专题03 绝对值的化简问题7大题型（期中专项训练）七年级数学上学期新教材北师大版

专题03 绝对值的化简问题 题型1 化简含绝对值的多重符号 题型5 新定义问题中的化简 题型2 根据数轴化简 题型6 分类讨论化简 题型3 根据字母的取值范围化简 题型7 利用绝对值的几何意义化简 题型4 利用非负性化简 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 化简含绝对值的多重符号 1．比较大小： 2．化简： ． 3．化简下列各数： ，，，，，． 4．化简： (1)； (2)． 题型2 根据数轴化简 5．已知表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，则的值是（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 6．如图，有理数在数轴上对应的点分别为．若，则四个数中，绝对值最大的是（   ） A．p B．q C．m D．n 7．如图，已知数轴上两点表示的数分别是，则化简正确的是（   ） A． B． C． D． 8．在数轴上，数a在数的右边，若，则 9．有理数，，在数轴上对应点的位置如图所示：化简． 题型3 根据字母的取值范围化简 10．若 ，，且 ，则的值为（    ） A．或 B．7 或 1 C． 或 1 D．7 或 11．已知a、b、c在数轴上的位置：，则的值为（    ） A． B． C．0 D． 12．已知a、b、c满足，，，且，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 13．已知有理数a，b，c在数轴上的位置：a在原点左边，b在原点右边但是靠近原点，c在b右边更远的位置，化简：． 14．已知a、b、c在数轴上的位置：数轴上，且．化简：． 题型4 利用非负性化简 15．当 时，式子有最小值． 16．已知，求的值． 17．已知，求的值． 题型5 新定义问题中的化简 18．定义新运算“#”，规定：，则的运算结果为（   ） A． B． C．5 D．3 19．定义一种新运算，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，再定义另一种新运算“☆”，对于任意有理数a，b和c，， 比如，请计算 20．对于有理数、两个数．若定义． 例如，，则．回答下面问题： (1)的运算结果为___________． (2)设，，，，则的值为___________． (3)若在这些数中，任意选取两个数进行“”运算，则所有运算结果中最大的值是___________． 21．对于有理数a，b，定义两种新运算“”与“”，规定：，例如，． (1)计算的值． (2)若a，b在数轴上的位置如图所示，化简． (3)若，求x的值． (4)对于任意有理数m，n，请你定义一种新运算“”，使得，直接写出你定义的运算：．（用含m，n的代数式表示） 题型6 分类讨论化简 22．若，且，则 ． 23．若，则代数式的值为 ． 24．若m、n、p、q为有理数，且，则 ． 25．若a、b、c是有理数，，且a，b同号，b，c异号，求的值． 26．已知，，且．求的值． 27．已知、、都为整数，且满足，则的结果是（   ） A．1 B．2 C．0 D．1或0 题型7 利用绝对值的几何意义化简 28．我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离．由此推广到表示在数轴上数、a对应点之间的距离，绝对值的几何意义在解题中有着广泛的应用． （例）已知，求的值． 解：因为数轴上与表示2的点距离为5的点表示的数为7或，所以或． (1)仿照上述解法，求下式中的值： (2)求的最小值 29．根据绝对值的定义表示代表的点到原点的距离，则可表示代表的点到表示的点的距离．已知，求满足条件的所有的整数解． 30．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点和点表示的数为，，则，两点之间的距离，若，则可化简为．若点为数轴上一动点，点对应的数记为，请你利用数轴解决以下问题： (1)若点与表示有理数的点的距离是3个单位长度，则的值为 ； (2)表示数轴上点到有理数 所对应的点之间的距离，表示数轴上点到有理数 所对应的点之间的距离； (3)利用数轴，找出所有符合条件的整数，使得．则这样的整数有 ，共 个． (4)若数轴上比小2的数用表示，比大5的数用表示，则的最小值为 ． 31．认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点、在数轴上分别表示有理数、，那么、之间的距离可表示为． (1)如果表示数和3的两点之间的距离是7，则可记为：，那么___________． (2)若数轴上表示数的点位于与3之间，求的值． (3)当取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由 $专题03 绝对值的化简问题 题型1 化简含绝对值的多重符号 题型5 新定义问题中的化简 题型2 根据数轴化简 题型6 分类讨论化简 题型3 根据字母的取值范围化简 题型7 利用绝对值的几何意义化简 题型4 利用非负性化简 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 化简含绝对值的多重符号 1．比较大小： 【答案】 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 2．化简： ． 【答案】6 【详解】解：， 故答案为：6． 3．化简下列各数： ，，，，，． 【答案】；；；15；7；9 【详解】解： ． 4．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：． 题型2 根据数轴化简 5．已知表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，则的值是（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【详解】解：由数轴可得， ∴ ， ， 故选：C． 6．如图，有理数在数轴上对应的点分别为．若，则四个数中，绝对值最大的是（   ） A．p B．q C．m D．n 【答案】A 【详解】解：∵， 原点在线段的中点， 到原点的距离最远， 故答案为：A． 7．如图，已知数轴上两点表示的数分别是，则化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：数轴上两点表示的数分别是， 由数轴可得，， ∴ ， 故选：D． 8．在数轴上，数a在数的右边，若，则 【答案】3 【详解】解：由数a在数的右边，且，可知：， ∴； 故答案为3． 9．有理数，，在数轴上对应点的位置如图所示：化简． 【答案】 【详解】解：由图可知，，， ，，， 原式 ． 题型3 根据字母的取值范围化简 10．若 ，，且 ，则的值为（    ） A．或 B．7 或 1 C． 或 1 D．7 或 【答案】A 【详解】解：，， ∴，， ∵， ，或，； 或． 故选：A． 11．已知a、b、c在数轴上的位置：，则的值为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选C． 12．已知a、b、c满足，，，且，则a、b、c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 13．已知有理数a，b，c在数轴上的位置：a在原点左边，b在原点右边但是靠近原点，c在b右边更远的位置，化简：． 【答案】0 【详解】解：由题意得：， ∴，，， ． 14．已知a、b、c在数轴上的位置：数轴上，且．化简：． 【答案】2b 【详解】解：由数轴知，且， 故：， 原式 ． 题型4 利用非负性化简 15．当 时，式子有最小值． 【答案】2 【详解】解：根据，得到时，取得最小值， 解得， 故答案为：2． 16．已知，求的值． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 17．已知，求的值． 【答案】1 【详解】解：∵， ∴，                          ⋯ ， ∴． 题型5 新定义问题中的化简 18．定义新运算“#”，规定：，则的运算结果为（   ） A． B． C．5 D．3 【答案】D 【详解】解：由题意可得： 故选：D． 19．定义一种新运算，规定运算法则为：（m，n均为整数，且）．例：，再定义另一种新运算“☆”，对于任意有理数a，b和c，， 比如，请计算 【答案】14 【详解】解：，， ， 故答案为：14． 20．对于有理数、两个数．若定义． 例如，，则．回答下面问题： (1)的运算结果为___________． (2)设，，，，则的值为___________． (3)若在这些数中，任意选取两个数进行“”运算，则所有运算结果中最大的值是___________． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：当时，， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∴的值为； 故答案为：； （3）解：由题意得，这些数中最大的两个数分别为和，且， 当选取的两个数其中一个小于时，则这两个数进行“”运算的值一定小于， ∴所有运算结果中最大的值是． 21．对于有理数a，b，定义两种新运算“”与“”，规定：，例如，． (1)计算的值． (2)若a，b在数轴上的位置如图所示，化简． (3)若，求x的值． (4)对于任意有理数m，n，请你定义一种新运算“”，使得，直接写出你定义的运算：．（用含m，n的代数式表示） 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解：（1）根据题中的新定义得： ； （2）解：由在数轴上位置，可得， 则； （3）解：∵， ∴ 解得：； （4）解：∵， 故答案为：(答案不唯一)． 题型6 分类讨论化简 22．若，且，则 ． 【答案】1或 【详解】解：∵，且， ∴中负数有一个或三个， 当中有一个负数时：， 当中有三个负数时：， 则原式或， 故答案为：1或 23．若，则代数式的值为 ． 【答案】3或 【详解】解：， 若，，则，，， ∴， 若，，则，，， ∴， 若，，则，，， ∴， 若，，则，，， ∴， 综上，代数式的值为或． 故答案为：或． 24．若m、n、p、q为有理数，且，则 ． 【答案】5或或 【详解】解：由题意，分以下两种情况： （1）当m、n、p、q都是负数时， 则； （2）当m、n、p、q中有两个负数，两个正数时，不妨设， 则； （3）当m、n、p、q都是正数时， 则； 综上，的值是5或或 故答案为：5或或． 25．若a、b、c是有理数，，且a，b同号，b，c异号，求的值． 【答案】 【详解】解：∵ ∴ 又∵a、b同号，b、c异号 当时， 则 当时， 则 答：的值为或． 26．已知，，且．求的值． 【答案】或 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，或，， 当，时，； 当，时，． 27．已知、、都为整数，且满足，则的结果是（   ） A．1 B．2 C．0 D．1或0 【答案】C 【详解】解：，、、都为整数， ，或，， ，或，， 当，时，有，则，此时， 当，，时，有，则，此时， 的结果是0， 故选：C 题型7 利用绝对值的几何意义化简 28．我们知道的几何意义是在数轴上数对应的点与原点的距离．由此推广到表示在数轴上数、a对应点之间的距离，绝对值的几何意义在解题中有着广泛的应用． （例）已知，求的值． 解：因为数轴上与表示2的点距离为5的点表示的数为7或，所以或． (1)仿照上述解法，求下式中的值： (2)求的最小值 【答案】(1)或2 (2)5 【详解】（1）解：， 因为数轴上与表示的点距离为3的点表示的数为或2，所以或2； （2）解：由绝对值的几何意义可知：表示数x到与3和两点的距离之和，所以当点表示的数x在和3之间时，有最小值，最小值为3和之间的距离， 即为， ∴的最小值为5． 29．根据绝对值的定义表示代表的点到原点的距离，则可表示代表的点到表示的点的距离．已知，求满足条件的所有的整数解． 【答案】，，，，，0，1，2，3 【详解】解：由题意可知， 按照定义表示代表x的点到点的距离， ∴表示，代表x的点到点的距离小于5． 由此可得，即. ∴满足所有整数解为：，，，，，0，1，2，3． 30．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点和点表示的数为，，则，两点之间的距离，若，则可化简为．若点为数轴上一动点，点对应的数记为，请你利用数轴解决以下问题： (1)若点与表示有理数的点的距离是3个单位长度，则的值为 ； (2)表示数轴上点到有理数 所对应的点之间的距离，表示数轴上点到有理数 所对应的点之间的距离； (3)利用数轴，找出所有符合条件的整数，使得．则这样的整数有 ，共 个． (4)若数轴上比小2的数用表示，比大5的数用表示，则的最小值为 ． 【答案】(1)2或 (2)2， (3)，，，，，0，1，2；8 (4)14 【详解】（1）解：∵点与表示有理数的点的距离是3个单位长度， ∴或， 故答案为：2或． （2）解：表示数轴上点到有理数2所对应的点之间的距离， 表示数轴上点到有理数所对应的点之间的距离， 故答案为：2，． （3）解：表示数轴上点到有理数2所对应的点之间的距离与数轴上点到有理数所对应的点之间的距离之和为7， ∵， ∴点在有理数2所对应的点和有理数所对应的点之间，包括2和， ∴这样的整数有，，，，，0，1，2，共8个． （4）解：∵数轴上比小2的数用表示，比大5的数用表示， ∴，， 则， 表示数轴上有理数所对应的点到有理数4所对应的点之间的距离与数轴上有理数所对应的点到有理数所对应的点之间的距离之和， 当有理数所对应的点在有理数4所对应的点和有理数所对应的点之间时，最小，最小值为， 则的最小值为14， 故答案为：14． 31．认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点、在数轴上分别表示有理数、，那么、之间的距离可表示为． (1)如果表示数和3的两点之间的距离是7，则可记为：，那么___________． (2)若数轴上表示数的点位于与3之间，求的值． (3)当取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由 【答案】(1)或10 (2)7 (3)时，最小值为7 【详解】（1）解：， ， 或， 解得或10， 故答案为：或10． （2）解：若数轴上表示数的点位于与3之间， 则 故的值为7． （3）解：当时，的值最小， 则， 理由：时，正好是3和两点间的距离． $