专题14 指数函数与对数函数的应用（练习题） -湖北省2026年技能高考一轮复习《数学知识点清单》

编写说明：湖北省2026年技能高考一轮复习《数学知识点清单》，依据《湖北省普通高等学校招收中等职业学校毕业生技能高考文化综合考试大纲》及历年湖北技能高考数学真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含10个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是湖北省2026年技能高考一轮复习《数学知识点清单》的第14个专题：指数函数与对数函数的应用。本专题涵盖指数函数与对数函数的应用知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 湖北省2026年技能高考 一轮复习 《数学知识点清单》 专题14 指数函数与对数函数的应用（练习题） 一、单选题 1．某市2024年国内生产总值为亿元，计划在未来10年内，平均每年按的增长率增长，预测该市2034年的国内生产总值为（    ） A．亿元 B．亿元 C．亿元 D．亿元 【答案】C 【分析】根据题意，结合指数函数的应用，即可列式求解． 【详解】因为计划在未来10年内，平均每年按的增长率增长， 所以该市2034年的国内生产总值为亿元． 故选：C． 2．当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是消光系数，（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度处和海面的光强.已知某海域5米深处的光强是海面光强的，则该海域消光系数的值约为（    ）（附：） A．0.2 B．0.18 C．0.1 D．0.14 【答案】B 【分析】根据题意得到，再利用对数的运算法则即可得解. 【详解】依题意得，，即， 两边取对数，得，则. 故选：B. 3．某工厂生产的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过最初含量的，已知在过滤过程中废气中的污染物数量（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：时）之间的函数关系式为：（均为正的常数）．若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除，那么至少还需要过滤的时间为（   ）小时 A． B． C．5 D． 【答案】C 【分析】由前5个小时排除了的污染物，得出，求出，再由，求出的值，即可得出结论. 【详解】由题意可知，前5个小时排除了的污染物， 因为，所以， 即，得， 由经过过滤后排放后，排放时污染物的含量不得超过最初含量的， 则有，即， 则，即， 得，所以， 因为，所以， 所以至少还需要过滤的时间为（小时）， 故选：C. 4．某种细胞分裂时，由个分裂成个，个分裂成个，…，现有个这样的细胞，分裂次后得到细胞的个数与的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意归纳出分裂次数与细胞个数之间的关系，可知函数符合指数函数模型，进而可得函数关系式. 【详解】分裂次后由个变成个， 分裂次后变成个， 故分裂次后变成个. 故选：D. 5．一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则年后这批设备的价值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意依次列出1年后、2年后、3年后…的价值，得出规律即可求出结果． 【详解】1年后的价值为， 2年后的价值为， 3年后的价值为， …n年后的价值为． 故选：D． 6．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么t分钟后物体的温度（单位：）满足等式，其中k为常数．现将的物体放到的空气中冷却2分钟后，物体的温度为，再经过4分钟冷却，该物体的温度可以冷却到（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合指数式的运算法则，先求出，即可求解. 【详解】由题意得， 代入等式得， 所以， 故再经过4分钟冷却，该物体的温度可以冷却到． 故选：D． 7．一个温度为的物体移入恒温的室内，分钟后该物体的温度为.已知与的关系可以表示为，其中，现将温度为的该物体移入恒温的室内，分钟后该物体的温度为，则再过分钟该物体的温度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知当时，，将其代入解析式中，得出，再令代入求值即可. 【详解】根据题意可知当时，， 代入中得，， 整理得，再过分钟，即时， 该物体的温度为. 故选：C. 8．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y（单位：只）与引入时间x（单位：年）的关系为，若该动物在引入一年后的数量为只，则第7年它们发展到（    ） A．只 B．只 C．只 D．只 【答案】A 【分析】根据题意，求出的值，进而求出第7年的昆虫数量. 【详解】由题意，将代入 得，解得， 所以， 所以当时，. 故选：A. 2、 填空题 9．某市2022年GDP为20亿元，计划在今后10年内，平均每年增长，试问：到2032年时，该市的GDP为 亿元（不计算）. 【答案】 【分析】利用指数函数模型的应用即可得解. 【详解】指数函数模型公式， 某市2022年GDP，亿元， 在今后10年内，平均每年增长率， 到2032年该市的GDP为， 故答案为： 10．形如 （，且；且）的函数是指数型函数模型． 【答案】 【分析】根据指数型函数模型的概念可得结果. 【详解】形如（，且；且）的函数是指数型函数模型. 故答案为： 3、 解答题 11．按复利计算利息的一种储蓄，本金为元，每期利率为，设本利和为，存期为，写出本利和随存期变化的函数解析式．如果存入本金1000元，每期利率为，试计算5期后的本利和是多少（，精确到1元）？ 【答案】（）；1118元． 【分析】根据题意，结合指数函数的应用，即可求解. 【详解】由题意，1期到期本利和为：， 2期到期本利和为：， 3期到期本利和为：， 所以存期为时，本利和（）； 将，，代入得 元， 即5期后的本利和约是元. 12．某生态文明小镇年底人口为万人，人均住房面积为，计划年底人均住房达到，如果该镇将每年人口平均增长率控制在，那么要实现上述计划，这个城市平均每年至少要新增住房多少万．（精确到1万） 【答案】万． 【分析】设这个城市平均每年要新增住房x万，根据题意列方程求解即可. 【详解】设这个城市平均每年要新增住房x万， 据题意可得， 所以． 所以这个城市平均每年至少需新增住房万. 一、单选题 1．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（    ） A． B． C． D．－1 【答案】D 【分析】根据两年后的生产总值相同易得答案. 【详解】设年平均增长率为x，原生产总值为a，则， 解得. 故选：D. 2．地震的震级越大，以地震波的形式从震源释放出的能量就越大，震级与所释放的能量的关系如下:（焦耳），那么6级地震释放的能量是4级地震释放的能量的（ ） A．倍 B．倍 C．100倍 D．1000倍 【答案】D 【分析】将震级代入函数式，利用指数幂的运算可解. 【详解】设4级地震释放的能量为，级地震释放的能量为， 所以，， 所以， 即6级地震释放的能量是4级地震释放的能量的倍. 故选：D. 3．成都市某公司为了提高销售部业务水平，制订了一个激励销售人员的奖励方案.在销售额为8万元时，奖励1万元；销售额为64万元时，奖励4万元；该公司拟定销售额（万元）与奖励金额（万元）之间函数关系为.若某业务员得到6万元奖励，则他的销售额应为（    ） A．128万元 B．256万元 C．512万元 D．1024万元 【答案】B 【分析】根据题意结合对数函数的性质列出方程求解出销售额与奖励金额的函数关系式，再求解时，的取值即可. 【详解】由题意可得， 即，解得，， 所以， 若时，即，解得. 故选：B. 4．年成都市政府工作报告提到，年成都市生产总值年增长率为，达到万亿元．如果维持此经济增速不变，设经过x年后成都市地区生产总值y万亿元，那么y与x的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知列出函数关系式即可解得. 【详解】由题，都市生产总值年增长率为，达到万亿元， 如果维持此经济增速不变，设经过x年后成都市地区生产总值y万亿元， 那么y与x的函数关系为， 故选：A 5．某实验室研究发现，某昆虫分泌信息素后，在秒时距分泌处米的地方，信息素浓度满足公式（其中，均为非常数）.如果分泌信息素后，在秒时距分泌处米的地方，信息浓度为，在秒时距分泌处米的地方，信息浓度为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】理解题意，利用对数型复合函数即可得解. 【详解】由题意可知. 当时，. 整理得. 解得. 因为. 所以. 故选：. 6．已知，函数与函数的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据题意结合指数函数和对数函数的单调性判断. 【详解】则，从而， 当时，函数与函数在定义域内都是单调递增； 当时，函数与函数在定义域内都是单调递减； 函数与函数在定义域内单调性相同. 故选：C. 7．2020年全年，某公司总耗电量为m度.该公司在2020年至2023年进行技术升级，使每年总耗电量比上一年减少r%，据此估计2023年该公司总耗电量为（    ） A．度 B．度 C．度 D．度 【答案】A 【分析】根据题意列逐年列式即可求解. 【详解】由题意得，2021年总耗电量为， 2022年总耗电量， 2023年总耗电量. 故选：A. 8．某科技公司从银行贷款500万元，贷款期限为6年，年利率为5.76%，利息按“复利计息法”（把当年的本金与利息的和作为次年的本金来计算利息的方法）计算．如果6年后一次性还款，那么这家科技公司应偿还银行的钱是（    ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 【答案】D 【分析】由题意的“复利计息法”，列出应偿还银行本金和利息即可. 【详解】由题意，从银行贷款500万元，贷款期限为6年，年利率为5.76%，利息按“复利计息法”， 则6年后一次性还款，那么这家科技公司应偿还银行的钱是万元. 故选：D. 二、填空题 9．某种债券的本金为1000元，利率为每年，按复利计算，x 年后债券价值y（元）的表达式为 . 【答案】 【分析】根据题意，列出函数关系，即可求解. 【详解】由题意知某种债券的本金为1000元，利率为每年， 则按复利x 年后债券价值. 故答案为：. 10．一台机器的折旧率为每月，初始价值为 元，设使用 x 个月后机器的价值为 y 元，则 y 关于 x 的函数关系式为   . 【答案】 【分析】由题可知每月剩余价值是上月的，根据指数函数的变化关系即可求解. 【详解】因为每月折旧率为，则每月剩余价值是上月的， 又初始价值为 10000 元，所以经过 x 个月后价值. 故答案为：. 三、解答题 11．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2023年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，求该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份（参考数据：，，）． 【答案】2027年. 【分析】根据题意列出不等式，结合对数的运算法则即可得解. 【详解】设经过年后公司的研发资金为，， 则， 两边取以为底的对数，根据函数可得， 即， 所以当即年时，， 所以到2027年，公司研发资金开始超过200万元． 12．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤多少次，才能使产品达到市场要求？（参考数据，） 【答案】11次 【分析】利用对数函数模型列出解析式，然后利用对数的运算求值即可. 【详解】设过滤次后杂质含量为， 则，即， 则， 令，则 ， 所以至少过滤11次才能使产品达到市场要求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 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C． D． 7．一个温度为的物体移入恒温的室内，分钟后该物体的温度为.已知与的关系可以表示为，其中，现将温度为的该物体移入恒温的室内，分钟后该物体的温度为，则再过分钟该物体的温度为（    ） A． B． C． D． 8．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y（单位：只）与引入时间x（单位：年）的关系为，若该动物在引入一年后的数量为只，则第7年它们发展到（    ） A．只 B．只 C．只 D．只 2、 填空题 9．某市2022年GDP为20亿元，计划在今后10年内，平均每年增长，试问：到2032年时，该市的GDP为 亿元（不计算）. 10．形如 （，且；且）的函数是指数型函数模型． 3、 解答题 11．按复利计算利息的一种储蓄，本金为元，每期利率为，设本利和为，存期为，写出本利和随存期变化的函数解析式．如果存入本金1000元，每期利率为，试计算5期后的本利和是多少（，精确到1元）？ 12．某生态文明小镇年底人口为万人，人均住房面积为，计划年底人均住房达到，如果该镇将每年人口平均增长率控制在，那么要实现上述计划，这个城市平均每年至少要新增住房多少万．（精确到1万） 一、单选题 1．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（    ） A． B． C． D．－1 2．地震的震级越大，以地震波的形式从震源释放出的能量就越大，震级与所释放的能量的关系如下:（焦耳），那么6级地震释放的能量是4级地震释放的能量的（ ） A．倍 B．倍 C．100倍 D．1000倍 3．成都市某公司为了提高销售部业务水平，制订了一个激励销售人员的奖励方案.在销售额为8万元时，奖励1万元；销售额为64万元时，奖励4万元；该公司拟定销售额（万元）与奖励金额（万元）之间函数关系为.若某业务员得到6万元奖励，则他的销售额应为（    ） A．128万元 B．256万元 C．512万元 D．1024万元 4．年成都市政府工作报告提到，年成都市生产总值年增长率为，达到万亿元．如果维持此经济增速不变，设经过x年后成都市地区生产总值y万亿元，那么y与x的函数关系为（    ） A． B． C． D． 5．某实验室研究发现，某昆虫分泌信息素后，在秒时距分泌处米的地方，信息素浓度满足公式（其中，均为非常数）.如果分泌信息素后，在秒时距分泌处米的地方，信息浓度为，在秒时距分泌处米的地方，信息浓度为，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，函数与函数的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   7．2020年全年，某公司总耗电量为m度.该公司在2020年至2023年进行技术升级，使每年总耗电量比上一年减少r%，据此估计2023年该公司总耗电量为（    ） A．度 B．度 C．度 D．度 8．某科技公司从银行贷款500万元，贷款期限为6年，年利率为5.76%，利息按“复利计息法”（把当年的本金与利息的和作为次年的本金来计算利息的方法）计算．如果6年后一次性还款，那么这家科技公司应偿还银行的钱是（    ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 二、填空题 9．某种债券的本金为1000元，利率为每年，按复利计算，x 年后债券价值y（元）的表达式为 . 10．一台机器的折旧率为每月，初始价值为 元，设使用 x 个月后机器的价值为 y 元，则 y 关于 x 的函数关系式为   . 三、解答题 11．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2023年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，求该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份（参考数据：，，）． 12．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤多少次，才能使产品达到市场要求？（参考数据，） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $