2.6 应用一元二次方程（第1课时）（教学设计）数学北师大版九年级上册

2. 6 应用一元二次方程 第1课时 教学设计 1.教学内容 本节课选自北师大版九年级上册第二章一元二次方程第6节应用一元二次方程（第1课时） - 核心知识点：建立一元二次方程模型解决几何（含行程结合几何）问题，掌握列一元二次方程解应用题的一般步骤（审、设、列、解、验、答），运用勾股定理、图形面积公式等数量关系列方程。 2.内容解析 本课时是一元二次方程知识的应用延伸，前承一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）与韦达定理，后启更复杂的实际问题解决。内容逻辑为“生活情境→提炼等量关系（如勾股定理、面积关系）→建立一元二次方程→求解验证→解决问题”，核心价值是培养学生的数学建模能力，将几何问题转化为代数问题。教学重点是建立数学模型解决几何（行程）问题，正确分析数量关系并列一元二次方程。 1.教学目标 1. 掌握建立数学模型解决几何(行程)问题；（重点） 2. 正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型。（难点） 2.目标解析 1. 对于“建立数学模型解决几何（行程）问题”目标：学生能根据几何图形（如直角三角形、矩形）的性质（勾股定理、面积公式）及行程问题中的路程关系，从实际问题中抽象出数学模型，列出一元二次方程，并通过求解、检验得到实际问题的答案，例如能独立解决梯子下滑、军舰与补给船相遇等类似问题。 2. 对于“分析数量关系并建立一元二次方程模型”目标：学生能通过“审题意”准确找出问题中的等量关系（如“梯子顶端下滑距离=底端滑动距离”“直角三角形两直角边平方和=斜边平方”），设出合适的未知数，用含未知数的代数式表示相关量，进而列出符合题意的一元二次方程，且能区分方程的解是否符合实际意义并舍去不合理解。 1. 已有知识基础 学生已掌握一元二次方程的一般形式（，）、四种解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）及韦达定理（前提），同时具备直角三角形勾股定理、矩形面积公式等几何知识，以及列一元一次方程解应用题的基础，对“找等量关系、设未知数”有初步认知。 2. 学习难易点分析 - 易点：理解列一元二次方程解应用题的步骤（审、设、列、解、验、答），通过模仿例题能初步完成简单几何问题的方程建立与求解，例如已知矩形边长关系求边长的问题。 - 难点：准确分析复杂几何（含行程）问题中的数量关系，尤其是动态几何问题（如动点移动、图形折叠），难以将“动态变化”转化为“静态的代数式表示”，进而建立正确的一元二次方程；同时，对解方程后“检验解的实际意义”易忽视，例如在梯子下滑问题中忽略“（未滑动）不合题意”的判断。 1.复习回顾 回顾本章开始的“梯子下滑”问题：如图，梯子靠在墙上，梯子顶端下滑1m时，梯子底端滑动的距离大于1m。提出问题：“梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？”引导学生思考并找出两个关键等量关系：①梯子底端滑动的距离=梯子顶端滑动的距离；②直角三角形的勾股定理（两条直角边的平方和等于斜边的平方）。 【设计意图】通过学生已接触过的生活情境问题，唤醒对勾股定理和一元二次方程的已有认知，激发探究兴趣，明确本节课“用一元二次方程解决几何问题”的学习方向，为新知探究奠定基础。 1.问题探究 - 问题1：设梯子顶端下滑m时，梯子底端滑动的距离和它相等。已知梯子原长8m（文档情境隐含，结合勾股定理可推测原梯子顶端距地面8m，底端距墙6m），根据题意列方程并求解。 - 推导过程： 1. 分析量的关系：顶端下滑m后，顶端距地面m；底端滑动m后，底端距墙m；梯子长度不变仍为8m。 2. 列方程：根据勾股定理，。 3. 整理方程：展开得，合并同类项得。 4. 求解方程：用因式分解法，，解得（不合题意，舍去，因未滑动），。 5. 检验与结论：梯子顶端下滑2m时，底端滑动距离与之相等。 - 问题2：若梯子长度为13m，顶端与地面垂直距离为12m，顶端下滑距离与底端滑动距离相等时，这个距离是多少？ - 推导过程： 1. 分析量的关系：由勾股定理得原底端距墙m；设下滑m，顶端距地面m，底端距墙m。 2. 列方程：。 3. 整理方程：展开得，合并同类项得。 4. 求解方程：因式分解得，解得（舍去），。 5. 结论：梯子顶端下滑7m时，底端滑动距离与之相等。 2. 师生活动 - 教师：引导学生分析梯子滑动过程中“不变量（梯子长度）”与“变量（顶端、底端到墙的距离）”，提问“如何用表示变化后的距离？”“为什么要舍去？”，演示方程整理与求解步骤。 - 学生：分组讨论找出等量关系，尝试用代数式表示相关量，独立列方程并求解，小组代表展示解题过程，互评纠错。 知识归纳 列一元二次方程解应用题的一般步骤: (1)“审”，审清题意，找出等量关系; (2)“设”，设出未知数，用所设的未知数表示其他量; (3)“列”，列一元二次方程; (4)“解”，解一元二次方程; (5)“验”，检验所求的解是否符合题意，确定未知数的值; (6)“答”，作答. 3. 例题巩固 如图，某海军基地位于A 处，在其正南方向200n mile处有一目标B，在B的正东方向200n mile处有一重要目标 C.小岛 D 位于 AC 的中点，岛上有一补给码头;小岛 F 位于 BC 的中点.一艘军舰沿 出发，经到 匀速巡航，一艘补给船同时从出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰.已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由到的途中与补给船相遇于处，那么相遇时补给船航行了多少海里(结果精确到0.1n mile)? 【解答】解：(1)要求相遇时补给船航行了多少海里，就是求线段 DE 的长度. (2)DE的长度无法直接求出，构造直角三角形. ∵D为AC的中点, F为BC的中点,连接DF, ∴DF是△ABC的 中位 线, ∴DF∥ AB ,且D F = A B 由题意，得 ∴ ，DF=100 BF=100 (3) 设相遇时补给船航行了 xn mile,则DE= x n mile,AB+BE= 2x n mile, ∴BE= （2x﹣200） n mile,EF=BF﹣BE= （300﹣2x） n mile. 在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程 解这个方程，得 ：， (4)方程的两个解是否都满足实际意义? ∵x＞0且300﹣2x＞0,∴0＜x＜ 150 , 相遇时补给船大约航行了 118.4 海里. 【设计意图】通过梯子下滑的递进式问题，让学生掌握“动态几何问题→找等量关系→列一元二次方程”的思路；结合海军基地例题，巩固勾股定理与方程建模的结合，突破“用未知数表示动态量”的难点。 知识归纳 应用一元二次方程解决几何图形问题的方法: 有关平面几何图形问题，常常由图形面积、线段的长度、勾股定理等列一元二次方程求解. 练一练 1. 如图，东西方向上有 ， 两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从 地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从 地出发向正南方向前进，那么最快经过( A )小时，甲、乙两人相距6千米. A. B. C. 1.5 D. 典例分析 例题1（《九章算术》勾股问题）：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度是7，乙的速度是3。乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇。那么相遇时，甲、乙各走了多远？ - 解析步骤： 1. 设未知数：设甲、乙相遇时所用时间为，则甲走的总步数为7x，乙走的步数为3x。 2. 找等量关系：甲斜向走的步数为，结合勾股定理（甲向南走的10步、乙向东走的3x步为直角边，甲斜向步数为斜边），列方程。 3. 整理方程：展开得，合并同类项得。 4. 求解方程：因式分解得，解得，（不合题意，舍去）。 5. 计算结果：乙走的步数，甲走的步数。 - 答案总结：相遇时，甲走了24.5步，乙走了10.5步。 例题2：如图，在 中，，点 ， 同时由 ， 两点出发，分别沿AC，BC方向向点C 匀速移动(到点 C 为止)，它们的速度都是1m/s.几秒后 的面积是 面积的一半? - 推导过程： 1. 设未知数：设秒后，的面积是面积的一半。 2. 表示相关量：m，m，则m，m。 3. 计算面积：面积为，则面积需为。 4. 列方程：根据三角形面积公式，，即。 5. 整理方程：展开得，两边乘2得。 6. 求解方程：因式分解得，解得，（不合题意，舍去，因时、已超过点）。 7. 结论：2秒后，的面积是面积的一半。 - 教师：提问“的两条直角边如何用表示？”“为什么要舍去？”，引导学生对比面积关系与方程建立的联系。 - 学生：独立分析动点运动过程，画出图形标注各量，尝试列方程并求解，同桌互相检查解题步骤，指出错误并修正。 1．（2024�青海西宁�中考真题）如图，小区物业规划在一个长，宽的矩形场地上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽的道路，中间是宽的道路．如果阴影部分的总面积是，那么x满足的方程是（ A  ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上�广东深圳�期中）如图，在矩形中，，，动点P，Q同时出发，点P从A点出发以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q从点C出发以的速度向点D移动．请问当点P和点Q的距离是时，P、Q两点出发了（  B ）秒． A．4 B．或4 C．或8 D． 3．如图，AB⊥BC，AB＝10 cm，BC＝8 cm，一只蝉从C点沿CB方向以每秒1 cm的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由A点沿AB方向以每秒2 cm的速度爬行，当螳螂和蝉爬行x秒后，它们分别到达了M，N的位置，此时，△MNB的面积恰好为24 cm2，由题意可列方程(　D　) A．2x·x＝24 B．(10－2x)(8－x)＝24 C．(10－x)(8－2x)＝24 D．(10－2x)(8－x)＝48 4．如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则所列方程正确的为（30－2 x）（40－2 x）＝600. 5．甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为每秒1.5米，乙的速度为每秒1米，乙一直向东走，甲先向南走10米，后又朝北偏东某个方向走了一段后与乙相遇，则乙走了 24 米． 6．如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度52米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为x米． （1）AB＝　 　 米（用含x的代数式表示）； （2）若矩形围栏面积为210平方米，求栅栏的长． （3）矩形围栏ABCD面积是否有可能达到240m²?若有可能，求出相应x的值，若不可能，请说明理由. 【解答】解：（1）由围栏周长得： ∴54-3 （2）依题意，得（54-3）=240， 整理，得， 解得=8，=10. 当=8时，AB=54-3=30>25，不合题意，舍去； 当=10时，AB=54-3=24，符合题意. ∴栅栏BC的长为10米． 答：栅栏BC的长为10米． 解:(3)不可能，理由如下: 依题意，得: ， 整理得: ， ∵b2 -4ac=(﹣17)2 ﹣4×1×80=﹣31<0， ∴方程没有实数根， ∴矩形围栏 $ABCD$ 面积不可能达到 . 7．如图，在中，，，，点Q从点B出发以的速度沿边向点C移动，点P从点A出发以的速度沿边向点B移动，当点P运动到点B时，两点同时停止运动． (1)如果P，Q分别从点A，B同时出发，那么运动几秒时，的面积等于？ (2)如果P，Q分别从点A，B同时出发，的面积能否等于？说明理由． 【解答】（1）解：（1）由题意得：，， ∴， 当面积为，则， 整理，得， 解得，， 答：如果P，Q分别从点A，B同时出发，那么运动1秒或3秒时，的面积都等于． （2）解：若的面积为则， 整理，得， 由，可知这个方程无解． 答：P，Q分别从点A，B同时出发，的面积不能等于． （设计意图：通过不同难度层次的练习，全面检验学生对知识的掌握情况，及时发现学生在学习过程中存在的问题，并进行有针对性的查漏补缺。） （教学建议：让学生独立完成练习后，同桌之间相互检查答案。教师针对错误率较高的题目进行集中讲解，特别要强调在实际问题中，解的合理性至关重要.） (设计意图：帮助学生系统梳理本节课的知识体系，强化重点内容，培养学生的总结归纳能力，使学生构建起清晰的知识框架。) (教学建议：采用 “学生先说，教师后补” 的方式，鼓励学生用自己的语言表达学习收获。对于学生遗漏的要点，教师通过提问的方式引导学生回忆) 1. 必做题：教材习题2.9第1-3题（巩固基础，掌握基本解题步骤）。 2. 探究性作业：教材习题2.9第4题（拓展思维，提升复杂问题建模能力）。 （设计意图：巩固学生对本课核心知识点的掌握，兼顾基础练习与思维延伸。） 2.6 应用一元二次方程（第 1 课时） 一、知识回顾 1. 一元二次方程一般形式 2. 解法 3. 韦达定理 二、核心方法：列一元二次方程解应用题步骤 审（审清题意，找等量关系）→ 设（设未知数，表相关量）→ 列（列一元二次方程）→ 解（解一元二次方程）→ 验（检验解的合理性）→ 答（规范作答） 三、典型例题解析 本节课基本达成教学目标，学生能掌握列一元二次方程解应用题的步骤，对简单勾股定理、面积相关问题能独立列方程求解。但在复杂动点问题中，部分学生仍难以准确用未知数表示变化量，如矩形围栏问题中“小门对栅栏长度的影响”理解较慢，需教师反复引导分析。此外，学生对“检验解的实际意义”仍有疏忽，部分人未舍去不合理解。后续教学中，可增加小组合作分析等量关系的时间，设计更多分层练习（从简单到复杂），逐步提升学生的数学建模能力；同时，在解题后强调“验”的重要性，通过错题辨析加深理解。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $