第四章 立体几何（A卷·考点梳理卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块一上册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【四川专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。本专辑共10套。 本卷是第四章立体几何的考点梳理卷，主要梳理和考查了平面的概念及性质、直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系。 第四章 立体几何 目录 考点一 平面的特征和表示 1 考点二 平面的基本性质 2 考点三 共面直线-平行直线 3 考点四 共面直线-相交直线 4 考点五 异面直线的定义及判定 5 考点六 异面直线所成角 5 考点七 两条异面直线的距离 7 考点八 直线与平面平行 8 考点九 直线与平面垂直 9 考点十 直线与平面所成的角 11 考点十一 两平面平行 13 考点十二 二面角 14 考点十三 两平面垂直 16 考点一 平面的特征和表示 1．下列关于平面的说法正确的是（    ） A．平面是有边界的 B．平面的形状是平行四边形 C．圆可以表示平面 D．平面是有面积的 【答案】C 【分析】根据平面的定义即可判断. 【详解】数学中的平面具有平和无限延展的特征，平面没有面积，AD项错误． 通常用平行四边形、三角形、圆等平面图形来表示平面， 但不能说平面的形状是平行四边形，B项错误，C项正确． 故选：C. 2. 如图，下列选项不能表示该平面的是（    ）    A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】B 【分析】根据平面的表示方法即可判断. 【详解】解：平面可以用小写希腊字母、、、…表示，A项正确． 平面可以用多边形的顶点字母表示，也可选用其中一组对角的顶点字母表示平面， ∴平行四边形所在的平面可表示为平面或平面，C、D项正确． 平行四边形所在的平面不可以用某条边的顶点字母表示，B项不正确． 故选：B. 考点二 平面的基本性质 3．下列命题不正确的是（　　） A．不在同一直线上的三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．两条平行直线确定一个平面 D．两条相交直线确定一个平面 【答案】B 【分析】根据平面的基本性质即可求解. 【详解】对于A：不在同一直线上的三点确定一个平面，故A正确； 对于B：一条直线和直线外一点确定一个平面，故B错误； 对于C：两条平行直线可确定一个平面，故C正确； 对于D：两条相交直线确定一个平面，故D正确． 故选：B． 4. 用符号表示下列点、线、面的关系. （1）直线a与直线b相交于点M； （2）直线a与平面相交于点N； （3）平面与平面相交于直线l. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】直线与直线，直线与平面相交为点，平面与平面相交为直线. 【详解】（1）直线a与直线b相交于点M, 用符号表示为： （2）直线a与平面相交于点N, 用符号表示为： （3）平面与平面相交于直线l, 用符号表示为： 考点三 共面直线-平行直线 5. 已知，其中是直线，则直线与的位置关系是（    ）. A．相交 B．平行 C．异面 D．以上均可能 【答案】B 【分析】利用平行线的传递性即可得解. 【详解】因为，是直线， 所以由平行线的传递性可知，故B正确. 故选：B. 6. 如图，在三棱锥中，M，N，E，F分别为棱SA，SC，AB，BC的中点，试判断直线MN与直线EF是否平行． 【答案】平行 【分析】根据给定条件可得MN//AC，EF//AC，再借助平行公理即可判断作答. 【详解】在三棱锥中，M，N分别为棱SA，SC的中点，则有MN//AC， 而E，F分别为棱AB，BC的中点，则有EF//AC， 由平行公理得：MN//EF， 所以直线MN与直线EF平行． 考点四 共面直线-相交直线 7. 设与的两边分别平行，若，则 . 【答案】或 【分析】由等角定理即可解得. 【详解】解：一个角的两边平行于另外一个角的两边， 则这两个角相等或互补. 所以 或. 故答案为：或. 8. 在正方体中，求与所成角的大小．    【答案】． 【分析】连接，在等边三角形中求角的大小即可. 【详解】    连接，在正方体中，设正方体边长为， 为正方形的对角线，则有； 为正方形的对角线，则有； 为正方形的对角线，则有； ∴为等边三角形， ∴与所成的角的大小为． 考点五 异面直线的定义及判定 9. “直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据直线与直线得位置关系和异面直线的概念即可求解. 【详解】若“直线a，b没有公共点”，则“或a，b互为异面直线”； 若“直线a，b互为异面直线”，则一定能得到“直线a，b没有公共点”． 所以“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的必要不充分条件. 故选：B. 10. 在下列四个图中,分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线是异面直线的图形有 ．（填序号） 【答案】②④ 【分析】根据题意,由正三棱柱的特征,再结合异面直线的定义即可判断. 【详解】图①中,直线; 图②中,三点共面,但平面,所以直线与异面, 图③中,,所以与共面; 图④中,共面,但平面,所以与异面. 故答案为: ②④ 考点六 异面直线所成角 11. 如图所示，在正方体中，E，F分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为 ． 【答案】/ 【分析】利用，，得到异面直线与所成的角，然后根据为等边三角形可求角. 【详解】连接，，因为为正方体， 所以为等腰三角形，且E，F分别是，的中点， 所以， 又因为与平行且相等， 所以为平行四边形，所以， 所以异面直线与所成的角即与所成的角或其补角， 连接，因为、、都是正方形对角线， 所以为等边三角形， 所以； 故答案为：. 12. 已知长方体中，，，求异面直线与所成角的大小. 【答案】 【分析】先将异面直线所成角转化为相交直线所成角，再由边的关系即可求解. 【详解】， 为与所成角的平面角（或补角）， 在中，，， ，     ，   即异面直线与所成角为.    考点七 两条异面直线的距离 13. 棱长为1的正方体中，异面直线与之间的距离为 ． 【答案】1 【分析】找到异面直线的公垂线段，即可求解. 【详解】    由正方体的性质可得，． 又∵，， ∴线段是异面直线与的公垂线段， ∴异面直线与之间的距离为1． 故答案为：1. 14. 如图,在正方体中，求： (1)异面直线与的距离； (2)异面直线与所成的角． 【答案】(1) (2) 【分析】1）将异面直线之间的距离转化为平面之间的距离即可解得. （2）将异面直线所成的角转化为三角形中的角，根据已知进行判断即可解得. 【详解】（1）由题，平面，平面， 又知为正方体， 则平面平面， 故异面直线之间的距离即为所在平面之间的距离， 则异面直线与的距离即为. （2）连接， 在正方体中，， 即，又，故为平行四边形，则， 故异面直线所成的角即为， 设正方体边长为，则， 故为等边三角形，即， 故所求异面直线所成的角为 考点八 直线与平面平行 15. 在如图所示长方体中：    （1）与直线平行的平面有 ； （2）与直线平行的平面有 ； （3）与直线平行的平面有 . 【答案】 平面，平面 平面，平面 平面，平面 【分析】观察图形，根据正方体的特征和线面平行的判定即可求解. 【详解】解：（1）与直线平行的平面有：平面，平面； （2）与直线平行的平面有：平面，平面； （3）与直线平行的平面有：平面，平面. 故答案为：平面，平面；平面，平面；平面，平面. 16. “直线与平面内的无数条直线平行”是“直线平行于平面”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用线面平行的定义，结合空间想象与充分必要条件的知识即可得解. 【详解】如果直线与平面内的无数条直线平行，那么直线平行于平面或直线在平面内. 则命题“如果直线与平面内的无数条直线平行，那么直线平行于平面”是假命题， 其逆命题“如果直线平行于平面，那么直线与平面内的无数条直线平行”是真命题， 所以“直线与平面内的无数条直线平行”是“直线平行于平面”的必要不充分条件. 故选：B. 考点九 直线与平面垂直 17. 如图所示，平面，且，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．平面 D．平面 【答案】D 【分析】由直线与平面垂直的判定定理、直线与平面垂直的性质定理即可求解. 【详解】对于A，平面，平面，，故A正确； 对于B，平面，平面，，故B正确； 对于C，平面，平面，，又， ， 又，平面，平面，平面，故C正确； 对于D，，，，则直线与直线不垂直，平面错误，故D错误. 故选：D 18. 如图所示，在正方形中，，平面，且，求：P到直线的距离 【答案】 【分析】利用线面垂直的判定与性质定理推得为到直线的距离，再由勾股定理求出的长，从而得解. 【详解】连接交于点O，连接， 因为为正方形，所以， 因为平面，且平面， 所以，， 又因为且平面， 所以平面，因为平面， 所以，即为到直线的距离， 由，，，， 所以，即P到直线的距离为. 考点十 直线与平面所成的角 19. 正方体的棱长为2，下列结论正确的是（   ） A．异面直线与所成角为 B．与平面所成角为 C．与的夹角是 D．与平面所成的角为 【答案】D 【分析】根据题意，结合正方体的结构特征，异面直线所成角的概念，直线与平面所成角，线面平行和线面垂直的判定定理和性质定理，即可判断求解. 【详解】 因为正方体中，平面， 又平面，所以， 即异面直线与所成角为，故选项A错误； 连接，因为，即为平行四边形， 则， 又平面，平面， 所以平面，即与平面所成角为，故选项B错误； 因为，所以是等边三角形， 所以，即与的夹角是，故选项C错误； 因为在正方体中，平面， 所以即是直线与平面所成的角， 又，即直线与平面所成的角是，故选项D正确； 故选：D. 20. 如图所示，在正方体中，求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】 【分析】根据直线与平面所成的角的定义确定直线与平面所成角，连接BD，设正方体的棱长为1，在中即可求得直线与平面所成角的余弦值. 【详解】 连接BD，在正方体中，因为平面， 所以是直线与平面所成角， 设正方体的棱长为1， 则，， 在中，， 故直线与平面所成角的余弦值为． 考点十一 两平面平行 21. 如图所示，已知长方体，则： （1）与平面平行的平面是 ； （2）与平面平行的平面是 ； （3）与平面平行的平面是 . 【答案】 平面. 平面. 平面. 【分析】根据两平面平行的定义即可作答. 【详解】两平面平行的定义： 如果两个平面没有公共点，我们说这两个平面互相平行，一个平面称为另一个平面的平行平面. （1）平面与平面没有公共点， 所以与平面平行的平面是平面 （2）平面与与平面没有公共点， 所以与平面平行的平面是平面. （3）平面与平面没有公共点， 所以与平面平行的平面是平面. 故答案为：平面；平面；平面. 22. 如图所示，在三棱柱中，、、、分别是、、、的中点，求证：平面平面．    【答案】证明见解析 【分析】先证明，得到平面，再证明，得到平面，最后由面面平行的判定定理即可证明． 【详解】∵、分别是、的中点， ∴， 又∵平面，平面， ∴平面． ∵，且， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵平面，平面， ∴平面, ∵，平面，平面， ∴平面平面． 考点十二 二面角 23. 若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是（    ） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不确定 【答案】C 【分析】根据二面角的概念判断. 【详解】若方向相同，则两个二面角相等；若方向相反，则两个二面角互补． 故选：C. 24. 在长方体中，已知，求: (1)二面角的大小; (2)二面角的正切值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，根据长方体的性质得出平面和，再由线面垂直的定义可得，得出为二面角的平面角，再由的正切值确定的大小即可. （2）作垂足为，连接，根据线面垂直的判定定理得出，得出为二面角的平面角，再由等面积法求出的值，即可求出二面角的正切值. 【详解】（1）连接， 是长方体， 平面，， 平面， ， 为二面角的平面角， ，又， ， ，， 二面角的大小为. （2）作垂足为，连接， 是长方体， 平面， 平面， ， 与是平面的两条相交直线， 平面，平面， ， 为二面角的平面角， ，， ，， 则，解得， 平面，平面， ， . 考点十三 两平面垂直 25. 空间四边形中，若，，那么有（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】D 【分析】由线线垂直证明线面垂直进而证明面面垂直. 【详解】∵，，，平面，平面，∴平面， ∵平面， ∴平面平面． 故选:D. 26. 如图所示，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，是的中点，底面，. (1)求证：平面平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作辅助线，得到线线垂直，进而得到线面垂直，再根据线面垂直证明面面垂直. （2）由三棱锥的体积公式求解即可. 【详解】（1） 如图所示，连接BD， 由是菱形，且知，是等边三角形， 因为是的中点，所以， 又因为，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面； （2）因为平面，所以平面， 所以是三棱锥的高， 在等边三角形中，因为，所以， 所以， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【四川专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。本专辑共10套。 本卷是第四章立体几何的考点梳理卷，主要梳理和考查了平面的概念及性质、直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系。 第四章 立体几何 目录 考点一 平面的特征和表示 1 考点二 平面的基本性质 2 考点三 共面直线-平行直线 2 考点四 共面直线-相交直线 2 考点五 异面直线的定义及判定 3 考点六 异面直线所成角 3 考点七 两条异面直线的距离 4 考点八 直线与平面平行 4 考点九 直线与平面垂直 5 考点十 直线与平面所成的角 5 考点十一 两平面平行 6 考点十二 二面角 6 考点十三 两平面垂直 7 考点一 平面的特征和表示 1．下列关于平面的说法正确的是（    ） A．平面是有边界的 B．平面的形状是平行四边形 C．圆可以表示平面 D．平面是有面积的 2．如图，下列选项不能表示该平面的是（    ）    A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 考点二 平面的基本性质 3．下列命题不正确的是（　　） A．不在同一直线上的三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面 C．两条平行直线确定一个平面 D．两条相交直线确定一个平面 4. 用符号表示下列点、线、面的关系. （1）直线a与直线b相交于点M； （2）直线a与平面相交于点N； （3）平面与平面相交于直线l. 考点三 共面直线-平行直线 5. 已知，其中是直线，则直线与的位置关系是（    ）. A．相交 B．平行 C．异面 D．以上均可能 6. 如图，在三棱锥中，M，N，E，F分别为棱SA，SC，AB，BC的中点，试判断直线MN与直线EF是否平行． 考点四 共面直线-相交直线 7. 设与的两边分别平行，若，则 . 8. 在正方体中，求与所成角的大小．    考点五 异面直线的定义及判定 9. “直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10. 在下列四个图中,分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线是异面直线的图形有 ．（填序号） 考点六 异面直线所成角 11. 如图所示，在正方体中，E，F分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为 ． 12. 已知长方体中，，，求异面直线与所成角的大小. 考点七 两条异面直线的距离 13. 棱长为1的正方体中，异面直线与之间的距离为 ． 14. 如图,在正方体中，求： (1)异面直线与的距离； (2)异面直线与所成的角． 考点八 直线与平面平行 15. 在如图所示长方体中：    （1）与直线平行的平面有 ； （2）与直线平行的平面有 ； （3）与直线平行的平面有 . 16. “直线与平面内的无数条直线平行”是“直线平行于平面”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点九 直线与平面垂直 17. 如图所示，平面，且，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．平面 D．平面 18. 如图所示，在正方形中，，平面，且，求：P到直线的距离 考点十 直线与平面所成的角 19. 正方体的棱长为2，下列结论正确的是（   ） A．异面直线与所成角为 B．与平面所成角为 C．与的夹角是 D．与平面所成的角为 20. 如图所示，在正方体中，求直线与平面所成角的余弦值． 考点十一 两平面平行 21. 如图所示，已知长方体，则： （1）与平面平行的平面是 ； （2）与平面平行的平面是 ； （3）与平面平行的平面是 . 22. 如图所示，在三棱柱中，、、、分别是、、、的中点，求证：平面平面．    考点十二 二面角 23. 若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是（    ） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不确定 24. 在长方体中，已知，求: (1)二面角的大小; (2)二面角的正切值. 考点十三 两平面垂直 25. 空间四边形中，若，，那么有（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 26. 如图所示，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，是的中点，底面，. (1)求证：平面平面； (2)求三棱锥的体积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $