专题14 指数函数与对数函数的应用（讲义） -湖北省2026年技能高考一轮复习《数学知识点清单》

编写说明：湖北省2026年技能高考一轮复习《数学知识点清单》，依据《湖北省普通高等学校招收中等职业学校毕业生技能高考文化综合考试大纲》及历年湖北技能高考数学真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含10个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是湖北省2026年技能高考一轮复习《数学知识点清单》的第14个专题：指数函数与对数函数的应用。本专题涵盖指数函数与对数函数的应用知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 湖北省2026年技能高考 一轮复习 《数学知识点清单》 专题14 指数函数与对数函数的应用（讲义） 知识点1 指数函数与对数函数的应用 函数模型 (其中系数c>0,a>0 且a≠1)叫作指数模型.当a>1时,叫作指数增长模型;当0<a<1时,叫作指数衰减模型. 指数函数和对数函数在日常生活中具有广泛应用,如人口增长问题、商品定价问题、复利问题、细菌分裂问题和放射性物质的衰变问题等. 解指数函数、对数函数模型应用问题的步骤: (1) 阅读题目,弄清条件与结论. (2) 确定数学模型,建立目标函数. (3) 求解数学模型,得出数学结论. (4) 作答,注意单位. 一、单选题 1．（22-23高三下·湖北·职教高考）设地震震级公式为，若，，则此时地震震级为（    ） A．4级 B．5级 C．6级 D．7级 2．（23-24高三下·四川·对口/高职单招）一个温度为的物体移入恒温的室内，分钟后该物体的温度为.已知与的关系可以表示为，其中，现将温度为的该物体移入恒温的室内，分钟后该物体的温度为，则再过分钟该物体的温度为（    ） A． B． C． D． 3．（18-19高三·陕西·职教高考）张先生计划贷款购买一辆汽车，贷款万元，贷款期限为年，年利率为，按复利计算利息，则三年后一次性应还款数的算式是（万元）（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25高三·全国·对口/高职单招）某环保小组发现某市生活垃圾年增长率为，2021年该市的生活的垃圾量为吨，由此可以预测2031年该市的生活垃圾量为 吨． 5．（23-24高三·河南·对口/高职单招）把本金元存入银行，假如每期利率是2%，期数为2期，按复利计算，则到期后的本息和是 元． 1．某科技有限公司为了鼓励员工创新，打破发达国家的芯片垄断，计划逐年增加研发资金投入，若该公司年全年投入的研发资金为万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增加，则该公司全年投入的研发资金开始超过万元的年份是参考数据：，，（   ） A．年 B．年 C．年 D．年 2．设地震震级公式为，若，，则此时地震震级为（    ） A．4级 B．5级 C．6级 D．7级 3．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次，一次分裂成2个，则经过2.25小时，这种细菌由1个可繁殖为（    ） A．511个 B．512个 C．1023个 D．1024个 4．“学习曲线”可以用来描述学习达到某一水平所需的时间.假设其对应的函数为，式中N（单位：字/分）表示某一英文打字水平，t（单位：小时）表示达到这一英文打字水平N所需的学习时间.若要达到81字/分的打字水平，则所需的学习时间是（    ） A．144小时 B．90小时 C．100小时 D．99小时 5．在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，已知经过天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的倍，那么经过天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 6．某机器购买时价格是10万元，每过一年的折旧率按的折旧率计算，则三年后价值是（    ）万元. A． B． C． D． 7．下列函数在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 8．若，则下列不等式成立的是（      ） A． B． C． D． 9．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数为（      ） A． B． C． D． 10．函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 11．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 12．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y（只）与引入时间x（年）的关系为，若该动物在引入一年后的数量为100只，则引入7年后它们发展到（     ） A．300只 B．400只 C．600只 D．800只 13．某公司研发一种新型材料，其性能随时间衰减的规律满足函数（其中为初始性能值，为使用时间，单位：年）.若该材料使用年后性能降为初始值的，则的值为（   ） A．3 B．7 C．15 D．31 14．沙漏也叫作沙钟，是一种测量时间的装置．现有一个沙漏上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过时，剩余的细沙量为，且（b为常数），经过时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为（   ） A． B． C． D． 15．2020年11月24日4时30分，中国在文昌航天发射场用长征五号遥五运载火箭，成功将嫦娥五号月球探测器送入地月转移轨道，发射取得圆满成功．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度、燃料的质量、火箭（除燃料外）的质量之间M的函数关系是．按照这个规律，当时，火箭的最大速度v约可达到（参考数据：）（   ） A． B． C． D． 16．某新品牌电视投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，则下列函数模型中能较好反映销量(台)与投放市场的月数之间的关系的是（    ） A． B． C． D． 17．2020年全年，某公司总耗电量为度，该公司在2020年至2023年进行技术升级，使每年总耗电量比上一年减少，据此估计2023年该公司总耗电量为（   ） A．度 B．度 C．度 D．度 18．已知某种污染物的浓度C（单位：摩尔/升）与时间t（单位：天）的关系满足指数模型，其中是初始浓度（即时该污染物的浓度），k是常数，第2天（即）测得该污染物的浓度为5摩尔/升，第4天测得该污染物的浓度为15摩尔/升，若第n天测得该污染物的浓度变为摩尔/升，则（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 19．某食品的保鲜时间y（单位：h）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在储藏温度为0℃时的保鲜时间是216小时，在储藏温度为20℃时的保鲜时间为24小时，则该食品在储藏温度为30℃时的保鲜时间是（   ） A．4h B．8h C．12h D．16h 20．某商品进价为10000元，若连续两次提价10%，又打9折出售，则现价为（   ） A．12000元 B．11100元 C．12100元 D．10890元 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：湖北省2026年技能高考一轮复习《数学知识点清单》，依据《湖北省普通高等学校招收中等职业学校毕业生技能高考文化综合考试大纲》及历年湖北技能高考数学真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含10个模块共40个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是湖北省2026年技能高考一轮复习《数学知识点清单》的第14个专题：指数函数与对数函数的应用。本专题涵盖专题14 指数函数与对数函数的应用知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 湖北省2026年技能高考 一轮复习 《数学知识点清单》 专题14 指数函数与对数函数的应用（讲义） 知识点1 指数函数与对数函数的应用 函数模型 (其中系数c>0,a>0 且a≠1)叫作指数模型.当a>1时,叫作指数增长模型;当0<a<1时,叫作指数衰减模型. 指数函数和对数函数在日常生活中具有广泛应用,如人口增长问题、商品定价问题、复利问题、细菌分裂问题和放射性物质的衰变问题等. 解指数函数、对数函数模型应用问题的步骤: (1) 阅读题目,弄清条件与结论. (2) 确定数学模型,建立目标函数. (3) 求解数学模型,得出数学结论. (4) 作答,注意单位. 一、单选题 1．（22-23高三下·湖北·职教高考）设地震震级公式为，若，，则此时地震震级为（    ） A．4级 B．5级 C．6级 D．7级 【答案】A 【分析】将，，代入地震震级公式，根据对数的运算可求解. 【详解】将，，代入地震震级公式为，可得 （级）. 故选：A 2．（23-24高三下·四川·对口/高职单招）一个温度为的物体移入恒温的室内，分钟后该物体的温度为.已知与的关系可以表示为，其中，现将温度为的该物体移入恒温的室内，分钟后该物体的温度为，则再过分钟该物体的温度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知当时，，将其代入解析式中，得出，再令代入求值即可. 【详解】根据题意可知当时，， 代入中得，， 整理得，再过分钟，即时， 该物体的温度为. 故选：C. 3．（18-19高三·陕西·职教高考）张先生计划贷款购买一辆汽车，贷款万元，贷款期限为年，年利率为，按复利计算利息，则三年后一次性应还款数的算式是（万元）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的实际应用分析选项即可. 【详解】根据题意，一年的还款数为， 所以三年还款数为. 故选：B. 二、填空题 4．（24-25高三·全国·对口/高职单招）某环保小组发现某市生活垃圾年增长率为，2021年该市的生活的垃圾量为吨，由此可以预测2031年该市的生活垃圾量为 吨． 【答案】 【分析】根据题意，结合指数函数的应用，即可求解. 【详解】因为2021年该市的生活的垃圾量为吨，年增长率为， 所以可预测2031年该市的生活垃圾量为吨． 故答案为：. 5．（23-24高三·河南·对口/高职单招）把本金元存入银行，假如每期利率是2%，期数为2期，按复利计算，则到期后的本息和是 元． 【答案】10404 【分析】根据题意列式计算即可. 【详解】由题可知，2期后的本息和为：元. 故答案为：10404. 1．某科技有限公司为了鼓励员工创新，打破发达国家的芯片垄断，计划逐年增加研发资金投入，若该公司年全年投入的研发资金为万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增加，则该公司全年投入的研发资金开始超过万元的年份是参考数据：，，（   ） A．年 B．年 C．年 D．年 【答案】B 【分析】利用指数函数增长模型，设年后该公全年投入的研发资金开始超过200万元，结合题干信息解不等式即可. 【详解】依题意，2018年开始研发资金为100万元， 则第2年为，即第年后研发资金为， 令，即， 又 ，，所以当时，， 故该公全年投入的研发资金开始超过200万元的年份为2026年. 故选：B. 2．设地震震级公式为，若，，则此时地震震级为（    ） A．4级 B．5级 C．6级 D．7级 【答案】A 【分析】将，，代入地震震级公式，根据对数的运算可求解. 【详解】将，，代入地震震级公式为，可得 （级）. 故选：A 3．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次，一次分裂成2个，则经过2.25小时，这种细菌由1个可繁殖为（    ） A．511个 B．512个 C．1023个 D．1024个 【答案】B 【分析】由题意可知细菌分裂个数符合指数性质，计算即可求解. 【详解】因为细菌每15分钟即0.25小时分裂一次，且一次分裂成2个， 所以经过2.25小时，即分裂次， 这种细菌可由1个可繁殖为个. 故选：B. 4．“学习曲线”可以用来描述学习达到某一水平所需的时间.假设其对应的函数为，式中N（单位：字/分）表示某一英文打字水平，t（单位：小时）表示达到这一英文打字水平N所需的学习时间.若要达到81字/分的打字水平，则所需的学习时间是（    ） A．144小时 B．90小时 C．100小时 D．99小时 【答案】A 【分析】根据题意，结合对数的运算即可求解. 【详解】因为， 当时，小时， 故选：A. 5．在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长，已知经过天以后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的倍，那么经过天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】根据平均增长率的函数模型可得结果. 【详解】解：设湖泊原来的蓝藻量为，依题意得 经过天后的蓝藻量则为 ， 所以经过天后的蓝藻量为. 即该湖泊的蓝藻数大约为原来的倍. 故选：C 6．某机器购买时价格是10万元，每过一年的折旧率按的折旧率计算，则三年后价值是（    ）万元. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】每一年折旧，则车的价值为去年的，三年则是逐年相乘即可得出结果. 【详解】每一年折旧车的价值为去年的， 则三年后得效果为. 故选：C. 7．下列函数在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数，指数函数，二次函数的性质以及单调性定义分析即可. 【详解】A:因为对数函数为，又因为，所以函数在定义域内为减函数，故A选项错误， B:因为指数函数为，又因为，所以函数在区间内为减函数，故B选项错误， C:，所以， 因为，所以，，所以，即，所以函数在区间内为减函数，故C选项错误， D:因为为二次函数，可知图像为开口向上，对称轴为y轴，所以函数在区间内为增函数. 故选:D. 8．若，则下列不等式成立的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质，指数函数，对数函数的单调性判断选项即可. 【详解】A:当时，，不成立，故A选项错误， B:函数在上是增函数，，，故B选项错误， C:函数在上是减函数，，，故C选项正确， D: 因为，由不等式的倒数性质可得，故D选项错误. 故选:C. 9．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数解析式直接判断奇偶性和单调性可得答案. 【详解】A:在区间上不是单调函数，故A不正确， B:，定义域为，定义域关于原点对称， ，为偶函数， ，， 因为，，所以，， 因为，所以， 所以，，所以上单调递减，故B正确， C:是指数函数，是非奇非偶函数，故C不正确， D:是对数型函数，是非奇非偶函数，故D不正确. 故选: B. 10．函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分母不等于，解出即可. 【详解】因为， 所以. 故选： 11．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性及二次根式的意义可求得原函数的定义域. 【详解】对于函数，有，可得，解得， 因此，函数的定义域为. 故选：A. 12．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y（只）与引入时间x（年）的关系为，若该动物在引入一年后的数量为100只，则引入7年后它们发展到（     ） A．300只 B．400只 C．600只 D．800只 【答案】A 【分析】由题知时，，从而可求得，令可求解. 【详解】由题知时，， 所以， 故，， 所以引入7年后它们发展到 （只）. 故选：A 13．某公司研发一种新型材料，其性能随时间衰减的规律满足函数（其中为初始性能值，为使用时间，单位：年）.若该材料使用年后性能降为初始值的，则的值为（   ） A．3 B．7 C．15 D．31 【答案】C 【分析】根据题意列出方程结合对数的定义即可得解. 【详解】新型材料，其性能随时间衰减的规律满足函数，且使用年后性能降为初始值的， 所以，因为，则， 所以，解得年， 故选：. 14．沙漏也叫作沙钟，是一种测量时间的装置．现有一个沙漏上方装有的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过时，剩余的细沙量为，且（b为常数），经过时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，可得，结合指数式与对数式的转化，求出，即可求得函数解析式，将代入，结合对数的运算，即可求解. 【详解】根据题意，可得，即， 两边取对数得，所以， 所以． 当容器中上方细沙是开始时的时，则有， 所以，两边取对数得， 所以． 即要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为. 故选：C. 15．2020年11月24日4时30分，中国在文昌航天发射场用长征五号遥五运载火箭，成功将嫦娥五号月球探测器送入地月转移轨道，发射取得圆满成功．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度、燃料的质量、火箭（除燃料外）的质量之间M的函数关系是．按照这个规律，当时，火箭的最大速度v约可达到（参考数据：）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将代入到函数关系式，再根据参考数据计算即可. 【详解】因为，当时，则. 所以. 故选：C. 16．某新品牌电视投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，则下列函数模型中能较好反映销量(台)与投放市场的月数之间的关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数型函数模型的特点结合待定系数法即可得解. 【详解】某新品牌电视投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，成倍数增长，符合指数型函数模型， 设， 所以，解得， 所以， 故选：. 17．2020年全年，某公司总耗电量为度，该公司在2020年至2023年进行技术升级，使每年总耗电量比上一年减少，据此估计2023年该公司总耗电量为（   ） A．度 B．度 C．度 D．度 【答案】C 【分析】根据题意列指数型函数解析式求解即可. 【详解】由题意可知2020年后第年，公司的耗电量为度， 2023年为2020年后第3年，公司的耗电量为度. 故选：C. 18．已知某种污染物的浓度C（单位：摩尔/升）与时间t（单位：天）的关系满足指数模型，其中是初始浓度（即时该污染物的浓度），k是常数，第2天（即）测得该污染物的浓度为5摩尔/升，第4天测得该污染物的浓度为15摩尔/升，若第n天测得该污染物的浓度变为摩尔/升，则（    ） A．5 B．7 C．9 D．11 【答案】C 【分析】根据题意，将与代入关系式，可得，由题意可令，继而可得，即可求解. 【详解】由题意可得，则， 令，即，即， 所以，即，解得. 故选：C. 19．某食品的保鲜时间y（单位：h）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在储藏温度为0℃时的保鲜时间是216小时，在储藏温度为20℃时的保鲜时间为24小时，则该食品在储藏温度为30℃时的保鲜时间是（   ） A．4h B．8h C．12h D．16h 【答案】B 【分析】将代入函数关系，得到等式，再求解在储藏温度为30℃时的保鲜时间. 【详解】因为储藏温度为0℃时的保鲜时间是216小时，所以. 因为储藏温度为20℃时的保鲜时间为24小时，所以. 所以，进而. 则该食品在储藏温度为30℃时的保鲜时间是 （）. 故选：B. 20．某商品进价为10000元，若连续两次提价10%，又打9折出售，则现价为（   ） A．12000元 B．11100元 C．12100元 D．10890元 【答案】D 【分析】根据题中所给的关系即可求解. 【详解】由题可知第一次提价后的售价为：元， 第二次提价后的售价为：元， 打9折以后的售价：元. 故选：D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $