专题31圆的方程（讲义）- 广东省2026年“3+证书”考试一轮复习《数学知识点清单》

编写说明：广东省2026年“3+证书”考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件和练习题。 本专题是广东省2026年“3+证书”考试一轮复习《数学知识点清单》的第3 1个专题，内容为圆的方程。本专题涵盖圆的定义、圆的方程、点与圆的位置关系等3个知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 广东省2026年“3+证书”考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题31圆的方程（讲义） 知识点1 圆的方程 1.圆的定义 平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，其中定点是圆心，定长是半径. 2.圆的标准方程 圆心是C(a，b)，半径为r 的圆的标准方程为 特别地，当圆心在坐标原点，半径为r时，圆的标准方程为 3.圆的一般方程 圆的一般方程为 把圆的一般方程配方化为标准方程得 (1)当 时，方程表示圆.此时圆心坐标为 半径 (2)当 时，方程表示一个点，这个点的坐标是 (3)当 时，方程不表示任何图形. 4.点与圆的位置关系 对于点 P(x₀,y₀)和圆 或 点 P 到圆心的距离记作d. (1)点 P 在圆内⇔ r. (2)点 P 在圆上⇔ r. (3)点 P 在圆外⇔ r. 1.((2022广东高职高考真题)已知圆的面积为4π,则k=( ) A.1 C.2 D.4 【答案】C 【分析】本题考查圆的一般方程与标准方程的转化，以及圆的面积公式。需要先将圆的一般方程化为标准方程，求出半径，再根据面积公式求出k的值。 【详解】将圆 化为标准方程： 已知圆的面积为4π，根据圆的面积公式， (r为半径)，可得 即 又因为k>0,所以k=2 故选：C 2.(2016广东高职高考真题)已知直角三角形的顶点A(-4,4)、B(-1,7)和C(2,4),则该三角形外接圆的方程是 . 【答案】 【分析】直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点，半径是斜边长度的一半。所以需要先判断哪条边是斜边，然后求出斜边的中点和长度，进而得到外接圆的方程。 【详解】计算三边的长度： 因为 所以 是直角三角形，且 则AC为斜边。 AC的中点坐标为 外接圆半径 所以该三角形外接圆的方程是 3.(2017广东高职高考真题)已知点A(1,2)和B(3,-4),则以线段AB的中点为圆心,且与直线相切的圆的标准方程是 . 【答案】 【分析】先求出线段AB的中点坐标，即圆心坐标，再求出圆心到直线x+y=5的距离，这个距离就是圆的半径，最后根据圆的标准方程写出结果。 【详解】线段AB的中点坐标，即圆心坐标为 根据点(x₀,y₀)到直线Ax+By+C=0的距离公式 直线x+y=5可化为 x+y-5=0,则圆心(2,-1)到直线的距离，即圆的半径 所以圆的标准方程是 4.(2018广东高职高考真题)以两直线和的交点为圆心,且与直线相切的圆的标准方程是 . 【答案】 【分析】先求出两直线的交点，即圆心坐标，再求出圆心到直线2x-y+2=0的距离，这个距离就是圆的半径，最后写出圆的标准方程。 【详解】联立 将x=-y代入2x-y-3=0,得-2y-y-3=0,即-3y=3,解得y=-1,则x=1,所以圆心坐标为((1,-1)。 根据点到直线的距离公式，圆心((1,-1)到直线2x-y+2=0的距离，即半径 所以圆的标准方程是 5.(2019广东高职高考真题)以点(2,1)为圆心,且与直线相切的圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】已知圆心坐标，根据圆与直线相切的性质，圆心到直线的距离等于圆的半径，求出半径后即可写出圆的标准方程。 【详解】根据点到直线的距离公式，圆心(2，1)到直线44x-3y=0的距离，即圆的半径 所以圆的标准方程为 6.(2021广东高职高考真题)以点M(3，1)为圆心的圆与x轴相交于A，B两点，若△MAB为直角三角形，则该圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】因为 为直角三角形，且.MA=MB(都是圆的半径)，所以 是等腰直角三角形， 根据圆心到x轴的距离以及等腰直角三角形的性质求出半径，进而得到圆的标准方程。 【详解】圆心M(3,1)到x轴的距离为1。 因为 为直角三角形，MA=MB=r(r为圆的半径)，所以 是等腰直角三角形， 则圆心到x轴的距离等于 即 解得 所以该圆的标准方程为 一、选择题 1.在平面直角坐标系中，圆心在原点、半径为4的圆的方程是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】圆的标准方程为 其中(a，b)为圆心坐标，r为半径。本题圆心在原点(0,0), 半径r=4,，代入标准方程即可。 【详解】根据圆的标准方程，圆心(0，0)，半径4，则方程为 故选：D 2.圆 的圆心坐标和半径分别为( ) A.(-1,2),4 B.(-1,2),2 C.(1,-2),4 D.(1,-2),2 【答案】D 【分析】对于圆的标准方程( 圆心坐标为(a，b)，半径为r。本题方程为 据此分析圆心和半径。 【详解】由圆的标准方程可知，圆心坐标为((1,-2),半径 故选：D 3.已知圆的标准方程为 则其圆心坐标是( ) A.(-3,2) B.(-3,-2) C.(3,2) D.(3,-2) 【答案】D 【分析】 圆的标准方程( 中，圆心坐标为(a，b)。本题方程为 直接根据公式找圆心。 【详解】根据圆的标准方程，圆心坐标为((3,-2) 故选：D 4.圆心为(-2，1)，半径为5 的圆的标准方程为 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】 已知圆心(a，b)和半径r，圆的标准方程为( 本题圆心(-2,1),半径5，代入即可。 【详解】圆心(-2,1),半径5，则标准方程为( 故选：B 5.圆心为(1，1)且过原点的圆的标准方程是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】 先求圆心(1，1)到原点(0，0)的距离，此距离即为圆的半径，再根据圆的标准方程 (a，b)为圆心，r为半径)写出方程。 【详解】圆心(1，1)到原点的距离 所以圆的标准方程为 故选：D 6.过点(2,0)且圆心为(1,0)的圆的一般方程是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】 先根据圆心(1，0)和过点(2，0)求出半径，再写出标准方程，最后化为一般方程。 【详解】圆心(1,0), 过点(2,0), 则半径 标准方程为 ，展开得 即 故选：B 7.若点(3,4)在圆 上，则的值为( ) A.2或6 B.2 C.6 D.8 【答案】A 【分析】 点(3,4)在圆 上，将点代入圆的方程，解方程求a的值。 【详解】把(3，4)代入圆的方程得( 即 则4-a=±2。当4-a=2时，a=2;当4-a=-2时，a=6,所以a=2或6 故选：A 8.设圆的方程为 圆心为(-2,-6),则圆的半径为( ) A.2 B.8 C.6 D.2 【答案】D 【分析】 圆的方程为 圆心为(-m,-n),已知圆心(-2,-6),可求出m和n，进而求出半径(半径为)。 【详解】由圆心((-m,-n)=(-2,-6),可得m=2,n=6。则m+n=8,半径 故选：D 9.已知圆 的圆心坐标为(2,3),则D+E 等于( ) A.-6 B.-8 C.-10 D.-12 【答案】C 【分析】 圆的一般方程： 的圆心坐标为 已知圆心坐标为(2，3)，可据此求出D和E的值，进而求出D+E。 【详解】由圆心坐标公式可得 解得 解得E=-6。所以D+E=-4+(-6)=-10 故选：C 10.以直线和:的交点为圆心，为半径的圆的标准方程为() A. B. C. D. 【答案】B 【分析】 先求出两直线 和 的交点，即圆心坐标，再根据半径 写出圆的标准方程。 【详解】 联立 将第一个方程变形为：x=y+1,，代入第二个方程得 2(y+1)+y-5=0,即2y+2+y-5=0,3y-3=0,解得y=1,则x=2,所以圆心坐标为(2，1)。又因为半径为 所以圆的标准方程为( 故选：B 11.已知圆 的圆心坐标为(2，3)，则圆的半径为( ) A. B. C.4 D. 【答案】C 【分析】 圆的一般方程： 的圆心坐标为 已知圆心坐标为(2，3)，可求出a和b的值，再将圆的方程化为标准方程，从而求出半径。 【详解】圆心坐标公式可得 解得 解得b=-6。则圆的方程为 化为标准方程： 即 所以半径为4 故选：C 12.圆的标准方程( 化成圆的一般方程为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】 将圆的标准方程 展开，化为一般方程 的形式。 【详解】展开 得 整理得 故选：A 13.圆的一般方程化为标准方程为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】 将圆的一般方程： 通过配方化为标准方程 的形式。 【详解】对进行配方， 即 故选：B 14.圆 的半径是( ) A.2 B.3 C.6 D.9 【答案】B 【分析】 将圆的一般方程： 化为标准方程，从而求出半径。 【详解】配方得 即 所以半径为3 故选：B 15.圆 的半径是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】A 【分析】 将圆的一般方程 化为标准方程，求出半径。 【详解】配方得 即 所以半径为4 故选：A 16.圆 的半径为( ) A.1 B.3 C.2 D.5 【答案】B 【分析】 将圆的一般方程 化为标准方程，判断是否为圆 (即半径的平方是否大于0)，进而求出半径。 【详解】配方得 即 因为半径。 故选：B 二、填空题 17.若圆 的半径为3，则圆心坐标为 . 【答案】(4,-2) 【分析】 圆的标准方程 的半径为 已知半径为3，可求出m的值，进而求出圆心坐标。 【详解】由半径为3，可得 两边平方得：m+7=9, 解得m=2。则圆心坐标为(2×2,-2)=(4,-2)。 18.已知圆心坐标为(1,3),且点(4,-1)在圆上，则圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】 已知圆心坐标(1，3)，点((4,-1))在圆上，可先求出半径 (圆心到该点的距离)，再写出圆的标准方程。 【详解】半径 所以圆的标准方程为 19.圆 的圆心为 ，半径为 . 【答案】,1 【分析】 圆的标准方程 根据标准方程的形式，直接得出圆心和半径。 【详解】圆心为(5,-3),，半径为1 20.圆的圆心为 ，半径为 . 【答案】(-3,4),6 【分析】 将圆的一般方程： 化为标准方程，从而得出圆心和半径。 【详解】配方得 即 所以圆心为(-3,4),半径为6。 21.求过三点A(0,0),B(2,3),C(-1,5)的圆的一般方程 . 【答案】 【分析】 设圆的一般方程为 将三点A(0,0)、B(2,3)、C(-1,5)代入方程，得到三元一次方程组，解方程组求出D、E、F的值。 【详解】设圆的一般方程为 将A(0,0)代入得: 0+0+0+0+F=0, 即F =0。 将B(2,3)代入得: 4+9+2D+3E+0=0, 即2D+3E=-13①。 将C(-1,5)代入得: 1+25-D+5E+0=0, 即-D+5E=-26②。 由②得D =5E+26, 代入①得: 2(5E+26)+3E=-13, 10E+52+3E=-13,13E = - 65, 解得E = - 5。 则D =5×(-5)+26=1。 所以圆的一般方程为 22.已知圆C 的直径的两个端点分别为点A(1，-3)，B(5，1)，则圆C 的标准方程为 . 【答案】 【分析】 圆的标准方程为 其中(a，b)为圆心坐标，r为半径。圆心是直径两个端点的中点，半径是直径长度的一半。先求圆心坐标和半径，再写标准方程。 【详解】圆心坐标为.A(1,-3))和B(5,1)的中点, 即 直径长度 所以半径 则圆C'的标准方程为 23.已知圆 的半径是3，则的值是 . 【答案】0 【分析】 将圆的方程化为标准方程，求出半径表达式，再根据已知半径为3列方程求解a的值。 【详解】圆的方程 可化为 已知半径是3，则 两边平方得 解得a=0。 24.已知A(-1, 0), B(1, 0), 则以AB为直径的圆的方程为 . 【答案】 【分析】 以AB为直径的圆，圆心是AB的中点，半径是AB长度的一半。先求圆心和半径，再写圆的方程。 【详解】A(-1,0),B(1,0),中点坐标为(0,0),即 圆心为(0,0)。 AB的长度为 所以半径r=1。 则圆的方程为 三、解答题 25.求经过直线与的交点,圆心为(-2,-3)的圆的方程. 【答案】 【分析】 先求出直线2x+y-3=0与x-2y+1=0的交点坐标，再根据圆心((-2,-3)求出半径(圆心到交点的距离)，最后写出圆的方程。 【详解】联立 由第一个方程得y=3-2x,代入第二个方程得： x-2(3-2x)+1=0,x-6+4x+1=0,5x-5=0,解得x=1,则y=3-2×1=1,交点坐标为(1,1)。 圆心为((-2,-3),半径 所以圆的方程为 26.已知圆C经过点A(0,0),B(0,2),C(2,4),求圆的方程。 【答案】 【分析】 设圆的一般方程为 , 将三点A(0,0)、B(0,2)、C(2,4)代入方程,得到三元一次方程组，解方程组求出D、E、F的值，进而得到圆的方程。 【详解】设圆的一般方程为 将A(0,0)代入得:0+0+0+0+F=0,即F=0。 将B(0,2)代入得:0+4+0+2E+0=0,即2E=-4,解得E=-2。 将C(2,4)代入得:4+16+2D+4E+0=0,把E=-2代入得：20+2D-8=0,2D=-12，解得D=-6。 所以圆的方程为 化为标准方程： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：广东省2026年“3+证书”考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及历年高考真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含42个专题，每个专题均配备配套讲义、课件和练习题。 本专题是广东省2026年“3+证书”考试一轮复习《数学知识点清单》的第3 1个专题，内容为圆的方程。本专题涵盖圆的定义、圆的方程、点与圆的位置关系等3个知识点，每个知识点后均配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 广东省2026年“3+证书”考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题31圆的方程（讲义） 知识点1 圆的方程 1.圆的定义 平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，其中定点是圆心，定长是半径. 2.圆的标准方程 圆心是C(a，b)，半径为r 的圆的标准方程为 特别地，当圆心在坐标原点，半径为r时，圆的标准方程为 3.圆的一般方程 圆的一般方程为 把圆的一般方程配方化为标准方程得 (1)当 时，方程表示圆.此时圆心坐标为 半径 (2)当 时，方程表示一个点，这个点的坐标是 (3)当 时，方程不表示任何图形. 4.点与圆的位置关系 对于点 P(x₀,y₀)和圆 或 点 P 到圆心的距离记作d. (1)点 P 在圆内⇔ r. (2)点 P 在圆上⇔ r. (3)点 P 在圆外⇔ r. 1.((2022广东高职高考真题)已知圆的面积为4π,则k=( ) A.1 C.2 D.4 2.(2016广东高职高考真题)已知直角三角形的顶点A(-4,4)、B(-1,7)和C(2,4),则该三角形外接圆的方程是 . 3.(2017广东高职高考真题)已知点A(1,2)和B(3,-4),则以线段AB的中点为圆心,且与直线相切的圆的标准方程是 . 4.(2018广东高职高考真题)以两直线和的交点为圆心,且与直线相切的圆的标准方程是 . 5.(2019广东高职高考真题)以点(2,1)为圆心,且与直线相切的圆的标准方程为 . 6.(2021广东高职高考真题)以点M(3，1)为圆心的圆与x轴相交于A，B两点，若△MAB为直角三角形，则该圆的标准方程为 一、选择题 1.在平面直角坐标系中，圆心在原点、半径为4的圆的方程是( ) A. B. C. D. 2.圆 的圆心坐标和半径分别为( ) A.(-1,2),4 B.(-1,2),2 C.(1,-2),4 D.(1,-2),2 3.已知圆的标准方程为 则其圆心坐标是( ) A.(-3,2) B.(-3,-2) C.(3,2) D.(3,-2) 4.圆心为(-2，1)，半径为5 的圆的标准方程为 ( ) A. B. C. D. 5.圆心为(1，1)且过原点的圆的标准方程是( ) A. B. C. D. 6.过点(2,0)且圆心为(1,0)的圆的一般方程是( ) A. B. C. D. 7.若点(3,4)在圆 上，则的值为( ) A.2或6 B.2 C.6 D.8 8.设圆的方程为 圆心为(-2,-6),则圆的半径为( ) A.2 B.8 C.6 D.2 9.已知圆 的圆心坐标为(2,3),则D+E 等于( ) A.-6 B.-8 C.-10 D.-12 10.以直线和:的交点为圆心，为半径的圆的标准方程为() A. B. C. D. 11.已知圆 的圆心坐标为(2，3)，则圆的半径为( ) A. B. C.4 D. 12.圆的标准方程( 化成圆的一般方程为( ) A. B. C. D. 13.圆的一般方程化为标准方程为( ) A. B. C. D. 14.圆 的半径是( ) A.2 B.3 C.6 D.9 15.圆 的半径是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 16.圆 的半径为( ) A.1 B.3 C.2 D.5 二、填空题 17.若圆 的半径为3，则圆心坐标为 . 18.已知圆心坐标为(1,3),且点(4,-1)在圆上，则圆的标准方程为 . 19.圆 的圆心为 ，半径为 . 20.圆的圆心为 ，半径为 . 21.求过三点A(0,0),B(2,3),C(-1,5)的圆的一般方程 . 22.已知圆C 的直径的两个端点分别为点A(1，-3)，B(5，1)，则圆C 的标准方程为 . 23.已知圆 的半径是3，则的值是 . 24.已知A(-1, 0), B(1, 0), 则以AB为直径的圆的方程为 . 三、解答题 25.求经过直线与的交点,圆心为(-2,-3)的圆的方程. 26.已知圆C经过点A(0,0),B(0,2),C(2,4),求圆的方程。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $