第二章 第7讲 指数函数（教师用书Word）-【高考领航】2026年高考数学大一轮复习学案

该高中数学讲义紧扣指数函数高考核心考点，依据课标要求系统整合概念、图象与性质，构建“定义理解-图象特征-性质应用”的逻辑体系。通过思考辨析扫清认知误区，典例精讲突破大小比较、方程求解等难点，配套分层训练实现从基础到能力的递进，形成高效复习闭环。 讲义突出“问题情境-数学抽象-模型应用”教学路径，如利用分类讨论底数差异培养数学思维，数形结合解决图象交点问题发展直观想象。设置限时规范训练模拟高考场景，助力学生精准把握考点，为教师科学规划复习进度提供实用参考。

第7讲　指数函数 ◆课标要求 1．通过实例，了解指数函数的实际意义，能用描点法或借助计算工具画出指数函数的图象.2.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用． 1．指数函数 概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 2．指数函数的图象与性质 y＝ax a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点 (0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是 增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 y＝ax与y＝x的图象关于y轴对称 1．画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，. 2．底数a的大小决定了指数函数图象相对位置的高低，不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越高，即“底大图高”． 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)函数y＝2x-1是指数函数．(　　) (2)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．(　　) (3)2-3>2-4.(　　) (4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2．已知指数函数y＝f(x)的图象经过点(－1，2)，那么这个函数也必定经过点(　　) A．　　　　 B． C．(1，2) D． 解析：D　设f(x)＝ax，则f(－1)＝a-1＝2，故a＝，所以f(x)＝x，则f(3)＝3＝，故选D. 3．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是(　　) 解析：A　易知f(x)是偶函数，且f(x)＝1－e|x|≤0，故A正确． 4．已知a＝0.750.1，b＝1.012.7，c＝1.013.5，则(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．c>b>a D．c>a>b 解析：C　因为函数y＝1.01x在(－∞，＋∞)上是增函数，且3.5>2.7，故1.013.5>1.012.7>1>0.750.1，即c>b>a. 　指数函数的图象及应用 例1　(1)函数f(x)＝的部分图象大致为(　　) 解析：B　由题意得，f(x)的定义域为R，排除C，D；当x≥－2时，f(x)＝x+2，因为0<<1，所以f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，排除A.故选B. (2)(2025·广东深圳质检)若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0且a≠1)的图象有两个交点，则a的取值范围是________． 解析：y＝|ax－1|的图象是由y＝ax的图象先向下平移1个单位长度，再将x轴下方的图象翻折到x轴上方保持x轴上及其上方的图象不变得到的．当a>1时，如图1，两图象只有一个交点，不符合题意；当0<a<1时，如图2，要使两个图象有两个交点，则0<2a<1，即0<a<. 图1　　　　　　　　　　图2 综上可知，a的取值范围是. 答案： 反思感悟　(1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． (2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解． 跟踪训练1　(多选)已知函数f(x)＝ax－b(a>0，且a≠1，b≠0)的图象不经过第三象限，则a，b的取值范围可能为(　　) A．0<a<1，b<0　　 B．0<a<1，0<b≤1 C．a>1，b<0 D．a>1，0<b≤1 解析：ABC　若0<a<1，则函数y＝ax的图象如图(1)所示， 图(1) 要想f(x)＝ax－b的图象不经过第三象限，则需要向上平移，或向下平移不超过1个单位长度，故－b>0或－1≤－b＜0，解得b＜0或0<b≤1，故A、B正确； 图(2) 若a>1，则函数y＝ax的图象如图(2)所示，要想f(x)＝ax－b的图象不经过第三象限，则需要向上平移，故－b>0，解得b<0，即C正确，D错误． 　指数函数的性质及应用 考向1　比较指数式的大小 例2　已知a＝1.30.6，b＝-0.4，c＝0.3，则(　　) A．c<b<a B．a<b<c C．c<a<b D．b<c<a 解析：D　a＝1.30.6>1.30＝1，b＝-0.4＝0.4，c＝0.3， 因为指数函数y＝x是减函数， 所以0.4<0.3<0＝1， 所以b<c<1，所以b<c<a. 反思感悟　比较指数式大小的常用方法 单调 性法 不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底 取中间 值法 不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特别是0，1)比较大小，然后得出大小关系 考向2　解简单的指数方程或不等式 例3　(2025·山东青岛模拟)已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1，7]，则x的取值范围是(　　) A．[2，4] B．(－∞，0) C．(0，1)∪[2，4] D．(－∞，0]∪[1，2] 解析：D　∵y＝4x－3·2x＋3的值域为[1，7]， ∴1≤4x－3·2x＋3≤7. ∴－1≤2x≤1或2≤2x≤4. ∴x≤0或1≤x≤2. 反思感悟　指数不等式的求解主要是利用指数函数的单调性，但要注意其底数对单调性的影响． 考向3　指数函数性质的综合应用 例4　(多选)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)的定义域为R B．函数f(x)的值域为(－1，1) C．函数f(x)是奇函数 D．函数f(x)为减函数 解析：ABC　因为ex>0，所以ex＋1>0， 所以函数f(x)的定义域为R，故A正确； f(x)＝， 由ex>0⇒ex＋1>1⇒0<<1 ⇒－2<－<0⇒－1<1－<1， 所以函数f(x)的值域为(－1，1)，故B正确； 因为f(－x)＝＝ －f(x)， 所以函数f(x)是奇函数，故C正确； 因为函数y＝ex＋1是增函数，所以y＝ex＋1>1， 所以函数y＝是减函数， 所以函数y＝－是增函数， 故f(x)＝是增函数，故D不正确． 反思感悟　求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断． 跟踪训练2　(1)设a＝30.7，b＝2-0.4，c＝90.4，则(　　) A．b<c<a　　　　　 B．c<a<b C．a<b<c D．b<a<c 解析：D　b＝2-0.4<20＝1，c＝90.4＝30.8>30.7＝a>30＝1，所以b<a<c. (2)(多选)(2025·广东广州模拟)已知函数y＝x2＋4x＋3下列说法正确的是(　　) A．定义域为R B．值域为(0，2] C．在[－2，＋∞)上单调递增 D．在[－2，＋∞)上单调递减 解析：ABD　函数y＝的定义域为R，A正确； ∵x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1≥－1， ∴0<x2＋4x＋3≤2， 故函数y＝x2＋4x＋3的值域为(0，2]，B正确； ∵y＝u在R上是减函数，u＝x2＋4x＋3在(－∞，－2]上是减函数，在[－2，＋∞)上是增函数， ∴函数y＝在[－2，＋∞)上单调递减，C错误，D正确． 限时规范训练(十三)　指数函数 (建议用时：45分钟　分值：98分) 单项选择题、填空题5分；多项选择题6分． A级　基础落实练 1．函数y＝的图象的大致形状是(　　) 　 解析：C　∵y＝ ∴根据指数函数图象即可判断选项C符合． 2．(2025·辽宁名校联盟调研)若函数f(x)＝3－2x2＋ax在区间(1，4)内单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，4]　　　　　　　 B．[4，16] C．(16，＋∞) D．[16，＋∞) 解析：A　设f(u)＝3u，u＝－2x2＋ax，则f(u)＝3u在(－∞，＋∞)上单调递增． 因为f(x)＝3－2x2＋ax在区间(1，4)内单调递减，所以函数u＝－2x2＋ax在区间(1，4)内单调递减， 结合二次函数的图象和性质，可得≤1，解得a≤4.故选A. 3．(多选)函数f(x)＝ax－b(a>0且a≠1)，其图象经过第二、三、四象限，则下列结论正确的是(　　) A．0<ab<1 B．0<ba<1 C．ab>1 D．ba>1 解析：AD　若函数f(x)＝ax－b(a>0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则0<a<1且f(0)＝1－b<0，得b>1，所以0<ab<1，ba>1，故选A、D. 4．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．b>c>a 解析：A　y＝0.4x为减函数，∴＝1，又20.2>1，即a>b>c. 5．(2025·吉林长春模拟)已知函数f(x)＝|3x－3－x|，则不等式f(2x－1)－f(x)>0的解集为(　　) A．∪(1，＋∞) B． C． D．(1，＋∞) 解析：A　f(x)＝|3x－3－x|的定义域为R，f(－x)＝|3－x－3x|＝|3x－3－x|＝f(x)，故y＝f(x)为偶函数． 当x>0时，y＝3x，y＝－3－x均为增函数， 故g(x)＝3x－3－x为(0，＋∞)上的增函数， 又g(0)＝0，故当x>0时，g(x)>0，则y＝f(x)＝g(x)为(0，＋∞)上的增函数，故x<0时，y＝f(x)为减函数， (偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反) f(2x－1)－f(x)>0，即f(2x－1)>f(x)，则∪(1，＋∞)．故选A. 6．(多选)(2025·山东临沂模拟)已知函数f(x)＝＋a(a∈R)，则(　　) A．f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞) B．f(x)的值域为R C．当a＝1时，f(x)为奇函数 D．当a＝2时，f(－x)＋f(x)＝2 解析：ACD　对于函数f(x)＝＋a(a∈R)，令2x－1≠0，解得x≠0，所以f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故A正确； 当x>0时，2x>1，2x－1>0，>0，所以＋a>a，当x<0时，0<2x<1，－1<2x－1<0，<－2，所以＋a<－2＋a， 综上可得，f(x)的值域为(－∞，－2＋a)∪(a，＋∞)，故B错误； 当a＝1时，f(x)＝，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝＝－f(x)，所以f(x)＝＋1为奇函数，故C正确； 当a＝2时，f(x)＝＋1， 则f(x)＋f(－x)＝＋1＝2，故D正确．故选A、C、D. 7．已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[1，2]上的最大值比最小值大，则a的值为________． 解析：当0<a<1时，a－a2＝，∴a＝或a＝0(舍去)．当a>1时，a2－a＝，∴a＝或a＝0(舍去)．综上所述，a＝或a＝. 答案：或 8．已知函数f(x)＝ax2－4x＋3有最大值3，则a的值为________． 解析：令g(x)＝ax2－4x＋3. 则f(x)＝g(x)， ∵f(x)有最大值3，∴g(x)有最小值－1， 则解得a＝1. 答案：1 9．(2025·河南安阳高三联考)已知函数f(x)满足f(x)＝f(x＋4)，当x∈[－1，3)时，f(x)＝2x＋a，且f(2023)＝4，则当x∈[－7，－3)时，不等式f(x)>的解集为________． 解析：由f(x)＝f(x＋4)知，函数f(x)是周期为4的周期函数，所以f(2023)＝f(－1)＝＋a＝4，得a＝， 所以当x∈[－1，3)时，f(x)＝2x＋. 当x∈[－7，－5)时，x＋8∈[1，3)，则f(x)＝f(x＋8)＝2x+8＋>，解得x>－8，所以x∈[－7，－5)； 当x∈[－5，－3)时，x＋4∈[－1，1)， 则f(x)＝f(x＋4)＝2x+4＋>，解得x>－4，所以x∈(－4，－3)． 综上可得，当x∈[－7，－3)时，不等式f(x)>的解集为[－7，－5)∪(－4，－3)． 答案：[－7，－5)∪(－4，－3) 10．(13分)已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1，6)，B(3，24)． (1)求f(x)的表达式； (2)若不等式x＋x－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)因为f(x)的图象过A(1，6)，B(3，24)， 所以所以a2＝4， 又a>0，所以a＝2，b＝3， 所以f(x)＝3·2x. (2)由(1)知a＝2，b＝3， 则当x∈(－∞，1]时，x＋x－m≥0恒成立， 即m≤x＋x在x∈(－∞，1]上恒成立． 又因为y＝x与y＝x均为减函数， 所以y＝x＋x也是减函数， 所以当x＝1时， y＝x＋x有最小值. 即m≤， 故实数m的取值范围是. 11．(13分)如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，求a的值． 解：令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2. 当a>1时，因为x∈[－1，1]， 所以t∈， 又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14， 解得a＝3或a＝－5(舍去)； 当0<a<1时，因为x∈[－1，1]， 所以t∈， 又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，则ymax＝2－2＝14， 解得a＝或a＝－(舍去)． 综上，a＝3或a＝. B级　能力提升练 12．(多选)若4m－4n<5－m－5－n，则下列关系正确的是(　　) A．m<n B．n-3>m-3 C．< D．3－n<3－m 解析：ACD　由4m－4n<5－m－5－n得4m－5－m<4n－5－n，令f(x)＝4x－5－x，则f(m)<f(n)．因为函数y＝4x，y＝－5－x在R上都是增函数，所以f(x)在R上是增函数，所以m<n，故A正确．当m＝1，n＝2时，＝n-3<m-3＝1，故B错误．因为函数y＝在R上单调递增，所以由m<n得<，故C正确．因为函数y＝3－x在R上单调递减，所以由m<n得3－n<3－m，故D正确．故选A、C、D. 13．(多选)已知非零实数a，b满足等式a＝b，则下列结论不可能成立的是(　　) A．0<b<a B．a<b<0 C．0<a<b D．b<a<0 解析：CD　法一：在同一直角坐标系中作出函数y＝x与y＝x的图象如图所示，设a＝b＝M，当M>1时，结合图象可得，a<b<0；当M＝1时，结合图象可得，a＝b＝0；当0<M<1时，结合图象可得，a>b>0.综上，选C、D. 法二：由题意，等式a＝b两边同时取对数，得a ln ＝b ln ，即a ln 2＝b ln 3，得，故选C、D. 14．(13分)已知函数f(x)＝(a为常数，且a≠0，a∈R)，且f(x)是奇函数． (1)求a的值； (2)若∀x∈[1，2]，都有f(2x)－mf(x)≥0成立，求实数m的取值范围． 解：(1)f(x)＝， 因为f(x)是奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)， 所以＋2x＝－， 所以＝0， 即＋1＝0，解得a＝－1. (2)因为f(x)＝－2x，x∈[1，2]， 所以－22x≥m， 所以m≥＋2x，x∈[1，2]， 令t＝2x，t∈[2，4]， 由于y＝t＋在[2，4]上单调递增， 所以m≥4＋. 学科网（北京）股份有限公司 $