第3节直线与椭圆的位置关系讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第三节 直线与椭圆的位置关系 161 学科网（北京）股份有限公司 ▍知识点1:点与椭圆的位置关系 焦点在轴上 焦点在轴上 点在椭圆内 点在椭圆上 点在椭圆外 ［对应练习:题型1］ ▍知识点2:直线与椭圆的位置关系 （1）判断直线与椭圆的位置关系: 联立消去得一个关于的一元二次方程. ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点（或两个公共点）; ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点（或一个公共点）; ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点. （2）解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤: ①得出直线方程,设交点为,; ②联立直线与曲线方程,得到关于x（或y）的一元二次方程; ③写出根与系数的关系; ④将所求问题或题中关系转化为关于,的形式; ⑤代入求解. ［对应练习:题型2、题型3］ ▍知识点3:直线与椭圆相交的弦长 （1）定义:连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦. （2）求弦长的方法 ①交点法:将直线的方程与椭圆的方程联立,求出两交点的坐标,然后运用两点间的距离公式来求. ②根与系数的关系法: 如果直线的斜率为,被椭圆截得弦两端点坐标分别为,,则弦长公式为: ［对应练习:题型4］ ▍知识点4:解决椭圆中点弦问题的两种方法 （1）根与系数关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决; （2）点差法:利用交点在曲线上,坐标满足方程,将交点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,具体如下:直线（不平行于轴）过椭圆（）上两点、,其中中点为,则有。 证明:设、,则有, 上式减下式得, ∴, ∴,∴。 特殊的:直线（存在斜率）过椭圆（）上两点、,线段中点为,则有. ［对应练习:题型5、题型6］ ▍练题型 点与椭圆的位置关系 1 【典例▪1】若点在椭圆上,则下列说法正确的是（    ） A.点不在椭圆上 B.点不在椭圆上 C.点在椭圆上 D.无法判断上述点与椭圆的关系 【典例▪2】已知椭圆,则下列各点不在椭圆内部的是（ ） A. B. C. D. 【变式▪3】点 与椭圆的位置关系是（ ） A.点P在椭圆C上 B.不能这样 C.点P在椭圆C内 D.点P在椭圆C外 【变式▪4】点在椭圆的外部,则a的取值范围是________. 【练习▪5】若直线与:没有交点,则过点的直线与椭圆的交点个数是（    ） A.至多为 B. C. D. 【典例▪6】已知椭圆关于轴､轴均对称,焦点在轴上,且焦距为,若点不在椭圆的外部,则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【典例▪7】（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为,,过的直线与过的直线交于点,设的坐标为,若,则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. ▍练题型 直线与椭圆的位置关系 2 【典例▪8】对不同的实数,讨论直线与椭圆的公共点的个数. 【变式▪9】（2024·高二专题）已知椭圆,直线,则直线l与椭圆C的位置关系为（ ） A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 【练习▪10】（2024·江西上饶）已知直线:与椭圆:有公共点,则的取值范围是_________. 【练习▪11】（2024·全国高二）直线:与椭圆的位置关系是（ ） A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相交 【练习▪12】（2023·高二专题）若直线l:与椭圆C:（）总有公共点,则实数a的取值范围为__________. 【练习▪13】（2023·全国高二）求直线和椭圆的公共点的坐标. ▍练题型 直线与椭圆相切的应用 3 【典例▪14】设椭圆,点在椭圆上,求该椭圆在P处的切线方程 . 【变式▪15】已知交椭圆于点、,点在此椭圆上运动.求点到直线的距离的最大值？ 【练习▪16】已知椭圆C的标准方程为,若过点的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M,则点M的坐标为 . 【练习▪17】椭圆上的点P到直线x+ 2y- 9= 0的最短距离为（ ） A. B. C. D. 【练习▪18】在平面直角坐标系中,动点在椭圆上运动,则点到直线的距离的最大值为 . 【练习▪19】若P为椭圆上任意一点,则点P到直线的距离的最大值是 ;此时点P坐标是 . 【练习▪20】（2024·上海高二期末）已知,若关于x的方程有两个不相等的实根,则b的取值范围是 . 【练习▪21】若方程有解,则的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【练习▪22】已知焦点在x轴上的椭圆C的离心率为,其中一个顶点是抛物线的焦点. （1）求椭圆C的标准方程; （2）若过点的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M,求直线l的方程和点M的坐标. ▍练题型 直线与椭圆相交的弦长问题 4 ▷角度1:椭圆的弦长问题 【典例▪23】（2024·高二专题）已知直线与椭圆相交于A,B两点,试求弦长.（试用两点间距离公式,2个弦长公式等3种方法解答） 【变式▪24】过椭圆的左焦点引直线交椭圆于两点,若弦的长为,求直线的斜率. 【练习▪25】已知椭圆 的离心率为,过的左焦点且斜率为1的直线与交于两点.若,则的焦距为 . 【练习▪26】已知F1,F2分别为椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点,,过椭圆左焦点且斜率为的直线交椭圆于A,B两点,若,则弦长（    ） A.8 B.6 C.5 D. 【练习▪27】直线,当k变化时,此直线被椭圆截得的弦长的最大值是（    ） A.2 B. C.4 D.不能确定 【练习▪28】已知椭圆C的方程为:,点A是椭圆的下顶点,点是椭圆上任意一点,则的最大值是（    ） A.2 B.4 C. D. 【练习▪29】直线被椭圆截得最长的弦为（    ） A. B. C. D. ▷角度2:椭圆的通径问题 【典例▪30】过椭圆的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于两点,则等于（ ） A.4 B.2 C.1 D.4 【变式▪31】过椭圆的左焦点作直线和椭圆交于A、B两点,且,则这样直线的条数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 【练习▪32】（2022·江西南昌高二）过椭圆的左焦点作弦,则最短弦的长为（    ） A. B.2 C. D.4 【练习▪33】已知椭圆的左､右焦点分别为､,点､均在椭圆上,且均在轴上方,满足条件,,则________. 【练习▪34】已知点A,B分别是椭圆的右、上顶点,过椭圆C上一点P向x轴作垂线,垂足恰好为左焦点,且,则椭圆C的离心率为（    ） A. B. C. D. 【练习▪35】设,为椭圆的两个焦点,点P在椭圆上,若线段的中点在y轴上,则的值为（    ） A. B. C. D. 【练习▪36】已知椭圆（）的左、右焦点分别为,,过的直线交椭圆于两点,若的最大值为10,则的值是（    ） A. B. C. D. 【练习▪37】已知是椭圆的两个焦点,过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点,若是等腰直角三角形,则这个椭圆的离心率是（   ） A. B. C. D. 【练习▪38】（2024·山西运城高二）已知分别是椭圆的左、右焦点,过点的直线交于两点,若的最大值为8,则的离心率为（    ） A. B. C. D. ▍练题型 椭圆的中点弦与点差法 5 【典例▪39】（2023·高三专题）若直线交椭圆于,两点,弦的中点为,求证:直线斜率 【典例▪40】（2024·高二专题）已知椭圆,过点的直线交椭圆于、两点,若为的中点,求直线的方程. 【变式▪41】（2024·全国高二专题）设直线与椭圆相交于两点,且的中点为,求斜率的值. 【变式▪42】求直线截椭圆所得弦的中点M与椭圆中心连线的斜率. 【练习▪43】（2023·高二专题）已知椭圆 四个顶点构成的四边形的面积为,直线与椭圆C交于A,B两点,且线段的中点为,则椭圆C的方程是（ ） A. B. C. D. 【练习▪44】已知椭圆 ,过点作倾斜角为的直线与交于,两点,当为线段的中点时,直线（为坐标原点）的斜率为,则的离心率为 . 【练习▪45】（2024·衡水）已知椭圆 的左、右焦点分别为,焦距为6,点,直线与交于A,B两点,且为AB中点,则的周长为 . 【练习▪46】（2023·高三专题）已知椭圆C:,若椭圆C上有不同的两点关于直线对称,求实数m的取值范围. 【练习▪47】（2024·西安）已知椭圆 的一个焦点坐标为,离心率为. （1）求椭圆的方程; （2）过点作斜率为的直线交椭圆于两点,求弦中点坐标. 【练习▪48】（2023·江苏高二）已知椭圆 过点,直线:与椭圆交于两点,且线段的中点为,为坐标原点,直线的斜率为. （1）求椭圆的标准方程; （2）若椭圆上存在两点,使得关于直线对称,求实数的范围. 【练习▪49】（2024·河北）已知椭圆 上的任意一点到两个焦点的距离之和为,且离心率为,过点的直线与椭圆交于两点,且满足,若为直线上任意一点,为坐标原点,求的最小值. 【练习▪50】（2023·江苏）已知椭圆 的离心率为e,且过点和. (1)求椭圆C的方程； (2)若椭圆C上有两个不同点A,B关于直线对称,求. ▍练题型 椭圆的综合问题 6 【练习▪51】（2024·天津高二阶段练习）如图所示,椭圆的左、右焦点分别为,,一条直线经过与椭圆交于,两点. （1）求焦点坐标,焦距,短轴长; （2）若直线的倾斜角为,求的面积. 【练习▪52】（2024·河南二模）已知椭圆 的左,右焦点分别为,,上顶点为,且. （1）求的离心率; （2）射线与交于点,且,求的周长. 【练习▪53】（2023·海南高二）已知椭圆 的离心率为,点,,分别是椭圆的左、右、上顶点,是的左焦点,坐标原点到直线的距离为. （1）求的方程; （2）过的直线交椭圆于,两点,求的取值范围. 【练习▪54】（2023·江西高二校考练习）已知椭圆方程为,过点,的直线倾斜角为,原点到该直线的距离为. （1）求椭圆的方程; （2）对于,是否存在实数k,使的直线分别交椭圆于点P,Q,且,若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由. 【练习▪55】（2024·合肥高二）已知椭圆 的左、右焦点分别为,上顶点为,且,动直线与椭圆交于两点;当直线过焦点且与轴垂直时,. （1）求椭圆的方程; （2）若直线过点,椭圆的左顶点为,当面积为时,求直线的斜率. 【练习▪56】（2023·吉林长春高二校考）已知分别是椭圆的左、右焦点,A是C的右顶点,,P是椭圆C上一点,M,N分别为线段的中点,O是坐标原点,四边形OMPN的周长为4. （1）求椭圆C的标准方程 （2）若不过点A的直线l与椭圆C交于D,E两点,且,判断直线l是否过定点,若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由. ▶▷ 综合巩固提升 ◁◀ 一、单选题 1.通过椭圆的焦点且垂直于x轴的直线l被椭圆截得的弦长等于（ ） A. B.3 C. D.6 2.已知椭圆上存在两点关于直线对称,且线段中点的纵坐标为,则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 3.（2023·全国·高二专题练习）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积已知椭圆的右焦点为,过作直线交椭圆于两点,若弦中点坐标为,则椭圆的面积为（    ） A. B. C. D. 4.（2021秋·江苏徐州·高二统考期中）已知实数x,y满足方程,则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 5.已知椭圆与直线相交于两个不同的点,点为线段的中点,则（   ） A. B.或 C.弦长的最大值为 D.点一定在直线上 三、填空题 6.已知椭圆,的上顶点为,两个焦点为,,离心率为.过且垂直于的直线与交于,两点,,则的周长是 . 四、解答题 7.已知椭圆的两个焦点分别为,,且椭圆经过点. （1）求椭圆方程; （2）若点为椭圆上一动点,则点到直线的最小距离. 8.椭圆C:与椭圆离心率相同,为椭圆C上一点. （1）求椭圆C的方程. （2）若过点的直线l与椭圆C相交于A,B两点,试问以AB为直径的圆是否经过定点？若存在,求出的坐标;若不存在,请说明理由. $第三节直线与椭圆的位置关系 重点题型专练 【1】C 解析：点(-3，-2)与点(3,2)关于原点对称 点(3，-2)与3,2)关于x轴对称， 点(3,2)与(3,2)关于y轴对称 若点(6)在精国导+芳-1上根器棚的对称 性，（-3，-2)，(3，-2)，（-3,2)三点都在椭圆上，故选：C 【2】C 解折：由椭圆方程为c:父+上 4+3=1, 因为+ <1,所以点(L,1)在椭圆内部，A错误： 因为子+号音1，所以点(，刊在辅图内部B错误 因为子+号名>1，所以点5)在椭圆外部c正确： 1 因为主+片”1所以点在梯圆内部D错误放选心 4348 【3】D 解析：把点P(4cosa,2W5sima)代入椭圆方程，左边为 (4cosa)(2sina) 4(sm2u+cosd)=4>1,因此点P在椭圆外.故 4 选：D 【4】(-w,-V2)U(5,+p) 解折：因为点4a创在箱明号+号 1的外部， 所以+1，解得a(-UW5+. 42 【5】B 解析：由题意得，圆心(0,0)到直线r-y=4的距离 4 原>2=，即m+<4 则点P(m,n)在圆x2+y2=4内， 由辅圆几每性质知点Pm)也在辅圆号+二1内， 94 :与椭圆二+二-1的交点个数为2，故选：B 94 【6】B 解析：设椭圆C的方程为 .x2 a+京=(a>b>0), 因为46】 2c不在椭圆C的外部， 所以e+c2 4+京s1,因为62=a2-e, 4+a。1,化简得：6c-14aa+a'≥0， 所以e」 c2 同除以a得：6e-14e2+4≥0，结合e∈(0,1)， 解得：0<e2s 【7】AD 解析：由题意可得，椭圆的焦点分别为耳(-10)，E(10) 因为4⊥2，所以点M在以耳为直径的圆上， 则短半轴长为5>1，所以，点M在椭圆号+二=1内，故A正确： 43 由431得子+兰1，侧该辅顺的长半精长为51。 43 3 所以点M在椭圆4x2+3y2=1外，故D正确.故选：AD 【8】详见解析 y=x+m① 解析：由仁+y=1②消去)并整理得5+8+4m-4=0③， 4 此方程的实数解的个数由它的判别式△决 定，△=(8m)-4×5×(4m-4)=165-m）, 当-√5<m<√5时，△>0，方程③有两个不相等的实数根，代入方程① 可得到两个不同的公共点坐标，此时直线！与椭圆有两个公共点，即它 们相交. 当m=-√5或m=√5时，△=0，方程③有两个相等的实数根，代入方程 ①得到一个公共点坐标，此时直线1与椭圆有一个公共点，它们在这一 点相切. 当m<-√5或m>√5时，△<0，方程③没有实数根，此时直线1与椭圆 没有公共点，即它们相离. 综上，可得： 当-5<m<V5时，直线1与椭圆有两个公共点： 当m=-√5或m=√5时，直线！与椭圆有一个公共点： 当m<-√5或m>√5时，直线1与椭圆没有公共点. 【9】A 解析：对于直线：(m+2)x-(m+4)y+2-m=0,整理得 m(x-y-1)+2(x-2y+1)=0, 0降 故直线1过定点A(3,2). :若号是1，超点4B圆c的内部 所以直线！与椭圆C相交.故选：A 【10】「-3,3 解析：将直线！的方程与椭圆C的方程联立， y=x+m 得{仁+兰消去y得9x+10+5m-20=00 因为直线！与椭圆C有公共点，所以方程①有实数根， 则△=(10m)-365m2-20)20,得-3≤m≤3.故答案为[-3,3] 【11】A 解析：方法1：ax+y-a+1=0,即：a(x-1)+y+1=0, 直线1恒过定点ML,-), 又：椭圆号+公=1三+仁=1， 32 32 .定点M在椭圆内，，直线！与椭圆相交 方法2：{ +2=1→6a2+2)x2-6aa-lr+3a2-2a-l)=0 ax+y-a+1=0 4=36a2a-P-12(3a2+2e2-2a-)=48a2+48a+24=48(a+2+12>0 恒成立， ∴.直线！与椭圆相交.故选：A 【12】详见解析 解析：由题知直线上：y=(x+V5)过定点（√3,0）， 因为直线：y=(+同与椭圆c:若+y2=1(a>1)总有公共点 所以点（√5,0）在椭圆上或椭圆内， 所以三≤1，由于a>1,所以a25 所以实数a的取值范围是[V5,+∞) 【u1o-.(5 解折：直线V5x-2y-2=0和椭圆子+少1的公共点的坐标就是方程 「V3x-2y-2=0 的解， 消去x得(2y+2 3 +4=4,即42+2-2=0，解得%=-1、为=分 「x=0 x=V3 所以解这个方程组得 -1或 1, =五 因此，所求公共点的坐标为(0-)，(5号》 【14】x+2y-4=0 解析：由题意可知切线的斜率存在，所以设切线方程为y一 3=kx-, 将子-代入+1中3+0 =12,化简 整理得3+42)x2+12k-82)x+4k2-12k-3=0, 令△=Q2k-822-43+4k24k2-12k-3)=0, 化简整理得36+36止+9=0，即42+4+1=0，解得k=2 1 所以切线方程为y少，即+2y-4甲 【15】20+25 5 解析：设与直线1：x+2y-2=0平行的直线为x+2y+m=0, 「x+2y+m=0 +2=1，消去不整理得8+4网+m-4:0, 由{x2 令△=0，即16m2-32m2-4)=0,解得m=±2√5 所以直线x+2y+2W2=0、x+2y-2W2=0均与椭圆相切且与直线 1:x+2y-2=0平行， 因为点P在此椭圆上运动，要求点P到直线！的距离的最大值， 则当点P在直线x+2y+2√2=0与椭圆的切点是点P到直线！的距离 的最大，此时点P到直线I的距离的最大值为两平行线x+2y+2√互=0 与直线：x+2y-2=0的距离d= 25+22wo+25 V2+22 5 即点P到直线1的距离的最大值为20+25 VA 、x+2y-2W2-0 x+2422-0 【u61 解析：当切点在第一象限时，斜率存在且不为0， 设切线的方程为：y=x+m,k<0,由于过P点可得：1=2k+m,① y=k+m 联立直线！与椭圆的方程 号可 得：(3+42)x2+8mx+4m2-12=0, 则△=(8mk)y2-4(3+42(4m2-12)=0,可得m2=3+4k2②， 由O②可得：k=-号，m=2 21 所以切线方程为：y=一合+2： 可得整理的方程为：x2-2x+1=0,解得x=1,代入切线的方程可得 即彻点》 所以直线1的方程为：y=古+2，切点以的坐标 【17】A 解析：设与已知直线平行，与椭圆相切的直线为x+2y+b=0, x+2y+b=0 -2y=*+b 4x2+2bx+b2-12=0 所以△=(2b)-4×4(b2-12=0→b=4 所以椭圆上点P到直线x+2y-9=0的最短距离为d= 9-(4-5 V2+22 故选：A 【18】5√2 解折：设省线7+=与相明后号1相切 联解消去y,得25x2+32x+162-144=0 △=(32m)-4×25×(16m2-144)=0,解得m=5或-5 :与直线x-y-5=0平行且与椭圆相切的直线方程为x-y±5=0 其中与直线x-y-5=0距离较远的是x-y+5=0,且距离为 -5-5 d=- =10=55 +2 .P到直线x-y-5=0的最大距离为5√互，故答案为：5√2 【19】32 (31 77 解析：设与直线x+y+4=0平行的直线x+y+m=0与椭圆相切， [x+y+m=0 联立直线与椭圆方程得{x2 +y21 ,消去》，整理得 4x2+6mx+3m2-3=0, 由△=(6m)-16(3m2-3)=0,即12m2=48,解得m=2 当m=-2时，直线x+y+4=0与直线x+y-2=0的距离 dk-2到5： √1+12 当m=2时，直线x+y+4=0与直线x+y+2=0的距离 4-L=万 d= 2+12 由3√2>√2可知m=-2符合题意 将m=-2代入4松+6+3m-3=0,即(2-3旷=0，可解得x=子 将代入+-=0可料y则点P的坐标为侵》此时距 离的最大值为3√反 答案为：35：2) 31 x+y+40 【20】 26 2’2 解析：由题意，y=-2x表示交点在y轴上的椭圆的上半部分，且左 顶点为华 2 y=x+b表示斜率为1的一组平行线， 若直线与椭圆相切时，由y=1-2 得3x2+2br+b2-1=0 ly=x+b 所以△=46-4×3(6-10，解得6=5（负根舍去）， 2 当两图象有两个交点时，根据图象， 纵截距b的取值范围为： 2’2 ·故答案为：巨6 2’2 【21】B 解析：设y=3 3x2 4 ≥0，两边同平方得y=3-3公 ,化简得 ÷1 则其所表示的图形为椭圆二+二=1在x轴及上方部分， 43 则题目转化为直线y=x+b与上述图形有交点， 设椭圆的右端点为A,易得其坐标为(2,0)， 当直线y=x+b与半椭圆相切时，显然由图得b>0 联立43 ,得7x2+85x+452-12=0, (y=x+b 则△=(85)2-4×7×(4b2-12)=0 化简得b2=7,解得b=√7或-√7（舍） 当直线y=x+b经过点A(2,0)时，得0=2+b,解得b=-2, 则bE-2,V7,故选：B 【21w号+号1a)+2y-4=0:点 解析：(1)由抛物线x2=-4y的方程可得焦点坐标为(0，-√， x2 y2 设椭圆的方程为：三+方=1(a>b>0)、 由题意可得6=5，又6=-c小a后-行 所以解得a=2,c=1, 所以椭圆的方程为：父+上=1： (2)解：当切点在第一象限时，所以斜率存在且小于0， 设切线1的方程为：x=y+4(m<0) (当直线方程过x轴上一定点(a,0)时，我们可以设直线方程为 =心+，其中m并非直线斜率，片才是斜率，类似于直线如果过 y轴上一定点(0，b),我们选择设直线方程为y=G+b一样，这样设直 线方程会简化一些计算) x=y+4 联立直线！与椭圆的方程 x2 1,整理可 2 43 得：(4+3m2)y2+24y+36=0, 则△=(24m)2-4(4+3m2)×36=0,解得m=2（舍去)或m=-2 所以切线方程为：x=-2y+4,即x+2y-4=0: 可得整理的方程为：16y2-48y+36=0,解得y=号，代入切线的方程可 得x=1,即切点M0受， 所以直线1的方程为：x+2y-4=0,切点M的坐标Q,) 【23】55 3 2x-y-2=0 解析：法一：联立 x2y2 4 =1 解得0 y=-2 - 或 不妨设A(0,-2),】 -s5 3 [2x-y-2=0 ,消去y得，24x2-40x=0 设点A(y),B(22) 则+无=行，5=0， h-+2+广-4=5×5 3 3 [2x-y-2=0 法三：联立少=1，消去x得)+2y-8=0 5+41 设点A66),则由根与系数的关系得%+方=-子=- 所以 71 k++)- V5、 【24】±1 折椭圆3+4三48，即无+古士，则a=4,6=2V5,6=2,左 点为(-2,0)， 设直线AB为x=y-2,A(,y,)B(2y), (当直线方程过x轴上一定点(n,0)时，我们可设直线方程为x=y+n) 3x2+4y2=4 由s=mw-2 ,得3(y-2+4y2=48 整理得(3m2+4)y2-12my-36=0, 因为△=144m2+144(3m2+4)>0, 12m 所以 +%=3m2+4 -36 =3m2+4 A8=1+mVG,+%,}-4yy=V1+m 12m2 14448 V3m2+4 3m2+47 24+m)=48,解得m=1,所以直线AB为斜率为1. 3m2+4 7 【25】7 解折：由辅圆c的离心字为e=宁可得a=女，则6=瓜一。， x 所以椭酮C的方程为c十1，即3+4-1220 由直线AB过椭圆C的右焦点F(C,0)且斜率为1，可得AB的方程为 y=x+c, [y=x+c 联立方程组3x+4y2-12c2=0,整理得7+8ar-8=0, 则△=64c2+4×7x8c2=288c2>0, 8 82 设A),6,则+x=-亏c,=-7 所以 A8=+正V区+x-4x 2×64c2+4x7x】24=1n 7 7 解特=子，所以椭图C的焦距为2女=7.放答案为：7。 【26】A 解折：因为S=4,所以号×2c刘4-卡4，-卡4， :过椭圆左焦点且斜率为 3 4B啡+京y上8.故选：A. 【27】B 解析：直线y=+1恒过定点(0,1)，且点(0,1)在椭圆上 设另外一个交点为，)，所以三+少1，则=4-4扩， 弦长为V2+0-=4-4y2+0-=3y2-2y+5 当=时，弦长最大为5故选B 3 【28】C 解析：因为圆c的方程为：千+y2-1,则40，-。 设Mk刃，则千+y1,故=4-4奶，且-1sys1, 6-i-6-=s-f*9 当=专时取得最大值，故L45.故选：C 3 【29】B 解析：联立直线三众1和椭圆。+少产=1，可得Q+5x2-10=0 解得=0或计0，则弦长1=+F0 10k 1+5k2 令1+5k2=tt≥1) 多 +- t V t 当号即上=，取得最大值2× 3 《42,故选B 【30】C 解析：过椭圆的右焦点且与椭圆长轴垂直的弦AB为椭圆的通径，根据 通径公式可得2边=2×I=1,所以4=1.故选：C a 2 【31】B 解析：左焦点为(-2√2,0)，若直线垂直x轴，则直线为x=-2W2 代入桶圆方程得号+1，可得=兮，此时通径长子。 所以，由椭圆性质知：4=子的直线有仅只有一条.故选：B 【32】A 解折：过椭圆学+1的左焦点作弦8，侧民短弦8的长为茶园的 适径：2号1，做选A 03)月 解新折：由塑设。=26=1，则椭闪通径为安3，又网-号 所以P在x=-1上，即通径上，故PR⊥x轴， 又R1QR,易知：lP 【34】C 解析：由已知得：A(a,0),B(0,b), 将=心代入学1中+1，解=号 因为AB分别是圆的有、上质点且Aa10P,所以P) ,由AB1oP得：-a左-e, b2 其中AB=(-a,b),OP=-c, a 解得b=c,由a2=b2+c2得：a=c, 所以椭圆C的离心率为。=二=5，故选：C 2 【35】D 解析：c2=9-5=4,则c=2,则(-2,0)，F(2,0), 设线段PF的中点为M, 因为O是耳R的中点，所以OM11PR,可得PE⊥x轴，令x=c, 号网a号得后微志D 【36】D 解折：B+4+A=4a=16,lBr+A=16-A, 根据椭圆的几何性质可知，当AB⊥x轴时，AB有最小值， 此时BF+A的最大值为10， 此时在后+后1巾令心则y号 2b2 所以AL=4 =6,所以b的值是2√5.故选：D. 【37】C 解折：不纺设销圆方程为号+云-e>60).,焦点o5(c0),房 心率为e, 后+云1可得y=±，所以h公 将x=c代入C二+ a 又△三是等银直角三角形所以兰斗 所以=2c即c2-a'+2ac=0,所以e+2e-1=0,解得e=V5-1（负 值舍去).故选：C 【38】A 解析：由椭圆的定义，可知 4B+4R+3R1=4I+AE+8R+BRJ=4a, 所以当AB最小时，A+BE最大， 由椭圆的性质得，过椭圆焦点的弦中垂直于长轴的弦最短， 当直线A8垂直于x轴时，4取得最小值2公-2，此时 A+lB=4a-=8, a 由a>0解得a=3,此时c的离心率e=C=匠-6。V-6E 3 3 故选：A. 【39】证明见解析 解折因为《气小（气，）两点在椭铜手+子-e6>0)上 所以 a2 b2 ,0-②得，-主+-立-0， 所以伍+-++0，==0. b+ 所以2伍-+2少0-=0 因为直线斜率存在，所以x,-x,≠0， 烈号录，则营子 【40】3x+2y-4=0 +=1 2 解析：设点A(x)、B(2y),由中点坐标公式可得 ,所以 +y2=1 2 -2 51+x2=2 %+y2=1 +立=1 因为43 ,两式作差得，主+二卫=0，即-生=3 4 3 -x4 43 即十。=子，所以w= x+2x-2 因此，直线4B的方程为y--,即3x+2y-4=0。 【4手 解折：设4（小小.故有号+兰1@，善+至1② 所以，两式作差得+公：立=0，即 0 4 s-x,++s-+%=0, 9 4 所以，=为五= 4(1+x2) x-x9(+) 因为5的中点为》 所以+与=2+方号 所以=五。- 4×(-2)4 2-1 9×23故选：A 3 【421 解析：设线x+y-1=0与椭圆号+片1的交点坐标为 A(),则M5+五+】 (22 +以 可得ku=二=-lav= =y+ x1-2 +521+x2 2 因为A,B在椭圆上，则 43 ,两式相减得子，生+公芝=0， 3 43 装理是学经子即子所似子 【43】A 解折设4以6小则器+答1三+号1， 两式作差并化简整理得当立=心+玉 x-xa2另+y 因为线段AB的中点为(-2,2)，所以x,+x2=4,+y2=4 所以当二五=2 -X1 又因为×2a×2必=2ab=165,解得6=8，g=16, 所以箱图c的方程为后+营1.故选A 【44】6 3 解析：设A(y),B(xy),所以 两式相减得宁二￡+了足=0，即 2 区-x+x（y-yy+) a' b 又{臣5，所以色九=出少，整理符 +2=2y。 及= x-x2a2y。 又=m子=学=会有所拟以1 4 x1-2 三(-.所以 b2-1 a-3 所以椭圆C的离心率e=9=， 9 6 【45】12√2 解析：由题意知F(-3,0),F(3,0), 设么8两点华标分别为k人三苔-手+答1， 两式相减得伍+-++儿-为】-0， a 62 由题意M为AB中点， 则5+5=2+，=2，代入整理得二子=合。 X-x 即由圈意知。=古白片， 上，所以a2=26,e2=5,由焦距为6，解得a=35 由椭圆定义知△ARB的周长为 4+B+A=A+A）+0B+B=4a=125 故答案为：12√2 【61( 解析：设P(x,),(以)是椭圆C上关于直线：y=4x+m对称的两个 点， 3x2+4%=12 )是线段P0的中点则B;+4=12,两武相藏 得3(x-x2)(s+x2)+4(%-)%+y2)=0. ,5≠2，x+x2=2x,+%2=2y， :=--=ke 4yx-x2 如=子若片枚3 .3x-1 我化：t特 0=-3m .M(m,-3m）. :点M应在椭圆c的内部，“.+9m<1,解得-2正<m<2 3 13 13 ∴实数m的取值范围是 2W132W13 13’13 故答案为： 2323 1313 【47】1) 解析：(1)依题意得：c=1 9片即宁解得a=2 b2=a2-c2,解得b=V3 椭圆c的方程为号+号=1 43 (2)如图所示： 设P(y)Q(x2y2),P0中点为M(x。) 所以{t52则®之=号 y+y2=2% x1-x22 又P0两点在椭圆等+片-e>6>0上可 +生=1 la' +答 h 两式相减可得二+公二立=0，整理得 a 6+-3x2=3-2五=-2,0 x-xa26+y)42g%×42'为 监（为号的战为+动 因为(，】在线上故%(+引@ 联立0@，解得=一l,片 所以阳中点维标为时) 【48】详见解析 解折：(1)设A(),乃)，则M5+五当+五】 12 2 +x 因为么在园c上所+导+1 a2 b2 两式相减得伍+-++心=-0，即 1,(y+09-) 0 a2+b26+x,-x） 又ka=业=1，所以 a2=0,即a2=262 1 又因为椭圆c过点16 (2 所以宁+京1，解得=46=2 所以圆C的标准方程为宁+片1： (2)设P(y)O(出P9的中点为N(),所以 x1+x4=2x。y+y4=2y。, 因为P,Q关于直线l对称，所以ko=-1且点N在直线1上，即 g=x。+m. 又因为只2在椭圆c上，所以互+生=1三+生=1. 42 42 两式相减得色+5-+么+儿-=0。 2 即5±五++-0，所以+点=+丛，即，=2 4 2(5-x4) 4 2 联立阁得长” 又因为点W在辅圆C内，所以②2m+上<1，所以5<m<5 4 2 所以实数m的范围为6<m6 3 3 【49】2W1@ 5 解折：由题意得2a=26.9=6,解得a=5c=2b=√-e=5, 所烈园方程为若+号1， 因为上+5名<1， 623 所以P(1,1)在椭圆内，所以直线AB与椭圆总有两个交点， 因为PA+PB=0,所以点P为线段AB的中点， 设A(,),B(22),则x+x2=2片+y2=2, [+=1 6?,所以立+，立=0， 6 2 所以(+y)0y,-)+3(+)s2-)=0, 所以2(y2-)+6(2-x)=0,即(y2-y)+3(x2-x)=0, 所以立=-3， x2一5 所以直线AB为y-1=-3(x-1),即3x+y-4=0 因为M为直线AB上任意一点， 所以P4的最小值为点O到直线AB的距离d=D+0-4_2 V32+12 5 【o1a)c号+r-1a,20 3 1+3=1 ,，六a心=2，所以椭圆C:乏+2=1 a' 12a2+4 (2)法一设A()B(）及AB中点M(%),由题意知ka=-1 子+发1，兰+疗1，以上两式相减狗兰+房-疗=0 2 上+=0即 可化为：2好- ;+五×k=0,故点=片 。2 又M在直线y=x+分上所以%=式+片解得：=1，%=月 即1局引直线8y+行-(+，化简为：=号 1） 3 x1+x2=-2 联立 =-立整理得：62+12x+5=0,由韦达定理知 x2+2y2=2 由弦长公式 得想=k-5G+广-4=5，球-422 【51】(1)焦点坐标为（√万，0，E(W7,0),焦距为2万，短轴长为6： (2) 72W14 25 解析：(1)设长半轴、短半轴、焦距分别为a,b,2c,由已知方程得到 a2=16,b2=9,所以a=4,b=3,由c2=a2-b2=7得c=√7， 故焦点坐标为（√7,0），￡(V万，0)，焦距为2√万，短轴长为6： (2)设A(xy),B(xy), 配知得直线1的方程为x-y+万=0，与 后+号1联立方程组行 25y2-18V7y-81=0, 则%+男18 -81 25 ,w,=25 故-+广-4=25 25 令△48的面积为3，所以8=5-小=2 25 【52】(1)5(2)8 2 解析：(1)依题意可得上顶点A(0,b),左，右焦点分别为 （-c,0),F2(c,0), 所以A耳=(-c,-b),AE=(c,-b) 又AE,AF=0, 所以AF·AF=-c2+(（-b)=0,即b2=c2,即a2-c2=c2, 所以a=22,所以离心率e=三=5 a 2 2》由①可得6c,a=6,则圆方程为云+号1 射线4R的方程为y=5x+b=x+c, 「y=x+c =1整理可得3x2+4红0， 解特=0或音，则方，即司子方)月 所以k含++6c=号解将=6，则a=2。 所以△ABR的周长 C=4B+4F+BF=+BR++BF=4a=8 解析：(1)设椭圆C的半焦距为c(c>0) c-2 a3' 「a=3 根据题意 e=2w5 a =号，解得6=5，故c的方程为。+二1. c=2 95 a2=b2+c2, (2)由(1)知：F(-2,0) 当直线1的斜率为0时，点P,Q为椭圆的左、右顶点， 不妨取P(-3,0),2(3,0),此时FP=（-1,0)F=(5,0),则F乎，F西=-5 当直线！的斜率不为0或！与x轴垂直时，设其方程为x=y-2, 代入椭圆C并消去x得(5m2+9)y2-20y-25=0, 20m 设P6小()，则+为m+9,5m+9 -25 而丽=（飞+2，y),项=(+2，y), 所以丽.F0=(,+2(,+2+y=y,m,+ =+xm5+”写 20 2020 因为5m+9≥9，所以0<3m+9≤9 所以-55+” 20 9 综上示苑的取雀范调为[4合引 【54】()+P=1:(2)满足条件的女不存在理由见解析 解析：(1)因为过点A(a0),0,5)的直线倾斜角为名 所以气后，即名 b-0 a 3 过点A(-a,0),B(0,b)的直线方程为y= +a 故原点到该直线的距离为 3 ,解得a=√5 2 3 故b=1,所以椭圆的方程是号+广=1。 （2)记P(6,e).将y=+2代入于+y=1 得，(32+1)x2+126+9=0, 则△=1442-363k2+1)>0,解得k>1或<-1， 设P阳的中点为4则w-生=双，=：+23 6 2 2 由lD=|Dg,得OM LP, 2 32+1*1 6k 3-4+1=0,得k=1或t= 由于k>1或k<-1, 故女=1，k兮均使方程没有两相异实根 ,满足条件的k不存在. 【s1+号12)n 解析：(1)由题意 得：F(-c,0),E(c,0),A(0,b),∴A耳=(c,-b),AF=(c,-b), A℉AF=-c2+b2=0,即b2=c2,a2=b2+c2=2b2: 当直线1过焦点且与x轴垂直时，：x=c,不妨令：x=c x=c 「a2=2b2 由25-2得： c的方程为：+1 a=2 L a (2) 0 由题意知：直线1斜率不为0，可设：x=少+1， x=少+1 △=42+12t2+2=162+24>0 设P(6X),(),则%+y=+2'= 3 2+2 -=V,+广-4= 42 122V42+6 V(e+2+2 2+2 又B(-2,0),EB=1-(-2)=3, 8网到小2 =√o,解得：t=1 t2+2 “直线！的斜率k=上=h」 t 【56】详见解析 解析：(1)M,W分别为线段PR,Pr的中点，O是坐标原点， OMHPNF HIPRHONH PMP 四边形OMPW的周长为 IPMI+IOMI+IPNI+ION+PK|=2a=4, .a=2, 4r=a-c=2-c=2-V5,c=V5 b=2-c-V22-W5=1, :椭圆c的标准方程为天+y=1. 4 (2)设D(y),E() 当直线/的斜率存在时，设直线的方程为y=G+m, 代入于+=1，整理得牛4水+8+4m-4=0 则△=(8.m)2-41+4k2）(4r2-4)>0 密 易知A(2,0), ADAE=(压-2，y)(-2y)=(-2(2-2+ =(s-2)(x2-2)+(a+m)(ex2+m)=(1+22)xx2+(1-2)(x+x2)+2+4 （+2）4m2-4m-2)x(-8m+m2+4=0, 1+4k2 1+4k2 化简得122+16m+5m2=0, m=或m=-2业（舍去）， 直线1的方程为y=么-号，即y=(-引直线1过定点(0 当直线{的斜率不存在时，设1：x=t(-2<t<2) 代入若1特7- 由AD.AE=0得AD⊥AE, 2 2-h-4 ,解得1=号或t=2(合去)， 此时直线过点（侣综上直线过定点〔 综合巩固提升 1.【答案】B 解析：由题设，不妨设过焦点(L,0)且垂直于x轴的直线：x=1, 代入椭圆方程符宁+兮1，可得了=号 故被椭圆截得的弦长等于3. 故选：B 2.【答案】A 解析：M,N关于直线3x-3y-1=0对称，kw=-1, 又W中点纵坐标为 W中点横坐标为3x+1 =2 3 设M(xy),N(2y),则 两式作差得：二立-了金，即 2 a (3-)+压-)+ a x-x,a y+y: 又5+5=4，月+，=10 3 椭圆c的离心率e=-正 3.【答案】A 解析：设AB的中点为M,即M 6 -1 ,如下图所示： 3 易知c=√a2-b2=√6，即a2-b2=6: 设A(1,y1),B(x2y2), 又AB中点坐标为 为61，所以+，26 3 y,+y2=2×(-1)=-2 则w 0-(6-k-A共 6-6 4 x-x2 3 又48两点在椭圆三+茶=1a>6>0上可得 两式相减可得=￡+==0，整理得 a 2W6 2= b(在+x_B -x2 4 解得3a2=462,联立a2-b2=6可解得a2=24,b2=18: 即a=2√6，b=3√5所以椭圆的面积为ab=12√5π.故选：A 4.【答案】D 解析：因为实数x,y满足方程√G-√5)+y2+√+5+y2=4, 所以点(，)的轨迹是以（√5,0，（←√5,0）为焦点，4为长轴长的椭圆，即 c=√3，a=2, 所以b2=a2-c2=1, 椭圆的方程为二+少=1， 4 令=+2，则y=分+号 所以当=古+后与椭国在上方相时，：最大 设直线)2+m与椭圆相切， 少=-2x+m,得x2-2+2m2-2=0 x2+4y2=4 所以△=4m2-4(2m2-2)=0,解得m=√2或m=-√2（舍去）， 由m=2得-22x+2=0,得x=反，则y=5,所以切点坐标为 2 ）,所以：=x+2y的最大值为5+2x5=25, 所以x+2y+3反的最大值为5√2，即+2y+3的最大值为5√2， 故选：D 5.【答案】AD 解析：设两点A,B的坐标为：A(,),B(x2,), 联立椭腿c:千+产=1与直线1：x-y+m=0的方程 得：5x2+8mx+4(m2-1)=0 由判别式4=(8m)2-4×5×4(2-)>0,得m2<5,即-√5<m<V5,选项 A正确，选项B不正确： 书达定理+=号-0， 孩长kT-45, 当m=O时，弦长A取最大值，A-D,选项C不正确： 由直线1：y=x+m,线段A8中点M的坐标为+区+五+m, 2 2 即让（智骨.所以点丛的坐标满足直线方程x+4=0,选项D正 确.故选：AD 6.【答案】4 解析：如图， 1 ·椭圆c ,1 。+后1(a>b>0)的离心率为2 公不奶可设福铜C名+式-1.a= C的上顶点为A,两个焦点为耳，写， “.△AR瓦为等边三角形， :过且垂直于AF的直线与C交于D,E两点， 北g=tam30°=5 由等腰三角形的性质可得，IAD曰DRI,IAE月EEI, 设直线g方程为y9+d小，06动，6，小 将其与椭圆C联立化简可得，13x2+8cx-32c2=0, 由韦达定理可料+气=音=答 13 |D=E+1-=E2+1V区+x-4x aAD8的周长等价于D+P+E=4a==8×=4,故答案为：4 7.【答案】1号+2-1：(2)25-5 2 解析：(1)“椭圆C的焦点为(0，-1)，R(0,1)c=1① x216y2 =1②，而a2=b2+c2③ :联立0@3将化5圆方程为兮+ y=x+m (2)设：y=x+m与椭圆相切联立方程组： y 2+x2=1 3x2+2r+m2-2=0,△=4m2-4×3m2-2=0.m=±√5 显然易知当m=-5时，1：y=x-V5与y=x-4距离最近， 5+4 d 45-25-5 +( 8.详见解析 :(1)在椭圆。+1中，4=22,4=2，G,=V8-4=2 率e=9=2=巨 a12√22 a1-a 因为停)在描围c京+号4e>6>0)上 1 1 11 所以亦+=1，所以亦+方=1，所以=1，。=2， 所以椭图c+号1 (2)当直线1的斜率为0时，线段AB是椭圆的短轴，以AB为直径的圆 的方程为x2+y2=1, 当直线的斜等不布在时，直线？的方程为兮，代入+宁1，每 )=±手，以4B为直径的圆的方程为-+)广=6 [x2+y2=1 y=0 由此猜想存在T(-L,0),使得以AB为直径的圆是经过定点T(-L,), 证明如下： 当直线1的斜率不为0且斜率存在时，设直线：x=四+号 .1 联立 网与，去并整理得++号号0， =1 2 △-音m+4om+分号0， 设A(y)、B(x2,), 则片+上=-2m 8 y2=- 则与+=网，+写+心：+写m0+y》+行30m+宁 1 42=-2m2 2 3 =(+3,+学=my,+写m0,+)+写 8m22m2+1 -_10m2 1 m+79, 因为 ☑.TB=(+L,片)(，+L乃)=(s+1,+)+ =Xx2+x1+x2+1+y2 10m2,12m2 8 90m+90m+ r9r+分 =-16m2+8+16 m+9=0, 所以TA⊥TB,所以点T(-LO)在以AB为直径的圆上， 综上所述：以AB为直径的圆是经过定点T(-10).