7.4平面向量的应用—知识点训练卷 2026版江苏省职教高考《数学考纲百套卷》第45卷（原卷版+解析版）

编写说明：2026版江苏省职教高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及江苏历年职教高考真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照课程标准编写的78份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、函数、三角函数等12个章节的12份专题训练卷；第三部分是参考历年真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是2026版江苏省职教高考《数学考纲百套卷》的第45卷，是知识点训练卷，主要考查平面向量的应用的掌握情况。 2026版江苏省职教高考《数学考纲百套卷》 第45卷 平面向量的应用 知识点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 1、 选择题：（本大题共10个小题．每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知向量，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】向量，， 则. 故选：D 2.已知向量满足，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可得，即， 所以， 可得在上的投影向量为． 故选：D 3.在梯形ABCD中，，，，，若EF在线段AB上运动，且，则的最小值为（    ） A．5 B． C．4 D． 【答案】D 【解析】建立如图所示的坐标系, 则,设,则 故当时,的最小值为,故选：D. 4.在△ABC中，，边的中点为D，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，在△ABC中，边的中点为D 由，可得：， ，可得：，， ，可得：，（当且仅当时等号成立） 则的最大值为4.故选：D. 5.如图，在平行四边形中，分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，因为在平行四边形中，分别是边上的两个三等分点， 所以，故A错误； 对于B，因为， 所以，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，D错误. 故选：B. 6.△ABC是边长为6的等边三角形，点，分别在边，上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】以所在的边为x轴、垂直平分线为y轴建立如图所示平面直角坐标系， 设，则，，则， 所以，则 则的最小值为，故选：D. 7.如图，在等腰直角△ABC中，斜边，为线段BC上的动点，且，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【解析】因为在等腰直角△ABC中，斜边，所以， 因为、，所以，设，则， 所以当时，取得最小值，故选：B 8.如图，在平面四边形中，为等边三角形，当点在对角线上运动时，的最小值为（    ）    A． B．-1 C． D．2 【答案】A 【解析】由题意，，， ，所以， 所以，即平分， 由可得 ， 所以当时，有最小值为. 故选：A. 9.如图，在直角梯形ABCD中，，，，，P是线段AB上的动点，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D．7 【答案】D 【解析】如图，以B点为坐标原点，建立平面直角坐标系， 设，，因为，， 所以，，，所以，， ，所以， 所以， 所以当，即时，的最小值为7， 故选：D． 10.如图所示，在中，，，P为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，，设，（），则 ，则，，所以 ，当且仅当时，取等号. 故选：B. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11.已知，若与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为___________. 【答案】且 【解析】若与的夹角为钝角，则，且与不共线， 即，得且. 故答案为：且. 12.在锐角中，内角所对的边分别为，设向量且，若，则的面积为 ． 【答案】 【详解】由可得， 由正弦定理可得， 由，所以， 又，所以， 所以为正三角形，. 故答案为： 13.如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于M，则 ． 【答案】/ 【详解】解：设，，则， ，又，， 所以 ． 故答案为：. 14.已知向量满足与的夹角为，则当实数变化时，的最小值为___________． 【答案】 【解析】如图，设，当时，取得最小值，过B作，即取得最小值为，因为与的夹角为，所以，所以． 15.如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆(正方形内部，含边界)，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为正方形的边长为4，取的中点，连接， 当在点或点时，， 当当在弧中点时，， 所以的取值范围为， 由于，，， 所以， 因为，所以，故， 所以，即的取值范围为. 故答案为：. 三、解答题：（本大题共4个小题，共35分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16.（8分）在中，点，分别在线段，上，，.求证：. 【答案】证明见解析 【解析】证明：设，，则. 又，.所以，. 在AMN中，， 所以，即与共线，故. 17.（8分）已知四边形ABCD的四个顶点分别为，，，． （1）求向量与夹角的余弦值； （2）证明：四边形ABCD是等腰梯形． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】（1）因为，， 所以． （2）因为，所以，即， 而，， 故不存在使，即不平行， 又，，故， 综上，四边形ABCD是等腰梯形． 18.（9分）已知，，为平面向量，，，，. （1）求的取值范围； （2）设与的夹角为，求的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）因为，所以， 因为，所以， 设与的夹角为， ，所以. 因为，所以，解得. 综上可得，即； （2）因为， 所以由（1）可知：当时，的值最小， 代入，得：， 所以的最小值等于. 19.（10分）已知m>0，n>0，如图，在中，点M，N满足，，D是线段BC上一点，，点E为AD的中点，且M，N，E三点共线． （1）若点O满足，证明：． （2）求的最小值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）由题可知， 因为点E为AD的中点，所以． 由，则，即， ， 又所以，又三点不共线，所以． （2）因为M，N，E三点共线， 所以可设，又，， 所以 又， 所以，所以， 所以， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026版江苏省职教高考《数学考纲百套卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》（2020年版）及江苏历年职教高考真题编写。本套试卷共100份：第一部分是按照课程标准编写的78份知识点训练卷；第二部分是集合与充要条件、函数、三角函数等12个章节的12份专题训练卷；第三部分是参考历年真题编写的10份综合模拟卷。 本卷是2026版江苏省职教高考《数学考纲百套卷》的第45卷，是知识点训练卷，主要考查平面向量的应用的掌握情况。 2026版江苏省职教高考《数学考纲百套卷》 第45卷 平面向量的应用 知识点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 1、 选择题：（本大题共10个小题．每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知向量，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2.已知向量满足，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3.在梯形ABCD中，，，，，若EF在线段AB上运动，且，则的最小值为（    ） A．5 B． C．4 D． 4.在△ABC中，，边的中点为D，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5.如图，在平行四边形中，分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 6.△ABC是边长为6的等边三角形，点，分别在边，上，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7.如图，在等腰直角△ABC中，斜边，为线段BC上的动点，且，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．6 8.如图，在平面四边形中，为等边三角形，当点在对角线上运动时，的最小值为（    ）    A． B．-1 C． D．2 9.如图，在直角梯形ABCD中，，，，，P是线段AB上的动点，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D．7 10.如图所示，在中，，，P为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11.已知，若与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为___________. 12.在锐角中，内角所对的边分别为，设向量且，若，则的面积为 ． 13.如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于M，则 ． 14.已知向量满足与的夹角为，则当实数变化时，的最小值为___________． 15.如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆(正方形内部，含边界)，则的取值范围为 . 三、解答题：（本大题共4个小题，共35分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16.（8分）在中，点，分别在线段，上，，.求证：. 17.（8分）已知四边形ABCD的四个顶点分别为，，，． （1）求向量与夹角的余弦值； （2）证明：四边形ABCD是等腰梯形． 18.（9分）已知，，为平面向量，，，，. （1）求的取值范围； （2）设与的夹角为，求的最小值. 19.（10分）已知m>0，n>0，如图，在中，点M，N满足，，D是线段BC上一点，，点E为AD的中点，且M，N，E三点共线． （1）若点O满足，证明：． （2）求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $