第四章 立体几何（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块一上册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【四川专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。本专辑共10套。 本卷是第四章立体几何的单元测试卷，主要考查平面的概念及性质、直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系。 第四章 立体几何 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列说法中，正确的是（    ） A．教室里的黑板面就是平面 B．过一条直线的平面只有1个 C．一条线段在一个平面内，这条线段的延长线可以不在这个平面内 D．平面是没有厚薄之分的 2．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的为（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 3．如图，在四棱锥中，，分别为，上的点，且平面，则（    ）    A． B． C． D．以上均有可能 4．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则． 其中正确命题的序号是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 5．若空间中两个角与的两边对应平行，当时，则等于（    ） A． B．或 C． D．或 6．如图，在四面体ABCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中不正确的是（    ）    A．M，N，P，Q四点共面 B． C． D．四边形MNPQ为梯形 7．下列命题中不正确的是（    ） A．如果一条直线垂直于一个平面内的两条垂直直线，那么这条直线垂直于这个平面 B．如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面 C．如果一条直线垂直于一个平面内的任何一条直线，那么这条直线垂直于这个平面 D．如果一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线，那么这条直线垂直于这个平面 8．如图所示，正方体中，E、F分别是边AB、DC的中点，则异面直线EF与所成的角的度数为（    ） A． B． C． D． 9．要使直线平面，只需l垂直于平面内（    ） A．两条不同直线 B．无数条直线 C．不平行的两条直线 D．不垂直的两条直线 10．在正方体中，直线与平面所成角为（    ） A． B． C． D． 11．已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则（ ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若，，且异面，则 12．如图，在长方体中，，为的中点，则二面角的大小为（    ）    A． B． C． D． 13．下面四个命题 ①如果一个平面内的两条直线平行于另一平面，那么这两个平面平行． ②如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行． ③分别在两个平行平面内的两条直线平行． ④已知两个平行平面中的一个平面内有一条直线，则在另一个平面内有且只有一条直线与已知直线平行． 其中正确命题的个数是（    ） A． B． C． D． 14．如图在正方体中，下列结论错误的是（    ） A．平面 B．平面平面 C． D．平面平面 15．襄阳一桥全称“襄阳江汉大桥”，于1970年正式通车，如图所示是一桥模型的一段，是由一个正方体和一个直三棱柱构成.其中，那么直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．如图所示，已知正方体，E，F分别是，上不重合的两个动点，给出下列四个结论： ①； ②平面平面； ③； ④平面平面； 其中，正确结论的序号是 ． 17．边长为的正方形沿对角线折叠成直二面角后，的长为 ． 18．在正方体中，直线与直线所成角的大小为 19．如图所示，直三棱柱的体积为6，的面积为，则点A到平面的距离为 20．如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处，已知库底与水坝斜面所成的二面角为，测得从，到库底与水坝斜面的交线的距离分别为，，若，则甲，乙两人相距 . 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．如图，在直三棱柱 中，，点 是 的中点． (1)求证：； (2)求证：平面． 22．如图，在正方体中，、分别是AB、AA1的中点. （1）证明：四边形EFD1C是梯形； （2）求异面直线EF与BC1所成角. 23．四棱锥的底面是正方形，底面，点在棱上． (1)求证：平面平面； (2)当且为的中点时，求与平面所成角的大小． 24．如图，正四棱柱，， (1)求二面角的平面角的正切值； (2)求四棱锥的体积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【四川专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。本专辑共10套。 本卷是第四章立体几何的单元测试卷，主要考查平面的概念及性质、直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系。 第四章 立体几何 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列说法中，正确的是（    ） A．教室里的黑板面就是平面 B．过一条直线的平面只有1个 C．一条线段在一个平面内，这条线段的延长线可以不在这个平面内 D．平面是没有厚薄之分的 【答案】D 【分析】根据平面的概念判断即可. 【详解】A选项. 教室里的黑板面是一个具体的、有厚度、有界限/的物体，而平面在数学中是一个没有厚度的、无限延展的二维概念.因此，教室里的黑板面不能等同于平面，故A错误. B选项. 对于一条给定的直线，我们可以构造无数个过这条直线的平面.例如，在三维空间中，一条直线可以围绕其旋转形成无数个不同的平面，故B错误. C选项. 根据平面几何的基本性质，如果一条线段在一个平面内，那么这条线段的延长线也必然在这个平面内.因为线段和它的延长线构成的是同一条直线，而直线在平面内，其所有部分（包括延长线）也必然在平面内，故C错误. D选项. 平面在数学中是一个没有厚度的、无限延展的二维概念.它仅仅是一个几何上的抽象概念，没有实际的物理厚度，故D正确.   故选：D. 2．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的为（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【分析】根据题意，结合空间内的线线关系、线面关系、面面关系的判定定理及性质定理，即可判断求解. 【详解】若，，则或，故选项A错误； 若，，，则或，故，或相交都有可能，故选项B错误； 若，，则，又，故一定成立，故选项C正确； 若，，，则，或斜交都有可能，故选项D错误； 故选：C. 3．如图，在四棱锥中，，分别为，上的点，且平面，则（    ）    A． B． C． D．以上均有可能 【答案】B 【分析】由平面，通过线面平行推导线线平行即可. 【详解】平面，平面，平面平面， ， 故B正确， ，故与均不平行， 故B、C、D项错误. 故选：B． 4．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则． 其中正确命题的序号是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】A 【分析】根据题意，结合线面关系、面面关系的判定定理和性质定理，即可判断求解. 【详解】若，则一定成立，故①正确； 若，则，又，所以一定成立，故②正确； 若，则平行、相交、异面都有可能，故③错误； 若，则或相交，故④错误； 故正确的命题序号是①②. 故选：A. 5．若空间中两个角与的两边对应平行，当时，则等于（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】因为空间中两个角的两边对应平行,所以这两个角相等或互补即可求解. 【详解】∵与的两边对应平行， ∴或． 又∵， ∴或． 故选: D 6．如图，在四面体ABCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中不正确的是（    ）    A．M，N，P，Q四点共面 B． C． D．四边形MNPQ为梯形 【答案】D 【分析】由基本事实4即可判断A，由等角定理即可判断BC，由三角形的中位线即可判断D. 【详解】对于A选项，由条件可得，，所以，所以M，N，P，Q四点共面，故A正确； 对于B选项，根据等角定理，得，故B正确； 对于C选项，由等角定理，知，，所以，故C正确； 对于D选项，由三角形中位线的性质知，，，，所以，所以四边形MNPQ为平行四边形，故D不正确． 故选：D． 7．下列命题中不正确的是（    ） A．如果一条直线垂直于一个平面内的两条垂直直线，那么这条直线垂直于这个平面 B．如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面 C．如果一条直线垂直于一个平面内的任何一条直线，那么这条直线垂直于这个平面 D．如果一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线，那么这条直线垂直于这个平面 【答案】D 【分析】根据线面垂直的判定定理即可判断. 【详解】对于A,如果一条直线垂直于一个平面内的两条垂直直线,那么这条直线垂直于这个平面,故命题正确; 对于B,如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直,则这条直线垂直于这个平面,故命题正确; 对于C,如果一条直线垂直于一个平面内的任何一条直线,那么这条直线垂直于这个平面,故命题正确; 对于D,如果一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线,那么这条直线不一定垂直于这个平面,故命题错误; 故选：D 8．如图所示，正方体中，E、F分别是边AB、DC的中点，则异面直线EF与所成的角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角. 【详解】连接，可知， 则即为与所成的角， 为. 故选：D. 9．要使直线平面，只需l垂直于平面内（    ） A．两条不同直线 B．无数条直线 C．不平行的两条直线 D．不垂直的两条直线 【答案】C 【分析】根据线面垂直的判定定理求解即可. 【详解】根据线面垂直的判定定理可知，要使直线平面，只需l垂直于平面内两条相交直线，即不平行的两条直线. 故选：C. 10．在正方体中，直线与平面所成角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接交于，连接，则可证得即为所求，然后在直角三角形求解即可. 【详解】如图，连接交于，连接，    因为平面，在平面内， 所以 ，又，平面， 所以平面， 所以为直线和平面所成的角， 设正方体的棱长为1，则，又平面，故， 所以， 因为，所以， 所以直线和平面所成的角为， 故选：A 11．已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则（ ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若，，且异面，则 【答案】D 【分析】根据题意，结合空间内的线面关系和面面关系，即可判断求解. 【详解】对于A，若且， 与也有可能相交，如下图，故选项A错误； 对于B，若且，与也有可能相交，如下图，故选项B错误； 对于C，若且，可能或斜交，如下图，故选项C错误； 对于D，若，，且异面， 设，则，且在内相交，则一定成立，故选项D正确. 故选：D. 12．如图，在长方体中，，为的中点，则二面角的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】找出二面角的平面角，并求出其大小. 【详解】由长方体的性质可知平面，平面，平面， ∴，且， ∴为二面角的平面角． ∵，∴． 故选：B. 13．下面四个命题 ①如果一个平面内的两条直线平行于另一平面，那么这两个平面平行． ②如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行． ③分别在两个平行平面内的两条直线平行． ④已知两个平行平面中的一个平面内有一条直线，则在另一个平面内有且只有一条直线与已知直线平行． 其中正确命题的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两平面平行的判定与性质即可得解. 【详解】对①，一个平面内的两条相交直线平行另一个平面，则两个平面平行，①错误. 对②，如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行，②正确. 对③，两个平行平面内的直线不相交，则平行或异面，③错误. 对④，过两个平行平面内的一条直线有无数个平面与另一个平面相交，则该直线与交线都平行，④错误. 综上只有一个正确命题. 故选：. 14．如图在正方体中，下列结论错误的是（    ） A．平面 B．平面平面 C． D．平面平面 【答案】C 【分析】利用直线与平面垂直的判定定理、平面与平面平行的判定定理、平面与平面垂直的判定定理，利用直线平行判断异面直线所成角. 【详解】对于A，连接， 在正方体中，平面，且， 又；在平面，所以平面， 又平面，所以，同理，， 由平面，所以平面，选项A正确； 对于B，连接， 因为且，所以四边形为平行四边形，所以， 同理.又，，所以平面平面，选项B正确； 对于C，正方体的面对角线长相等，则为等边三角形，所以，又，所以与的夹角为，选项C错误； 对于D， 由A选项证明可知平面，又，所以平面， 又平面，所以平面平面，故选项D正确. 故选：C 15．襄阳一桥全称“襄阳江汉大桥”，于1970年正式通车，如图所示是一桥模型的一段，是由一个正方体和一个直三棱柱构成.其中，那么直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、，先证明，然后证明为等边三角形，然后可求夹角余弦值. 【详解】连接、， 因为为直三棱柱，为正方体，且， 则，， 则为平行四边形，则， 则直线与直线所成角为直线与所成的角. 又因为、、皆为正方形对角线， 则 ，则为等边三角形， 直线与所成的角为， 所以直线与直线所成角的余弦值为； 故选：D. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．如图所示，已知正方体，E，F分别是，上不重合的两个动点，给出下列四个结论： ①； ②平面平面； ③； ④平面平面； 其中，正确结论的序号是 ． 【答案】③④ 【分析】取E、F特殊位置可判定①②，根据线面垂直关系可判断③④. 【详解】对①：当,时，与不平行，则与不平行，故①错误； 对②：当,时，平面与平面不平行， 所以平面与平面不平行，故②错误； 对③：由正方体的特征可知：平面,平面，所以， 又，，平面,平面， 所以平面，由平面，所以，故③正确； 对④：由正方体的特征可知：平面,平面， 则平面平面，故④正确. 综上所述：正确结论的序号是③④. 故答案为：③④. 17．边长为的正方形沿对角线折叠成直二面角后，的长为 ． 【答案】 【分析】由二面角的定义及勾股定理即可得解. 【详解】 取的中点，连接. 在正方形中，． 则为二面角的平面角. 所以. 因为边长为，则. 所以. 在中， 所以. 故答案为：. 18．在正方体中，直线与直线所成角的大小为 【答案】 【分析】连接，，找到直线与直线所成的角，再由正方体的性质求出该角的大小即可. 【详解】连接，， 在正方体中，， 所以为直线与直线所成的角， 由正方体的性质可知，， 所以，即直线与直线所成的角为， 故答案为：. 19．如图所示，直三棱柱的体积为6，的面积为，则点A到平面的距离为 【答案】 【分析】根据三棱锥和三棱柱的体积关系求出三棱锥的体积，再利用等体积法即可得解. 【详解】因为三棱锥体积为乘以三棱柱的体积， 故， 设点A到平面的距离为， 则，解得. 故答案为：. 20．如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处，已知库底与水坝斜面所成的二面角为，测得从，到库底与水坝斜面的交线的距离分别为，，若，则甲，乙两人相距 . 【答案】 【分析】根据二面角的概念和余弦定理易得答案. 【详解】作，且，连结，， 则为平行四边形， ，，，平面， 平面且， 因为四边形为平行四边形， ， 平面， 平面， 中，， 中，. 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．如图，在直三棱柱 中，，点 是 的中点． (1)求证：； (2)求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线线垂直证明线面垂直，进而得到线线垂直； （2）根据线线平行证明线面平行即可； 【详解】（1）因为 ，所以 ； 又在直三棱柱 中，有 ， 因为，平面，平面， 所以 平面， 因为平面，所以； （2） 设 与 交于点 ，连接 ， 易知 是 的中点，又 是 的中点， 所以 ． 因为 平面，平面， 所以 平面． 22．如图，在正方体中，、分别是AB、AA1的中点. （1）证明：四边形EFD1C是梯形； （2）求异面直线EF与BC1所成角. 【答案】（1）证明见解析，（2） 【分析】（1）连接，则可得∥，，再由正方形的性质可得∥，，从而可证得四边形EFD1C是梯形； （2）连接，由∥，可得异面直线EF与BC1所成角，而为等边三角形，从而可求得结果 【详解】（1）证明：连接， 因为、分别是AB、AA1的中点， 所以∥，， 因为在正方体中，∥，， 所以四边形为平行四边形， 所以∥，， 所以∥，， 所以四边形EFD1C是梯形； （2）连接， 由（1）得∥， 所以异面直线EF与BC1所成角， 因为为等边三角形， 所以， 所以异面直线EF与BC1所成角为 23．四棱锥的底面是正方形，底面，点在棱上． (1)求证：平面平面； (2)当且为的中点时，求与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由,证平面，即可证明平面平面. （2）设 连结，找出是与平面所成角，再在求解的角度即可. 【详解】（1）证明： 底面， 是正方形，     又 平面， 平面，， 平面，又 平面，    平面平面. （2）设 连结, 平面   是与平面所成角， 为的中点，为的中点，，      , 又 是正方形， , 在直角中， , . 所以，与平面所成角为. 24．如图，正四棱柱，， (1)求二面角的平面角的正切值； (2)求四棱锥的体积. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）由题可得平面，则有，从而是二面角的平面角，在中可求解； （2）在正四棱柱中，可得平面，即得四棱锥的高为，据此可求解. 【详解】（1）正四棱柱中， 因为，，，都在平面内， 所以平面. 因为平面， 所以. 所以是二面角的平面角. 在中，； （2）正四棱柱中， 因为，，都在平面内， 所以平面. 所以四棱锥的体积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $