等比数列前n项和公式课件-2026届高三中职数学一轮复习

第五章 数列 第三节 等比数列 职教高考一轮复习 考点 考点解读 山东省近五年春季高考统计(题号) 常考题型 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 等比数列的概念，等比数列的通项公式，等比中项，前n项和公式及其应用 ①掌握等比数列和等差中项的概念 ②掌握等比数列的通项公式及前n项和公式 ③能运用数列的知识解决实际问题 (5) (27) (28) (6) (27) 选择题 解答题 直击高考 等比数列是本章内容是数学学习中的一个难点，春季高考中此类试题难度中等，题型多是选择题和解答题． 建议复习时以基础题为主，适当加强中等难度题目的训练，并注意等比数列和等比中项概念的运用，特别注意要将等比数列的通项公式、前n项和公式及相关性质作为重点进行强化训练． 考点分析 1．等比数列的定义 一般地，若一个数列从第2项起，每一项与其前一项之比为__________，则此数列为等比数列，此常数称为等比数列的_______，通常用小写字母q表示，即 [或 (n≥2，n∈N＋)]. 同一非零常数 公比 【注】　(1)若q＝1，此时数列为非零常数列． (2)由等比数列的定义可知q≠0，故等比数列中任意一项均不为零． 知识梳理 2．等比中项 若三个数a，G，b成等比数列，则G称为a与b的__________，有 G＝ 或 G2＝ab(ab>0). 【注】　若三个数成等比数列，且已知三个数之积，常设这三个数分别为 ，a，aq，以便简化运算． 等比中项 3．通项公式 an＝_______，n∈N＋(a1，q≠0). a1qn－1 4．前n项和公式 (1)若公比q＝1，则Sn＝________． (2)若公比q≠1，则Sn＝ ＝________． na1 5．等比数列的性质 (1)an＝amqn－m(m≠n，m，n∈N＋). (2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则有am·an＝________． 特别地，若m＋n＝2p，则有am·an＝________． (3)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列． ap·aq ap2 6．等差数列与等比数列的对照表(见表5－3－1) 对照项 等差数列 等比数列 定义 an＋1－an＝d(d为常)，n∈N＋ ＝q(q≠0)，n∈N＋ 一般形式 a1，a1＋d，a1＋2d，…(d为公差) a1，a1q，a1q2，…(q为公比，a1≠0且q≠0) 通项公式 an＝a1＋(n－1)d，n∈N＋ an＝a1qn－1(q≠0)，n∈N＋ 前n项和公式 Sn＝na1(d＝0) Sn＝na1＋ d＝ (d≠0) Sn＝na1(q＝1) Sn＝ ＝ (q≠1) 续表 对照项 等差数列 等比数列 中项 A为a与b的等差中项 ⇔A＝ G为a与b的等比中项 ⇔G＝ (ab>0) 性质 an＝am＋(n－m)d an＝amqn－m m＋n＝p＋q ⇒am＋an＝ap＋aq m＋n＝p＋q ⇒am·an＝ap·aq 【知识要点1】 判断等比数列并求解 【例1】　(1)下列数列一定是等比数列的是(　　) A．数列1，2，6，18，… B．数列{an}中， ＝2， ＝2 C．常数列a，a，…，a，… D．数列{an}中， ＝q(q≠0) D 【解析】　(1)对于A， ＝2， ＝3≠2，故不是等比数列；对于B，前3项是等比数列，多于3项时无法判定，故不一定是等比数列；对于C，当a＝0时，不是等比数列；对于D，该数列是公比为 的等比数列．故选D. 典例分析 (2)已知数列{an}满足an－2an＋1＝0，且首项为－2，则该数列的第5项为(　　) A． B． C． D． A 【解析】(2)由题意，得q＝ ，由等比数列的通项公式， 得a5＝a1q4＝ . 【举一反三1】　已知数列{an}中，a1＝1，an＝2an＋1，则数列{an}的通项公式是________． 【提示】 ∵在{an}中，a1＝1， ， ∴数列{an}是首项为a1＝1、公比q＝ 的等比数列， ∴通项公式为an＝a1qn－1＝ . 【知识要点2】 等比数列的通项公式 【例2】　在等比数列{an}中，已知a1＝1，a2＝2，则a3＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 B 【解析】　因为在等比数列{an}中，a1＝1，a2＝2， 所以公比q＝ ＝2，所以a3＝a1q2＝4. 【举一反三2】　已知等比数列{an}，公比为q，若a5＝4(a4－a3)，则q的值为(　　) A．4     B．3     C．2     D．1 C 【提示】由题意，得a1q4＝4(a1q3－a1q2)，∵a1≠0，q≠0， ∴q2－4q＋4＝0，解得q＝2. 【知识要点3】 等比中项 【例3】　已知1和9的等比中项是log2x，则实数x的值是(　　) A．2或 B．3或 C．8或 D．9或 C 【解析】　因为1和9的等比中项是log2x，所以log22x＝1×9， 即log2x＝±3，所以x＝23＝8或x＝2－3＝ . 【举一反三3】　在等比数列{an}中，若a3＝2，a5＝8，则a7＝(　　) A．10     B．16     C．24     D．32 D 【提示】因为在等比数列{an}中，a3＝2，a5＝8， 所以a7＝ ＝32，故选D. 【知识要点4】 等比数列的前n项和公式 【例4】　已知等比数列{an}的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项的和是(　　) A．179 B．211 C．243 D．275 B 【解析】　因为a5＝a1·q4＝81q4＝16，所以q＝ (负值舍去). 所以S5＝ ＝211. 【举一反三4】　在等比数列{an}中，若a1＝1，a2＝－2，则a6＋a7＋a8＋a9等于(　　) A．160     B．480     C．－160    D．－480 【思路点拨】　由S9－S5可得答案． A 【知识要点5】 等比数列的性质 【例5】　在等比数列{an}中，设a3·a4·a6·a7＝36，则a1·a9等于(　　) A．6     B．9    C．±6     D．±9 A 【解析】　本题考查等比数列的性质．∵3＋7＝4＋6＝1＋9，∴a1·a9＝a3·a7＝a4·a6，即a3·a4·a6·a7＝(a1·a9)2＝36，解得a1·a9＝±6，又∵a1和a9同号，∴a1·a9＝6. 【举一反三5】　在各项均为正数的等比数列{an}中，若log2a1＋log2a2＋…＋log2a9＝9，则a5等于(　　) A．－2     B．2     C．－4     D．4 B 【提示】由题意，知log2a1＋log2a2＋…＋log2a9＝log2(a1a2…a9)＝log2a59＝9，所以a59＝29，故a5＝2. 【知识要点6】 等比数列an与Sn的综合运用 【例6】　设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝ ，S6＝ ，则公比q＝(　　) A．4 B．－2 C．2 D．－4 C 【解析】　由S3＝ ，S6＝ ，得a4＋a5＋a6＝S6－S3＝28， 即q3(a1＋a2＋a3)＝28，而a1＋a2＋a3＝S3＝ ， 则q3＝8，解得q＝2.故选C. 【举一反三6】　设等比数列{an}的公比q＝3，前n项和为Sn，则 等于(　　) A．4 B． C．2 D． B 【提示】 ，故选B. 课堂小结 1.书面必做作业：完成复习资料基础练习题目； 2.拓展提升作业：依据考点根据自身掌握情况，利用复习书拓展练习进一步训练巩固相关内容 布置作业 $