精品解析： 2025-2026学年北师大版数学八年级上册期中质量评价试卷

八年级数学上册期中质量评价 （考试时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列各选项中是无理数的是（ ） A. B. 2025 C. D. 2. 将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 5，12，15 C. 1，，2 D. ，，5 3. 为规范书写，某中学安排学生下课后在操场上进行粉笔字练习，每个小正方形的边长都是1，五位同学的位置如图所示，若A同学的坐标用表示，则E同学的坐标可以表示为（ ）． A. B. C. D. 4. 已知正比例函数的图像经过第二、四象限，那么a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（　　） A. += B. =2 C. •= D. ÷=2 6. 设为正整数，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n的值是（　　） A. ﹣5 B. ﹣3 C. 3 D. 1 8. 关于函数有下列结论，其中错误的是（ ） A. 图象经过点 B. 若点，在图象上，则 C. 图象向下平移2个单位长度后，图象经过点 D. 当时， 9. 如图，圆柱形玻璃容器高20cm，底面圆周长为48cm，在外侧距下底1cm的点A处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1cm的点B处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度（ ）cm． A. 52 B. C. 60 D. 30 10. 在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象，下列说法错误的是（　　） A. 乙先出发的时间为0.5小时 B. 甲的速度是80千米/小时 C. 甲出发0.5小时后两车相遇 D. 甲到B地比乙到A地早小时 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 写出一个使得二次根式有意义的x的值为________． 12. 如图，一次函数y＝6﹣x与正比例函数y＝kx的图象如图所示，则k的值为_____． 13. 若第二象限内的点P（x，y）满足，，则点P的坐标是________． 14. 如图，赵爽弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形．图中包含四个全等的勾股形和一个小正方形，其面积称为朱实和黄实．设每一个勾股形的两条直角边长分别为a和b，若，且，则黄实为_________． 15. 如图，点E是长方形中边上一点，将四边形沿直线折叠，折叠后点C对应点为，点D的对应点为．若点A在上，且，，则_________． 三、解答题（共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 在平面直角坐标系中，点P的坐标为．若点P到y轴的距离为1，求点P的坐标． 18. 已知和是某正数的两个平方根，的立方根为2，是的整数部分． （1）求值； （2）求的平方根． 19. 已知一次函数y=kx+b的图象经过点（﹣2，5），并且与y轴交于点P，直线y=x+3与y轴交于点Q，点Q恰与点P关于x轴对称，求这个一次函数的解析式． 20. 如图，一棵高的巨大杉树在台风中被刮断，树顶C落在离树根B点处，科研人员要查看断痕A处的情况，在离树根B点的D处竖起一架梯子，请问这架梯子有多长？ 21. 如图，在正方形网格中，直线l与网格线重合，点A，C，，均在网格的格点上． （1）已知和关于直线l对称． ①请在图中把和补充完整； ②在以直线l为纵轴的平面直角坐标系中，若点A的坐标为，则点的坐标为______； （2）已知网格中每个小正方形的边长为1，求的面积． 22. 已知a，b，m都是实数，若a+b=2，则称a与b是关于1的“平衡数”． （1）4与 是关于1的“平衡数”，与 是关于1的“平衡数”； （2）若，判断与是否是关于1的“平衡数”，并说明理由． 23. 应用意识 某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下： 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠； 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠． 设某学生暑期健身次数为x，按照方案一所需费用为（单位：元），且；按照方案二所需费用为（单位：元），且与x的函数图象如下图所示。 （1）________， ________； （2）求打折前的每次健身费用和的值． （3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，选择哪种方案所需费用较少？请说明理由． 24. 如图，已知四边形中，，，，，E为边上一点，，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边向终点B运动，连接，设点P运动的时间为t秒． （1）求的长； （2）若为直角三角形，求t值． 25. 【建立模型】 （1）如图①，在中，，顶点C在直线l上．操作：过点A作于点D，过点B作于点E，试说明； 【模型应用】 （2）如图②，在平面直角坐标系中，直线：与y轴交于点A，与x轴交于点B，将直线绕着点A顺时针旋转得到，求的函数表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学上册期中质量评价 （考试时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列各选项中是无理数的是（ ） A. B. 2025 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，无理数即无限不循环小数，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、这样有规律的数等．根据无理数定义及常见形式即可得出答案． 【详解】解：A中，是有理数，不合题意； B中，2025是有理数，不合题意； C中，是有理数，不合题意； D中，是无理数，符合题意； 故选：D． 2. 将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能构成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 5，12，15 C. 1，，2 D. ，，5 【答案】C 【解析】 【分析】判断是否能组成直角三角形，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、∵42+52=16+25=41＞36=62∴不能组成直角三角形，故A选项不正确； B、∵52+122=25+144=169＜225=152，∴不能组成直角三角形，故B选项错误； C、∵12+（）2=22，∴能组成直角三角形，故C选项正确； D、∵（）2+（）2=2+3=5＜25=52，∴不能组成直角三角形，故D选项错误． 故选：C． 【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形． 3. 为规范书写，某中学安排学生下课后在操场上进行粉笔字练习，每个小正方形的边长都是1，五位同学的位置如图所示，若A同学的坐标用表示，则E同学的坐标可以表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，根据点A的坐标确定原点的位置，即可建立平面直角坐标系，即可求解． 【详解】解：由题意得，建立平面直角坐标系如图： 由图可得，， 故选：B． 4. 已知正比例函数的图像经过第二、四象限，那么a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正比例函数的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵正比例函数的图像经过第二、四象限， ∴， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了正比例函数图像的性质，熟练掌握正比例函数图像的性质是解题的关键． 5. 下列运算正确的是（　　） A. += B. =2 C. •= D. ÷=2 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的性质对B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断． 【详解】解：A.与不能合并，所以A选项错误，不符合题意； B.原式=3，所以B选项错误，不符合题意； C.原式==，所以C选项错误，不符合题意； D.原式==2，所以D选项正确，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 6. 设为正整数，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的大小估算，熟练掌握无理数的大小估算方法是解题的关键． 根据，得出，即可求解． 详解】解：∵， ∴， ∵是正整数，且， ∴， 故选：B ． 7. 若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n的值是（　　） A. ﹣5 B. ﹣3 C. 3 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此求出m、n的值，代入计算可得． 【详解】∵点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称， ∴1+m=3，1﹣n=2， 解得：m=2，n=﹣1， 所以m+n=2﹣1=1， 故选D． 【点睛】本题考查了关于y轴对称的点，熟练掌握关于y轴对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键． 8. 关于函数有下列结论，其中错误的是（ ） A. 图象经过点 B. 若点，在图象上，则 C. 图象向下平移2个单位长度后，图象经过点 D. 当时， 【答案】C 【解析】 分析】根据一次函数的性质及一次函数图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、当时，，故图象经过点，故本选项正确，不合题意； B、函数中，， 随的增大而减小， ， ，故本选项正确，不合题意； C、根据平移的规律，函数的图象向下平移2个单位长度得解析式为，所以当时，，则图象经过点，故本选项错误，符合题意； D、把代入函数，所以当时，，故本选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的性质：当，图象经过第一、三象限，随增大而增大；当，图象经过第二、四象限，随增大而减小；当，图象与轴的交点在的上方；当，图象经过原点；当，图象与轴的交点在的下方，也考查了一次函数的图象与几何变换． 9. 如图，圆柱形玻璃容器高20cm，底面圆的周长为48cm，在外侧距下底1cm的点A处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1cm的点B处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度（ ）cm． A. 52 B. C. 60 D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】先把圆柱沿过B点的母线剪开，然后展开如图，点为点A展开后的对应点，根据两点之间线段最短得到最短路线长度为 的长度，然后根据勾股定理计算的长即可． 【详解】解：把圆柱沿过B点的母线剪开，然后展开如图，点为点A展开后的对应点， 作BH⊥MN于H，BH=×48=24，MH=1， ， ∴， 在 中， =30cm． 故选D． 【点睛】此题考查平面展开-最短路径问题，画出正确的平面展开图，作出辅助线构造直角三角形利用勾股定理求解是解题关键． 10. 在同一条道路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发，图中的折线段表示甲、乙两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数关系的图象，下列说法错误的是（　　） A. 乙先出发的时间为0.5小时 B. 甲的速度是80千米/小时 C. 甲出发0.5小时后两车相遇 D. 甲到B地比乙到A地早小时 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．由图象横坐标可得，乙先出发的时间为0.5小时，正确，不合题意； B．∵乙先出发，0.5小时，两车相距（100﹣70）km，∴乙车的速度为：60km/h，故乙行驶全程所用时间为： =（小时）， 由最后时间为1.75小时，可得乙先到到达A地，故甲车整个过程所用时间为：1.75﹣0.5=1.25（小时），故甲车的速度为：100÷1.25 =80（km/h），故B选项正确，不合题意； C．由以上所求可得，甲出发0.5小时后行驶距离为：40km，乙车行驶的距离为：60km，40+60=100，故两车相遇，故C选项正确，不合题意； D．由以上所求可得，乙到A地比甲到B地早：1.75﹣，（小时），故此选项错误，符合题意． 故选：D． 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 写出一个使得二次根式有意义的x的值为________． 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求出x的取值范围，写出一个符合题意的x即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴x的值可以是2， 故答案为：2（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 12. 如图，一次函数y＝6﹣x与正比例函数y＝kx的图象如图所示，则k的值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】将点A的横坐标代入y＝6﹣x可得其纵坐标的值，再将所得点A坐标代入y＝kx可得k． 【详解】解：设A（2，m）． 把A （2，m）代入y＝6﹣x得：m＝﹣2+6＝4， 把A （2，4）代入y＝kx得4＝2k，解得k＝2． 故答案是：2． 【点睛】本题主要考查两条直线相交或平行问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式． 13. 若第二象限内的点P（x，y）满足，，则点P的坐标是________． 【答案】（﹣3，5）． 【解析】 【详解】试题分析：∵，，∴x=±3，y=±5，∵P在第二象限，∴点P的坐标是（﹣3，5）．故答案为（﹣3，5）． 考点：点的坐标． 14. 如图，赵爽弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形．图中包含四个全等的勾股形和一个小正方形，其面积称为朱实和黄实．设每一个勾股形的两条直角边长分别为a和b，若，且，则黄实为_________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的应用．由题意可知小正方形的边长为，根据完全平方公式求出即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵小正方形的边长为 ∴黄实为． 故答案为：9 15. 如图，点E是长方形中边上一点，将四边形沿直线折叠，折叠后点C的对应点为，点D的对应点为．若点A在上，且，，则_________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理及其应用，熟练掌握长方形的性质和勾股定理等是解题的关键． 根据翻折的性质可知，，，在中，由勾股定理可得，则，在 中，设则 ，由勾股定理可列出方程，即可求解． 【详解】解： 四边形为长方形， 根据翻折的性质可得：，，， 在中，由勾股定理可得， ， 在 中，设则 ， 由勾股定理可得：， 即 解得：， 即 ， 故答案为：5． 三、解答题（共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的乘除法法则计算二次根式，再合并二次根式，由此即可求解； （2）根据平方差公式，完全平方公式展开，在合并二次根式，即可求解． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算及乘法公式的应用，理解和掌握二次根式的加减乘除法法则及乘法公式是解题的关键． 17. 在平面直角坐标系中，点P的坐标为．若点P到y轴的距离为1，求点P的坐标． 【答案】点P的坐标为或 【解析】 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离、解绝对值方程等知识点，根据题意正确列出绝对值方程成为解题关键． 根据点P到y轴的距离为1，可得，求出a值，即可得到点P坐标． 【详解】解：∵点P到y轴的距离为1， ∴，解得或1， ∴点P的坐标为或． 18. 已知和是某正数两个平方根，的立方根为2，是的整数部分． （1）求的值； （2）求的平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根、立方根、无理数的估算、代数式求值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据平方根的概念求出，即可得到； （2）根据立方根的概念求出，根据无理数的估算求出 ，把, , 代入计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵和是某正数的平方根， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵的立方根是， ∴， ∴； ∵是的整数部分，， ∴， ∴， 的平方根是． 19. 已知一次函数y=kx+b的图象经过点（﹣2，5），并且与y轴交于点P，直线y=x+3与y轴交于点Q，点Q恰与点P关于x轴对称，求这个一次函数的解析式． 【答案】这个一次函数的表达式：y=﹣4x﹣3． 【解析】 【详解】试题分析：因为直线y=-x+3与y轴相交于点Q，所以点Q的坐标是（0，3），点P在y轴上，且与点P关于x轴对称，所以点P的坐标是（0，-3），把（0，-3），（-2，5）代入一次函数y=kx+b．求出k，b的值，得这个一次函数的表达式． 试题解析：由题意可得，点Q的坐标是（0，3），点P的坐标是（0，﹣3）， 把（0，﹣3），（﹣2，5）代入一次函数y=kx+b， 得， 解得b=﹣3，k=﹣4． 所以这个一次函数的表达式：y=﹣4x﹣3． 20. 如图，一棵高的巨大杉树在台风中被刮断，树顶C落在离树根B点处，科研人员要查看断痕A处的情况，在离树根B点的D处竖起一架梯子，请问这架梯子有多长？ 【答案】这架梯子的长为 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，设的长为，则，利用勾股定理求出，再利用勾股定理即可求出． 【详解】解：设的长为，则． 根据题意，得， 即， 解得． ∴的长为． 在中，， 由勾股定理，得． 答：这架梯子的长为． 21. 如图，在正方形网格中，直线l与网格线重合，点A，C，，均在网格的格点上． （1）已知和关于直线l对称． ①请在图中把和补充完整； ②在以直线l为纵轴的平面直角坐标系中，若点A的坐标为，则点的坐标为______； （2）已知网格中每个小正方形的边长为1，求的面积． 【答案】（1）①见解析；② （2）10 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换、坐标与图形性质，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）①根据轴对称的性质作图即可； ②根据关于y轴对称的点的坐标特征求解即可； （2）根据割补法求解即可． 【小问1详解】 解：①如图，和即为所求， ②由题意知：的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：． 22. 已知a，b，m都是实数，若a+b=2，则称a与b是关于1的“平衡数”． （1）4与 是关于1的“平衡数”，与 是关于1的“平衡数”； （2）若，判断与是否是关于1的“平衡数”，并说明理由． 【答案】（1），；（2）不是，理由详见解析. 【解析】 【分析】（1）根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此即可计算4和关于1的“平衡数”； （2）先根据，求出m的值，再计算与的和，根据所求得结果即可判断. 【详解】解：（1）2-4=-2，所以4与-2是关于1“平衡数”， ，所以与是关于1的“平衡数” 故依次填：，； （2）不是. ∵， ∴. ∴. ∴. ∴ = = =3. ∴与不是关于1的“平衡数”. 【点睛】本题考查二次根式的加减运算，二次根式的乘除运算.掌握本题的关键是：①能理解题述1 的“平衡数”的定义，并据此作出计算；②掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并. 23. 应用意识 某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下： 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠； 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠． 设某学生暑期健身次数为x，按照方案一所需费用为（单位：元），且；按照方案二所需费用为（单位：元），且与x的函数图象如下图所示。 （1）________， ________； （2）求打折前的每次健身费用和的值． （3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，选择哪种方案所需费用较少？请说明理由． 【答案】（1）15；30 （2）25元， （3）方案一，见解析 【解析】 【分析】（1）用待定系数法代入（0，30）和（10，180）两点计算即可求得和的值，再根据函数表示的实际意义说明即可； （2）设打折前的每次健身费用为a元，根据（1）中算出的为打六折之后的费用可算得打折前的每次健身费用，再算出打八折之后的费用，即可得到的值； （3）写出两个函数关系式，分别代入计算，并比较大小即可求解． 【小问1详解】 将和带入， ， 解得：，故答案为：15，30. 【小问2详解】 由题意，得打折前的每次健身费用为（元），则． 【小问3详解】 选择方案一所需费用较少．理由如下： 由题意可知，． 当健身8次时，选择方案一所需费用为（元）； 选择方案二所需费用为（元）． 因为，所以选择方案一所需费用较少． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，用待定系数法求解函数关系式并结合题意计算出原价是解题的关键． 24. 如图，已知四边形中，，，，，E为边上的一点，，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边向终点B运动，连接，设点P运动的时间为t秒． （1）求的长； （2）若为直角三角形，求t的值． 【答案】（1）5 （2）当秒或秒时，为直角三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，矩形性质与判定： （1）先求出，在中根据勾股定理计算即可； （2）分、两种情况，根据勾股定理计算即可． 【小问1详解】 解：，， ， 在中，； 【小问2详解】 解：当时，如下图： ， ， ∵， ∴， 四边形为矩形， ， ， 动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿着边向终点运动， ∴（秒， 当时，如图，过点P作于Q， 同理可得四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 由（1）得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 解得，， 当秒或秒时，为直角三角形． 25. 【建立模型】 （1）如图①，在中，，顶点C在直线l上．操作：过点A作于点D，过点B作于点E，试说明； 【模型应用】 （2）如图②，在平面直角坐标系中，直线：与y轴交于点A，与x轴交于点B，将直线绕着点A顺时针旋转得到，求的函数表达式． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何的综合、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、求一次函数解析式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）先说明、，再结合即可证明结论； （2）作交于点C，作轴于点D，易得，再证明可得、，即，最后运用待定系数法求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）作交于点C，作轴于点D， ∵直线：与y轴交于点A，与x轴交于点B， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设的表达式为，把代入得： ，解得：， 所以的函数表达式为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $