第三章 圆锥曲线（A卷·考点梳理卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块一上册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【四川专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。本专辑共10套。 本卷是第三章圆锥曲线的考点梳理卷，主要梳理和考查了椭圆、双曲线、抛物线。 第三章 圆锥曲线 目录 考点一 椭圆的概念及标准方程 1 考点二 椭圆的范围及对称性 1 考点三 椭圆的顶点及离心率 2 考点四 椭圆与直线 2 考点五 双曲线的定义及标准方程 2 考点六 双曲线的范围及对称性 2 考点七 双曲线的顶点、渐近线及离心率 3 考点八 双曲线与直线 3 考点九 抛物线的概念及标准方程 4 考点十 抛物线的范围及对称性 4 考点十一 抛物线的顶点及离心率 4 考点十二 抛物线与直线 5 考点一 椭圆的概念及标准方程 1．方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．长轴长为12，短轴长为10，焦点在y轴的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 考点二 椭圆的范围及对称性 3．椭圆的长轴长．短轴长．焦距依次是（   ） A．5，3，4 B．10，6，4 C．5，3，8 D．10，6，8 4. 点P是椭圆上一点，则点P与两个焦点构成的的周长为 ． 考点三 椭圆的顶点及离心率 5. 椭圆的顶点坐标为（   ） A．，，， B．，，， C．， D．， 6. 已知椭圆的焦距是2，则离心率e的值是（     ） A． B．或 C．或 D．或 考点四 椭圆与直线 7. 已知椭圆有两个顶点在直线上，则该椭圆的焦点坐标是 ． 8. 椭圆的左、右焦点、且，椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程； (2)已知直线与椭圆交于、两点，求（为原点）的面积. 考点五 双曲线的定义及标准方程 9. 若方程表示双曲线，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10. 双曲线的实轴长与虚轴长之比为 ． 考点六 双曲线的范围及对称性 11. 已知双曲线的焦点分别是、是双曲线上一点，且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 12. 下图是一个“双曲狭缝”模型，直杆沿着与它不平行也不相交的轴旋转时形成双曲面，双曲面的边缘为双曲线．已知该模型左、右两侧的两段曲线(曲线AB与曲线CD)所在的双曲线离心率为2，曲线AB与曲线CD中间最窄处间的距离为10cm，点A与点C，点B与点D均关于该双曲线的对称中心对称，且|AB|＝30cm，则|AD|＝（    ）    A．10cm B．20cm C．25cm D．30cm 考点七 双曲线的顶点、渐近线及离心率 13. 双曲线的顶点坐标是( ) A．       B．  C．       D． 14. 求双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程． 考点八 双曲线与直线 15. 已知双曲线的一个焦点为，它的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的标准方程是 ． 16. 已知双曲线与椭圆有公共焦点，且双曲线离心率为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线过双曲线的上顶点，求直线被双曲线所截的线段的长度. 考点九 抛物线的概念及标准方程 17. 若抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且焦点在直线上，则抛物线的标准方程是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 18. 若点到直线的距离比它到点的距离小2，则点的轨迹方程是 ． 考点十 抛物线的范围及对称性 19. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，点为抛物线准线与其对称轴的交点，则的面积为 A． B． C． D． 20. 探照灯、汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是拋物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．根据光路可逆图，在平面直角坐标系中，抛物线，一条光线经过，与轴平行射到抛物线上，经过两次反射后经过射出，则 ，光线从点到经过的总路程为 ． 考点十一 抛物线的顶点及离心率 21. 抛物线的顶点坐标为 ． 22. 已知抛物线的方程为，其图象过点． (1)求实数p的值； (2)求抛物线的焦点坐标和准线方程． 考点十二 抛物线与直线 23. 已知抛物线，直线l：，则抛物线上一动点P到直线l的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 24. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为2. (1)求拋物线方程； (2)直线与拋物线相交于，两点，求的长. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【四川专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。本专辑共10套。 本卷是第三章圆锥曲线的考点梳理卷，主要梳理和考查了椭圆、双曲线、抛物线。 第三章 圆锥曲线 目录 考点一 椭圆的概念及标准方程 1 考点二 椭圆的范围及对称性 2 考点三 椭圆的顶点及离心率 3 考点四 椭圆与直线 3 考点五 双曲线的定义及标准方程 5 考点六 双曲线的范围及对称性 5 考点七 双曲线的顶点、渐近线及离心率 6 考点八 双曲线与直线 7 考点九 抛物线的概念及标准方程 9 考点十 抛物线的范围及对称性 9 考点十一 抛物线的顶点及离心率 11 考点十二 抛物线与直线 12 考点一 椭圆的概念及标准方程 1．方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用焦点在轴上的椭圆标准方程的特征列不等式组可求. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 则有，，解得， 即的范围是， 故选：C. 2. 长轴长为12，短轴长为10，焦点在y轴的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件求出，再根据椭圆的标准方程求解即可. 【详解】因为长轴长为12，短轴长为10， 所以. 因为焦点在y轴， 所以椭圆的标准方程为. 故选：D. 考点二 椭圆的范围及对称性 3．椭圆的长轴长．短轴长．焦距依次是（   ） A．5，3，4 B．10，6，4 C．5，3，8 D．10，6，8 【答案】D 【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质判断即可. 【详解】因为椭圆为，即标准方程为， 所以，所以，所以长轴长，短轴长， 焦距. 故选：D. 4. 点P是椭圆上一点，则点P与两个焦点构成的的周长为 ． 【答案】34 【分析】根据椭圆的定义及标准方程，可求出的值，结合题意，即可求解． 【详解】因为椭圆方程为， 所以， 的周长为． 故答案为：34． 考点三 椭圆的顶点及离心率 5. 椭圆的顶点坐标为（   ） A．，，， B．，，， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据椭圆的几何性质求解即可. 【详解】因为椭圆的方程为，所以， 即，椭圆焦点在轴上， 所以其顶点为，，，. 故选：A. 6. 已知椭圆的焦距是2，则离心率e的值是（     ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】分焦点在轴与轴上两种情况进行讨论，分别计算离心率. 【详解】因为椭圆的焦距是2，所以， 当椭圆焦点在轴上，，所以， 当椭圆焦点在轴上，，所以. 故选：B. 考点四 椭圆与直线 7. 已知椭圆有两个顶点在直线上，则该椭圆的焦点坐标是 ． 【答案】 【分析】先求出直线与坐标轴交点，利用椭圆的关系求焦点即可. 【详解】，当时，，当时，， 则直线与轴交点，与轴交点， 则，， 则该椭圆的焦点坐标是. 故答案为：. 8. 椭圆的左、右焦点、且，椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程； (2)已知直线与椭圆交于、两点，求（为原点）的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由焦距和离心率可确定的值，再由求出的值，即可确定椭圆的方程. （2）将直线方程与椭圆方程联立，求出两点的坐标，再由两点之间的距离公式和点到直线的距离公式求值即可. 【详解】（1）已知椭圆， 由，可得，， 由离心率，得，解得， 所以， 所以椭圆方程为. （2）已知直线，即， 联立方程组得， 即，整理得， 解得，， 所以， 则， 又原点到直线的距离为， 所以的面积为. 考点五 双曲线的定义及标准方程 9. 若方程表示双曲线，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义分析即可. 【详解】因为双曲线方程为， 得，解得， 所以k的取值范围是. 故选:A. 10. 双曲线的实轴长与虚轴长之比为 ． 【答案】 【分析】先将双曲线方程转化为标准方程，得到实轴长与虚轴长，即可求解. 【详解】∵双曲线的标准方程为， ∴，，即，. ∴实轴长与虚轴长之比． 故答案为：. 考点六 双曲线的范围及对称性 11. 已知双曲线的焦点分别是、是双曲线上一点，且，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义，即可求解标准方程. 【详解】由题意得双曲线的焦点在轴上， 可设双曲线的标准方程为， ∵双曲线的焦点分别为、，∴， 又∵，∴， ∴， ∴双曲线的标准方程为. 故选:C. 12. 下图是一个“双曲狭缝”模型，直杆沿着与它不平行也不相交的轴旋转时形成双曲面，双曲面的边缘为双曲线．已知该模型左、右两侧的两段曲线(曲线AB与曲线CD)所在的双曲线离心率为2，曲线AB与曲线CD中间最窄处间的距离为10cm，点A与点C，点B与点D均关于该双曲线的对称中心对称，且|AB|＝30cm，则|AD|＝（    ）    A．10cm B．20cm C．25cm D．30cm 【答案】B 【分析】由离心率求出双曲线方程，由对称性设出点A，B，D坐标，求出坐标，求出答案. 【详解】由题意得：，解得：，因为离心率，所以，，故双曲线方程为，设 ，则，，则，所以，则，解得：，故. 故选：B 考点七 双曲线的顶点、渐近线及离心率 13. 双曲线的顶点坐标是( ) A．       B．  C．       D． 【答案】B 【详解】由题可知，该双曲线焦点在x轴上，所以顶点坐标为(−4,0),(4,0)   故选：B 14. 求双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程． 【答案】答案见解析 【分析】 先判断焦点在哪一个坐标轴上，再确定a、b、c的值，根据双曲线的几何性质求解即可． 【详解】解：由题意可知双曲线的焦点在y轴上，且，， ∴，， ∴双曲线的实轴长，虚轴长，焦点坐标为、，顶点坐标为、， 离心率 ∴，即渐近线方程为. 考点八 双曲线与直线 15. 已知双曲线的一个焦点为，它的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的标准方程是 ． 【答案】 【分析】根据直线与双曲线的渐近线垂直可得，由题可知，结合a，b，c的关系即可求出双曲线的方程. 【详解】因为直线的斜率为，因为双曲线的一条渐近线与直线垂直， 所以双曲线渐近线的斜率为 ，即，所以 由题可知双曲线的一个焦点为，即， 又因为，即，解得，则， 所以双曲线的方程为. 故答案为：. 16. 已知双曲线与椭圆有公共焦点，且双曲线离心率为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线过双曲线的上顶点，求直线被双曲线所截的线段的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆的标准方程写出焦点坐标，结合双曲线的离心率和求解即可. （2）由直线过双曲线的上顶点求出的值，再联立双曲线与直线的方程 求出交点坐标即可求解. 【详解】（1）椭圆焦点坐标为，. 设双曲线的标准方程为， ，， ，解得， ， 则双曲线的标准方程为. （2）∵双曲线的标准方程为， ∴双曲线的上顶点坐标为，直线过， 则，解得. 联立直线与双曲线方程， 解得或， 则直线与双曲线交于和. 直线被双曲线所截的线段长度为. 考点九 抛物线的概念及标准方程 17. 若抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且焦点在直线上，则抛物线的标准方程是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据直线与x轴和y轴的交点即抛物线的焦点即可求解. 【详解】因为抛物线的焦点在直线上， 所以令，解得，即抛物线的焦点分别为， 令，解得，即抛物线的焦点分别为， 当焦点为时，焦点位于y轴负半轴， 则有，即，故抛物线方程为； 当焦点为时，焦点位于x轴负半轴， 则有，即，故抛物线方程为. 故选：D. 18. 若点到直线的距离比它到点的距离小2，则点的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】由点到直线的距离和两点间距离，结合题设列出式子，解出轨迹方程. 【详解】设，因为点到直线的距离比它到点的距离小2， 根据点到直线的距离和两点间距离得， 整理得， 故答案为：. 考点十 抛物线的范围及对称性 19. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，点为抛物线准线与其对称轴的交点，则的面积为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由抛物线的方程得到焦点坐标和准线方程，进而求出点的坐标，再由定义求出点P坐标，结合三角形面积公式可得出结果. 【详解】因为，所以其焦点，准线为,所以 设,由得，所以，所以， 则. 20. 探照灯、汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是拋物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．根据光路可逆图，在平面直角坐标系中，抛物线，一条光线经过，与轴平行射到抛物线上，经过两次反射后经过射出，则 ，光线从点到经过的总路程为 ． 【答案】 【分析】由点与点的纵坐标相同和韦达定理可得，利用抛物线的定义可求得总路程. 【详解】如图，设第一次射到抛物线上的点记为，第二次射到抛物线上的点记为，易得，因为， 所以直线的方程为． 联立消去整理得， 可设，显然和是该方程的两个根， 则，所以． （方法一）光线从点到经过的总路程为 ． （方法二）设抛物线的准线为，则其方程为，分别过点，做准线的垂线，垂足分别为，，则，，所以， 故光线从点到经过的总路程为 ． 故答案为：；20. 考点十一 抛物线的顶点及离心率 21. 抛物线的顶点坐标为 ． 【答案】 【分析】将抛物线的方程化为标准方程，即可求得. 【详解】将抛物线的方程化为标准方程，顶点坐标为． 故答案为： 22. 已知抛物线的方程为，其图象过点． (1)求实数p的值； (2)求抛物线的焦点坐标和准线方程． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）将点代入，即可求值； （2） 已知抛物线方程，根据抛物线的性质，即可求解. 【详解】（1）将点代入抛物线方程 得； （2）由（1）可知，抛物线方程为， 焦点在x轴，为， 所以焦点坐标为； 准线方程为， 所以准线方程为：. 考点十二 抛物线与直线 23. 已知抛物线，直线l：，则抛物线上一动点P到直线l的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设抛物线上一点为，求出点到直线的距离，利用配方法，由此能求出抛物线上一点到直线的距离最小值. 【详解】设抛物线上一点， 点到直线的距离 . 当时，即当时， 抛物线上一点到直线的距离最短， 且为. 故选：D. 24. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为2. (1)求拋物线方程； (2)直线与拋物线相交于，两点，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线焦半径公式即可求解. （2）联立方程组求出交点坐标，即可得到弦长. 【详解】（1）抛物线（）上一点到其焦点的距离为2， 即，则，所以抛物线方程：. （2）联立，消去得，解得，， 则，，所以点，， 则弦长. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $