第二章 专题突破3 动态平衡 平衡中的临界、极值问题（课件PPT）-【高考领航】2026年高考物理大一轮复习学案

专题突破3　 动态平衡　平衡中的临界、极值问题 返回 ‹#› 1.掌握动态平衡问题的特点，会用图解法、解析法、相似三角形法等解决动态平衡问题。 2．掌握临界与极值问题的特点，会分析平衡中的临界与极值问题。 复习 目标 返回 ‹#› 1 考点一　 2 考点二　 3 限时规范训练 栏 目 导 引 返回 ‹#› 1．动态平衡是指物体的受力情况缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态。 2．常用方法：图解法、解析法、相似三角形法、正弦定理法等。 方法1　图解法的应用 (1)用图解法分析物体动态平衡问题时，一般是物体只受三个力作用，且其中一个力大小、方向均不变，另一个力的方向不变，第三个力大小、方向均变化。 (2)根据已知量的变化情况，画出不同状态下平行四边形边、角的变化。 (3)根据边长的变化判断力的大小的变化，根据角度的变化判断力的方向的变化。 考点一 物体的动态平衡 返回 ‹#› (2025·湖北黄冈模拟)如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个重环，绕过光滑定滑轮的轻绳一端与重环相连，另一端施加拉力F使重环从A点缓慢上升到B点。设杆对重环的弹力大小为FN，整个装置处于同一竖直平面内，在此过程中(　　) A．F逐渐增大，FN逐渐增大 B．F逐渐增大，FN先减小后增大 C．F先减小后增大，FN逐渐增大 D．F先减小后增大，FN先减小后增大 返回 ‹#› 解析：B　对物体受力分析，并构建封闭的矢量三角形，如图所示，由图可知，在拉力到达竖直方向前，与竖直方向的夹角越来越小，拉力F增大，FN减小，经过竖直方向后，夹角又逐渐变大，拉力F继续增大，FN 也增大，故B正确。 返回 ‹#› 方法2　解析法的应用 (1)对研究对象进行受力分析，画出受力示意图。 (2)根据物体的平衡条件列式，得到因变量与自变量的关系表达式(通常要用到三角函数)。 (3)根据自变量的变化确定因变量的变化。 返回 ‹#› (2025·广东湛江模拟)如图甲所示，用瓦片做屋顶是我国建筑的特色之一。铺设瓦片时，屋顶结构可简化为图乙所示，建筑工人将瓦片轻放在两根相互平行的檩条正中间后，瓦片静止在檩条上。已知檩条间距离为d，檩条与水平面夹角均为θ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是(　　) A．仅减小θ时，瓦片与每根檩条间的摩擦力 的合力变大 B．仅减小θ时，瓦片与每根檩条间的弹力的 合力变小 C．仅减小d时，瓦片与每根檩条间的弹力变大 D．仅减小d时，瓦片可能会下滑 D 返回 ‹#› 解析：D　檩条对瓦片的支持力如图所示，设两檩条对瓦片的支持力与竖直方向上的夹角为α，则有2F cos α＝mg cos θ，若仅减小檩条间的距离d时，夹角α变小，则两檩条给瓦片的支持力F变小，故瓦片与每根檩条间的弹力变小，最大静摩擦力变小，则瓦片可能下滑，故C错误，D正确；若仅减小θ时，根据Ff＝mg sin θ可知瓦片与檩条间的摩擦力的合力变小，根据2F cos α＝mg cos θ可知若仅减小θ时， 瓦片与檩条间的弹力的合力变大，故A、 B错误。 返回 ‹#› 方法3　相似三角形法的应用 (1)物体受三个力平衡，其中一个力恒定，另外两个力的方向同时变化，当所作“力的矢量三角形”与空间的某个“几何三角形”相似时，可利用相似三角形对应边成比例进行分析。 (2)根据已知量的变化判断未知量的变化情况。 返回 ‹#› (2025·宁夏银川模拟)如图所示，竖直墙壁O处用光滑铰链铰接一轻质杆的一端，杆的另一端固定小球(可以看成质点)，轻绳的一端悬于P点，另一端与小球相连。已知轻质杆长度为R，轻绳的长度为L，且R<L<2R。A、B是墙上两点，且OA＝OB＝R。现将轻绳的上端点P沿墙壁缓慢下移至A点，此过程中轻绳对小球的拉力F1及轻质杆对小球的支持力F2的大小变化情况为(　　) A．F1和F2均增大 B．F1保持不变，F2先增大后减小 C．F1和F2均减小 D．F1先减小后增大，F2保持不变 A 返回 ‹#› 解析：A　小球受重力、轻绳的拉力和支持力，由于平衡，三个力可以构成矢量三角形，如图所示，根据平衡条件，该力的矢量三角形与几何三角形POC相似，则有，解得F1＝G，当P点下移时，PO减小，L、R不变，故F1增大，F2增大，故选项A正确。 返回 ‹#› 方法4　正弦定理法(辅助圆法)的应用 (1)特点：物体受三个共点力，这三个力其中有一个力为恒力，另外两个力都变化，且两个变化的力的夹角不变。 (2)正弦定理法：(其中α1、α2、α3分别为F2与F3、F1与F3、F1与F2的夹角)。 (3)利用辅助圆，恒力为圆的一条弦，恒力所对应角的顶点在圆上移动，可保持圆心角不变，根据不同位置判断各力的大小变化。 返回 ‹#› (一题多解)(多选)如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α(α＞)。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中(　　) A．MN上的张力逐渐增大 B．MN上的张力先增大后减小 C．OM上的张力逐渐增大 D．OM上的张力先增大后减小 AD 返回 ‹#› 解析：AD　法一：以重物为研究对象分析受力情况，受重力mg、OM绳上拉力F2、MN绳上拉力F1，由题意知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示，F1、F2的夹角不变，在F2转至水平的过程中，矢量三角形在同一外接圆上，由图可知，MN上的张力F1逐渐增大，OM上的张力F2先增大后减小，所以A、D正确，B、C错误。 返回 ‹#› 法二：正弦定理法根据正弦定理，mg与sin θ3保持不变，sin θ1变大，F1变大，sin θ2先增大后减小，F2先增大后减小，故选A、D。 返回 ‹#› 1．临界、极值问题特征 (1)临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述。 ①由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。 ②绳子恰好绷紧，拉力F＝0。 ③刚好离开接触面，支持力FN＝0。 (2)极值问题：平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值。 考点二 平衡中的临界、极值问题 返回 ‹#› 2．解题方法 (1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，要把某个物理量推向极端，即极大或极小。 (2)数学分析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。 (3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。 返回 ‹#› 如图所示，一光滑球体放在支架与竖直墙壁之间，支架的倾角θ＝60°，光滑球体的质量为m，支架的质量为2m，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，整个装置保持静止，则支架和地面间的动摩擦因数至少为 (　　) A．　　　　 B． C． D． 角度1　临界问题 D 返回 ‹#› 解析：D　对光滑球体受力分析如图甲所示，根据平衡条件可得FN2cos θ＝mg，对支架受力分析如图乙所示，根据牛顿第三定律可知FN3＝FN2，对支架由平衡条件可得FN4＝2mg＋FN3cos θ，Ff＝FN3sin θ，又达到最大静摩擦力时Ff＝μFN4，联立以上各式解得μ＝，可知支架和地面间的动摩擦因数至少为，故选D。 返回 ‹#› 如图所示，物体的质量为m＝5 kg，两根轻细绳AB和AC的一端固定于竖直墙上，另一端系于物体上(∠BAC＝θ＝60°)，在物体上另施加一个方向与水平线也成θ角的拉力F，若要使两绳都能伸直，求拉力F的大小范围。(g取10 m/s2) 解析：设AB绳的拉力为F1，AC绳的拉力为F2， 对物体受力分析，由平衡条件有 F cos θ－F2－F1cos θ＝0， F sin θ＋F1sin θ－mg＝0， 可得F＝ 返回 ‹#› 若要使两绳都能伸直，则有F1≥0，F2≥0， 则F的最大值Fmax＝ N， F的最小值Fmin＝ N， 即拉力F的大小范围为 N≤F≤ N。 答案： N≤F≤ N 返回 ‹#› 如图所示，有一倾角θ＝30°的斜面体B，质量为M。质量为m的物体A静止在B上。现用水平力F推物体A，在F由0逐渐增大 至 再逐渐减为0的过程中，A和B始终保持静止。对此过程，下列说法正确的是(　　) A．地面对B的支持力大于(M＋m)g B．A对B的压力的最小值为mg，最大值为mg C．A所受摩擦力的最小值为0，最大值为 D．A所受摩擦力的最小值为mg，最大值为mg 角度2　极值问题 B 返回 ‹#› 解析：B　因为A、B始终保持静止，对A、B整体受力分析可知，地面对B的支持力一直等于(M＋m)g，A错误；当F＝0时，A对B的压力最小，为mg cos 30°＝mg；当F＝mg时，A对B的压力最大，为mg cos 30°＋F sin 30°＝mg，B正确；当F cos 30°＝mg sin 30°，即F＝mg时，A所受摩擦力为0，当F<mg时，A所受摩擦力沿斜面向上，Ff＝mg sin 30°－F cos 30°，当F＝0时，A所受摩擦力最大，大小为mg，当F>mg时，A所受摩擦力沿斜面向下，Ff′＝F cos 30°－mg sin 30°，当F＝mg时，A所受摩擦力大小为， 综上可知，A所受摩擦力的最小值为0， 最大值为mg，C、D错误。 返回 ‹#› 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 (选择题1～7题每题5分，8～10题每题6分，共53分) [基础分组训练] 题组1　物体的动态平衡 1．(2025·福建泉州模拟)如图，一个球形碗固定在水平地面上，一只甲虫(可视为质点)从碗内最低点开始沿左侧缓慢往上爬行，则在爬行过程中 (　　) A．碗对甲虫的支持力逐渐增大 B．碗对甲虫的摩擦力逐渐增大 C．碗对甲虫的作用力逐渐减小 D．甲虫所受的合外力逐渐减小 限时规范 训练(11) B 返回 ‹#› 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 解析：B　对甲虫进行受力分析，如图所示，根据平衡条件有FN＝mg cos θ，Ff＝mg sin θ，甲虫缓慢往上爬行，θ增大，可知，碗对甲虫的支持力逐渐减小，碗对甲虫的摩擦力逐渐增大，故A错误，B正确；碗对甲虫有摩擦力与支持力两个力作用，则碗对甲虫的作用力为这两个力的合力，根据平衡条件可知，碗对甲虫的作用力始终等于重力，故C错误；甲虫从碗内最低点缓慢往上爬行，甲虫处于动态平衡状态，可知，甲虫所受的合外力始终为0，故D错误。 返回 ‹#› 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2．如图所示，清洗楼房玻璃的工人常用一根绳索将自己悬在空中，工人及其装备的总重量为G，悬绳与竖直墙壁的夹角为α，悬绳对工人的拉力大小为F1，墙壁对工人的弹力大小为F2，空中作业时工人与玻璃的水平距离为定值，则(　　) A．F1＝ B．F2＝G cot α C．在空中同一位置作业，当桶中的水不断减少， F1与F2同时减小 D．若缓慢增加悬绳的长度，F1减小，F2增大 C 返回 ‹#› 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析：C　由受力分析可知F1＝，F2＝G tan α，选项A、B错误；在空中同一位置作业，当桶中的水不断减少，α不变，重力变小，F1与F2同时减小；若缓慢增加悬绳的长度，α变小，重力不变，F1与F2同时减小，选项C正确，D错误。 返回 ‹#› 2 3 1 4 5 6 7 8 9 10 11 3．如图所示为一简易起重装置，AC是上端带有滑轮的固定支架，BC为质量不计的轻杆，杆的一端C用铰链固定在支架上，另一端B悬挂一个质量为m的重物，并用钢丝绳跨过滑轮A连接在卷扬机上。开始时，杆BC与AC的夹角∠BCA>90°，现使∠BCA缓慢变小，直到∠BCA＝30°(不计一切阻力)。在此过程中，杆BC所产生的弹力(　　) A．大小不变　　　 B．逐渐增大 C．先增大后减小 D．先减小后增大 A 返回 ‹#› 2 3 1 4 5 6 7 8 9 10 11 解析：A　以结点B为研究对象，分析受力情况，作出力的合成图如图，根据平衡条件知，F、FN的合力F合与G大小相等、方向相反。根据三角形相似得，又F合＝G，得FN＝ G，∠BCA缓慢变小的过程中，AC、BC不变，则FN不变，故杆BC所产生的弹力大小不变，故选A。 返回 ‹#› 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 11 4．(2025·海南海口模拟)如图所示，固定在竖直平面内的光滑半圆环上套有一质量为m的小球，半圆环的圆心为O。现用始终沿圆弧切线方向的力F拉动小球由M点向圆环最高点N缓慢移动，则此过程中，力F和球所受支持力FN的变化情况是(　　) A．F减小，FN增大　 B．F增大，FN减小 C．F增大，FN增大 D．F减小，FN减小 A 返回 ‹#› 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 解析：A　对小球受力分析，如图所示，已知绳子的拉力与支持力相互垂直，即α＝90°，小球处于平衡状态，由正弦定理，因为小球的重力G和α不变，所以上式的比值不变。拉动小球由M点向圆环最高点N缓慢移动的过程中，β由钝角增大到180°，即sin β减小，故绳子拉力F减小；θ由钝角减小到90°，即sin θ增大，故支持力FN增大。故选A。 返回 ‹#› 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 11 题组2　平衡中的临界、极值问题 5．如图所示，轻绳PQ能承受的最大张力为80 N，现用它悬挂一质量为4 kg的物体，然后在轻绳的中点O施加一水平向左的力F，使中点O缓慢向左移动，已知重力加速度g＝10 m/s2，则当轻绳断裂瞬间，绳的PO段与竖直方向的夹角为(　　) A．30° B．45° C．53° D．60° D 解析：D　设当轻绳断裂瞬间，绳的PO段与竖直方向的夹角为θ，由平衡条件可得cos θ＝，解得θ＝60°，D正确。 返回 ‹#› 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 6．(2025·河北衡水模拟)如图所示，重力都为G的两个小球A和B用三段轻绳连接后悬挂在O点上，O、B间的绳子长度是2l，A、B间的绳子长度是l。将一个拉力F作用到小球B上，使三段轻绳都伸直，同时O、A间和A、B间的两段轻绳分别处于竖直和水平方向上，则拉力F的最小值为(　　) A．G B．G C．G D．G A 返回 ‹#› 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 解析：A　对小球A受力分析可知，因O、A间轻绳竖直，则A、B间轻绳上的拉力为0。对小球B受力分析如图所示，则可知当F与O、B间轻绳垂直时F最小，Fmin＝G sin θ，其中sin θ＝，则Fmin＝G，A正确。 返回 ‹#› 7 8 9 10 11 1 3 4 5 6 2 7．如图所示，学校门口水平地面上有一质量为m的石墩，石墩与水平地面间的动摩擦因数为μ，工作人员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为θ，则下列说法正确的是(　　) A．轻绳的合拉力大小为 B．轻绳的合拉力大小为 C．减小夹角θ，轻绳的合拉力一定减小 D．轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小 B 返回 ‹#› 7 8 9 10 11 1 3 4 5 6 2 解析：B　石墩受力如图，设轻绳的合拉力大小为F。根据平衡条件，则F cos θ＝Ff，F sin θ＋FN＝mg，且Ff＝μFN，联立上式可知 F＝，选项A错误，B正确；整理得F＝，其中tan β＝为定值，根据三角函数特点，减小θ，F并不一定减小，选项C错误；根据上述讨论，当θ＋β＝时，F最小，而摩擦力Ff＝F cos θ＝，可知增大夹角θ，摩擦力一直减小， 当θ趋近于90°时，摩擦力最小，故轻绳的合 力最小时，地面对石墩的摩擦力不是最小， 选项D错误。 返回 ‹#› 8 9 10 11 1 3 4 5 6 7 2 [创新提升训练] 8．(2025·河南郑州模拟)如图所示，半圆形框架竖直放置在粗糙的水平地面上，光滑的小球P在水平外力F的作用下处于静止状态，P与圆心O的连线与水平面的夹角为θ，将力F在竖直面内沿顺时针方向缓慢地转过90°，框架与小球始终保持静止状态。在此过程中下列说法正确的是 (　　) A．地面对框架的摩擦力始终为零 B．框架对小球的支持力先减小后增大 C．拉力F的最小值为mg cos θ D．框架对地面的压力先增大后减小 C 返回 ‹#› 8 9 10 11 1 3 4 5 6 7 2 解析：C　以小球为研究对象，受力分析如图所示，根据几何关系可知，当F顺时针转动至竖直向上之前，支持力逐渐减小，F先减小后增大，当F的方向沿圆的切线方向向上时，F最小，此时为F＝mg cos θ，故B错误，C正确；以框架与小球组成的整体为研究对象，整体受到重力、地面的支持力、地面的摩擦力以及力F的作用；由图可知，F在顺时针方向转动的过程中，F沿水平方向的分力逐渐减小，所以地面对框架的摩擦力始终在减小；F沿竖直方向的分力逐渐增大，所以地面对 框架的支持力始终在减小，则框架对地面的压力 始终在减小，故A、D错误。 返回 ‹#› 9 10 11 1 3 4 5 6 7 8 2 9．(经典高考题)如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为m和2m的物块A、B，通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B间的接触面和轻绳均与木板平行。A与B间、B与木板间的动摩擦因数均为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当木板与水平面的夹角为45°时，物块A、B刚好要滑动，则μ的值为(　　) A． B． C． D． C 返回 ‹#› 9 10 11 1 3 4 5 6 7 8 2 解析：C　根据题述，物块A、B刚要滑动，可知A、B之间的摩擦力和B与木板间的摩擦力均达到最大静摩擦力，隔离A分析受力，由平衡条件可得F＝FfAB＋mg sin 45°，FNA＝mg cos 45°，FfAB＝μFNA，对A、B整体，由平衡条件可得2F＝3mg sin 45°－Ff，FN＝3mg cos 45°，Ff＝μFN，联立解得μ＝，选项C正确。 返回 ‹#› 10 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10．一轻质杆两端分别固定有质量均为m的小球A、B，两小球由细线OE、FC悬挂于水平天花板及竖直墙壁上，如图所示。OE和FC的拉力分别用F1和F2表示，初始时，F1与竖直方向的夹角θ＝30°，F2水平。现保持轻杆位置不变，将细线FC的C端缓慢上移至FC与水平方向成α＝60°角的位置的过程中，下列说法正确的是(　　) A．F1一直减小且减小了mg B．F2先减小后增大，其最小值为mg C．F2一直减小且减小了mg D．轻杆的弹力先减小后增大，其最小值为2mg B 返回 ‹#› 10 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 解析：B　以两小球及轻杆整体为研究对象，整体受重力2mg、F1和F2，并处于平衡状态，作出力的矢量三角形如图甲所示，当C端缓慢上移时，F1一直减小，最初时，F1＝mg，移动后F1′＝mg，减小了mg，A错误；由图甲知，F2先减小后增大，当F2与F1垂直时，F2最小，其最小值为mg，B正确，C错误；以A球为研究对象，其所受重力、F1及轻杆的弹力F作出力的矢量三角形 如图乙所示，因为末态时F1′＝，所 以最后杆的弹力正好沿水平方向，由图乙 知杆的弹力一直在减小，且最小值为Fmin ＝mg tan 30°＝mg，D错误。 返回 ‹#› 11 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 11．(12分)如图所示，质量为M的木楔倾角为θ，在水平面上保持静止，当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑。如果用与木楔斜面成α角的力F拉着木块，木块能匀速上升，已知木楔在整个过程中始终静止。 (1)当α为多大时，F有最小值，求此时 α的大小及F的最小值； (2)当α＝θ时，木楔对水平面的摩擦力 是多大？ 返回 ‹#› 11 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 解析：(1)木块在木楔斜面上匀速向下运动时，有mg sin θ＝μmg cos θ 解得μ＝tan θ 木块在F作用下沿斜面向上匀速运动，有 F cos α＝mg sin θ＋Ff F sin α＋FN＝mg cos θ Ff＝μFN 解得F＝＝ 则当α＝θ时，F有最小值，为 Fmin＝mg sin 2θ。 返回 ‹#› 11 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 (2)因为木块及木楔均处于平衡状态，整体受到地面的摩擦力等于F的水平分力 即Ff′＝F cos (α＋θ) 当α＝θ，即F取最小值mg sin 2θ时 Ff′＝Fmincos 2θ＝mg sin 2θcos 2θ＝mg sin 4θ。 答案：(1)θ　mg sin 2θ　(2)mg sin 4θ 返回 ‹#› 专题突破3　动态平衡　平衡中的临界、极值问题 点击进入WORD文档 按ESC键退出全屏播放 返回 ‹#› $