2.3.3 点到直线的距离公式（培优教学课件）数学人教A版2019选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦点到直线的距离公式，通过复习两点间距离公式和向量投影知识，以问题链引导推导，搭建从已知到未知的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于采用直接法、向量投影法等多路径推导公式，发展逻辑推理与数学抽象素养，结合典例分析和分层练习培养数学运算能力。题型探究与课堂达标设计，便于教师高效教学，助力学生深化公式理解与应用。

第二章 直线和圆的方程 人教A版2019选择性必修第一册·高二 2.3 直线的交点坐标与距离公式 2.3.3 点到直线的距离公式 章节导读 确定直线位置的几何要素：点、方向 直线的倾斜角和斜率 直线的点斜式方程 直线的两点式方程 直线的一般式方程 点到直线、两平行直线间的距离 两条直线间的位置关系 直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 确定圆的几何要素：圆心、半经 圆的标准方程 圆的一般方程 两点间的距离公式 两条直线平行和垂直的判定 学 习 目 标 1 2 3 会用向量推导点到直线的距离公式,提升数学抽象和逻辑推理的核心素养 掌握点到直线的距离公式,培养数学运算的核心素养 能用,培养数学运算和逻辑推理的核心素养. 新知导入 1.两点间的距离公式是什么？ 2.如何利用向量求点P到直线l的距离？ • • 设 ，则向量 在直线l上的投影向量 在Rt△APQ中，由勾股定理，得 若直线l的法向量为 ，则点P到直线l的距离为 那么在平面直角坐标系内如何求点P到直线l的距离？ 有相应的计算公式吗？ 新知探究 问题1 如图，已知点P (x0, y0 ) ，直线l :Ax+By+C=0，如何求点P到直线l的距离呢? x y O P 直线l的方程 直线 l 的方程 交点 直线PQ的方程 点P的坐标 直线PQ的斜率 两点间距离公式 点P的坐标 点Q的坐标 思路简单运算繁琐 l⊥PQ 直线l的斜率 点P、Q之间的距离|PQ |（ P到l 的距离） l 思路一：直接法 Q 实际求解顺序 新知探究   垂线斜率 垂线方程 Q点坐标 |PQ|长度 直线 的斜率为 , 整理得 ， 直线 的方程为 得 得 新知探究 问题2 我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具，能否用向量方法求点到直线的距离？ 思路二：向量投影法 点P到直线l的距离，就是向量 的模. 设M（x,y）是直线l上的任意一点 M(x, y) 是与直线l的方向向量垂直的单位向量， 则 是 在 上的投影向量，则   追问1 如何利用直线l的方程得到与l的方向向量垂直的单位向量 ？ 新知探究 追问1 如何利用直线l的方程得到与l的方向向量垂直的单位向量 ？ M(x, y) 对于直线l:Ax+By+C=0,其方向向量为 其单位向量就是 则与 垂直的向量为 , 定义新知 点到直线的距离公式 点P(x0，y0) 到直线l:Ax+By+C=0的距离： 分子是P点坐标代入直线方程左边 分母是直线未知数x、y系数平方和的算术根 追问 A=0或B=0时，此公式是否也成立？ 说明： 1.用此公式时直线方程必须先化成一般式 2.此公式是在A≠0、B≠0的前提下推导的； 3.如果A=0或B=0，此公式也成立； 新知探究 比较上述两种方法： 第一种方法从定义出发,把问题转化为求两点间的距离,通过代数运算得到结果,思路自然; 第二种方法利用向量投影，通过向量运算求出结果,简化了运算． 问题3 除了上述两种方法，还有其他推导方法吗？ 思路三：间接法（等面积） x y O l Q P R S 面积法求出|PQ| 求出|PR| 求出|PS| 利用勾股定理求出|RS| 求出点R的坐标 求出点S的坐标 典例分析 例1 求点P(-1,2)到直线l:3x=2的距离. 将直线l的方程可化为一般式：3x-2=0 解： O y x l:3x=2 P(-1,2) 另解：如图，直线3x=2平行于y轴， 【变式】 求点P(-1,2)到直线l: 的距离. 典例分析 例2 已知点A(1, 3), B(3, 1), C(-1, 0),求∆ABC的面积. x y C O -1 1 2 2 3 3 1 B A 解：设AB边上的高为h, 则 ∴AB的方程为 化为一般式 h就是点 C 到AB边的距离． 点C(-1,0)到直线x+y-4=0的距离为 因此 典例分析 例2 已知点A(1, 3), B(3, 1), C(-1, 0),求∆ABC的面积. 追问 还有其他方法吗？ 求|AB|，|AC|，|BC| 余弦定理求cosA 求sinA 求三角形面积 求直线AB的方程 求lAB的与x轴交点D 求|CD| 三角形面积作差 课后练习 课本练习 课后练习 课本练习 课后练习 课本练习 利用点到直线的距离公式求参数值（范围） 题型一 题型探究 【例1】(1)点(2，1)到直线3x＋4y＋C＝0的距离为3，求C的值. [解析] 由题意可知 解得C=5,或C=-25 (2)点P(a,0)到直线3x＋4y-6＝0的距离大于3，则实数a的取值范围为　(　　) A．a>7                     B．a<-3 C．a>7或a<-3             D．a>7或-3<a<7 C [解析] 由题意可知 解得a >7或a <-3. 利用点到直线的距离公式求参数值（范围） 题型一 题型探究 【例1】(3)已知点A(ￚ3，ￚ4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的 值为 . [解析] 因为点A和B到直线的距离相等，由点到直线的距离公式可得 化简得 利用点到直线的距离公式求参数值（范围） 题型一 题型探究 提分笔记 根据点到直线的距离公式求参数值（范围）的方法 1.确定点的坐标和直线方程：坐标或方程中可能含参 2.利用点到直线的距离公式建立关于参数的方程（不等式） 3.解方程（不等式）即可得到参数的值（范围） 与点到直线的距离有关的最值问题 题型二 题型探究 【例2】点P(x，y)在直线x－3y＋10＝0上，O是原点，则|OP|的最小值是(　　) A． B．2 C． D．2 解析：点O到直线x－3y＋10＝0的距离即为|OP|的最小值， 所以|OP|min＝. A 与点到直线的距离有关的最值问题 题型二 题型探究 【例3】已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P. 求点A(5，0)到直线l的距离的最大值，并求距离最大时的直线l的方程． 解析：由解得即P(2，1)， 如图，过P作任一直线l， 设d为点A到直线l的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)， 所以dmax＝|PA|＝， 此时直线l的方程为3x－y－5＝0. 与点到直线的距离有关的最值问题 题型二 题型探究 解题感悟 点到直线的距离公式应用的最值问题 (1)利用对称转化为两点之间的距离问题． (2)利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离． (3)利用距离公式将问题转化为一元二次函数的最值问题，通过配方求最值． 课堂达标 1．点P(1，－1)到直线l：3y＝2的距离是(　　) A．3　　　　B． C.1 D． B 解析：B　点P(1，－1)到直线l的距离d＝，选B. 课堂达标 2．点Q(a，0)到直线x＋y＝0的距离为，则a＝__________________． ±2 解析：由点到直线的距离公式，得d＝ ＝2, 即a＝±2. 课堂达标 3．经过两直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为________________________． 解析：设所求直线l的方程为x＋3y－10＋λ(3x－y)＝0， 即(1＋3λ)x＋(3－λ)y－10＝0， 因为原点到直线的距离d＝＝1， 所以λ＝±3，即直线方程为x＝1或4x－3y＋5＝0， 所以和原点相距为1的直线的条数为2. 2 课堂达标 4．(多选题)直线l过点B(3,3),若A(1,2)到直线l的距离为2，则直线l的方程可以为(　　) A．3x＋4y－21＝0 B．4x＋3y－21＝0 C．x＝3 D．y＝3 解析：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3满足条件． 直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－3＝k(x－3)，即kx－y＋3－3k＝0. 由题意可得＝2，解得k＝－， 所以直线l的方程为3x＋4y－21＝0. 综上，可得直线l的方程为x＝3或3x＋4y－21＝0. AC　 课堂小结 点到直线的距离公式 点P(x0，y0) 到直线l:Ax+By+C=0的距离： 感谢聆听! $