3.5 相似三角形的应用 课件 2025--2026学年湘教版九年级数学上册

该初中数学课件围绕“相似三角形的应用”展开，系统梳理了相似三角形的判定与性质，并通过测量河宽、树高、建筑物高度等真实情境问题，构建从生活现象到数学建模的学习支架。教学设计由浅入深，先复习旧知，再引入实际测量案例，最后通过典型例题和分层作业巩固应用能力，形成完整的知识迁移链条。 其亮点在于紧扣新课标核心素养，突出“数学眼光”“数学思维”和“数学语言”的融合运用。例如在测量河宽的问题中，学生需观察图形结构发现平行线构造相似三角形，运用比例关系推理求解，体现几何直观与逻辑推理能力。课堂练习与作业均来自真实场景，强化模型意识与应用意识，既提升学生解决实际问题的能力，又帮助教师高效落实教学目标，实现学用结合的教学效果。

（湘教版）九年级 上 3.5相似三角形的应用 在三角形旁心的探究活动中，学生需要自主阐述。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解数学运算能力有助于学生更好地总结。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。考试中经常考查学生对垂直线段的掌握程度，特别是量化的能力。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。解决数学应用相关问题时，模型化是必不可少的步骤。 教学目标 01 新知导入 02 新知讲解 03 课堂练习 04 课堂总结 05 作业布置 06 目录 内容总览 教学目标 1.进一步巩固相似三角形的性质和判定方法。 2.能够运用相似三角形的知识解决不能直接测量物体的长度和高度的实际问题。 3.通过观察生活实例，培养学生发现数学问题、解决数学问题的能力。 4.经历从实际问题到建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力。 5.激发学生对数学学习的兴趣和热情，培养他们的数学素养。 在三角形旁心的探究活动中，学生需要自主阐述。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解数学运算能力有助于学生更好地总结。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。考试中经常考查学生对垂直线段的掌握程度，特别是量化的能力。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。解决数学应用相关问题时，模型化是必不可少的步骤。 新知导入 相似三角形的判定： 三个角对应相等， 且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三角形． 平行于三角形一边的直线与其他两边相交， 截得的三角形与原三角形相似. 两角分别相等的两个三角形相似. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 三边成比例的两个三角形相似. 新知导入 相似三角形的性质： 相似三角形的对应角相等， 对应边成比例. 相似三角形对应高的比等于相似比. 相似三角形对应的角平分线的比等于相似比. 相似三角形对应边上的中线的比等于相似比. 相似三角形的面积比等于相似比的平方． 在三角形旁心的探究活动中，学生需要自主阐述。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解数学运算能力有助于学生更好地总结。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。考试中经常考查学生对垂直线段的掌握程度，特别是量化的能力。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。解决数学应用相关问题时，模型化是必不可少的步骤。 新知讲解 如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小张想测量出A，B间的距离，但由于受条件限制无法直接测量，你能帮他想出一个可行的测量办法吗？ 动脑筋 新知讲解 如图，在池塘外取一点 C，使它可以直接看到A，B两点，连接并延长AC，BC，在AC的延长线上取一点D，在BC的延长线上取一点 E， 使==k(k 为正整数)， 测量出DE的长度后，就可以由相似三角形的有关知识求出A，B两点间的距离了． 在三角形旁心的探究活动中，学生需要自主阐述。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解数学运算能力有助于学生更好地总结。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。考试中经常考查学生对垂直线段的掌握程度，特别是量化的能力。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。解决数学应用相关问题时，模型化是必不可少的步骤。 新知讲解 如图，如果==2，且测得DE的长为50m，则A，B两点间的距离为多少？ 做一做 解：∵==2，∠ACB=∠DCE， ∴ △ABC∽△DEC． ∴=2． ∵ DE=50 m， ∴ AB=2DE=100m. 新知讲解 利用相似测量物体（不易测量）的宽度 依据：构造相似三角形，利用相似三角形的性质求解 测量数据：求物体宽度AB，需测量BC,CD和DE. 在三角形旁心的探究活动中，学生需要自主阐述。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解数学运算能力有助于学生更好地总结。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。考试中经常考查学生对垂直线段的掌握程度，特别是量化的能力。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。解决数学应用相关问题时，模型化是必不可少的步骤。 新知讲解 利用相似测量物体（不易测量）的宽度 依据：构造相似三角形，利用相似三角形的性质求解 测量数据：求物体宽度BC，需测量AD,AB,DE. 新知讲解 利用相似测量物体（不易测量）的宽度 依据：构造相似三角形，利用相似三角形的性质求解 测量数据：求物体宽度AB，需测量BC,BE,CD. 在三角形旁心的探究活动中，学生需要自主阐述。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解数学运算能力有助于学生更好地总结。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。考试中经常考查学生对垂直线段的掌握程度，特别是量化的能力。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。解决数学应用相关问题时，模型化是必不可少的步骤。 解：∵AA′∥BB′， ∴△OAA′∽△OBB′． ∴= ， ∴OA=0.2m,OB=50m,AA′=0.0005m. ∴ BB′=0.125m. 答:李明射击到的点B′偏离靶心点B的长度BB′为0.125m. 典例精析 例 在用步枪瞄准靶心时，要使眼睛(O)、准星(A)、靶点(B)在同一条直线上. 在射击时，李明由于有轻微的抖动，致使准星 A 偏离到A′， 如图所示. 已知OA=0.2 m，OB=50m，AA′=0.0005m， 求李明射击到的点B′偏离靶心点B的长度BB′（近似地认为AA′∥BB′）. 再探新知 利用相似测量物体的高度 测量数据：求物体高度CD，需测量AB,AC,BE. 在三角形旁心的探究活动中，学生需要自主阐述。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解数学运算能力有助于学生更好地总结。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。考试中经常考查学生对垂直线段的掌握程度，特别是量化的能力。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。解决数学应用相关问题时，模型化是必不可少的步骤。 再探新知 利用相似测量物体的高度 依据：构造相似三角形，利用相似三角形的性质求解 测量数据：求物体高度DF，需测量BC,EF,AC. 再探新知 利用相似测量物体的高度 依据：构造相似三角形，利用相似三角形的性质求解 测量数据：求物体高度AB，需测量CD,DE,BE. 在三角形旁心的探究活动中，学生需要自主阐述。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解数学运算能力有助于学生更好地总结。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。考试中经常考查学生对垂直线段的掌握程度，特别是量化的能力。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。解决数学应用相关问题时，模型化是必不可少的步骤。 【知识技能类作业】必做题： 课堂练习 1.如图，为测量河流的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B、C、D，使得AB⊥BC，点E在BC上，并且点A、E、D在同一直线上.若测得BE＝15m，EC＝9m，CD＝16m，则河的宽度AB等于(　　) A.35m B. m C.m D.m C 【知识技能类作业】必做题： 课堂练习 2.如图，为估算学校旗杆的高度，身高1.6米的小红同学沿着旗杆在地面的影子AB由A向B走去，当她走到点C处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得AC=2m，BC=8m，则旗杆的高度是(　　) A.6.4m B.7m C.8m D.9m C 在三角形旁心的探究活动中，学生需要自主阐述。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解数学运算能力有助于学生更好地总结。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。考试中经常考查学生对垂直线段的掌握程度，特别是量化的能力。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。解决数学应用相关问题时，模型化是必不可少的步骤。 【知识技能类作业】必做题： 课堂练习 3.如图所示，CD是一个平面镜，光线从A点射出经过CD上的E点反射后照射到B点，设入射角为（入射角等于反射角），AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为点C，D．若AC=3，CE=4，ED=8，则BD= ． 6 【知识技能类作业】必做题： 课堂练习 4.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为(　　) A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m C 在三角形旁心的探究活动中，学生需要自主阐述。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解数学运算能力有助于学生更好地总结。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。考试中经常考查学生对垂直线段的掌握程度，特别是量化的能力。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。解决数学应用相关问题时，模型化是必不可少的步骤。 【知识技能类作业】必做题： 课堂练习 5.张明同学的身高为1.6米，某一时刻他在阳光下的影长为2米，与他邻近一棵树的影长为8米，则这棵树的高是(　　)米. A.10 B.6.4 C.4 D.无法确定 B 【知识技能类作业】必做题： 课堂练习 6.一块直角三角板ABC按如图放置，顶点A的坐标为(0，1)，直角顶点C的坐标为(-3，0)，∠B＝30°，则点B的坐标为　　　　　　　　. (-3-,3) 在三角形旁心的探究活动中，学生需要自主阐述。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解数学运算能力有助于学生更好地总结。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。考试中经常考查学生对垂直线段的掌握程度，特别是量化的能力。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。解决数学应用相关问题时，模型化是必不可少的步骤。 【综合拓展类作业】 课堂练习 周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C，A共线. 已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝8.5 m.测量示意图如图所示.请根据相关测量信息，求河宽AB. 【综合拓展类作业】 课堂练习 解：∵CB⊥AD，ED⊥AD， ∴BC∥DE， ∴△ABC∽△ADE， ∴＝，即＝， 解得AB＝17(m). 经检验，AB＝17是原分式方程的解. 答：河宽AB的长为17 m. 在三角形旁心的探究活动中，学生需要自主阐述。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解数学运算能力有助于学生更好地总结。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。考试中经常考查学生对垂直线段的掌握程度，特别是量化的能力。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。解决数学应用相关问题时，模型化是必不可少的步骤。 课堂总结 利用相似测量物体的高度和宽度的方法是将实际问题转化为数学问题，并找出包含已知线段和待求线段的两个相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例和已知线段的长度，求出物体的宽度。 板书设计 利用相似求宽度： 利用相似求高度： 3.5相似三角形的应用 习题讲解书写部分 在三角形旁心的探究活动中，学生需要自主阐述。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解数学运算能力有助于学生更好地总结。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。考试中经常考查学生对垂直线段的掌握程度，特别是量化的能力。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。解决数学应用相关问题时，模型化是必不可少的步骤。 【知识技能类作业】必做题： 作业布置 1.如图是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，测得光线与地面所成的角∠AMC＝30°，窗户的高在教室地面上的影长MN＝2 米，窗户的下檐到教室地面的距离BC＝1米(点M，N，C在同一直线上)，则窗户的高AB为(　　) A．米 B．3米 C．2米 D．1.5米 C 【知识技能类作业】必做题： 作业布置 2.如图所示，在离某建筑物4m处有一棵树，在某时刻，1.2m长的竹竿垂直地面，影长为2m，此时，树的影子有一部分映在地面上，还有一部分影子映在建筑物的墙上，墙上的影高为2m，则这棵树高约有多少米( ) A．6.4米 B．5.4米 C．4.4米 D．3.4米 C 在三角形旁心的探究活动中，学生需要自主阐述。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解数学运算能力有助于学生更好地总结。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。考试中经常考查学生对垂直线段的掌握程度，特别是量化的能力。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。解决数学应用相关问题时，模型化是必不可少的步骤。 【知识技能类作业】必做题： 作业布置 3.如图，已知零件的外径为30 mm，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC=OD）测量零件的内孔直径AB．若OC∶OA=1∶2，且量得CD＝12 mm，则零件的厚度x= mm． 3 【综合拓展类作业】 作业布置 如图，一条东西走向的笔直公路，点A，B表示公路北侧间隔150米的两棵树所在的位置，点C表示电视塔所在的位置.小王在公路南侧所在直线PQ上行走，当他到达点P的位置时，观察到树A恰好挡住 电视塔，即点P，A，C在一条直线上，当他继续走180米到达点Q的位置时，观察到树B也恰好挡住电视塔.假设公路两侧AB∥PQ，且公路的宽为60米，求电视塔C到公路南侧所在直线PQ的距离. 在三角形旁心的探究活动中，学生需要自主阐述。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解数学运算能力有助于学生更好地总结。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。考试中经常考查学生对垂直线段的掌握程度，特别是量化的能力。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。解决数学应用相关问题时，模型化是必不可少的步骤。 【综合拓展类作业】 作业布置 解：如图所示，过点C作CE⊥PQ于点E，交AB于点D. 设CD的长为x，则CE的长为x＋60. ∵AB∥PQ， ∴△ABC∽△PQC， ∴＝， ∴ ＝， 即＝，解得x＝300， ∴x＋60＝360. 答：电视塔C到公路南侧所在直线PQ的距离是360米. $