第三章 圆锥曲线（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块一上册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【四川专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。本专辑共10套。 本卷是第三章圆锥曲线的单元测试卷，主要考查椭圆、双曲线、抛物线。 第三章 圆锥曲线 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．到点与点距离之和为10的点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．直线与椭圆的交点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．0个 D．不确定 3．若双曲线的标准方程是，则该双曲线的焦点坐标是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 5．若双曲线与椭圆有公共焦点，且，则a的值为（    ） A．2 B． C． D．6 6．已知圆与抛物线的准线相切，则p的值（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．椭圆的焦点在y轴上，长轴是短轴的两倍，则m的值为（    ） A． B． C．2 D．4 8．双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 9．抛物线的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 10．椭圆的离心率为，则k的值为（    ） A．4或 B．或4 C． D．4 11．中心在坐标原点，一个焦点坐标是，一条渐近线方程为的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 12．已知抛物线的焦点坐标为，则此抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 13．点F为椭圆：的右焦点，直线：与椭圆C交于两点，为坐标原点，为正三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 14．双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 15．已知直线与抛物线相交于､两点，是坐标原点，为抛物线的弧上任意点，则下列说法正确的是（    ） A．的面积最大值为 B．的面积最大值为 C．当的面积最大时，点坐标为 D．当的面积最大时，点坐标为 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．双曲线的渐近线方程为 . 17．抛物线的焦点到其准线的距离为 ． 18．短轴长为4，离心率的椭圆的标准方程为 ． 19．双曲线的焦点坐标是 ； 20．若是抛物线上一动点，则到直线的最短距离是 . 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知椭圆过点，过其左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，求： (1)椭圆的标准方程； (2)的面积.（是椭圆右焦点） 22．双曲线（a>0，b>0），圆D:，双曲线与圆交于M（3，4），双曲线的一条渐近线为 (1)求双曲线的方程 (2)点P为圆与y轴正半轴交点，过点P的直线l交双曲线于A、B两点，且，求l的方程 23．已知抛物线的焦点为. (1)求抛物线的标准方程； (2)求抛物线上的点到直线的最小距离. 24．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，经过点且与x轴不重合的直线交椭圆E于A，B两点，的周长为8． (1)求椭圆E的标准方程； (2)若直线与椭圆E相交于C，D两点，求： ①弦的长； ②四边形的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【四川专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。本专辑共10套。 本卷是第三章圆锥曲线的单元测试卷，主要考查椭圆、双曲线、抛物线。 第三章 圆锥曲线 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．到点与点距离之和为10的点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义解答即可. 【详解】因为平面内到两个定点的距离之和等于常数的动点轨迹是椭圆，且常数大于两个定点的距离， 根据题意可知此动点的轨迹为椭圆，且焦点坐标是，，， 即有， 所以轨迹方程为， 故选：A. 2．直线与椭圆的交点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．0个 D．不确定 【答案】B 【分析】由题意联立直线与椭圆方程根据根的判别式求解交点即可. 【详解】将直线方程与椭圆方程联立， 消去并整理得关于的一元二次方程：， 因为方程根的判别式， 所以方程有两个不相等的实根， 从而直线与椭圆有两个不同交点. 故选：B. 3．若双曲线的标准方程是，则该双曲线的焦点坐标是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据双曲线的标准方程，先求出的值，继而求出c的值，即可求出焦点坐标． 【详解】因为双曲线的标准方程是， 所以，且焦点在x轴上， 所以， 所以该双曲线的焦点坐标是和． 故选：C． 4．已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据椭圆的标准方程求焦点，再根据焦点求抛物线的标准方程，再根据抛物线标准方程求准线. 【详解】∵抛物线的焦点在轴的正半轴上， ∴抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合， 由椭圆的标准方程可知，， ∴，即， ∴右焦点坐标为， ∴抛物线的焦点坐标是，即， ∴抛物线的准线方程为． 故选:D. 5．若双曲线与椭圆有公共焦点，且，则a的值为（    ） A．2 B． C． D．6 【答案】A 【分析】先求出椭圆的焦点坐标，即可求解双曲线的焦点坐标即可求解a的值. 【详解】因为双曲线为与椭圆有公共焦点， 所以，解得， 所以焦点坐标为，， 所以，为双曲线的焦点， 所以，解得，. 故选:A. 6．已知圆与抛物线的准线相切，则p的值（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先求出已知圆的圆心坐标和半径4，及抛物线的准线方程，再根据圆心到准线的距离等于半径即可求得的值 【详解】圆可化为， 故该圆的圆心坐标为，半径， 抛物线的准线方程为， 因为圆与抛物线的准线相切， 所以圆心到准线的距离等于半径， 即，解得，因此选项B正确. 故选：B. 7．椭圆的焦点在y轴上，长轴是短轴的两倍，则m的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据椭圆的标准方程即可求解. 【详解】化简得，由椭圆的焦点在y轴上有； 由长轴是短轴的两倍得，即．将两边平方，得， 则，则. 故选：B. 8．双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的渐近线方程可求解. 【详解】由题意知 ，故其渐近线方程为. 故选：A 9．抛物线的对称轴是直线（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线方程即可求解. 【详解】因为抛物线方程为，开口方向向上，焦点在轴上， 所以其关于轴对称，即对称轴为直线， 故选：D． 10．椭圆的离心率为，则k的值为（    ） A．4或 B．或4 C． D．4 【答案】B 【分析】按椭圆的焦点在轴和轴分类讨论，结合离心率公式求解k的值即可. 【详解】椭圆的离心率为， 当椭圆的焦点在轴上，则，即， 由，解得； 当椭圆的焦点在轴上，则，即， 由，解得. 故选：B. 11．中心在坐标原点，一个焦点坐标是，一条渐近线方程为的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据焦点坐标求得c，再根据渐近线方程求得，代入中即可求出a、b的值，从而确定双曲线的方程. 【详解】解：由焦点坐标，得且焦点在x轴， 由渐近线方程得， 即，且 ， 则双曲线方程为. 故选：B. 12．已知抛物线的焦点坐标为，则此抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的焦点坐标求参数，即可得到抛物线的标准方程. 【详解】∵抛物线的焦点坐标为， 而题目已知焦点坐标为 ∴，解得 ∴此抛物线的标准方程为． 故选：D. 13．点F为椭圆：的右焦点，直线：与椭圆C交于两点，为坐标原点，为正三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正三角形的性质求出点A 的坐标，代入椭圆方程，然后转化成关于离心率e的方程即可求解. 【详解】因为为正三角形，，不妨设A在第一象限，所以， 因为点A在椭圆上，代入得， 因为， 所以， 因为，所以上式可转化为， 通分化简得， 根据求根公式得， 因为，故解得． 故选：A． 14．双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将双曲线方程转化为标准方程，从而得到，再利用离心率公式即可得解. 【详解】因为双曲线可化为， 由题意得，，则，， 所以该双曲线的离心率为. 故选：D. 15．已知直线与抛物线相交于､两点，是坐标原点，为抛物线的弧上任意点，则下列说法正确的是（    ） A． 的面积最大值为 B．的面积最大值为 C．当的面积最大时，点坐标为 D．当的面积最大时，点坐标为 【答案】D 【分析】设，根据直线与抛物线相交于､两点，联立，求得为定值，则要使的面积最大，只要点到的距离最大，然后用导数法求得点P的坐标即可. 【详解】设，过点与平行的直线为， ∵直线与抛物线相交于､两点， 联立得：，， ，，，为定值， 要使的面积最大，只要点到的距离最大， 而点是抛物线的弧上的一点， ∴点是抛物线上平行于直线的切线的切点， 由图知点在轴上方，，， 由题意知， ∴，即， ∴， ∴，此时点到的距离， ， 故选：D. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．双曲线的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】通过双曲线方程，直接求解双曲线的渐近线方程. 【详解】把方程化成双曲线的标准方程为. 由此可知，双曲线的实半轴长， 虚半轴长， 所以渐近线方程为. 故答案为：. 17．抛物线的焦点到其准线的距离为 ． 【答案】2 【分析】根据抛物线标准方程求解即可； 【详解】，所以， 则抛物线的焦点到准线的距离为2． 故答案为：2 18．短轴长为4，离心率的椭圆的标准方程为 ． 【答案】或 【分析】利用短轴长与离心率得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】因为椭圆的短轴长为4，离心率， 所以，解得，则， 当椭圆焦点在轴上时，椭圆的标准方程为； 当椭圆焦点在轴上时，椭圆的标准方程为； 综上，椭圆的标准方程为或. 故答案为：或. 19．双曲线的焦点坐标是 ； 【答案】和 【分析】由双曲线的方程求出和，结合，即可写出其焦点坐标. 【详解】因为双曲线， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以双曲线的焦点坐标是. 故答案为：和. 20．若是抛物线上一动点，则到直线的最短距离是 . 【答案】0 【分析】设点，由点到直线的距离公式表示出到直线的距离，再进行配方，根据即可确定最短距离. 【详解】已知是抛物线上一动点， 设点，则到直线的距离为， 因为，所以， 则，所以， 即到直线的最短距离是0， 故答案为：0. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知椭圆过点，过其左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，求： (1)椭圆的标准方程； (2)的面积.（是椭圆右焦点） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用焦点坐标可得，且椭圆焦点在x轴上，由椭圆过点得，利 用之间的关系求出，即可求解； （2）由题意得出直线方程，与椭圆联立方程组，利用韦达定理求出，结合点到直线的距离公式求出点到直线的距离，根据三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）因为椭圆左焦点为， 所以焦点在x轴上，且， 设椭圆标准方程为， 又椭圆过点，所以， 所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）因为直线过点，且倾斜角为，故， 故直线方程为，即， 设点， 联立，消掉得， 所以， 所以 , 又点到直线的距离为， 所以. 22．双曲线（a>0，b>0），圆D:，双曲线与圆交于M（3，4），双曲线的一条渐近线为 (1)求双曲线的方程 (2)点P为圆与y轴正半轴交点，过点P的直线l交双曲线于A、B两点，且，求l的方程 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的渐近线和一个点易得答案； （2）根据向量关系找到根的关系，联立方程组利用韦达定理易得答案. 【详解】（1）因为， 所以设双曲线的方程为，因为双曲线与圆交于， 所以， 所以双曲线的方程为； （2）设， 因为， 所以圆：，所以，设直线的方程为， 所以， 因为， 联立方程， 根的判别式为 所以， 所以， 所以. 23．已知抛物线的焦点为. (1)求抛物线的标准方程； (2)求抛物线上的点到直线的最小距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由焦点坐标求出，即可求解抛物线的标准方程； （2）利用直线与抛物线相切得出抛物线的切线方程，切线方程与已知直线之间的距离即为抛物线上的点到直线的最小距离，结合两平行直线间的距离公式即可求解. 【详解】（1）因为抛物线的焦点为， 所以， 故抛物线的标准方程为. （2）设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为， 所以联立方程组得， 消掉得， 由，即， 故抛物线的切线方程为， 所以抛物线上的点到直线的最小距离为. 24．已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，经过点且与x轴不重合的直线交椭圆E于A，B两点，的周长为8． (1)求椭圆E的标准方程； (2)若直线与椭圆E相交于C，D两点，求： ①弦的长； ②四边形的面积． 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）由椭圆的定义可得的值，再由离心率可得的值，进而求出的值，求出椭圆的方程. （2）①将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两根之和及两根之积，代入弦长公式可得弦长的值； ②由①可得的纵坐标的差的绝对值，代入四边形的面积公式可得其面积. 【详解】（1）由题意可得， 解得：， 所以椭圆方程：. （2）①设， 联立整理可得：， ，所以 ②由①可得： 所以， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $