专题02 直线与方程（8大考点42题）（期中真题汇编，湖北专用）高二数学上学期

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02直线与方程 ☆8大高频考点概览 考点01直线的倾斜角及范围 考点02直线的斜率及范围 考点03己知直线平行求参数 考点04己知直线锤直求参数 考点05求直线方程 考点06中线、高线、角平分线所在的直线方程及其应用 考点07点到值线的距离及平行线间的距离 考点08定点问题 目目 考点01 直线的倾斜角及范围 一、单选题 1.2425高二上溅北武汉重点中学5G联合体期中)直线)=m牙的倾斜角为( A.0 B牙 C.π 2 D.刀 2.(24-25高二上·湖北宜昌协作体期中已知直线1的一个方向向量为(1，√3)，则直线1的倾斜角为() A.0 B.君 C.π D. 3.(24-25高二上湖北鄂州部分高中教科研协作体期中)已知直线1经过点1，√3)，(-2,0)，则直线1的倾斜 角为() B C.2n 3 D 4.(24-25高二上·湖北仙桃田家炳实验高级中学期中)直线1的方程为√3x-y+1=0,则1的倾斜角是() A.90° B.60° C.45° D.30° 5.(24-25高二上湖北黄冈普通高中期中)已知点A(2,-),B(3,m),若m∈[-2，V3-1],则直线AB的倾斜角 的取值范围为() A .[ 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 c.[a D后引[ 6.(24-25高二上湖北部分级示范高中期中已知A(1,-2),B(2,1,经过P(0,-1作直线1，若直线1与线 段AB恒有公共点，则直线I倾斜角的范围() A.0,,3 042’4 [引 c. 目目 考点02 直线的斜率及范围 一、单选题 7.(24-25高二上·湖北“鄂北联考”期中)经过点《0,2)，(-1,0)两点的直线的方向向量为(k,4),则k为() A.2 B.4 C. D.4 8.(24-25高二上湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校期中)已知三点A(2,1),B(-1,2),C(1,-1),则 过点C的直线1与线段AB有公共点时，直线I斜率的取值范围为() B.（,}2)c.（2 二、填空题 9.(23-24高二上·湖北武汉常青联合体·期中)设点A2,-3)、B(-3,-2),若直线1过点P1,1且与线段AB不 相交，则直线I的斜率k的取值范围是_ 目目 考点03 己知直线平行求参数 一、单选题 10.(24-25高二上·湖北黄冈普通高中.期中)若直线l:(m+1)x+2y+1=0与直线l2:x-2y+1=0平行，则m的 值为() A.±2 B.2 C.-2 D.-5 11.(24-25高二上湖北部分名校期中)已知直线4：a2x-2y+(a-2)=0,直线2：8x-y+1=0,若∥12， / 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则a=() A.2或-2 B.-4 C.4或-4 D.4 12.(24-25高二上湖北“鄂北联考”.期中)已知直线l:(a-3)x+2y-2=0,12:2x+ay+1=0,若1∥l2,则 a=() A.4或-1 B.4 C.-1 D.1或-4 13.(24-25高二上湖北鄂州部分高中教科研协作体期中)已知直线4：2x-y+1=0,12:3x+ay+7=0, 4:bx+2y-1=0,若4⊥12且l21,则a+b的值为() A.-5 B.5 C.-7 D.7 14.(22-23高二上湖北武汉华中师范大学第一附属中学.期末)直线1：ax+y-1=0,12:a-2)x-ay+1=0, 则a=-2是4/1Z的() A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 二、多选题 15.(24-25高二上湖北部分级示范高中.期中)若三条直线ax+2y+8=0,4x+3y=10,2x-y=10不能构 成三角形，则a的值为() c. A.-4 B.-1 D. 8 3 目目 考点04 己知直线垂直求参数 一、单选题 16.(23-24高二上湖北武汉东湖中学期中)若直线4：2x+my+4=0与12：3x-6y+1=0互相垂直，则m的值 为() A.1 B.-1 C.2 D.-2 17.(24-25高二上湖北孝感一般高中协作体期中已知1：5kx-y+1=0,l2:x+5ky=0,若1⊥2，则实数 k=() 面学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 B. D.0或-25 1 A.0或1 25 C.1 18.(24-25高二上湖北荆门德艺高级中学期中)已知直线4：a.x+2y+6=0和直线12x+(a-1)y+a2-1=0, 以下论述中： (1)当a≠-1或a≠2时，1与☑相交； (2)当l1∥l2时，a=-1或a=2; (3)当且仅当a=-1时，1/W2 (4)当414时，a=2 正确的个数为() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 目目 考点05 求直线方程 一、多选题 19.(24-25高二上湖北荆门德艺高级中学期中)在两坐标轴上截距相等，且与点A(3,1)的距离为√2的直线 方程可以是() A.x+y-6=0 B.x+y-2=0 C.x+7y=0 D.x-y=0 二、填空题 20.(24-25高二上湖北华中师范大学第一附属中学期中)已知正方形ABCD中心的坐标为(2,3)，若直线AB 的方程为3x+4y+2=0,则与AB边垂直的两条边所在的直线方程为 21.(24-25高二上·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)经过点P(1,2),且在y轴上的截距为 x轴上截距的2倍的直线方程为一 22.(23-24高二上·湖北荆荆襄宜七校考试联盟·期中)求经过(2,2)且在两坐标轴上截距相等的直线方程 为 三、解答题 / 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 23.(24-25高二上湖北宜昌部分级示范高中期中)在平面直角坐标系中，已知三点A(-3,4),B(3,2),C(1,0) (1)若直线过点C(1,0)且与直线BC垂直，求直线的方程； (2)若直线2经过点A,且在x轴上的截距是y轴上截距的2倍，求直线Z的方程 24.(24-25高二上湖北孝感一般高中协作体·期中)求满足下列条件的直线方程； (1)过点(1,2)，且与直线3x-2y+3=0平行的直线方程； (2)过点(-1,2)，且与直线3x-y+2=0垂直的直线方程； (3)过点(1，-2)，且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 25.(24-25高二上湖北云学部分重点高中)直线1经过两直线1：3x-y+1=0和☑：3x+2y-2=0的交点， (1)若直线1与直线x+2y+1=0垂直，求直线1的方程. (2)若点A4,2到直线1的距离为4，求直线1的方程 26.(24-25高二上湖北部分普通高中期中)已知直线1过定点M(1,1,直线Z的方程是x+y=0. (1)若直线的横截距为纵截距2倍，求直线的方程. (2)若直线与x,y轴正半轴分别交于P,Q两点，过P,Q分别作直线2：x+y=0垂线，垂足分别是R, S.求四边形PQSR面积的最小值， 27.(24-25高二上湖北武汉外国语学校·期中)已知点A1,2),直线1：x-y+3=0. (1)求过点A,且与直线1平行的直线1的方程； (2)光线通过点A,经直线1反射，其反射光线通过点B(-2,0),求反射光线所在直线的方程 28.(23-24高二上·湖北云学名校联盟·期中)已知直线1：（a+2)x+(1-a)y+a-7=0,a∈R. (1)证明：直线1过定点P,并求出P点的坐标； (2)直线1与坐标轴分别交于点A,B,当截距相等时，求直线1的方程. 目目 考点06 中线、高线、角平分线所在的直线方程及其应用 29.(24-25高二上湖北黄冈普通高中.期中)已知△ABC的顶点A(1,3),边AB上的中线CM所在直线方程为 x+y-1=0,边AC上的高BH所在直线方程为y=2x+1. / 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求顶点C的坐标： (2)求直线BC的方程. 30.(24-25高二上·湖北部分名校期中已知ABC的顶点B(-3,0),C(2,0),∠BAC的平分线AD交BC于点 D,且AD所在直线方程为3x-y-1=0,记△ABD,△ACD的面积分别为SABD,S。4CD· (I)求SA4BD:S△AcD; (2)求顶点A坐标. 31.(24-25高二上·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)在ABC中，已知点C(4,5),AC边上 的高线所在的直线方程为x+y-11=0,角A的平分线所在的直线方程为3x-y+3=0 (1)求直线AC的方程； (2)求直线AB的方程 32.(23-24高二上·湖北武汉华中师范大学第一附属中学期中)已知ABC的顶点A(4,1),边AB上的高线 CH所在的直线方程为x+y-1=0,边AC上的中线BM所在的直线方程为3x-y-1=0. (1)求点B的坐标； (2)求直线BC的方程. 33.(24-25高二上·湖北华中师范大学第一附属中学期中)已知△ABC的顶点A(2,1),边AB的中线CM所在 直线方程为x-y+1=0,边AC的高BH所在直线方程为x-2y+2=0. (1)求点B的坐标； (2)若入射光线经过点A(2,),被直线CM反射，反射光线过点N(4,2),求反射光线所在的直线方程 34.(24-25高二上湖北“鄂北联考”.期中)已知ABC的点C(0,3),边BC上的中线AM所在的直线方程为 x+5y-4=0,边AC上的高BN所在的直线方程为4x-3y+5=0. (1)求顶点A的坐标； (2)求直线AB的方程 35.(24-25高二上湖北仙桃田家炳实验高级中学·期中)在ABC中，A(-1,2),边AC上的高BE所在的直线 方程为7x+4y-46=0,边AB上中线CM所在的直线方程为2x-11y+54=0 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求点C坐标： (②)在线段AC上是否存在一点F,使得BC=BF？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由. 36.(24-25高二上·湖北武汉重点中学5G联合体·期中)己知ABC中，A(-1,1),B(3,-1),C(-4,0); (1)求边AB的中线所在直线的方程； (2)求经过A,B,C三点的圆O的标准方程； (3)己知圆0.x2+y2-4x-4y-2=0与(2)中圆Q相交于A,B,求直线AB的方程，并求AB 37.(24-25高二上湖北武汉部分重点中学期中已知ABC的顶点A(4,2),边AB上的中线CD所在直线方 程为7x+2y-5=0,边AC上的高线BE所在直线方程为x+y-4=0. (1)求边BC所在直线的方程： (2)求△BCD的面积. 目目 考点07 点到直线的距离及平行线间的距离 一、 单选题 38.(24-25高二上湖北云学部分重点高中)已知直线4：6x+y+3=0与2：3x+(m-4)y-1=0,若（与☑ 互相平行，则它们之间的距离是（) A B.1 C. D.1 10 39.(24-25高二上·湖北孝感一般高中协作体·期中)两条平行直线2x-y+3=0和ax-y+5=0间的距离为d，, 则a,d分别为() Aa=-2d=B.a=2.d-25 D,a=-2d= 5 C.a=-2,d=5 40.(24-25高二上湖北武汉外国语学校·期中已知直线4：x+y-3=0与4，：3x-y-1=0相交于点M,则 点M到直线l:2x-y+1=0的距离为() 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.5 B. 25 C.√5 D.2W5 5 5 目目 考点08 定点问题 一、单选题 41.(24-25高二上·湖北部分普通高中.期中)设定点P(-2,-1),当P到直线1：1+32)x+(1+)y-2-42=0距 离最大时，直线I与x轴的交点A,则此时过点A且与直线I垂直的直线方程是() A.3x-2y-10=0 B.3x+2y-10=0 C.6x+9y-10=0 D.6x-9y-10=0 二、多选题 42.(24-25高二上湖北荆门德艺高级中学期中已知圆C:(x-1)2+(y-22=25,直线 1:2m+1x+(m+1)y-7m-4=0,则以下命题正确的有() A.直线1恒过定点(3,1 B.圆C被y轴截得的弦长为2+2√6 C.直线1与圆C恒相交 D.直线1被圆C截得最短弦长时，直线1的方程为2x-y-5=0 / 专题02 直线与方程 8大高频考点概览 考点01 直线的倾斜角及范围 考点02 直线的斜率及范围 考点03 己知直线平行求参数 考点04 己知直线垂直求参数 考点05 求直线方程 考点06 中线、高线、角平分线所在的直线方程及其应用 考点07 点到直线的距离及平行线间的距离 考点08 定点问题 地 城 考点01 直线的倾斜角及范围 一、单选题 1．(24-25高二上·湖北武汉重点中学5G联合体·期中)直线的倾斜角为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】由题及倾斜角定义可得答案. 【详解】斜率为0，则倾斜角为0. 故选：A 2．(24-25高二上·湖北宜昌协作体·期中)已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用方向向量求出直线斜率即可求出倾斜角. 【详解】因为直线l的一个方向向量为，所以l的斜率， 又，所以，因为，所以. 故选：D. 3．(24-25高二上·湖北鄂州部分高中教科研协作体·期中)已知直线l经过点，则直线l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设直线l的倾斜角为θ，先求出直线的斜率，结合直线的斜率与倾斜角的关系，分析可得答案. 【详解】根据题意，设直线的倾斜角为，直线经过点 , 则直线的斜率 , 则有 , 而 ，则有 . 故选: A 4．(24-25高二上·湖北仙桃田家炳实验高级中学·期中)直线l的方程为，则l的倾斜角是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的斜率即可求解. 【详解】的斜率为，故倾斜角为， 故选：B 5．(24-25高二上·湖北黄冈普通高中·期中)已知点，若，则直线AB的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两点式求斜率，结合参数范围有，根据斜率与倾斜角关系确定倾斜角范围. 【详解】由题设，则直线AB的倾斜角的取值范围为. 故选：B 6．(24-25高二上·湖北部分级示范高中·期中)已知，，经过作直线，若直线与线段恒有公共点，则直线倾斜角的范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知，再根据斜率范围求解倾斜角的范围即可. 【详解】 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 所以，即， 因为， 所以或， 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：C． 地 城 考点02 直线的斜率及范围 一、单选题 7．(24-25高二上·湖北“鄂北联考”·期中)经过点两点的直线的方向向量为，则k为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的斜率与方向向量关系即可求出答案. 【详解】经过两点的直线的方向向量为， 所以 ，解得 故选：A 8．(24-25高二上·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)已知三点，则过点的直线与线段AB有公共点时，直线斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出草图，先求出直线和直线的斜率，直线与线段有公共点时，找出直线的斜率的临界状态即可. 【详解】运用两点间的斜率公式，，， 过点的直线与线段AB有公共点时，如图所示， 直线斜率的取值范围是.    故选：B. 二、填空题 9．(23-24高二上·湖北武汉常青联合体·期中)设点、，若直线过点且与线段不相交，则直线的斜率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】计算，，再根据图像得到答案. 【详解】，， 直线过点且与线段不相交，故，即. 故答案为：. 地 城 考点03 己知直线平行求参数 一、单选题 10．(24-25高二上·湖北黄冈普通高中·期中)若直线与直线平行，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由两线平行的判定列方程求参数. 【详解】由题设. 故选：C 11．(24-25高二上·湖北部分名校·期中)已知直线：，直线：，若，则（   ） A．2或 B． C．4或 D．4 【答案】B 【分析】根据直线平行列式求得，并代入检验即可. 【详解】若，则，解得， 当时，直线：，直线：， 两直线重合，不合题意； 当时，直线：，直线：， 两直线平行，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 12．(24-25高二上·湖北“鄂北联考”·期中)已知直线，若，则（    ） A．4或 B．4 C． D．1或 【答案】B 【分析】由条件结合直线平行结论列方程求a，并对所得结果进行检验即可. 【详解】解：因为，，， 所以，所以，解得或. 当时，，直线重合，不满足要求； 当时，，直线平行，满足要求. 故选：B 13．(24-25高二上·湖北鄂州部分高中教科研协作体·期中)已知直线，，，若且，则的值为（    ） A． B．5 C． D．7 【答案】D 【分析】根据题意，由直线平行、垂直的判断方法求出a、b的值，进而计算可得答案. 【详解】根据题意，直线，，， 若，则有，解可得，则， 若，则有，解可得，故. 故选：D. 14．(22-23高二上·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)直线，则是的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据直线平行的判定求参数，结合充分、必要性定义判断条件间的关系. 【详解】若，则，可得或， 时，，即两直线平行，符合； 时，，即两直线重合，不符. 所以，即是的充要条件. 故选：C 二、多选题 15．(24-25高二上·湖北部分级示范高中·期中)若三条直线，，不能构成三角形，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由三条直线不能围成三角形，则三条直线中至少有两条直线平行或三条直线交于同一点列式可得结果. 【详解】设，，， 由，解得， 所以与的交点为， 因为三条直线不能围成三角形，所以过与的交点或或， 当过与的交点时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上，的值为. 故选：ABD. 地 城 考点04 己知直线垂直求参数 一、单选题 16．(23-24高二上·湖北武汉东湖中学·期中)若直线与互相垂直，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由两直线互相垂直的条件，列方程求的值. 【详解】若直线与互相垂直， 则有，解得. 故选：A 17．(24-25高二上·湖北孝感一般高中协作体·期中)已知，若，则实数（   ） A．0或1 B． C．1 D．0或 【答案】C 【分析】用两直线垂直的充要条件得解. 【详解】若，则， 解得，或. 时，不存在，舍去，故. 故选：C. 18．(24-25高二上·湖北荆门德艺高级中学·期中)已知直线和直线，以下论述中： （1）当或时,与相交; （2）当时,或 （3） 当且仅当时, （4）当时, 正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】直线和直线平行，则；若两直线垂直，则.根据这些结论分别判断每个论述的正确性即可. 【详解】对于直线和直线， 若两直线相交，则. 由可得. 解得且，所以（1）错误.   若，则. 由可得，即，解得或. 当时，即，，两直线重合. 同理，当，，,，满足题意，所以（2）错误.   由前面分析可知，当时，两直线平行，所以（3）正确.   若，则. 展开式子得，即，解得，所以（4）正确. 故正确的有（3）（4）. 故选：B. 地 城 考点05 求直线方程 一、多选题 19．(24-25高二上·湖北荆门德艺高级中学·期中)在两坐标轴上截距相等，且与点的距离为的直线方程可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【分析】设直线方程，利用点到直线的距离为可求得结果. 【详解】①当直线在两坐标轴上的截距相等且为0，即直线过原点时， 由题意可设直线的方程为，即. 由已知得，整理得， 解得或，所以所求直线方程为或. ②当直线在两坐标轴上的截距相等且不为0时，则直线的斜率为， 所以可设直线方程为， 由已知得，解得或. 所以所求直线方程为或. 综上，所求直线方程为或或或. 故选：ABCD. 二、填空题 20．(24-25高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中)已知正方形ABCD中心的坐标为，若直线AB的方程为，则与AB边垂直的两条边所在的直线方程为 ． 【答案】和 【分析】依题意，设出与AB边垂直的两条边所在的直线的方程，利用正方形的性质，建立等式，求解即得. 【详解】由,可得，则与AB边垂直的两条边所在的直线的斜率为， 其方程可设为：，即. 由正方形的性质，可知点到直线的距离等于它到直线的距离， 故有，解得或， 故与AB边垂直的两条边所在的直线方程为和. 故答案为：和. 21．(24-25高二上·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)经过点，且在轴上的截距为轴上截距的2倍的直线方程为 . 【答案】或 【分析】分情况讨论直线是否过原点，然后根据不同情况求出直线方程. 【详解】当直线过原点时,因为直线过原点和点，则斜率. 直线方程为，即.   当直线不过原点时,设直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为，直线的截距式方程为. 因为直线过点，将点的坐标代入截距式方程. 解得. 所以直线方程为，化为一般式为.   故所求直线方程为或. 故答案为：或. 22．(23-24高二上·湖北荆荆襄宜七校考试联盟·期中)求经过且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 ． 【答案】或 【分析】注意直线过原点的情况，直线不过原点时用截距式结合题意列方程即可求解 【详解】当直线过原点时，方程为， 当直线不过原点时，设直线方程为， 则有，解得， 故直线方程为，即， 综上所述，所求直线方程为或． 故答案为：或． 三、解答题 23．(24-25高二上·湖北宜昌部分级示范高中·期中)在平面直角坐标系中，已知三点. (1)若直线过点且与直线BC垂直，求直线的方程； (2)若直线经过点，且在轴上的截距是轴上截距的倍，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求得直线的斜率，再根据两直线垂直斜率关系结合点斜式求解即可； （2）分析当截距均为时的情况，再设直线方程为，根据直线经过点求解即可. 【详解】（1）由可得直线的斜率为， 因，故直线的斜率为， 则直线的方程为，即 （2）当截距均为时，直线方程为，符合题意， 当截距不为时，不妨设直线方程为， 又直线经过点，故，即，所以直线方程为， 综上，所求直线方程为或. 24．(24-25高二上·湖北孝感一般高中协作体·期中)求满足下列条件的直线方程； (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)过点，且与直线垂直的直线方程； (3)过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据平行直线的斜率相等即可求解； （2）根据互相垂线直线的斜率乘积为，从而求解直线方程； （3）分直线过原点、不过原点讨论可得答案. 【详解】（1）设与直线平行的直线方程为， 由于过点，代入， 解得，可得， 所以所求的方程为； （2）设与直线垂直的直线方程为； 由于过点，代入，解得， 可得， 所以所求的直线方程为； （3）当直线过原点时，设直线方程为， 代入点，，可得， 当直线不过原点时，设直线方程为， 代入点，，可得， 综上，所求直线方程为或. 25．(24-25高二上·湖北云学部分重点高中·)直线经过两直线：和：的交点. (1)若直线与直线垂直，求直线的方程. (2)若点到直线的距离为4，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）方法一：求出两直线交点坐标，再由垂直关系计算可得结果； 方法二：设出两直线组成的直线系方程，再由垂直关系计算可得结果； （2）方法一：分斜率是否存在进行讨论，利用点到直线距离公式计算可得结果； 方法二：利用直线系方程求得参数值即可得直线方程. 【详解】（1）方法一：由得交点， 因为与直线垂直，所以设：，代入得， 所以的方程为； 方法二：设：，整理得， 当与直线垂直，所以，解得， 所以的方程为，即. （2）方法一：当的斜率不存在时，为，满足题意， 当的斜率存在时，设：，则到直线的距离为， 解得，此时直线的方程为， 综上，直线的方程为或. 方法二：到直线的距离为， 化简得，解得或， 所以直线的方程为或. 26．(24-25高二上·湖北部分普通高中·期中)已知直线过定点，直线的方程是． (1)若直线的横截距为纵截距2倍，求直线的方程． (2)若直线与，轴正半轴分别交于，两点，过，分别作直线垂线，垂足分别是，．求四边形面积的最小值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分类讨论直线是否经过原点，代入求出参数，由此可求结果； （2）设出的方程，分别表示出的面积，结合基本不等式求解出四边形面积的最小值. 【详解】（1）当经过时，设，代入，所以，即， 当不经过时，设，代入，解得，即， 所以直线的方程为或. （2）由题意设， 令，则，所以，令，则，所以， 所以，， 因为的倾斜角为，所以， 所以均为等腰直角三角形， 所以， 所以， 因为，所以， 当且仅当，即(舍)时取等号， 由二次函数性质可知，，当且仅当时取等号， 所以四边形面积的最小值为.    27．(24-25高二上·湖北武汉外国语学校·期中)已知点 ，直线 . (1)求过点 ，且与直线 平行的直线 的方程； (2)光线通过点 ，经直线 反射，其反射光线通过点 ，求反射光线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行设出直线方程，再根据点在线上求参即可； （2）设点关于直线的对称点为，再根据斜率及中点在直线上求出，最后应用两点式写出直线方程. 【详解】（1）因为直线与直线平行，直线的方程为， 故可设直线的方程为， 因为点在直线上， 所以， 所以， 所以直线的方程为 （2）设点关于直线的对称点为． 由题意得， 解得，所以点的坐标为， 所以反射光线所在直线斜率为， 直线方程为． 28．(23-24高二上·湖北云学名校联盟·期中)已知直线l：，． (1)证明：直线l过定点P，并求出P点的坐标； (2)直线l与坐标轴分别交于点A，B，当截距相等时，求直线l的方程． 【答案】(1)证明见解析，； (2)或. 【分析】（1）变形给定方程，求出定点坐标即得. （2）按直线是否过原点，结合直线的截距式方程求解即得. 【详解】（1）方程变形为：， 由解得，显然对任意实数，当时，方程恒成立， 所以直线l恒过定点． （2）由（1）知直线l过点， 当截距为0时，即直线l过原点，直线l方程为：； 当截距不为0时，设直线l方程为：，则有，解得， 此时直线l的方程为：， 所以直线l的方程为：或． 地 城 考点06 中线、高线、角平分线所在的直线方程及其应用 29．(24-25高二上·湖北黄冈普通高中·期中)已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为. (1)求顶点的坐标； (2)求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线垂直和点在线上，解设坐标，联立方程组即可求解； （2）结合（1）先求点坐标可得与重合，再利用中点在直线上，即可求出点坐标，进而得出直线的方程. 【详解】（1）由题知，，在直线上， 设， 则，解得， 即点坐标为. （2）设， 则，解得，即， 所以直线的方程为， 即.    30．(24-25高二上·湖北部分名校·期中)已知的顶点，的平分线AD交BC于点D，且AD所在直线方程为，记，的面积分别为，． (1)求； (2)求顶点A坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，进而可得面积之比； （2）求关于直线对称的点为，再求直线的交点即可. 【详解】（1）由题意可知：直线， 对于直线，令，可得，即， 可得， 所以. （2）设关于直线对称的点为， 则，解得，即， 可知直线，即， 联立方程，解得， 所以顶点A坐标为. 31．(24-25高二上·湖北鄂东南级示范高中教育教学改革联盟学校·期中)在中，已知点边上的高线所在的直线方程为，角的平分线所在的直线方程为. (1)求直线AC的方程； (2)求直线AB的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）边上的高线所在的直线方程为，则边可设为，代入计算即可； （2）先求出，再求出点关于直线对称的点,进而求出，再用点斜式计算即可. 【详解】（1）边上的高线所在的直线方程为， 边可设为 又点在AC边上，，求得 直线AC的方程为. （2）由，解得 设点关于直线对称的点 ，解得 , 又点在直线AB上， ，则求得直线AB的方程为：，即. 32．(23-24高二上·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期中)已知的顶点，边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为． (1)求点的坐标； (2)求直线的方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由垂直关系求出直线的方程，再求出两直线的交点坐标即得. （2）设出点的坐标，利用中点坐标公式求出点坐标，再利用两点式求出直线方程. 【详解】（1）由边上的高线所在的直线方程为，得直线的斜率为1， 直线方程为，即， 由，解得， 所以点的坐标是. （2）由点在直线上，设点，于是边的中点在直线上， 因此，解得，即得点，直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 33．(24-25高二上·湖北华中师范大学第一附属中学·期中)已知△ABC的顶点，边AB的中线CM所在直线方程为，边AC的高BH所在直线方程为． (1)求点B的坐标； (2)若入射光线经过点，被直线CM反射，反射光线过点，求反射光线所在的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，分析可知的中点在直线上，运算即可； （2）求关于直线的对称点为，进而可求反射光线所在的直线方程. 【详解】（1）由题意可设点， 因为，则的中点在直线上， 可得，解得， 所以点B的坐标为. （2）设关于直线的对称点为， 则，解得，即 所以反射光线所在的直线方程为，可得. 34．(24-25高二上·湖北“鄂北联考”·期中)已知的点，边BC上的中线AM所在的直线方程为，边AC上的高BN所在的直线方程为 (1)求顶点A的坐标； (2)求直线AB的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设AC所在的直线方程为，利用点与直线的位置关系、相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出； （2）设点，利用中点坐标公式、点斜式即可得出. 【详解】（1）边AC上的高BN所在的直线方程为， 设AC所在的直线方程为，又， 将点代入方程，可得，即AC所在的直线方程为， 边BC上的中线AM所在的直线方程为， 联立，得，得点. （2）设点，则，故，得， ，边AB所在的直线方程为 35．(24-25高二上·湖北仙桃田家炳实验高级中学·期中)在中，，边上的高所在的直线方程为，边上中线所在的直线方程为. (1)求点C坐标； (2)在线段上是否存在一点F，使得？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据垂直关系得出直线斜率，再由点斜式得出直线方程； （2）根据题意设出点坐标，再由中点公式得出点坐标，代入直线方程即可得解. 【详解】（1）因为边上的高所在的直线方程为， 所以， 又直线经过点， 所以直线的方程为：，即：. 联立，解得， 即点. （2）由题知，满足条件的点F为点C关于直线BE的对称点， 直线AC的方程为：，设点， 所以， 将点E带入直线BE的方程得：，解得， 所以， 即存在点，使得. 36．(24-25高二上·湖北武汉重点中学5G联合体·期中)已知中，； (1)求边AB的中线所在直线的方程； (2)求经过A，B，C三点的圆的标准方程； (3)已知圆与（2）中圆相交于，求直线AB的方程，并求. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）先求出AB的中点坐标，进而求出中线的斜率，结合直线的点斜式方程即可求解； （2）根据两点坐标表示求出AB的斜率，进而可得直线AB、BC的中垂线方程，联立方程组，解之可得，结合圆的标准方程即可求解； （3）根据两圆的方程相减可得，利用点线距公式和几何法求弦长计算即可求解. 【详解】（1）AB中点为，所以其中线方程为. （2），直线AB的中垂线方程为， 同理直线BC的中垂线方程为， ，解得，即， 所以所求圆标准方程为. （3）由题意，圆与的方程相减，得， 直线AB的距离为， 所以. 37．(24-25高二上·湖北武汉部分重点中学·期中)已知的顶点，边AB上的中线CD所在直线方程为，边AC上的高线BE所在直线方程为． (1)求边BC所在直线的方程； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用，求出直线AC的方程，联立CD所在直线方程，解出，设利用中点坐标公式求解出，又因为在直线BE上，在CD上，求解出，从而得到BC所在直线的方程. （2）利用点到直线的距离公式求解到直线BC的距离，再用两点间的距离求解出，从而求出的面积. 【详解】（1）因为，所以设直线AC的方程为：， 将代入得，所以直线AC的方程为：， 联立AC，CD所在直线方程：，解得， 设，因为为AB的中点，所以， 因为在直线BE上，在CD上， 所以，， 解得，，所以，， 所以BC所在直线的方程为：，即． （2）由（1）知点到直线BC的距离为：， 又，所以． 地 城 考点07 点到直线的距离及平行线间的距离 一、单选题 38．(24-25高二上·湖北云学部分重点高中·)已知直线：与：，若与互相平行，则它们之间的距离是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线平行满足的系数关系可得，即可利用平行线间距离公式求解. 【详解】若与互相平行，则需满足，解得， 故直线：与：， 故两直线间距离为， 故选：C 39．(24-25高二上·湖北孝感一般高中协作体·期中)两条平行直线和间的距离为，则分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线平行的性质求，再根据平行线的距离公式求即可. 【详解】因为直线和平行， 所以，解得， 所以两直线分别为和， 所以. 故选：B 40．(24-25高二上·湖北武汉外国语学校·期中)已知直线 与 相交于点 ，则点到直线 的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解方程组求得交点坐标，由点到直线距离公式计算出距离． 【详解】由得，即， 所以点到直线 的距离为， 故选：A． 地 城 考点08 定点问题 一、单选题 41．(24-25高二上·湖北部分普通高中·期中)设定点，当到直线距离最大时，直线与轴的交点，则此时过点且与直线垂直的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分析所过的定点，然后根据时距离最大求出的方程，再结合直线位置关系，利用点斜式方程求解即可. 【详解】因为， 令，解得，所以过定点， 当到的距离最大时，， 理由如下： 当时，此时到的距离为， 当不垂直于时，过点作，显然在中，， 所以即为到的最大距离， 此时，所以，所以，即， 令，则，所以， 则过点且与直线垂直的直线方程为，即， 故选：D. 二、多选题 42．(24-25高二上·湖北荆门德艺高级中学·期中)已知圆，直线，则以下命题正确的有（　　） A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．直线与圆恒相交 D．直线被圆截得最短弦长时，直线的方程为. 【答案】ACD 【分析】将直线变形整理为，列方程组求出定点坐标判断A，在圆方程中令，求出圆和轴交点的坐标判断B，根据定点在圆的位置关系判断C，当直线被圆截得最短弦长时，，求出斜率进而即可求出直线方程判断D. 【详解】选项A：由题意直线的方程可变形整理为， 由解得，则无论为何值，直线过定点，故A说法正确； 选项B：在圆方程中令，得，解得， 所以圆被轴截得的弦长为，故B说法错误； 选项C：因为，所以定点在圆的内部， 则直线与圆恒相交，故C说法正确； 选项C：由圆的方程可得圆心，当截得的弦长最短时，， 又，则直线的斜率为， 此时直线的方程为，即，故D说法正确.， 故选：ACD 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $