的_______． ∵， ∴_______m． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池A，B两点间的距离的依据是_______． 【答案】(1)中位线， (2)三角形中位线定理 【分析】本题考查了三角形中位线定理的应用． （1）根据小明的求解过程补充即可； （2）根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】（1）由测量可知： ∵，，，， ∴点M是AC的中点，点N是BC的中点， ∴MN是的中位线． ∵， ∴． 故答案为：中位线，； （2）小明测出水池A，B两点间的距离的依据是三角形中位线定理． 故答案为：三角形中位线定理． 15．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点D是边与网格线的交点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，在边上找到一点E，连结，使； (2)在图②中，在边上找到一点E，连结，使； (3)在图中，作平行四边形，使点E在边上，点P在边上，点G在边上，且． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】本题考查作图——应用与设计作图，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）利用网格特征作出，的中点E，D，连结即可； （2）取格点P，Q，连接交于点E，取的中点D，连结即可； （3）同法作出的中点G，的中点F，连接，连接与网格线交于点J，连接，延长交于点E，连接，四边形即为所求． 【详解】（1）解：如图①中，线段即为所求； （2）如图，线段即为所求； （3）如图中，平行四边形即为所求． 16．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．线段AB的端点均在格点上，分别在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图①中，以为腰，画出一个等腰． (2)在图②中，以为底边，画出一个等腰． (3)在图③中，点均在格点上，请用无刻度的直尺在线段上找到一点，使线段．（保留作图痕迹） 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析； (3)作图见解析． 【分析】（）取格点，连接，由勾股定理得，故即为所求； （）连接小正方形的对角线得到中心，作射线，与网格线交于点，由矩形的性质可知点为的中点，连接，过点作网格线的垂线段，可得，，，即可得，得到，即得，即可得，即，又，可得为的垂直平分线，故可得，即为为底边的等腰三角形； （）取格点，连接，交与点，可知点为的中点，连接，因为点为的中点，所以为的中位线，即可得； 本题考查了等腰三角形的判定，勾股定理，正方形的性质，矩形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形中位线的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求； （3）解：如图所示，点即为所求． 题型三：位似图形的相关概念 17．2025蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，寓意着事事如意、生生不息的美好祝愿．下图为春晚主标识，通过双“巳”对称摆放形成如意的纹样，它采用的数学变换是（   ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似 【答案】B 【分析】本题主要考查图形的变换，熟练掌握平移、旋转、轴对称及位似是解题的关键；因此此题可根据平移、旋转、轴对称及位似可进行求解． 【详解】解：由图可知：该图采用的数学变换是旋转； 故选：B． 18．小聪在活动课上做“小孔成像”实验，如图所示，若，，蜡烛火焰倒立像，则下列说法中，错误的是（   ） A．蜡烛火焰和蜡烛火焰倒立像可以看成是位似图形 B． C．蜡烛火焰长 D．线段中点与线段中点的连线不一定经过点O 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、位似变换，根据相似三角形的判定与性质以及位似图象的定义判断即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∵， ∴，故B正确； ∴，故蜡烛火焰和蜡烛火焰倒立像可以看成是位似图形，故A正确； ∴， ∴，即蜡烛火焰长，故C正确； 线段中点与线段中点的连线一定经过点O，故D错误， 故选：D． 19．方框中的两个图形不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同，而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相较于一点． 【详解】解：对应点的连线相较于一点的两个相似多边形叫位似图形． 据此可得A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形； 而D的对应点的连线不能相较于一点，故不是位似图形， 故选：D． 20．如图，是由以点O为位似中心放大得到，还可以看作是经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次平移和1次位似；②1次旋转和1次位似；③2次轴对称和1次位似；④1次轴对称、1次旋转和1次位似．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查图形变换—平移，轴对称，旋转和位似，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：针对①②③④逐一画图分析即可得解． 【详解】解：①如图， 假设沿所在直线向下平移得到， 由图很明显可知与是位似图形， 所以经过一次平移和一次位似可以得到， 故①正确； ②如图， 假设绕点C旋转，得到， 由图很明显可知与是位似图形， 所以经过一次旋转和一次位似可以得到， 故②正确； ③两次轴对称之后，可以看作一次平移， 所以结合①我们可知，再通过一次位似图形可以得到， 故③正确； ④如图， 假设先沿所在直线轴对称，得到， 再绕点O旋转得到， 由图很明显可知其对应点连线并未交于同一点，所以其与不是位似图形， 故④错误； 故选：A． 21．如图，与是位似图形，则位似中心可以是（   ） A．点M B．点N C．点Q D．点P 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的位似，掌握位似中心是位似点连线的交点是解题的关键． 根据位似中心是位似点连线的交点判断即可． 【详解】解：如图，根据位似中心是位似点连线的交点，可知点P为位似中心． 故选：D． 22．如图所示网格中，线段是由线段位似放大而成，则位似中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似中心，连接并延长，则交点即为它们的位似中心，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接并延长，可知交点为， ∴位似中心是， 故选：． 23．已知和是位似图形，它们对应顶点的坐标分别为，，和，，，则它们的位似中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查位似图形的计算，掌握位似图形的计算，一次函数解析式的计算是关键． 由对应点及位似中心三点共线，可选择两组对应点，求对应点连线解析式，联立两直线解析式求得的公共点即位似中心． 【详解】解：∵对应顶点的坐标分别为，，和，，， ∴设直线，的解析式为：， ∴，， 解得，， ∴直线，的解析式为：， 联立解析式，得到公共点， ∴位似中心是， 故选：C． 24．如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，下列说法错误的是（   ） A． B．若，则 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．由位似图形的概念得出，，，，从而得出，，再由相似三角形的性质逐项分析即可得解． 【详解】解：∵ 与是以点为位似中心的位似图形，相似比为， ∴，，，，故A选项正确； ∴，， ∴，， ∴，故C选项正确； ，故D选项错误； 若，则， ∴，故B选项正确． 故选：D． 25．如图，与位似，位似中心为点，且相似比为，则与的周长之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的周长比等于相似比，熟练掌握是解答本题的关键．根据位似图形是相似图形，位似比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比即可求解． 【详解】解：与位似，位似中心为点，且相似比为， 与的周长之比是， 故选：A． 26．如图，与位似，点O为位似中心，已知，的面积为8，则的面积为（   ） A．18 B．15 C．12 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形的性质、相似三角形的性质等知识，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．先根据位似的性质可得，，则，再根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：∵与位似，点为位似中心， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵的面积为8， ∴的面积为， 故选：A． 题型四：求位似图形的相似比 27．如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质、相似三角形的性质与判定，熟练掌握位似图形的性质和相似三角形的性质与判定是解题的关键．根据位似图形的性质可得，，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，得出，再利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：与是以点O为位似中心的位似图形， ，， ， ， ， ， ， 的值为． 故选：C． 28．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查位似及相似三角形的性质，熟练掌握位似及相似三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行求解即可． 【详解】解：由与是以点为位似中心的位似图形，可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴与的面积比为； 故选B． 29．四边形与四边形位似，位似中心是点O，位似比为，则四边形与四边形的面积比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是位似图形的性质．根据位似多边形的面积比等于位似比的平方计算即可． 【详解】解：∵四边形与四边形位似，位似中心是点O，位似比为， ∴四边形与四边形的面积比为， 故选：C． 30．图，以顶点为位似中心放大后得到，若方格纸的边长为，则与的相似比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念是解题的关键．根据位似图形的概念得到，结合图形解答即可． 【详解】解：以顶点为位似中心放大后得到， ， 方格纸的边长为，则，， 与的相似比是， 故选：C． 31．如图，与位似，点O是它们的位似中心，且相似比为，若的面积为9，则的面积是（　　） A．9 B．18 C．27 D．36 【答案】D 【分析】本题考查位似图形，相似三角形的性质，根据位似图形一定相似，相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】解：∵与位似， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 32．如图，和是以点为位似中心的位似图形，且位似比为，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查位似图形，根据位似比等于相似比，得到，进而求出的值即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∴ 故选：A． 33．如图，和是以点为位似中心的位似图形，且点在线段上．若，的周长为，则的周长是（   ） A．8 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了位数图形的性质，掌握位数图形的性质，找出相似比是关键． 根据题意，得到，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：和是以点为位似中心的位似图形，且， ∴，的周长为， ∴的周长是， 故选：B ． 34．如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若，则四边形与的周长比是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形的定义，相似三角形的判定及性质，相似多边形的性质；由位似图形的定义得四边形四边形，由相似多边形的性质得，可判定，再由相似多边形的性质即可求解；理解位似图形的定义，掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：四边形和是以点O为位似中心的位似图形， 四边形四边形，， ， ， ， ， 故选：A． 35．如图，与是以点为位似中心的图形（点，，的对应点分别为点，，）．若与的周长之比为，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，根据位似变换的概念得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∵的周长与的周长比是， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 题型五：位似图形画图 36．图①，图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中的线段上找一点，线段上找一点，连结，使是的中位线． (2)在图②中，以点为位似中心，作的位似，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-位似变换、勾股定理、三角形中位线． （1）分别取，的中点D，E即可； （2）由位似的性质得，，相似比为，点M在上，点N在上，进而可得．结合相似三角形的判定与性质画图即可． 【详解】（1）解：如图①，点D，E即为所求； （2）解：由题意得，，相似比为，点M在上，点N在上， ∴， ∴． 如图②，即为所求． 37．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． (1)请画出关于x轴对称的； (2)与的位似比为，请画出； (3)求与的面积比，即________（不写解答过程，直接写出结果）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了轴对称图形，位似图形及它们的性质，掌握轴对称图形、位似图形及其性质是解题的关键． （1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用将三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以，得出各对应点，进而得出答案； （3）利用位似图形的性质得出答案 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：如图所示：即为所求； （3）解：∵将的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以，得到对应的点， ∴与的相似比为：， ∴． 故答案为：． 38．已知，在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别是，正方形网格中，每个小正方形的边长是一个单位长度． (1)画出向左平移4个单位长度得到的，点的坐标是　　； (2)以点B为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为，点的坐标是　　；（画出图形） (3)的面积是　　平方单位． 【答案】(1)见解析， (2)见解析， (3)10 【分析】本题主要考查了平移变换、位似变换以及坐标与图形的性质，得出对应点位置是解题关键． （1）将点分别向左平移4个单位得到对应点，再顺次连接可得； （2）利用位似图形的性质得出对应点位置，进而得出答案； （3）割补法求解可得． 【详解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标是， 故答案为：； （2）解：如图所示，即为所求，点的坐标是， 故答案为：； （3）解：的面积， 故答案为：10； 39．在如图所示的网格中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上，请在所给平面直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： (1)将沿轴翻折，在图中画出翻折后的，并写出的坐标； (2)将绕原点O顺时针旋转得到，请在图中画出，并写出的坐标； (3)以点为位似中心，将放大到原来的2倍，得到，在网格图中画出，并直接写出的坐标和的周长． 【答案】(1)见解析， (2)见解析， (3)见解析；； 【分析】本题考查了作图-位似变换，旋转变换，轴对称变换，勾股定理． （1）根据关于y轴对称的点的坐标特征得到点、、的坐标，然后描点即可，然后根据网格图写出的坐标； （2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点、、，从而得到，然后根据网格图写出的坐标； （3）延长到使，延长到使，然后描点即可得到，根据网格图可写出的坐标，再由勾股定理可求的三边长，从而得到的周长． 【详解】（1）解：如图，即为所求，； （2）解：如图，即为所求，； （3）解：如图，即为所求，， 的周长 ． 题型六：利用位似求坐标 40．如图，在平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，已知点C的横坐标为1，点F的横坐标为3，点B的坐标为，则点E的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似的性质、相似三角形的判定与性质，由题意可得，由位似的性质可得，从而可得，由相似三角形的性质可得，即可推出与的相似比为，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵点C的横坐标为1，点F的横坐标为3， ∴， ∵与是以原点O为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴与的相似比为， ∵点B的坐标为， ∴点E的坐标是， 故选：A． 41．如图，中，B、C两点在x轴的上方，点A的坐标是，以点A为位似中心，把的边长缩小为原来的，所得的位似图形为，设C的对应点E的横坐标为a，则C的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点C作轴于点N，过点E作 轴于点M，结合位似图形的性质可得，进而得出C点横坐标． 【详解】解：过点C作轴于点N，过点E作 轴于点M， ∵点A的坐标是，以点A为位似图形， 并把的边长缩小为原来的倍， 记所得的位似图形为，点C的对应点E的横坐标为a， ∴， 由， ∴， ∴， ∴， 则点C的横坐标为：． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了位似变换，掌握位似图形的性质，得出对应线段的长是解题关键． 42．如图，在平面直角坐标系中，矩形OEFG与矩形ABCD是位似图形,C（﹣4，4），F（2，1），则位似中心的坐标是（    ） A．（0，2） B．（0，2.5） C．（0，3） D．（0，4） 【答案】A 【分析】连接CF，交y轴于点P，根据位似图形的概念得到CD∥GF，根据相似三角形的性质求出GP，进而求出OP，得到答案． 【详解】解：连接CF，交y轴于点P，则点为位似中心， 矩形OEFG与矩形ABCD，（﹣4，4），（2，1）， 由题意得，CD＝4，DG＝3，,， ∵矩形OEFG与矩形ABCD是位似图形， ∴CD∥GF， ∴△CDP∽△FGP， ∴＝，即＝， 解得，GP＝1， ∴OP＝2， ∴位似中心P的坐标为（0，2） 故选：A． 【点睛】本题考查了位似概念和性质，相似三角形的性质，根据题意作出图形，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 43．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点．以坐标原点O为位似中心把缩小得到，其位似比为，则点A的对应点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查位似的性质，掌握位似的性质，用点坐标乘以相似比（正数相似比，负数相似比）是解题的关键． 根据位似比的性质可知，用点A的坐标分别乘以即可求解． 【详解】解：∵以坐标原点O为位似中心把缩小得到，其位似比为， ， ∴点A的对应点的坐标为或，即或， 故选：D． 44．在平面直角坐标系中，点，以原点O为中心，将缩小为原来的，缩小后图形与在点O同侧，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是位似变换的性质，平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．本题中缩放前后图形在位似中心的同侧，因此对应点的坐标的比等于k，由此可解． 【详解】解：以原点O为中心，将缩小为原来的，缩小后图形与在点O同侧， 点的对应点的坐标为，即， 故选A． 45．在直角坐标平面上有、两点，以原点为位似中心把线段缩小到原来的一半，得到线段，那么的坐标是（   ） A．只有 B．只有 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，由此计算即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在直角坐标平面上有、两点，以原点为位似中心把线段缩小到原来的一半，得到线段， ∴那么的坐标是或，即或， 故选：D． 题型七：坐标与图形综合 46．已知点坐标为，点到两坐标轴的距离相等，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了平面坐标系的相关概念，根据关键句“点到两坐标轴的距离相等”，可得出横纵坐标的绝对值相等，再进一步求解即可． 【详解】解：点P到两坐标轴的距离相等， ， 两边同时平方，得：， 化简得：， 解得：或． 故选：． 47．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点，的坐标分别为，，点从点出发沿向点运动，连接交于点当恰好为中点时，则长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形，过点作轴，交于点，可证是等边三角形，利用可证，根据全等三角形的性质可知，，从而可求，根据线段之间的关系可以求出． 【详解】解：如下图所示，过点作轴，交于点， ，的坐标分别为，， ，， ， 是等边三角形， ，， ，， 是等边三角形， 点是的中点， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ． 故选：D． 48．已知，P为双曲线上的任意一点，过点P作轴于点C，轴于点D．四边形面积S的最小值为（    ） A．22 B．23 C．24 D．26 【答案】C 【分析】本题考查了几何图形与函数结合的最值问题，通过设点P坐标，分解四边形为多个三角形是解题的关键．将四边形的面积表示为关于点P横坐标的函数，再利用不等式性质求最小值． 【详解】解：设点P的坐标为， 轴、轴， ， ， ， ， ， ， ， ， （当且仅当时，取等号） ，即， ， 当，即时，四边形面积S的最小值为24， 故选：C． 49．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于点处，木杆两端的坐标分别为，．则木杆在x轴上的影长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查点的坐标，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据点A、B的坐标得出，从而得出，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵，． ∴，，轴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 50．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，原点为的中点．将折叠，点落在点处．若点的坐标为，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，坐标与图形，掌握折叠的性质是解题的关键．根据矩形的性质和点的坐标，可得，，设，由折叠的性质得，，建立方程组，即可得到点的横坐标． 【详解】解：在矩形中，若点的坐标为， ，， 设且，， 由折叠性质得，，， ， ， ， ，代入得，， ，即， 解得或（舍去）， 点的横坐标为， 故选：D． 51．对于任意一点P和线段a．若过点P向线段a所在直线作垂线，若垂足落在线段a上，则称点P为线段a的投影点．在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)在点，，中，是线段的投影点的是 ； (2)已知点，，在图中画出区域并用阴影表示，使区域内的每个点均为三边的投影； (3)已知直线m与x轴交于点B，与y轴交于点C，将直线m沿x轴平移3个单位长度得到直线n．若存在点Q，使线段的投影点形成的区域恰好是直线m和n之间的区域（包括边界），直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)M，N (2)见解析 (3)点Q的坐标为或 【分析】本题考查了坐标与图形综合，理解新定义，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． （1）画图后根据定义可以判定； （2）根据点，，如图2所示，区域内的每个点均为三边的投影； （3）分两种情况：①n在m的下方，②n在m的上方，先根据平移3个单位确定与x轴的交点坐标，作m的平行线n，n与x轴的交点为E，确定Q，过Q作x轴的垂线，可得结论． 【详解】（1）解：如图1所示：，垂足为D，过M作的垂线，垂足为M，都在线段上， 所以线段的投影点的是：M，N； 故答案为：M，N； （2）解：如图2所示，图中阴影部分即为所求； （3）解：存在点Q， 分两种情况： ①当n在m的下方时，如图3， ∵，， ∴过点作直线的平行线，平行线交x轴于E，则，交y轴于点， 过B作直线，交平行线n于Q，点Q即为所求， 过Q作轴于P，则P为E、B中点，， ∴， ∴， ∴； ②当直线n在直线m的上方时，如图4， 同理得； 综上，点Q的坐标为或． 52．如图1，在平面直角坐标系中，四边形的顶点A，C分别在x轴和y轴上，顶点B在第一象限，，点，，且满足． (1)求a，b的值； (2)连接， ①如图1，求的值； ②如图2，过B作交于E，求E点坐标； (3)点是x轴上一动点，若，求m的取值范围． 【答案】(1)6，3 (2)①6；②； (3)或． 【分析】本题主要考查了二次根式的双重非负性，偶次方的非负性，平面直角坐标系中三角形的面积，待定系数法求一次函数的解析式等知识点，解决此题的关键是合理的正确的计算． （1）根据二次根式的双重非负性和偶次方的非负性即可得到答案； （2）①根据坐标求出对应线段的长度，即可得到三角形的面积；②根据一次函数的待定系数法求出一次函数解析式，把横坐标代入即可求出答案； （3）根据三角形的面积得到不等式，求出不等式的解集即可 【详解】（1）解：∵且， ∴， ∴； （2）解：①如图，过点作的延长线于点， ∵，点， ∴， ∴， ∴的值为6； ②设直线的解析式为， ∵点，， ∴ 解得：， ∴直线的解析式为， ∵过B作交于E， ∴点的横坐标是4， ∴， ∴E点坐标； （3）解：由图和题可知：， ∴ ∵， ∴， 解得：或. 53．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，顶点，点为边上一动点，设的长为，以为一边在与点的同侧作正方形，在点运动过程中，探究以下问题： (1)①当点与点重合时，点的坐标为____________； ②用含的代数式表示点的坐标为____________． (2)的面积是否改变？如果不变，求出此定值；如果改变，请说明理由； (3)当为等腰三角形时，直接写出所有的值． 【答案】(1)①；② (2)的面积不会改变，定值为 (3)或或 【分析】（）①过点作于，证明即可求解；②过点作于，同理①证明即可求解； （）过点作，交的延长线于，可证，得到，再根据三角形面积公式计算即可求解； （）若，当点与点重合时，，此时；当点与点不重合时，分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：①如图，过点作于， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； ②如图，过点作于， 同理可证，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：的面积不会改变，理由如下： 如图，过点作，交的延长线于， ∵矩形的顶点坐标为， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的面积， ∴的面积不会改变，定值为； （3）解：若，当点与点重合时，，此时； 当点与点不重合时，如图，过点作于， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴此种情形不存在； 若， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 若，如图，过点作于， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，满足条件的的值为或或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，坐标与图形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 54．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点，，，满足，点是轴上一动点． (1)点的坐标为___________，线段和的关系为___________； (2)若三角形的面积与四边形的面积相等，求点的坐标； (3)当点在线段上时，平分，平分，若，求的度数． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【分析】（1）根据实数的非负性列出方程组求解即可． （2）根据，，，得到，计算四边形的面积，设，则，根据面积相等，建立方程求解即可． （3）根据，利用平行线的性质求得，结合平分，平分，得到计算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， 解得， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：，，； （2）解：∵，，， ∴， ∴， 设，则，， ∵的面积与四边形的面积相等， ∴， 解得或， 故点或； （3）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，． ∴=． 【点睛】本题考查了实数的非负性，方程组的解法，平行线的判定和性质，角的平分线，熟练掌握实数的非负性，方程组的解法，平行线的判定和性质是解题的关键． 55．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，．（每个方格的边长均为1个单位长度） (1)若和关于原点O成中心对称，请画出； (2)将平移，使得顶点A在y轴上，顶点B在x轴上，此时点A对应的坐标为________，点B对应的坐标为________，点C对应的坐标为________； (3)若A，B，C，D四点组成的四边形是平行四边形，且点D在坐标轴上，则点D的坐标是________． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【分析】本题考查平面直角坐标系中图形的平移、中心对称的变化规律，平行四边形的性质， 熟练掌握图形变化及变化过程中点的坐标变化，分类讨论是解题的关键； （1）找出三个顶点关于原点成中心对称的对应点，连接即可； （2）根据题意，先确定的平移方式，再确定平移后的三点的坐标； （3）设，若A，B，C，D四点组成的四边形是平行四边形，则分别以，，为对角线进行求解， 再根据求得的点坐标是否在坐标轴上做出判断，综合可得结果． 【详解】（1）如图，即为所求： （2）将先向左平移1个单位，可使顶点A落在y轴上，再向下平移1个单位，可使顶点B落在x轴上， 此时点A对应的坐标为，点B对应的坐标为，点C对应的坐标为； 故答案为：，，． （3）设，若A，B，C，D四点组成的四边形是平行四边形， 当为对角线时， 由，解得， 点符合题意； 当为对角线时， 由，解得， 点不在坐标轴上，不符合题意，舍去； 当为对角线时， 由，解得， 点不在坐标轴上，不符合题意，舍去； 综上可知，点D的坐标是． 故答案为：． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 与相似有关的计算和画图八大题型 题型一：与中位线有关的求解 题型二：三角形中位线的实际应用 题型三：位似图形的相关概念 题型四：求位似图形的相似比 题型五：位似图形画图 题型六：利用位似求坐标 题型七：坐标与图形综合 题型一：与中位线有关的求解 1．如图，的对角线相交于点，是的中点．若，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，，相交于O点，E为的中点，连接．若，则的长度为（   ） A． B．5 C．10 D．20 3．在中，、分别是、的中点．若，则的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 4．如图，的周长为8，对角线、相交于点，点为的中点，，则的周长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．如图，在中，对角线相交于点O，E是的中点，若，则的长为（   ） A．5 B． C．6 D．7 6．如图，菱形中，分别是的中点，若，则菱形的周长为 ． 7．（正方形面积）如图，三角形是直角三角形，是斜边的中点，四边形是正方形，点N在上，点P在上，如果的长度是12 厘米，的长度是8厘米，那么，正方形的面积是 平方厘米． 8．如图，正方形的面积是平方厘米，是的中点，是的中点，四边形的面积是 平方厘米． 9．如图所示，在平行四边形中，与相交于，为的中点，连接并延长交于点，则等于 ． 10．【提出问题】兴趣小组活动中老师提出了如下问题：如图，在中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使得， 再连接（或将绕点D 逆时针旋转得到）， 把集中在中， 利用三角形的三边关系可得， 则． 【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”，把一条过中点的线段延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法． 【解决问题】如图， 在中， 点D是边的中点， 点E在边上， 过点D作；交边于点 F， 连接． (1)求证：． (2)若， 则线段之间的等量关系为 ． (3)【应用拓展】如图， 在中，， 点D为边的中点， 点E和点F分别在边上，点M为线段的中点．若，则的长为 ． 11．如图，在中，D，E分别为，的中点，，垂足为F，点G在DE的延长线上，． (1)若，求的度数： (2)若，，，求和的长． 12．（面积计算）如图所示，平行四边形中，分别是的中点，，交于点P，Q．求与平行四边形的面积比． 题型二：三角形中位线的实际应用 13．如图，在四边形中，E是的中点，交于点F，，连接 (1)求证：； (2)若，，，求的长． 14．【综合与实践】 任务 如图1，测出水池A，B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）． 测量工具 皮尺 皮尺的功能：直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2，在水池外选点C，用皮尺测得，； （2）分别在AC，BC上用皮尺测得，，测得． 求解过程 由测量可知： ∵，，，， ∴点M是AC的中点，点N是BC的中点， ∴MN是的_______． ∵， ∴_______m． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池A，B两点间的距离的依据是_______． 15．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点D是边与网格线的交点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①中，在边上找到一点E，连结，使； (2)在图②中，在边上找到一点E，连结，使； (3)在图中，作平行四边形，使点E在边上，点P在边上，点G在边上，且． 16．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．线段AB的端点均在格点上，分别在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图①中，以为腰，画出一个等腰． (2)在图②中，以为底边，画出一个等腰． (3)在图③中，点均在格点上，请用无刻度的直尺在线段上找到一点，使线段．（保留作图痕迹） 题型三：位似图形的相关概念 17．2025蛇年春晚以“巳巳如意，生生不息”为主题，寓意着事事如意、生生不息的美好祝愿．下图为春晚主标识，通过双“巳”对称摆放形成如意的纹样，它采用的数学变换是（   ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．位似 18．小聪在活动课上做“小孔成像”实验，如图所示，若，，蜡烛火焰倒立像，则下列说法中，错误的是（   ） A．蜡烛火焰和蜡烛火焰倒立像可以看成是位似图形 B． C．蜡烛火焰长 D．线段中点与线段中点的连线不一定经过点O 19．方框中的两个图形不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 20．如图，是由以点O为位似中心放大得到，还可以看作是经过怎样的图形变化得到？下列结论：①1次平移和1次位似；②1次旋转和1次位似；③2次轴对称和1次位似；④1次轴对称、1次旋转和1次位似．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 21．如图，与是位似图形，则位似中心可以是（   ） A．点M B．点N C．点Q D．点P 22．如图所示网格中，线段是由线段位似放大而成，则位似中心是（    ） A． B． C． D． 23．已知和是位似图形，它们对应顶点的坐标分别为，，和，，，则它们的位似中心是（   ） A． B． C． D． 24．如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，下列说法错误的是（   ） A． B．若，则 C． D． 25．如图，与位似，位似中心为点，且相似比为，则与的周长之比是（   ） A． B． C． D． 26．如图，与位似，点O为位似中心，已知，的面积为8，则的面积为（   ） A．18 B．15 C．12 D．8 题型四：求位似图形的相似比 27．如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则的值为（    ） A． B． C． D． 28．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，则与的面积比为（     ） A． B． C． D． 29．四边形与四边形位似，位似中心是点O，位似比为，则四边形与四边形的面积比为（   ） A． B． C． D． 30．图，以顶点为位似中心放大后得到，若方格纸的边长为，则与的相似比是（   ） A． B． C． D． 31．如图，与位似，点O是它们的位似中心，且相似比为，若的面积为9，则的面积是（　　） A．9 B．18 C．27 D．36 32．如图，和是以点为位似中心的位似图形，且位似比为，那么的值为（   ） A． B． C． D． 33．如图，和是以点为位似中心的位似图形，且点在线段上．若，的周长为，则的周长是（   ） A．8 B．12 C．18 D．24 34．如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若，则四边形与的周长比是（   ） A． B． C． D． 35．如图，与是以点为位似中心的图形（点，，的对应点分别为点，，）．若与的周长之比为，则的值为（    ） A． B． C． D．1 题型五：位似图形画图 36．图①，图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中的线段上找一点，线段上找一点，连结，使是的中位线． (2)在图②中，以点为位似中心，作的位似，使． 37．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． (1)请画出关于x轴对称的； (2)与的位似比为，请画出； (3)求与的面积比，即________（不写解答过程，直接写出结果）． 38．已知，在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别是，正方形网格中，每个小正方形的边长是一个单位长度． (1)画出向左平移4个单位长度得到的，点的坐标是　　； (2)以点B为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为，点的坐标是　　；（画出图形） (3)的面积是　　平方单位． 39．在如图所示的网格中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上，请在所给平面直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： (1)将沿轴翻折，在图中画出翻折后的，并写出的坐标； (2)将绕原点O顺时针旋转得到，请在图中画出，并写出的坐标； (3)以点为位似中心，将放大到原来的2倍，得到，在网格图中画出，并直接写出的坐标和的周长． 题型六：利用位似求坐标 40．如图，在平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，已知点C的横坐标为1，点F的横坐标为3，点B的坐标为，则点E的坐标是（　　） A． B． C． D． 41．如图，中，B、C两点在x轴的上方，点A的坐标是，以点A为位似中心，把的边长缩小为原来的，所得的位似图形为，设C的对应点E的横坐标为a，则C的横坐标为（   ） A． B． C． D． 42．如图，在平面直角坐标系中，矩形OEFG与矩形ABCD是位似图形,C（﹣4，4），F（2，1），则位似中心的坐标是（    ） A．（0，2） B．（0，2.5） C．（0，3） D．（0，4） 43．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点．以坐标原点O为位似中心把缩小得到，其位似比为，则点A的对应点的坐标为（    ） A． B．或 C． D．或 44．在平面直角坐标系中，点，以原点O为中心，将缩小为原来的，缩小后图形与在点O同侧，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 45．在直角坐标平面上有、两点，以原点为位似中心把线段缩小到原来的一半，得到线段，那么的坐标是（   ） A．只有 B．只有 C．或 D．或 题型七：坐标与图形综合 46．已知点坐标为，点到两坐标轴的距离相等，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 47．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点，的坐标分别为，，点从点出发沿向点运动，连接交于点当恰好为中点时，则长为（ ） A． B． C． D． 48．已知，P为双曲线上的任意一点，过点P作轴于点C，轴于点D．四边形面积S的最小值为（    ） A．22 B．23 C．24 D．26 49．如图，在平面直角坐标系中，点光源位于点处，木杆两端的坐标分别为，．则木杆在x轴上的影长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 50．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，原点为的中点．将折叠，点落在点处．若点的坐标为，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 51．对于任意一点P和线段a．若过点P向线段a所在直线作垂线，若垂足落在线段a上，则称点P为线段a的投影点．在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)在点，，中，是线段的投影点的是 ； (2)已知点，，在图中画出区域并用阴影表示，使区域内的每个点均为三边的投影； (3)已知直线m与x轴交于点B，与y轴交于点C，将直线m沿x轴平移3个单位长度得到直线n．若存在点Q，使线段的投影点形成的区域恰好是直线m和n之间的区域（包括边界），直接写出点Q的坐标． 52．如图1，在平面直角坐标系中，四边形的顶点A，C分别在x轴和y轴上，顶点B在第一象限，，点，，且满足． (1)求a，b的值； (2)连接， ①如图1，求的值； ②如图2，过B作交于E，求E点坐标； (3)点是x轴上一动点，若，求m的取值范围． 53．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，顶点，点为边上一动点，设的长为，以为一边在与点的同侧作正方形，在点运动过程中，探究以下问题： (1)①当点与点重合时，点的坐标为____________； ②用含的代数式表示点的坐标为____________． (2)的面积是否改变？如果不变，求出此定值；如果改变，请说明理由； (3)当为等腰三角形时，直接写出所有的值． 54．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点，，，满足，点是轴上一动点． (1)点的坐标为___________，线段和的关系为___________； (2)若三角形的面积与四边形的面积相等，求点的坐标； (3)当点在线段上时，平分，平分，若，求的度数． 55．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为，，．（每个方格的边长均为1个单位长度） (1)若和关于原点O成中心对称，请画出； (2)将平移，使得顶点A在y轴上，顶点B在x轴上，此时点A对应的坐标为________，点B对应的坐标为________，点C对应的坐标为________； (3)若A，B，C，D四点组成的四边形是平行四边形，且点D在坐标轴上，则点D的坐标是________． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $