第三章 第2讲 导数与函数的单调性（教师用书Word）-【高考领航】2026年高考数学大一轮复习学案

第2讲　导数与函数的单调性 ◆课标要求 1．借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)． 1．函数的单调性与导数的关系 条件 导数的符号 结论 函数y＝f(x) 在区间(a，b) 上可导 f′(x)>0 f(x)在(a，b)内单调递增 f′(x)<0 f(x)在(a，b)内单调递减 f′(x)＝0 f(x)在(a，b)内是常数函数 　“f′(x)>0在区间(a，b)内成立”是“f(x)在区间(a，b)内单调递增”的充分不必要条件． 2．利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导函数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 1．若可导函数f(x)在(a，b)内存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若可导函数f(x)在(a，b)内存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)<0有解． 2．可导函数f(x)在(a，b)内单调递增(减)的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒为零． 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.(　　) (2)如果f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．(　　) (3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则f(x)在定义域上一定单调递增．(　　) (4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是(　　) A．先增后减　　　　 B．先减后增 C．增函数 D．减函数 解析：D　∵当x∈(0，π)时，f′(x)＝－sin x－1<0，∴f(x)在(0，π)上是减函数． 3．函数f(x)＝x3＋2x2－4x的单调递增区间是________． 解析：由f′(x)＝3x2＋4x－4>0得x<－2或x>，故单调递增区间为(－∞，－2)，. 答案：(－∞，－2)， 4．若函数y＝x＋(a>0)在[2，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________． 解析：由题意可知，y′＝1－≥0，即a2≤x2在[2，＋∞)上恒成立，由x2≥4，∴a2≤4，即－2≤a≤2. 又a>0，故0<a≤2. 答案：(0，2] 　利用导数研究函数的单调性 考向1　不含参数函数的单调性 例1　(2025·浙江舟山联考)函数f(x)＝ln (2x－1)－x2＋x的单调递增区间是(　　) A．(0，1)　　　　　　 B． C． D． 解析：D　函数f(x)＝ln (2x－1)－x2＋x的定义域为， 且f′(x)＝， 令f′(x)＞0，解得＜x＜，所以f(x)的单调递增区间为. 反思感悟　确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开． 考向2　含参数函数的单调性 例2　已知函数g(x)＝(x－a－1)ex－(x－a)2，讨论函数g(x)的单调性． 解：g(x)的定义域为R，g′(x)＝(x－a)ex－2(x－a)＝(x－a)(ex－2)， 令g′(x)＝0，得x＝a或x＝ln 2， ①若a>ln 2，则当x∈(－∞，ln 2)∪(a，＋∞)时，g′(x)>0， 当x∈(ln 2，a)时，g′(x)<0， ∴g(x)在(－∞，ln 2)，(a，＋∞)上单调递增， 在(ln 2，a)上单调递减． ②若a＝ln 2，则g′(x)≥0恒成立，且g′(x)不恒等于0， ∴g(x)在R上单调递增， ③若a<ln 2，则当x∈(－∞，a)∪(ln 2，＋∞)时，g′(x)>0， 当x∈(a，ln 2)时，g′(x)<0， ∴g(x)在(－∞，a)，(ln 2，＋∞)上单调递增， 在(a，ln 2)上单调递减． 综上，当a>ln 2时，g(x)在(－∞，ln 2)，(a，＋∞)上单调递增，在(ln 2，a)上单调递减； 当a＝ln 2时，g(x)在R上单调递增； 当a<ln 2时，g(x)在(－∞，a)，(ln 2，＋∞)上单调递增，在(a，ln 2)上单调递减． 反思感悟　(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点． 跟踪训练1　(1)(人教A版选择性必修第二册P87练习第3题变式)设函数f(x)在定义域内可导，f(x)的图象如图所示，则其导函数f′(x)的图象可能是(　　) 解析：A　由f(x)的图象可知，当x∈(－∞，0)时，函数f(x)单调递增，则f′(x)≥0，故排除C，D；当x∈(0，＋∞)时，函数f(x)先单调递减、再单调递增最后单调递减，则导函数值f′(x)应先小于0，再大于0，最后小于0，故排除B，选A. (2)已知函数f(x)＝ax2－(a＋1)x＋ln x，a>0，试讨论函数y＝f(x)的单调性． 解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝ax－(a＋1)＋. 令f′(x)＝0，得x＝或x＝1. ①当0<a<1时，>1， ∴x∈(0，1)和时，f′(x)>0； x∈时，f′(x)<0， ∴函数f(x)在(0，1)和上单调递增，在上单调递减； ②当a＝1时，＝1， ∴f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立， ∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ③当a>1时，0<<1， ∴x∈和(1，＋∞)时，f′(x)>0； x∈时，f′(x)<0， ∴函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减． 综上，当0<a<1时，函数f(x)在(0，1)和上单调递增，在上单调递减； 当a＝1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a>1时，函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减． 　函数单调性的应用 考向1　比较大小或解不等式 例3　(1)(人教A版选择性必修第二册P86例1变式)已知函数f(x)＝2x－sin x，则下列结论正确的是(　　) A．f(2.7)＜f(π)＜f(e) B．f(π)＜f(e)＜f(2.7) C．f(e)＜f(2.7)＜f(π) D．f(2.7)＜f(e)＜f(π) 解析：D　f′(x)＝2－cos x，因为cos x∈[－1，1]，所以f′(x)＞0恒成立，所以f(x)在R上单调递增，因为2.7＜e＜π，所以f(2.7)＜f(e)＜f(π)，故选D. (2)已知函数f(x)＝x3＋2x－sin x，若f(2a2)＋f(a－1)≤0，则实数a的取值范围为(　　) A． B． C． D． 解析：D　函数f(x)＝x3＋2x－sin x的定义域为R，f(－x)＝(－x)3＋2(－x)－sin (－x)＝－f(x)，故函数f(x)是奇函数．又f′(x)＝3x2＋2－cos x＞0恒成立，所以函数f(x)在R上单调递增，不等式f(2a2)＋f(a－1)≤0⇔f(2a2)≤－f(a－1)，即f(2a2)≤f(－a＋1)，于是2a2≤－a＋1，即2a2＋a－1≤0，解得－1≤a≤，所以实数a的取值范围为.故选D. 考向2　根据函数的单调性求参数的值(范围) 例4　(多选)(2025·广东茂名模拟)若f(x)＝－x2＋2x＋1是区间(m－1，m＋4)上的单调函数，则实数m的值可以是(　　) A．－4 B．－3 C．3 D．4 解析：CD　由题意，f′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x－2)(x＋1)， 令f′(x)＞0，解得－1＜x＜2，令f′(x)＜0，解得x＜－1或x＞2， 所以f(x)在(－1，2)上单调递增，在(－∞，－1)，(2，＋∞)上单调递减． 若f(x)＝－x2＋2x＋1是区间(m－1，m＋4)上的单调函数，则m＋4≤－1或m－1≥2或解得m≤－5或m≥3.故选C、D. 反思感悟　(1)根据函数单调性求参数的方法 ①利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集． ②f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解． ③若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号)． (2)利用导数比较大小，其关键是判断已知(或构造后的)函数的单调性，利用其单调性比较大小． (3)与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数，再利用导数研究新函数的单调性，从而解不等式． 跟踪训练2　(1)已知函数f(x)＝x sin x，x∈R，则，f(1)，f的大小关系为(　　) A．f>f(1)>f B．f(1)>f>f C．f>f(1)>f D．f>f>f(1) 解析：A　因为f(x)＝x sin x，所以f(－x)＝(－x)·sin (－x)＝x sin x＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，所以f＝f.又当x∈时，f′(x)＝sin x＋x cos x>0，所以函数f(x)在上是增函数，所以<f(1)<f，即f>f(1)>，故选A. (2)已知函数g(x)＝x2＋2x＋5，若函数g(x)在(－2，－1)上单调递减，则实数a的取值范围为________． 解析：法一：因为g(x)在(－2，－1)上单调递减，所以g′(x)＝x2－ax＋2≤0在(－2，－1)上恒成立． 所以即解得a≤－3，即实数a的取值范围为(－∞，－3]. 法二：由题意知g′(x)＝x2－ax＋2≤0在(－2，－1)上恒成立，所以a≤x＋在(－2，－1)上恒成立．记h(x)＝x＋，当x∈(－2，－1)时，－3＜h(x)≤－2，(由对勾函数的单调性可得)所以a≤－3，即实数a的取值范围为(－∞，－3]. 答案：(－∞，－3] 限时规范训练(十九)　导数与函数的单调性 (建议用时：45分钟　分值：102分) 单项选择题、填空题5分；多项选择题6分． A级　基础落实练 1．(2025·陕西咸阳质检)曲线y＝在点(1，1)处的切线的倾斜角α＝(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 解析：C　∵y＝，∴y′＝－，∴当x＝1时，tan α＝k＝－1.∵α∈[0，π)，∴α＝.故选C. 2．已知f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，且y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)函数的图象可能是(　　) 解析：D　根据题中导函数的图象可得，当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，则f(x)单调递减； 当x∈(0，2)时，f′(x)>0，则f(x)单调递增； 当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0，则f(x)单调递减，所以只有D选项符合． 3．(多选)已知函数f(x)＝(x2－4x＋1)ex，则函数f(x)在下列区间上单调递增的有(　　) A．(－1，0)　　　　　　 B．(－2，－1) C．(－1，3) D．(3，4) 解析：BD　f′(x)＝(2x－4)ex＋(x2－4x＋1)ex＝(x2－2x－3)ex， 令f′(x)＞0，可得x2－2x－3＞0， 解得x＜－1或x＞3， 所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(3，＋∞)， 所以f(x)在(－2，－1)和(3，4)上单调递增． 4．(2025·苏北四市调研)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝ex＋sin x，则不等式f(2x－1)＜eπ的解集是(　　) A． B． C． D． 解析：D　当x≥0时，f′(x)＝ex＋cos x， 因为ex≥1，cos x∈[－1，1]， 所以当x≥0时，f′(x)＝ex＋cos x≥0恒成立，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增， 又f(x)是定义在R上的偶函数， 所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，f(－π)＝f(π)＝eπ， 所以由f(2x－1)＜eπ可得－π＜2x－1＜π， 解得x∈. 5．(2025·河南洛阳高三摸底)函数f(x)＝在(－∞，＋∞)上是单调函数，则a的取值范围是(　　) A．[1，＋∞) B．(1，3] C． D． 解析：B　当x>0时，f(x)＝ex－x＋2a，则f′(x)＝ex－1>0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，由题意可知，函数f(x)在(－∞，＋∞)上是单调函数，故当x≤0时，f(x)＝(a－1)x＋3a－2单调递增，则a－1>0，且3a－2≤e0＋2a，得1<a≤3.故选B. 6．(多选)(2025·山西晋城模拟)若一个函数在区间D上的导数值恒大于0，则该函数在D上纯粹递增，若一个函数在区间D上的导数值恒小于0，则该函数在D上纯粹递减，则(　　) A．函数f(x)＝x2－2x在[1，＋∞)上纯粹递增 B．函数f(x)＝x3－2x在[1，2]上纯粹递增 C．函数f(x)＝sin x－2x在[0，1]上纯粹递减 D．函数f(x)＝ex－3x在[0，2]上纯粹递减 解析：BC　对于A，f′(x)＝2x－2，由f′(1)＝0，知A错误． 对于B，f′(x)＝3x2－2，当x∈[1，2]时，f′(x)＞0恒成立，所以B正确． 对于C，f′(x)＝cos x－2＜0在[0，1]上恒成立，所以C正确． 对于D，f′(x)＝ex－3＜0在[0，2]上不恒成立，所以D错误．故选B、C. 7．(2025·浙江丽水模拟)已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx＋1的单调递减区间是(－3，1)，则m＋n的值为________． 解析：f′(x)＝x2＋2mx＋n， 由f(x)的单调递减区间是(－3，1)， 得f′(x)＜0的解集为(－3，1)， 则－3，1是f′(x)＝0的解， ∴－2m＝－3＋1＝－2， n＝1×(－3)＝－3， 可得m＝1，n＝－3，故m＋n＝－2. 答案：－2 8．若函数f(x)＝ax3＋3x2－x恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意知f′(x)＝3ax2＋6x－1.由函数f(x)恰好有三个单调区间，得f′(x)有两个不相等的零点，所以3ax2＋6x－1＝0需满足a≠0，且Δ＝36＋12a>0，解得a>－3且a≠0，所以实数a的取值范围是(－3，0)∪(0，＋∞)． 答案：(－3，0)∪(0，＋∞) 9．(2025·上海模拟)已知定义在(－3，3)上的奇函数y＝f(x)的导函数是f′(x)，当x≥0时，y＝f(x)的图象如图所示，则关于x的不等式＞0的解集为________． 解析：依题意f(x)是奇函数，图象关于原点对称，由图象可知，f(x)在区间(－3，－1)，(1，3)上单调递减，f′(x)＜0； f(x)在区间(－1，1)上单调递增，f′(x)＞0. 所以＞0的解集为(－3，－1)∪(0，1)． 答案：(－3，－1)∪(0，1) 10．(13分)已知函数f(x)＝(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行． 求：(1)实数k的值； (2)函数f(x)的单调区间． 解：(1)f′(x)＝(x＞0)． 又由题意知f′(1)＝＝0，所以k＝1. (2)由(1)知，f′(x)＝(x＞0)． 设h(x)＝－ln x－1(x＞0)， 则h′(x)＝－＜0， 所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减． 由h(1)＝0知，当0＜x＜1时，h(x)＞0， 所以f′(x)＞0； 当x＞1时，h(x)＜0，所以f′(x)＜0. 综上，f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)． 11．(15分)已知函数f(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0)． (1)若f(x)在[1，4]上单调递减，求实数a的取值范围； (2)若f(x)在[1，4]上存在单调递减区间，求实数a的取值范围． 解：(1)因为f(x)在[1，4]上单调递减， 所以当x∈[1，4]时，f′(x)＝－ax－2≤0恒成立， 即a≥恒成立． 设G(x)＝，x∈[1，4]， 所以a≥G(x)max， 而G(x)＝2－1， 因为x∈[1，4]，所以∈， 所以G(x)max＝－(此时x＝4)， 所以a≥－， 又因为a≠0， 所以实数a的取值范围是∪(0，＋∞)． (2)因为f(x)在[1，4]上存在单调递减区间， 则f′(x)＜0在[1，4]上有解， 所以当x∈[1，4]时，a＞有解， 又当x∈[1，4]时，min＝－1(此时x＝1)， 所以a＞－1，又因为a≠0， 所以实数a的取值范围是(－1，0)∪(0，＋∞)． B级　能力提升练 12．(2025·湖南师大附中质检)已知函数f(x)＝cos x＋a ln x在区间上单调递增，则a的最小值为(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D．π 解析：C　f′(x)＝－sin x＋≥0在区间上恒成立，即a≥x sin x在区间上恒成立．设g(x)＝x sin x，x∈，则g′(x)＝sin x＋x cos x＞0，所以g(x)在上单调递增，则g(x)＜g＝，所以a≥，则a的最小值为.故选C. 13．(多选)(2025·八省联考，10)在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数，双曲正切函数是一种激励函数，定义双曲正弦函数sinh x＝，双曲余弦函数cosh x＝，双曲正切函数tanh x＝，则(　　) A．双曲正弦函数是增函数 B．双曲余弦函数是增函数 C．双曲正切函数是增函数 D．tanh(x＋y)＝ 解析：ACD　A项，由于函数y＝ex与函数y＝－e－x在R上均为增函数，则双曲正弦函数sinh x＝也是增函数，故A正确；B项，双曲余弦函数cosh x＝为偶函数，图象关于y轴对称，在y轴两侧单调性相异，则其在R上不为增函数，故B错误； C项，tanh x＝，由复合函数单调性可得：双曲正切函数是增函数，故C正确； D项，由C可得tanh(x＋y)＝1－，而 ＝， 化简可得 ＝ ＝1－ ＝1－ ＝1－，则tanh(x＋y)＝，故D正确．故选ACD. 14．(17分)(2025·浙江宁波质检节选)已知函数f(x)＝3a ln x－x2－(a－3)x，x∈R，试讨论f(x)的单调性． 解：由题意，f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－x－(a－3) ＝－， ①若a≥0，则当0＜x＜3时，f′(x)＞0， 当x＞3时，f′(x)＜0， ∴f(x)在(0，3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减； ②若－3＜a＜0，由f′(x)＜0，得0＜x＜－a或x＞3，由f′(x)＞0，得－a＜x＜3， ∴f(x)在(0，－a)，(3，＋∞)上单调递减，在(－a，3)上单调递增； ③若a＝－3，则f′(x)≤0恒成立， ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减； ④若a＜－3，由f′(x)＜0， 得0＜x＜3或x＞－a， 由f′(x)＞0，得3＜x＜－a， ∴f(x)在(0，3)，(－a，＋∞)上单调递减，在(3，－a)上单调递增． 学科网（北京）股份有限公司 $