12.12勾股定理的逆定理（题型专练）数学新教材北京版八年级上册

12.12 勾股定理的逆定理 题型一 已知三边判定能否构成直角三角形 1．（24-25八年级下·北京·阶段练习）下列每组三个数能构成直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南新乡·期末）已知分别为的三条边，若不是直角三角形，则需满足的条件是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·期末）将长度分别为6，8，10，15，17的木棒，摆成两个直角三角形，其中正确的是（　　） A．B．C． D． 题型二 利用已知条件判断三角形形状 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知是的三边长，若，则的形状是 ． 5．（2024八年级下·广东揭阳·竞赛）已知三边长分别为a，b，c，且满足，则的形状为 ． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）若a，b，c是的三边长，且满足，则是 三角形． 题型三 网格中判断直角三角形 7．（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，已知正方形网格中的，若小方格边长为1，则 ， ， ，判断的形状为 三角形． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连接、，则的度数为 ． 9．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，若从中任取三点构成三角形，则其中是直角三角形的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．（25-26九年级上·广东广州·开学考试）如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1． (1)__________． (2)连接，判断是什么三角形？请说明理由． (3)求四边形的面积． 题型四 利用勾股定理逆定理求线段长 11．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，的对角线与相交于点，，，，则为（    ） A． B． C．3 D． 12．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，在中，，，，借助尺规在上确定一点P，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．（24-25七年级下·广东深圳·期末）中，O是两内角平分线的交点，，O到的距离是 ． 14．（25-26八年级上·四川达州·开学考试）如图，在中，是上的点，连接，，，，，求的长． 题型五 利用勾股定理逆定理求角度 15．（23-24八年级下·广东揭阳·期中）如图，将绕点A顺时针旋转角（）得到，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 16．（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 17．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知．则的度数为（   ） A． B． C． D． 18．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）若三角形三边长之比为：：，则这个三角形中的最大角的度数是 题型六 利用勾股定理逆定理求面积 19．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是（　　） A．5 B．4 C． D．8 20．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，则平行四边形的面积是（　　） A．12 B． C．24 D．30 21．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）如图，三个正方形的面积分别为，，，且K是中点．若，，，则的长为（ ） A． B． C． D．5 22．（22-23八年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，点D为的中点，，则：    （1）的度数为 ； （2）的面积是 ． 题型七 利用利用勾股定理逆定理解决实际问题 23．（23-24八年级下·北京·期末）我国南宋时期著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载了这样一道题目：  “今有沙田一块，有三斜，其中小斜七丈，中斜二十四丈，大斜二十五丈，欲知为田几何?”译文是：有一块三角形沙田，三条边长分别为丈，丈，丈，这块沙田的面积是 平方丈 24．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，道路因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条道路，已知千米，千米，千米，新的取水点H与原取水点A相距1.5千米，请问新修道路是不是村庄C到河边最近的路？ （填是或不是）；走新修路比走原路少走 千米？ 25．（24-25八年级下·北京·期末）如图，小明家有一块三角形土地用来种植菠菜，其中，，小明想以B为起点挖一条水渠，点D在边上．水渠能将土地分成而积相等的两部分．分别用来种植两种不同蔬菜，又能同时对两种蔬菜进行灌溉．请帮小明计算一下水渠的准确长度． 26．（25-26八年级上·全国·单元测试）一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的距离是． (1)若轮船速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需的时间； (2)C岛在A港的什么方向？ 27．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道的同侧，售卖机A，B之间的距离为500米，管道分叉口M与B之间的距离为300米，于点N，M到的距离为240米．假设所有管道的材质相同． (1)求B，N之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 28．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A，B的距离分别为，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心移动的速度为，台风影响海港C持续的时间有多长？ 29．（24-25八年级下·河北保定·期末）综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用． (3)若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 题型一 求图形上与已知两点构成直角三角形的点的个数 30．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 31．（2022·河北承德·二模）如图，在由边长为1的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．若再选择一个格点C，使△ABC是直角三角形，且每个直角三角形边长均大于1，则符合条件的格点C的个数是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 32．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图， 在的正方形网格中，，，，均在格点上， 从中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为 （   ） A．0 B．1 C．2 D．3 33．（22-23八年级上·四川眉山·期末）在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得是直角三角形，则这样的格点C的个数是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 34．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 35．（21-22八年级下·福建厦门·期中）定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． (1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 36．（20-21八年级上·福建泉州·期中）阅读：判断三角形的形状，有一个重要的方法：如果一个三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．这个方法称为“勾股定理的逆定理”，范例：在中，、、是其三条边，已知，，，判断的形状． 解：在中，因为，，所以．所以是直角三角形． 认真阅读上述材料后，按此方法解答下列问题： (1)填空：已知三角形的三边长分为5、12、13，因为 ，所以这个三角形是直角三角形． (2)已知三边分别为，求证：是直角三角形． (3)已知、、是的三边，且满足，试判断的形状． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 12.12 勾股定理的逆定理 题型一 已知三边判定能否构成直角三角形 1．（24-25八年级下·北京·阶段练习）下列每组三个数能构成直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A：∵，， ∴，不能构成直角三角形，故该选项不合题意； B：∵，， ∴，不能构成直角三角形，故该选项不合题意； C：∵，， ∴，能构成直角三角形，故该选项符合题意； D：∵，， ∴，不能构成直角三角形，故该选项不合题意． 故选：C ． 2．（25-26八年级上·河南新乡·期末）已知分别为的三条边，若不是直角三角形，则需满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、∵， ， ∴能构成直角三角形，故A不符合题意； B、∵， ∴最大角， ∴不能构成直角三角形，故 B 符合题意； C、∵， ， ∴能构成直角三角形，故C不符合题意； D、∵， ∴， ∴能构成直角三角形，故D不符合题意； 故选：B． 3．（25-26八年级上·全国·期末）将长度分别为6，8，10，15，17的木棒，摆成两个直角三角形，其中正确的是（　　） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【详解】解：A、，，故选项A不符合题意； B、，，故选项B不符合题意； C、，，故选项C符合题意； D、，，故选项D不符合题意； 故选：C． 题型二 利用已知条件判断三角形形状 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知是的三边长，若，则的形状是 ． 【答案】直角三角形 【分析】本题可根据绝对值、平方数和算术平方根的非负性求出三角形三边的长度，再根据三边长度关系，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．本题主要考查了绝对值、平方数和算术平方根的非负性以及勾股定理的逆定理．熟练掌握绝对值、平方数和算术平方根的非负性质（若干个非负数的和为，则每个非负数都为），以及勾股定理的逆定理（若三角形的三边、、满足，则这个三角形是直角三角形）是解题的关键． 【详解】解：∵，，，且， ∴ 解得 ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 5．（2024八年级下·广东揭阳·竞赛）已知三边长分别为a，b，c，且满足，则的形状为 ． 【答案】等腰直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，算术平方根的非负性质，偶次方的非负性质，熟练掌握勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，算术平方根的非负性质，偶次方的非负性质是解题的关键． 根据已知，，可得且，进而得出，，即，根据勾股定理的逆定理和等腰三角形的定义即可得出答案． 【详解】解： ， 且， ，，即， ，是直角三角形， 是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）若a，b，c是的三边长，且满足，则是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，非负数的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理及非负数的性质是解题的关键．根据非负数的性质可得，，，所以，根据勾股定理的逆定理即可得到答案． 【详解】解：， ，，， ， 是直角三角形． 故答案为：直角． 题型三 网格中判断直角三角形 7．（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，已知正方形网格中的，若小方格边长为1，则 ， ， ，判断的形状为 三角形． 【答案】 8 32 40 直角 【分析】本题考查勾股定理及逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 根据勾股定理可以计算出的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断的形状． 【详解】解：由图可得，，，， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：8，32，40，直角． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连接、，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的定义与性质，先计算，，，再进一步解答即可． 【详解】解：连接， 根据勾股定理可以得到：，，， ∴且， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，若从中任取三点构成三角形，则其中是直角三角形的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握两个定理． 利用勾股定理求出每条边的平方，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：如图，连接， 借助网格和勾股定理得， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴为直角三角形； ∵， ∴为直角三角形； ∵， ∴为直角三角形； ∴直角三角形有3个， 故选：B． 10．（25-26九年级上·广东广州·开学考试）如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1． (1)__________． (2)连接，判断是什么三角形？请说明理由． (3)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形，见解析 (3)7 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求解即可； （2）根据勾股定理可求出的长，则可证明，，据此可得结论； （3）根据勾股定理可求出的长，则可证明，得是直角三角形，结合（2）结果，可得结论． 【详解】（1）解：由勾股定理得：， 故答案为：； （2）解：是等腰直角三角形， 理由如下： 如图，由勾股定理得：， ∵， ，， ， 是等腰直角三角形； （3）解：如图，由勾股定理得：，， ∵， ， ， ， ， ． 题型四 利用勾股定理逆定理求线段长 11．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）如图，的对角线与相交于点，，，，则为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质，得，， 根据题意，得，得到，根据勾股定理，得，解答即可． 本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵的对角线与相交于点，，，， ∴，， 根据题意，得， ∴， 根据勾股定理，得． 故选：B． 12．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图，在中，，，，借助尺规在上确定一点P，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，角平分线的性质，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．先根据勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，再作于H，由角平分线的性质可得出，设，再由即可得出结论． 【详解】解：，，，， 是直角三角形， 作于H， 由题意，平分， ，， ，设， ， ， ， ， ， 故选：C． 13．（24-25七年级下·广东深圳·期末）中，O是两内角平分线的交点，，O到的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理、角平分线的性质，连接，过点O作于D，于E，于F，根据勾股定理的逆定理得到，根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，过点O作于D，于E，于F， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵O是两内角平分线的交点，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 则O到的距离是2， 故答案为：2． 14．（25-26八年级上·四川达州·开学考试）如图，在中，是上的点，连接，，，，，求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，从而可得，用勾股定理解三角形，可得的长度，与相加，即可得的长． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 答：的长为． 题型五 利用勾股定理逆定理求角度 15．（23-24八年级下·广东揭阳·期中）如图，将绕点A顺时针旋转角（）得到，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查旋转的性质和勾股定理的逆定理，先根据旋转的性质得到，再根据勾股定理的逆定理即可解决问题； 【详解】解：由旋转的性质可知：，， ∵， ∴， 又∵ ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 16．（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，在四边形中，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．连接，可求，再由，可得是直角三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 故选：D． 17．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质．根据勾股定理可得，再由勾股定理的逆定理可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 18．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）若三角形三边长之比为：：，则这个三角形中的最大角的度数是 【答案】/度 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理，正确把握直角三角的判定方法是解题关键．直接利用勾股定理的逆定理，若一个三角形的三条边长分别为，且满足(其 中为最长边)，则这个三角形是直角三角 形，得出三角形的形状进而得出答案． 【详解】解：∵三角形三边长之比为：：，可设三边长分别为，，， ∵， 又∵， ∴， ∴此三角形是直角三角形， ∴这个三角形中最大角的度数是． 故答案为：． 题型六 利用勾股定理逆定理求面积 19．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是（　　） A．5 B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积公式等知识，熟练掌握勾股定理，正确作出辅助线构建直角三角形是解题的关键． 连接，由勾股定理求得，再由勾股定理逆定理可得，由即可求解． 【详解】解：连接，如图： ∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 20．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，则平行四边形的面积是（　　） A．12 B． C．24 D．30 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理逆定理，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，再由勾股定理逆定理确定是直角三角形，得出，再求面积即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，且， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， 即， ∴平行四边形面积为：． 故选：C． 21．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）如图，三个正方形的面积分别为，，，且K是中点．若，，，则的长为（ ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握用勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形是解题的关键．根据正方形的面积公式求出，，，，所以，从而得出，再根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可． 【详解】解：正方形的面积， ∴， 正方形的面积， ∴， ∴， 正方形的面积的， ， ∴， ∴ ， 是中点， ， 故选：A． 22．（22-23八年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，点D为的中点，，则：    （1）的度数为 ； （2）的面积是 ． 【答案】 /90度 30 【分析】（1）延长至，使，连接，证明，得，，，从在，是得，再由勾股定理逆定理得出，即可求解； （2）根据，利用求解即可． 【详解】解：（1）延长至，使，连接，   为的中点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ∴， ； 故答案为：． （2） 的面积是30． 故答案为：30． 【点睛】本题考查全等三角的判定与性质，勾股定理逆定理，倍长中线，构造全等三角形是解题的关键． 题型七 利用利用勾股定理逆定理解决实际问题 23．（23-24八年级下·北京·期末）我国南宋时期著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载了这样一道题目：  “今有沙田一块，有三斜，其中小斜七丈，中斜二十四丈，大斜二十五丈，欲知为田几何?”译文是：有一块三角形沙田，三条边长分别为丈，丈，丈，这块沙田的面积是 平方丈 【答案】 【分析】本题考查勾股定理逆定理的实际应用，根据题意画出示意图，根据相关数据证明图形是直角三角形，根据面积公式计算即可． 【详解】解：根据题意，画出示意图如下：    丈，丈，丈， ，， ， 是直角三角形，且， （平方丈）, 故答案为：． 24．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，道路因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条道路，已知千米，千米，千米，新的取水点H与原取水点A相距1.5千米，请问新修道路是不是村庄C到河边最近的路？ （填是或不是）；走新修路比走原路少走 千米？ 【答案】 是 0.5/ 【分析】此题考查了勾股定理和勾股定理逆定理的应用， 首先根据勾股定理的逆定理得到，进而得到新修道路是村庄C到河边最近的路；然后勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】∵千米，千米，千米 ∴ ∴ ∴新修道路是村庄C到河边最近的路； ∵千米 ∴ ∴千米 ∴走新修路比走原路少走0.5千米． 故答案为：是；0.5． 25．（24-25八年级下·北京·期末）如图，小明家有一块三角形土地用来种植菠菜，其中，，小明想以B为起点挖一条水渠，点D在边上．水渠能将土地分成而积相等的两部分．分别用来种植两种不同蔬菜，又能同时对两种蔬菜进行灌溉．请帮小明计算一下水渠的准确长度． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，三角形中线的性质，可证明，得到，再根据题意可得是中线，则，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分的面积， ∴是中线， ∴， ∴， 答：水渠的准确长度为． 26．（25-26八年级上·全国·单元测试）一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的距离是． (1)若轮船速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需的时间； (2)C岛在A港的什么方向？ 【答案】(1) (2)北偏西 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理的应用； （1）先求解，结合，可得，再进一步的利用勾股定理计算即可； （2）先证明，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知． 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，而， ∴轮船从岛沿返回港所需的时间为． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴岛在港的北偏西方向上． 27．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道的同侧，售卖机A，B之间的距离为500米，管道分叉口M与B之间的距离为300米，于点N，M到的距离为240米．假设所有管道的材质相同． (1)求B，N之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 【答案】(1)180米 (2)珍珍的观点正确，见解析 【分析】1）利用勾股定理解答即可； （2）利用勾股定理及其逆定理，证明即可． 本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴． 在中，， 由勾股定理得， 即B，N之间的距离为180米； （2）解：∵， ∴． 在中， 由勾股定理得． ∵，，， ∴， ∴，即， ∴是垂线段， ∴是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确． 28．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·阶段练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上两点A，B的距离分别为，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心移动的速度为，台风影响海港C持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港C受台风影响，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，正确作出辅助线是解题的关键． （1）过点C作于D，可证明得到，利用等面积法求出的长，即可得到结论； （2）在线段上取两点E、F，使得，连接，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，据此可得答案． 【详解】（1）解：海港C受台风影响，理由如下： 如图所示，过点C作于D， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴海港C受台风影响； （2）解：如图所示，在线段上取两点E、F，使得，连接， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵台风中心移动的速度为，且， ∴台风影响海港C持续的时间有， 答：台风影响海港C持续的时间有． 29．（24-25八年级下·河北保定·期末）综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用． (3)若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 【答案】(1)A，C (2)建造绿化地的费用为11400元 (3)方案一所花的费用700元方案二所花的费用740元，铺设管道所需的最少费用为700元 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证，再计算， ，最后相加，即可作答； （3）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），于是得到结论． 【详解】（1）解：连接， 施工人员测量的是A，C两点之间的距离， ∵ ∴， ∴， 即当测量A，C两点之间的距离为 ∴满足勾股逆定理得； ∴， 故答案为：A，C； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴四边形的面积， ∴建造绿化地的费用（元）； （3）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元）， 方案二：铺设管道所花的费用（元）， ∵ ∴铺设管道所需的最少费用为700元． 题型一 求图形上与已知两点构成直角三角形的点的个数 30．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个． 【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选C． 31．（2022·河北承德·二模）如图，在由边长为1的7个正六边形组成的网格中，点A，B在格点上．若再选择一个格点C，使△ABC是直角三角形，且每个直角三角形边长均大于1，则符合条件的格点C的个数是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】分三种情况讨论，当∠A=90°，或∠B=90°，或∠C=90°时，分别画出符合条件的图形，即可解答． 【详解】解：分三种情况讨论，当∠A=90°，或∠B=90°，或∠C=90°如图 符合条件的格点C的个数是6个 故选：D． 【点睛】本题考查正多边形和圆的性质、直角三角形的判定与性质、直径所对的圆周角是90°等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 32．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图， 在的正方形网格中，，，，均在格点上， 从中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为 （   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先连接、、、、、，设小正方形的边长为1，利用勾股定理求得各边的平方，再根据勾股定理的逆定理得出直角三角形即可． 【详解】解：连接、、、、、， 设小正方形的边长为1，得： ，，，，， ，， 、、是直角三角形，共3个直角三角形 故选：D． 33．（22-23八年级上·四川眉山·期末）在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得是直角三角形，则这样的格点C的个数是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是根据△ABC是直角三角形得出多种情况解答． 以点为直角顶点时，根据勾股定理的逆定理得出符合条件的有2个点；以点为直角顶点时有3个点，以点为直角顶点时有3个点，共8个． 【详解】解：如图所示： 其中，，AB=2， ∵， ∴为直角三角形， 同理：为直角三角形， 网格中其他点C如图所示， 所以格点C的个数是8， 故选：D． 34．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【答案】(1)锐角；钝角 (2) (3)①；②；③ 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，反之为钝角三角形； （2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （3）当为直角三角形时，可求出，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围． 【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边 当三边分别为6、8、9时，为锐角三角形 当三边分别为6、8、11时，为钝角三角形 （2）解：由勾股定理逆定理可得， 当时，为锐角三角形； 当时，为钝角三角形； （3）解：当为直角三角形时，； 当为锐角三角形时，， ； 当为钝角三角形时，， 则的取值范围为， 两边之和大于第三边， ． 35．（21-22八年级下·福建厦门·期中）定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． (1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)BN＝12或13 【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x，分三种情形①当AM为最大线段时，依题意AM2＝MN2＋BN2，②当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，③当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2，分别列出方程即可解决问题． 【详解】（1）是．理由如下： ∵AM2＋BN2＝1.52＋22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25， ∴AM2＋NB2＝MN2， ∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形， ∴点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x， ①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2， 即（25−x）2＝x2＋25， 解得x＝12； ②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2． 即x2＝25＋（25−x）2， 解得x＝13， 综上所述，BN＝12或13． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解． 36．（20-21八年级上·福建泉州·期中）阅读：判断三角形的形状，有一个重要的方法：如果一个三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．这个方法称为“勾股定理的逆定理”，范例：在中，、、是其三条边，已知，，，判断的形状． 解：在中，因为，，所以．所以是直角三角形． 认真阅读上述材料后，按此方法解答下列问题： (1)填空：已知三角形的三边长分为5、12、13，因为 ，所以这个三角形是直角三角形． (2)已知三边分别为，求证：是直角三角形． (3)已知、、是的三边，且满足，试判断的形状． 【答案】(1) (2)见解析 (3)等腰三角形或直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，乘法公式．熟练掌握勾股定理逆定理判断三角形的形状是解题的关键． （1）根据，进行作答即可． （2）根据，由，可得，进而结论得证； （3）根据整式的乘法公式变形化简可得或，然后判断三角形的形状即可． 【详解】（1）解：∵， ∴这个三角形是直角三角形， 故答案为：； （2）证明：∵， ∴， ∴，即， ∴是直角三角形； （3）解：∵， ∴， ∴ ∴或， 解得或， ∴是等腰三角形或直角三角形． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $