精品解析：2021年湖南省 株洲市 天元区株洲市第二中学 自主招生考试数学试题

株洲市第二中学2021年自主招生考试 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个命题中，真命题的个数为（ ） ①一个数的倒数等于本身，那么这个数是1； ②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形； ③的平方根是； ④若，则． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了判断命题真假，倒数的定义，正方形的判定定理，平方根，实数比较大小，乘积为1的两个数互为倒数，据此可判断①；根据正方形的判定定理可判断②；根据结合平方根的定义可判断③；举例，即可判断④． 【详解】解：①一个数的倒数等于本身，那么这个数是，原命题是假命题； ②对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原命题是假命题； ③的平方根是，而，故的平方根是，原命题是真命题； ④当时，满足，但是，原命题是假命题； ∴真命题只有③， 故选：B． 2. 已知关于x的一元一次不等式组有解，那么a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组有解，利用口诀：大小小大中间找可得关于a的不等式，解之即可． 【详解】解：解，得， ∵关于x的一元一次不等式组有解， ∴a的取值范围是； 故选D． 3. 点，是所给函数图象上的点，下列能使成立的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数、一次函数与二次函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数、一次函数与二次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据反比例函数、一次函数与二次函数的图象与性质进行排除选项． 【详解】解：A、由可知：，图象在第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，因为点，在函数图象上，所以，故不符合题意； B、由可知：，所以y随x的增大而增大，因为点，在函数图象上，所以，故不符合题意； C、由可知：开口向上，对称轴为直线，当时，y随x的增大而增大，因为点，在函数图象上，所以，故不符合题意； D、由可知：，所以y随x的增大而减小，因为点，在函数图象上，所以，故符合题意； 故选D． 4. 已知x、y、z为有理数，且等式成立，则的值是（ ） A. 2020 B. 2021 C. 2022 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，完全平方公式，代数式求值，掌握知识点是解题的关键． 将化为，得到，由x、y、z为有理数，得到，代入式子求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵x、y、z为有理数， ∴， ∴． 故选C． 5. 如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的系数的几何意义，由反比例函数的系数的几何意义可得，，进而根据解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，， ∴， 故选：B． 6. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点有半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本性质以及勾股定理，熟练掌握基本性质是解题关键． 先求出半径，再利用勾股定理求出的长度，再根据，代入式子即可得到答案． 【详解】解：设，，可得圆的半径， ∴， 在直角三角形中，， ∵， ∴， 故选：D． 7. 把一枚六个面编号分别为，0，1，2，3，4的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为a、b，则二次函数的图象与x轴有交点的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是概率的公式，二次函数与x轴的交点问题，掌握知识点是解题的关键． 先求出掷2次骰子有等可能性结果，再根据二次函数的图象与x轴有交点，得到，且，再把a，b的值一一代入检验，看是否满足．最后把满足的个数除以掷骰子可能出现的点数的总个数即可． 【详解】解：掷2次骰子有等可能性结果， ∵二次函数的图象与x轴有交点， ∴，即，且， ∴满足的点有：①，或0或1或2或3或4，② ，或0或1，③或0，④，或0，⑤，或0， 共有15种，故概率为：． 故选A． 8. 函数的最大值与最小值的和是（ ） A. 8 B. 10 C. D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查绝对值，一次函数，掌握这些知识点是解题的关键． 分类讨论：①当时，②当时，逐个求出y的值，继而确定y的最大值与最小值，即可解答． 【详解】解：①当时，； 由，得y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最大值为， 当时，， ∴当时，， ②当时，； 综上所述，当时，函数的最大值为5，最少值为3， ∴． 故选A． 二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9. 2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延．疫情就是命令，防控就是责任，在党中央的坚强领导和统一指挥下，全国人民众志成城、团结一心，掀起了一场坚决打赢疫情防控阻击战的人民战争．如图的图表展示了2月14日至29日全国新冠肺炎疫情变化情况，根据该折线图，下列结论错误的是（ ） A. 16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于2000 B. 16天中每日新增确诊病例数量的中位数与新增疑似病例数量的中位数相同 C. 16天中每日新增确诊病例数量在下降且19日的降幅最大 D. 19日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊病例数量与新增疑似病例数量 【答案】BCD 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，中位数和极差，掌握统计学中的基本概念是解题的关键．分别根据折线统计图，中位数和极差的定义判断即可． 【详解】解：A．由图中信息可知，16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于2000，原说法正确，故本选项不符合题意； B．由图中信息可知，16天中每日新增确诊病例数量的中位数为500，新增疑似病例数量的中位数大于500，原说法错误，故本选项符合题意； C．16天中每日新增确诊病例数量20日到21日上升，原说法错误，故本选项符合题意； D．19日至29日每日新增治愈病例数量并非都大于新增确诊病例数量与新增疑似病例数量，原说法错误，故本选项符合题意； 故选：BCD． 10. 如图，是的直径，弦于点G，点F是上一点，连接并延长交于点E，连接，，若，．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理以及直角三角形的边角关系逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵，是的直径， ∴，， ∴， ， 又∵， ∴， 因此选项A、B正确； 在中，，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 因此选项C不正确； 连接，设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 即半径为，直径， 连接，∵是直径， ∴， ∵， 即， 解得， ∴， 过点作交延长线于点， ∵， ∴，即， ∴， 解得， ∴， 因此选项D正确； 综上所述，正确的选项有A、B、D， 故选：ABD． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理以及直角三角形的边角关系，掌握圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键． 11. 下列说法正确的是（ ） A. 某省农作物秸秆的资源巨大，但合理利用量十分有限，因此该省准备引进适用的新技术提高秸秆的合理使用率．若今年的使用率为，计划后年的使用率达到，则这两年的秸秆使用率每年平均增长率为（假定该省每年生产的秸秆总量不变） B. 从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满，再倒出，又用水填满，连续进行了3次后，容器中的纯酒精还剩下 C. 不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为 D. 已知，，设，，若时， 【答案】AB 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，分数的应用，一元二次不等式恒成立问题，以及分式的大小比较，熟练掌握以上知识点是解题的关键．A选项通过建立年均增长率方程求解；B选项应用每次倒出后剩余量的比例计算；C选项分两种情况考虑，当时，看不等式是否成立，当时，结合二次函数开口方向及判别式确定参数范围；D选项通过构造反例验证结论不成立． 【详解】解：A、设年均增长率为，则，解得，正确； B、每次剩余，三次后剩余，正确； C、不等式对一切实数x都成立， 当时，不等式为，成立； 当时，且， 解得， ，故错误； D、取，，满足， ，， 此时，结论不成立，错误． 故选：AB． 12. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 不论k取何值，抛物线总是过定点 B. 若抛物线与x轴有两个交点，横坐标分别为，，且，则k的取值范围为 C. 不论k、m、n取何值，关于x、y的方程组总有实数解 D. 设抛物线与x轴的交点为A、B，顶点为C，则面积的最小值为1 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A可通过整理方程找出定点；选项B，由题意可知，时，；当时，，从而得出答案；选项C考虑时可能无解；选项D利用一元二次方程根与系数的关系，表示出，然后利用顶点坐标表示出三角形的面积，最后利用二次函数的性质求得最小值． 【详解】A、， ， 当时，，恒成立， 抛物线总是过定点，故正确； B、， ，其开口向上， 抛物线与轴总有两个交点， 抛物线与x轴有两个交点，横坐标分别为，，且， 时，；当，， 范围应为，与选项不符，故错误； C、当且时，方程无解，故错误； D、抛物线与x轴有两个交点，横坐标分别为，， ，， ， ， 顶点坐标为：， 抛物线与x轴的交点为A、B，顶点为C， ， ， ， 当时，取得最小值，且最小值为，故正确； 故选：AD． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点，顶点坐标，解不等式，二次函数的最值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 三、填空题（每小题5分，共20分） 13. 如果有两个因式和，则的值为______． 【答案】17 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解的意义，多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘以多项式是解决本题的关键．由题意可得，再根据多项式乘多项式的乘法法则，求出a与b，进一步求得 【详解】解：由题意得：， ∴ ∴． ∴． ∴． ∴． 故答案为：17． 14. 如图，四边形中，，平分，O为对角线的交点，，，则______． 【答案】##108度 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线定义，等腰三角形的判定和性质，关键是由三角形内角和定理得到关于x的方程．由平行线的性质推出，，由角平分线定义得到，因此，推出，得到，推出，由对顶角的性质得到，因此，推出，得到，于是，由三角形外角的性质得到，设，然后可列方程进行求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，底面半径为，高为1，E和F是底面圆周上两点，则圆锥的侧面积为______，面积的最大值为______． 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，先利用勾股定理计算出圆锥的母线长，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据扇形的面积公式可计算出圆锥的侧面积，根据三角形面积公式，当时，的面积最大． 【详解】解：∵圆锥的底面圆的半径为，高为1， ∴圆锥的母线长为， ∴圆锥的侧面积； 当时，此时面积最大，面积的最大值为． 故答案为：，2． 16. 已知样本数据，，…，的平均数与方差满足如下关系式：．若已知15个数，，…，的平均数为6，方差为9，现从原15个数中剔除，，，，这5个数，且剔除的这5个数的平均数为8，方差为5，则剩下的10个数，，…，的方差为______． （参考公式：） 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查求方差，根据给定的平均数与方差满足的关系式，求出剩余的数据的平均数，以及剩余数据的平方的和，进行求解即可。 【详解】解：∵15个数，，…，的平均数为6，方差为9， ∴，15个数的和为， ∴， ∵剔除的这5个数的平均数为8，方差为5， ∴剔除的这5个数的和为，， ∴， ∴剩余数的平均数为，， ∴， 即：剩下的10个数，，…，的方差为8； 故答案为：8. 四、解答题（共70分） 17. 如图，是的内接三角形，，D为中上一点，延长至点E，使． （1）求证：； （2）若，，求的值． 【答案】（1） 证明：∵是的内接三角形，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）2 【解析】 【分析】（1）先证出，只要再找一对角相等就可以了，利用边相等可得，，而，故，再利用可证出，由全等三角形的性质； （2）利用（1）中的全等，可得，，得，根据勾股定理得，而，所以有． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴； 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵且， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，还有圆内接四边形的外角等于其内对角等知识，熟记和圆有关的性质是证明题的关键． 18. （1）先化简，再求值：，其中a满足． （2）已知，，求实数z的值． 【答案】（1），1；（2）或 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，因式分解的应用，不定方程等知识点，难度较大，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）先利用分式的混合运算法则化简，再将变形为，再代入求值即可； （2）将两式化简得到，则，得到或，再分别代入求解即可． 【详解】解：（1）原式 ， 由得， ∴原式； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴或， ∴或， 将代入，则， ∴， ∴ ∴； 把代入，则， ∴， ∴， 综上：实数z的值为或． 19. 某花店每天以每枝3元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝8元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理． （1）若花店一天购进18枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n为正整数）的函数解析式； （2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），数据整理如下： 日需求量 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 ①假设花店在这100天内每天购进18枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数； ②若花店一天购进18枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率． 【答案】（1） （2）①78.16元② 【解析】 【分析】本题考查算术平均数，概率公式，掌握算术平均数的计算方法以及用频率估计简单随机事件发生的概率是正确解答的关键． （1）根据当天的利润与每天需求量之间的变化关系进行解答即可； （2）①求出日需量为14、15、16、17、18、19、20时的每一天的利润，再求出100天的日利润的平均数即可； ②计算日利润超过75元的天数占总天数的百分比即可． 【小问1详解】 解：当时，18枝玫瑰花全部卖出，每枝利润为元， 所以利润为元； 当时，卖出n枝，每枝利润5元，剩下的枝损失成本每枝3元， 所以利润为元； 综上，利润y关于当天需求量n的函数解析式为； 【小问2详解】 解：①当时，元，共10天总利润为元； 当时，元，共20天总利润为元； 当时，元，共16天总利润为元； 当时，元，共16天总利润为元； 当时，元，天数共天，总利润为元； 这100天的总利润为元，则日利润的平均数为元； ②当时，，频数为16， 当时，，频数为， 所以，利润不少于75元的天数为（天）， 因为以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率， 所以当天的利润不少于75元的概率为． 20. 如图，在中，已知为锐角，、、所对的边分别为a、b、c． （1）求证：； （2）若，，且，求的面积； （3）在（2）的条件下，若，求的长．（参考公式：） 【答案】（1） 证明：过点作于点， ∴在中，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，涉及“正弦定理，余弦定理”，正确作出辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，解得到，则，再在中运用勾股定理求解即可； （2）结合参考公式求出，，由（1）得，代入数据求出，过点作于点，解求出，再由面积公式求解即可； （3）过点作于点，先解求出，再在中运用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， 过点作于点， ∴， ∴， ∴， 【小问3详解】 解：过点作于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 21. 观察下列式子的变形规律，解决下列问题：；；… （1）若n为正整数，猜想______； （2）若，求正整数k的值； （3）化简：． 【答案】（1） （2） （3）当为奇数时，所求式子的值为；当为偶数时，所求式子的值为 【解析】 【分析】本题考查了规律探究，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则和乘法公式是解决问题的关键． （1）根据题目中的式子，可以将式子进行分解； （2）将所求式子变形，对各项分母有理化后裂项求和，然后求解即可，注意k为正整数； （3）根据题意对通项裂项后，分类讨论：为奇数和偶数两种情况，然后分别计算即可． 【小问1详解】 解：由题意得：； 故答案为； 【小问2详解】 解：∵， ， ， …..； ∴， ∵ ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； 【小问3详解】 解：当为奇数时， ； 当为偶数时， ； 综上所述：当为奇数时，所求式子的值为；当为偶数时，所求式子的值为． 22. 已知二次函数，当时，有． （1）求的解析式； （2）将的图像向左平移1个单位，再向下平移1个单位后得到解析式为，过点的直线交的图像于点A、B两点，过点A、B两点分别做的切线、，与交于点P，求证：点P的纵坐标为定值； （3）在（2）的条件下，设C、D为直线、与直线的交点，求面积的最小值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，定点定值问题，一元二次方程根与系数的关系等知识点，难度大，计算复杂． （1）可得抛物线的对称轴为直线，再根据增减性分析得到当；，然后代入解方程组即可； （2）先求出，设直线，联立直线与抛物线表达式得到，设，，则，，则，设直线，与抛物线联立得到，根据直线与抛物线相切，则，求出，那么直线的表达式为：，同理直线的表达式为：，求出交点横坐标为，再代入求解纵坐标； （3）令，解得：，，同理可得：，而，故，那么，再由非负性求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数， ∴对称轴为直线， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，有， ∴当； ， 由①②解得或（舍） ∴ ∴抛物线表达式为； 【小问2详解】 解：， 则根据题意可得， 如图： ∵直线经过点， ∴设直线， 联立， ∴， 设，， ∴，， ∴， ∵直线经过， 设直线， 则联立， ∴ ∴， ∵直线与抛物线相切， ∴， 即， 解得：， ∴直线的表达式为：， 同理直线的表达式为：， ∴， 解得：， ∴， ∴点纵坐标为； 【小问3详解】 解：如图， 令， 解得：， ∴， 同理可得： ∵，，， ∴， ∴ ， ， ∴， ∴的面积最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 株洲市第二中学2021年自主招生考试 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个命题中，真命题的个数为（ ） ①一个数的倒数等于本身，那么这个数是1； ②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形； ③的平方根是； ④若，则． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 2. 已知关于x的一元一次不等式组有解，那么a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 点，是所给函数图象上的点，下列能使成立的函数是（ ） A. B. C. D. 4. 已知x、y、z为有理数，且等式成立，则的值是（ ） A. 2020 B. 2021 C. 2022 D. 5. 如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点有半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ） A. B. C. D. 7. 把一枚六个面编号分别为，0，1，2，3，4的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为a、b，则二次函数的图象与x轴有交点的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 函数的最大值与最小值的和是（ ） A. 8 B. 10 C. D. 12 二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．） 9. 2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延．疫情就是命令，防控就是责任，在党中央的坚强领导和统一指挥下，全国人民众志成城、团结一心，掀起了一场坚决打赢疫情防控阻击战的人民战争．如图的图表展示了2月14日至29日全国新冠肺炎疫情变化情况，根据该折线图，下列结论错误的是（ ） A. 16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于2000 B. 16天中每日新增确诊病例数量的中位数与新增疑似病例数量的中位数相同 C. 16天中每日新增确诊病例数量在下降且19日的降幅最大 D. 19日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊病例数量与新增疑似病例数量 10. 如图，是的直径，弦于点G，点F是上一点，连接并延长交于点E，连接，，若，．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 某省农作物秸秆的资源巨大，但合理利用量十分有限，因此该省准备引进适用的新技术提高秸秆的合理使用率．若今年的使用率为，计划后年的使用率达到，则这两年的秸秆使用率每年平均增长率为（假定该省每年生产的秸秆总量不变） B. 从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满，再倒出，又用水填满，连续进行了3次后，容器中的纯酒精还剩下 C. 不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为 D. 已知，，设，，若时， 12. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 不论k取何值，抛物线总是过定点 B. 若抛物线与x轴有两个交点，横坐标分别为，，且，则k的取值范围为 C. 不论k、m、n取何值，关于x、y的方程组总有实数解 D. 设抛物线与x轴的交点为A、B，顶点为C，则面积的最小值为1 三、填空题（每小题5分，共20分） 13. 如果有两个因式和，则的值为______． 14. 如图，四边形中，，平分，O为对角线的交点，，，则______． 15. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，底面半径为，高为1，E和F是底面圆周上两点，则圆锥的侧面积为______，面积的最大值为______． 16. 已知样本数据，，…，的平均数与方差满足如下关系式：．若已知15个数，，…，的平均数为6，方差为9，现从原15个数中剔除，，，，这5个数，且剔除的这5个数的平均数为8，方差为5，则剩下的10个数，，…，的方差为______． （参考公式：） 四、解答题（共70分） 17. 如图，是的内接三角形，，D为中上一点，延长至点E，使． （1）求证：； （2）若，，求的值． 18. （1）先化简，再求值：，其中a满足． （2）已知，，求实数z的值． 19. 某花店每天以每枝3元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝8元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理． （1）若花店一天购进18枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n为正整数）的函数解析式； （2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），数据整理如下： 日需求量 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 ①假设花店在这100天内每天购进18枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数； ②若花店一天购进18枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率． 20. 如图，在中，已知为锐角，、、所对的边分别为a、b、c． （1）求证：； （2）若，，且，求的面积； （3）在（2）的条件下，若，求的长．（参考公式：） 21. 观察下列式子的变形规律，解决下列问题：；；… （1）若n为正整数，猜想______； （2）若，求正整数k的值； （3）化简：． 22. 已知二次函数，当时，有． （1）求的解析式； （2）将的图像向左平移1个单位，再向下平移1个单位后得到解析式为，过点的直线交的图像于点A、B两点，过点A、B两点分别做的切线、，与交于点P，求证：点P的纵坐标为定值； （3）在（2）的条件下，设C、D为直线、与直线的交点，求面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $