专题01 有理数（期中知识清单，7知识&14题型&4易错&3方法清单）七年级数学上学期新教材苏科版

专题01 有理数（7知识&14题型&4易错&3方法清单） 【清单01】正数与负数 1.正数：大于0的数，如+1、2、1.2等。正数有时可在前面加“+”，有时“+”可省略。 2.负数：小于0的数，如-1、-2、-1.2等。负数是在正数前面加上“-”号，“-”不可省略。 3.0的意义：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线。0可表示“没有”，如教室里0人；0也是整数、自然数、有理数。 4.相反意义的量：正数和负数可用来表示具有相反意义的量。例如，零上8℃表示为+8℃，零下8℃表示为-8℃。选择哪个量为正一般是人为规定的。 【清单02】有理数 1.概念：整数和分数统称为有理数。正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）；正分数和负分数统称为分数。有理数都可以写成分数的形式。 表现形式：整数、分数、有限小数、无限循环小数。 2.分类方法： 按概念分类：整数、分数。 按正负分类：正有理数（正整数、正分数）、0、负有理数（负整数、负分数）。 【清单03】数轴 1.概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度。三者缺一不可，同一数轴上的单位长度要统一。 2.画法： 画一条水平的直线。 在这条直线上取一点作为原点，表示0。 规定直线上从原点向右为正方向（画箭头表示），向左为负方向。 取适当长度（如1cm）为单位长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次表示1、2、3…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示-1、-2、-3…。 3.与有理数的关系： 所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。 4.比较大小： 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。 两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。 【清单04】绝对值与相反数 1.绝对值： （1）几何意义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。 （2）代数意义： 正数的绝对值是它本身。 负数的绝对值是它的相反数。 0的绝对值是0。 （3）符号表达： 如果a>0，那么|a|=a。 如果a<0，那么|a|=-a。 如果a=0，那么|a|=0。 2.相反数： （1）概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。 （2）性质与判定： 任何数都有相反数，且只有一个。 互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数。若a、b互为相反数，则a+b=0。 几何意义：在数轴上与原点距离相等的两点所表示的两个数，为互为相反数。互为相反数的两个数在数轴上的点（0除外）在原点两旁且与原点的距离相等。 （3）求法： 求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可。 求多个数的和或差的相反数，需要先用括号括起来再添上负号“-”，然后化简。 前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添加“-”，然后化简。 表示方法：一般情况下，a的相反数是-a，a是任意有理数。 （4）多重符号的化简： “+”号个数不影响化简的结果，可以直接省略。 “-”决定最后化简结果，“-”的个数是奇数，结果为负；“-”的个数是偶数，结果为正。 【清单05】有理数的加法与减法 1.有理数的加法法则： 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 一个数同0相加，仍得这个数。 2.有理数的加法运算律： 交换律：a+b=b+a。 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a-b=a+(-b)。 【清单06】有理数的乘法与除法 1.有理数的乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 任何数同0相乘，都得0。 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正。 2.有理数的乘法运算律： 交换律：a×b=b×a。 结合律：(a×b)×c=a×(b×c)。 分配律：(a+b)×c=a×c+b×c。 有理数的除法法则： 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 两个不等于0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 0除以任何一个不等于0的数，都得0。0不能做除数。 【清单07】有理数的乘方与混合运算 1.概念：求几个相同因数的积的运算，叫做乘方。相同的因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数，乘方运算的结果叫幂。 2.法则： 正数的任何次幂都是正数。 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。 0的任何正整数次幂都是0。 3.有理数的混合运算的运算顺序：先乘方，后乘除，再加减，如果有括号，先进行括号内的运算。 【题型一】绝对值、相反数、倒数 【例1】的绝对值是（　　） A．8 B． C．6 D． 【变式1-1】下列两个数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．3和 【变式1-2】的倒数是 ，的相反数是 【题型二】科学记数法 【例2】中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作．根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4400000000人，这个数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】2025年春节期间，无锡市65家备案博物馆接待游客总数约819000人次．数据819000用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】随着网络建设的稳步推进，我国在智能制造、智慧医疗、智慧教育、数字政务等领域的融合应用不断提升．据工信部近日发布的2022年通信业统计公报显示：我国目前基站总量已达到万个，占全球比例超过．将数据“万”用科学记数法表示为 个． 【题型三】最大、最小的数 【例3】下列各有理数中，最大的是（    ） A． B． C． D．0 【变式3-1】下列四个有理数中，最小的是（   ） A．0 B． C． D． 【变式3-2】在0，，，中，最小的数是 ． 【题型四】比较大小 【例4】比较下列各组数的大小，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】下列比较有理数，，大小正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】比较大小： ．（填“”“”或“”） 【题型五】绝对值的非负性 【例5】，则（　　） A．3 B． C． D．2 【变式5-1】若与的值互为相反数，则的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式5-2】（1）若，则 ， ． （2）已知，则 ． （3）已知与互为相反数，则 ． 【题型六】新定义运算 【例6】 新定义一种运算“⊗”，其运算法则为：；例如：．已知，则a的值为（   ） A．3 B． C．7 D． 【变式6-1】定义新运算“⊕”如下：当时，；当时，．按上述规定计算的值为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】对非零有理数a，b定义一种运算，其规则是：，则 ． 【题型七】程序流程图 【例7】如图，这是一个“数值转换机”，若输入数字1，则输出结果为（   ） A． B．3 C． D．11 【变式7-1】按如图的程序计算，若输入的值为，则输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，…，则第2025次输出的结果为 ． 【题型八】数轴上表示数并比较大小 【例8】把下列各数在数轴上表示出来，并用“”号连接起来． ，，0，，， 【变式8-1】现已知数轴上的点、、、、、分别表示，，，，，，运用数轴解决下面问题． (1)把各点画在数轴上，并按照从小到大的顺序，用“”号把各数连接起来； (2)直接写出、和、两点之间的距离． 【变式8-2】（1）在数轴上把下列各数表示出来； （2）用“”连接各数． 【题型九】有理数的分类 【例9】把下列各数分别填在表示它所属的横线上：；9；；0；；；2000；．（填写序号） (1)正数：　　　　； (2)负数：　　　　； (3)整数：　　　　； (4)分数：　　　　． 【变式9-1】把下列各数分别填入相应的集合里．（填序号即可） ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧ 正有理数集合：{                        …}； 负有理数集合：{                       …}； 整数集合：{                       …}； 负整数集合：{                       …}； 有理数集合：{                       …}． 【变式9-2】把下面的数填入它们属于的括号内： ，3，，，，，，，，2025． 正数：{                      …}； 负数：{                      …}； 整数：{                     …}． 【题型十】有理数的混合运算 【例10】计算： (1) (2) (3) (4) 【变式10-1】计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【变式10-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型十一】有理数的实际应用 【例11】某粮库一周内进出粮食的记录如下（运进为正，运出为负，单位：吨）： (1)通过计算说明这一周粮库的粮食是增多了还是减少了？增多或减少了多少吨？ (2)若粮库原有粮食 1000 吨，则现在粮库有粮食多少吨？ (3)若每吨粮食的运费为 20 元，则这一周共需运费多少元？ 【变式11-1】某水果店销售一种“巧克力”草莓，统计了一个月（按四周计算）的实际销售情况，以每千克15元为标准售价，超过或不足的钱数分别用正、负来表示；以每周的销售量200千克为标准，超过或不足的数量分别用正、负来表示，记录如表： 第一周 第二周 第三周 第四周 相对于标准售价（元） 相对于标准销售数量（千克） (1)这个月内，“巧克力”草莓售价最高的是第几周？这一周的售价是每千克多少元？ (2)这个月“巧克力”草莓实际的销售数量是多少千克？ (3)已知这种“巧克力”草莓的进价是每千克13元，若这家水果店本月原计划按标准数量销售，则这家水果店这个月实际销售“巧克力”草莓的利润比原计划销售“巧克力”草莓的利润多了多少元？ 【变式11-2】一检修小组开车沿一条东西方向的公路作业，早晨从A地出发，晚上到达B地约定向东为正，向西为负，当天的行驶路程记录如下（单位：千米）： ，，，，，，，． (1)请你确定B地位于A地的什么方向，距离A地有多远？ (2)在检修过程中，检修车离出发地A最远时，位于A地的左边还是右边？距离A地有多少千米？ (3)若检修车每千米耗油，检修车油箱容量为，问检修车在检修过程中至少还需补充多少升燃油？ 【题型十二】数轴折叠问题 【例12】如图，在一条不完整的数轴上从左到右依次有点A，B，C三个点，其中点A到点B的距离为3，点B到点C的距离为8，设点A，B，C所对应的数的和是m． (1)若A表示的数是，则数轴上点B所表示的数为： ； (2)若以B为原点，求m的值； (3)若C表示的数是8，将数轴折叠，使点A与点C重合，求折叠后与点B重合的点表示的数． 【变式12-1】如图，数轴上点表示的数是，解答下面的问题； (1)点表示的数为______． (2)与点的距离为4的点表示的数为______； (3)若将数轴折叠，使得点与表示的点重合，则点与数______表示的点重合； (4)若数轴上、两点之间的距离为2018（在的左侧），且、两点经过（3）中折叠后互相重合，则、两点表示的数分别是：：______：______． 【变式12-2】如下图，已知在纸面上有一数轴，折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数4表示的点重合． 若数轴上数表示的点与数1表示的点重合，根据此情境解决下列问题： (1)数轴上数3表示的点与数________表示的点重合． (2)若点A到原点的距离是5个单位长度，并且A，B两点经折叠后重合，则点B表示的数是________． (3)若数轴上M，N两点之间的距离为2024，并且M，N两点经折叠后重合，点M表示的数比点N表示的数大，则M，N两点表示的数分别是什么？ 【题型十三】数轴最值问题 【例13】阅读： 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难人微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． （1）发现问题：代数式的最小值是多少？ （2）探究问题：如图，点分别表示数． 因为的几何意义是线段与的长度之和， 所以当点在线段上时，；当点在点的左侧或点的右侧时，，所以的最小值是3． (1)借助数轴，说明的最小值是多少？ (2)当代数式的最小值是1时，直接写出此时的a值． 【变式13-1】【阅读】：表示7与3差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示7与的差的绝对值，也可理解为7与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)计算： (2)利用数轴，写出所有符合条件的整数x，使x所表示的点到5和所对应的点的距离之和为7． (3)直接写出的最小值及此时x的取值范围． (4)直接写出最小值及此时x的值． 【变式13-2】我们知道，可以理解为， 它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是_______； (2)数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为_______； (3)数轴上点A用数a表示，探究以下几个问题： ①满足的整数a有______个；有最小值，则最小值是：_____； ②求的最小值； 【题型十四】数轴动点问题 【例14】知识背景：数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律：比如数轴上点A、点B表示的数为a、b，则两点之间的距离；线段的中点P表示的数为．问题呈现：已知数轴上两点A、B表示的数分别为、10，点M从点A出发，以每秒3个单位的速度向点B运动，同时点N从点B出发，以每秒2个单位的速度向点A运动．设线段的中点为P，点N的运动时间为t秒． (1)线段的中点表示的数为 ；点N表示的数为 （用含的代数式表示）． (2)当M、N两点相距6个单位时，求t的值． (3)当点P与数轴上表示的点重合时，求t的值； (4)若点M到达点B后停留7秒，随后立即以原速返回，点N到达点A后立即以原速返回，两点再次相遇时，停止运动在整个运动过程中，当时，直接写出t的值． 【变式14-1】如图，数轴上从左至右有A，B，C，D四个点，分别表示有理数a，b，c，d，点A和点C之间的距离为20个单位长度，且a，c互为相反数，． (1)______， ______，______； (2)数轴上的动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点D运动，设运动时间为t（）秒．当点P运动到点C时，点Q从点D出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴在点D和点B之间往返运动，当点P运动到点D时，点Q的运动停止． ①求t为何值时，点P与点Q第一次相遇； ②求点Q一共运动了多少个单位长度，并求点Q停止运动时在数轴上所表示的有理数； ③在点Q第一次到达点B前，请直接写出点P与点Q之间的距离不超过15个单位长度的时长． 【变式14-2】阅读理解，完成下列各题： 定义：已知、、为数轴上任意三点，若点到点的距离是它到点的距离的3倍，则称点是的3倍点．例如：如图1，点是的3倍点，点不是的3倍点，但点是的3倍点，根据这个定义解决下面问题： (1)在图1中，点______的3倍点（填写“是”或“不是”）；的3倍点是点______（填写或或或）； (2)如图2，、为数轴上两点，点表示的数是，点表示的数是5，若点是的3倍点，则点表示的数是______； (3)若、为数轴上两点，点在点的左侧，，一动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为秒，求当为何值时，点恰好是和两点的3倍点？（用含的代数式表示）． 【题型一】混淆相反意义的量与数学符号的直接对应 【例1】若向南走记为，则表示（    ） A．向东走 B．向西走 C．向南走 D．向北走 【变式1-1】我国古代数学名著《九章算术》在“方程”章中首次出现了负数，如“卖所得的钱为正，买所付的钱为负，余钱为正，不足钱为负”如果收入300元记作元，那么元表示（   ） A．支出90元 B．收入90元 C．支出300元 D．收入300元 【变式1-2】若气温为零上记作，则气温为零下记作 【题型二】忽略数轴双向延伸特性，未考虑两点间双向距离 【例2】已知数轴上有三点，且点在点的右侧，点表示的数分别是1、3，若，则点表示的数是（    ） A． B．7 C．4 D．0 【变式2-1】已知数轴上，两点分别表示，6．若在数轴上找一点，使得点与点的距离为4；找一点，使得点与点的距离为1．下列不可能为点与点的距离的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】点、、、在数轴上的位置如图所示，已知点为原点，，．若点表示的数为，则点表示的数为 ． 【题型三】混淆绝对值运算与相反数运算的先后顺序 【例3】a，b，c是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示．若，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】若，则a的值是（   ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个负数 【变式3-2】已知，且，则 ． 【题型四】仅关注数字规律而忽略符号变化 【例4】观察下列算式：，，，，，，，．．．．用你所发现的规律得出的末位数字是（      ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式4-1】【学习情境·规律探究】把全体自然数按下面的方式进行排列：按照这样的规律推断，从到，箭头的方向应该是（   ） A．↓→ B．→↑ C．↑→ D．→↓ 【变式4-2】观察下列各式：，，，，，根据其中的排列规律，则第n个式子为 ． 【题型一】循环周期问题 方法： 1. 先找出循环节； 2. 再根据求的是第多少的数，用总数除以循环节的个数，看余数即可 【例1】观察图中正方形四个顶点所标数字的规律，可知数2025应标在（    ） A．第507个正方形的右上角 B．第507个正方形的右下角 C．第506个正方形的左上角 D．第506个正方形的左下角． 【变式1-1】如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式1-2】如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算输入1，则输出的是，返回进行第三次运算输入，则输出的是，…，则第2025 次输出的结果是 ． 【题型二】绝对值“1”与“-1”化简 方法：以为例， 分三种情况； 1. a、b都为正数，1+1=2； 2. a、b都为负数，-1+-1=-2； 3. a、b一正一负，-1+1=0 【例2】已知：当时，；当时，；那么当同时满足条件时，式子的值是（   ） A．2 B． C．0 D． 【变式2-1】如图所示，有理数a，b，c在数轴上对应的点分别是A，B，C．其中O为数轴的原点，则代数式化简 ． 【变式2-2】我们知道在化简的时候，需要判断a的正负：当时，；当时，． (1)已知a，b，c三个数在数轴上的对应的点如图所示： 用“”、“”或“”填空， _____0，______0，_______0， 化简：． (2)思维扩展：由“当时，；时，”可以推出： 当时，；当时，． 应用这个结论，解决下列问题： 已知x，y，z是有理数，，，化简：． 【题型三】裂项求和 方法：以基础的，可推出 【例3】观察下列各式：；根据规律解答下列各题： (1)________________． (2)计算：________． (3)计算：． 【变式3-1】（1）请观察下列算式： ，，，， 则第10个算式为________；第n个算式为________； （2）运用以上规律计算： （3）如果，求的值． 【变式3-2】数学活动课上，老师列出了如下式子： (1)第5个式子为_____，第n个式子为______． (2)利用（1）中规律计算． (3)拓展：计算． (4)延伸：计算． 学科网（北京）股份有限公2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数（7知识&14题型&4易错&3方法清单） 【清单01】正数与负数 1.正数：大于0的数，如+1、2、1.2等。正数有时可在前面加“+”，有时“+”可省略。 2.负数：小于0的数，如-1、-2、-1.2等。负数是在正数前面加上“-”号，“-”不可省略。 3.0的意义：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线。0可表示“没有”，如教室里0人；0也是整数、自然数、有理数。 4.相反意义的量：正数和负数可用来表示具有相反意义的量。例如，零上8℃表示为+8℃，零下8℃表示为-8℃。选择哪个量为正一般是人为规定的。 【清单02】有理数 1.概念：整数和分数统称为有理数。正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）；正分数和负分数统称为分数。有理数都可以写成分数的形式。 表现形式：整数、分数、有限小数、无限循环小数。 2.分类方法： 按概念分类：整数、分数。 按正负分类：正有理数（正整数、正分数）、0、负有理数（负整数、负分数）。 【清单03】数轴 1.概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度。三者缺一不可，同一数轴上的单位长度要统一。 2.画法： 画一条水平的直线。 在这条直线上取一点作为原点，表示0。 规定直线上从原点向右为正方向（画箭头表示），向左为负方向。 取适当长度（如1cm）为单位长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次表示1、2、3…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示-1、-2、-3…。 3.与有理数的关系： 所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。 4.比较大小： 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。 两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。 【清单04】绝对值与相反数 1.绝对值： （1）几何意义：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。 （2）代数意义： 正数的绝对值是它本身。 负数的绝对值是它的相反数。 0的绝对值是0。 （3）符号表达： 如果a>0，那么|a|=a。 如果a<0，那么|a|=-a。 如果a=0，那么|a|=0。 2.相反数： （1）概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。 （2）性质与判定： 任何数都有相反数，且只有一个。 互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数。若a、b互为相反数，则a+b=0。 几何意义：在数轴上与原点距离相等的两点所表示的两个数，为互为相反数。互为相反数的两个数在数轴上的点（0除外）在原点两旁且与原点的距离相等。 （3）求法： 求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可。 求多个数的和或差的相反数，需要先用括号括起来再添上负号“-”，然后化简。 前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添加“-”，然后化简。 表示方法：一般情况下，a的相反数是-a，a是任意有理数。 （4）多重符号的化简： “+”号个数不影响化简的结果，可以直接省略。 “-”决定最后化简结果，“-”的个数是奇数，结果为负；“-”的个数是偶数，结果为正。 【清单05】有理数的加法与减法 1.有理数的加法法则： 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 一个数同0相加，仍得这个数。 2.有理数的加法运算律： 交换律：a+b=b+a。 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a-b=a+(-b)。 【清单06】有理数的乘法与除法 1.有理数的乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 任何数同0相乘，都得0。 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正。 2.有理数的乘法运算律： 交换律：a×b=b×a。 结合律：(a×b)×c=a×(b×c)。 分配律：(a+b)×c=a×c+b×c。 有理数的除法法则： 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 两个不等于0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 0除以任何一个不等于0的数，都得0。0不能做除数。 【清单07】有理数的乘方与混合运算 1.概念：求几个相同因数的积的运算，叫做乘方。相同的因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数，乘方运算的结果叫幂。 2.法则： 正数的任何次幂都是正数。 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。 0的任何正整数次幂都是0。 3.有理数的混合运算的运算顺序：先乘方，后乘除，再加减，如果有括号，先进行括号内的运算。 【题型一】绝对值、相反数、倒数 【例1】的绝对值是（　　） A．8 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数即可得到答案． 【详解】解：的绝对值是， 故选：A． 【变式1-1】下列两个数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．3和 【答案】A 【分析】该题考查了相反数的定义，化简各数，再根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：A．和互为相反数，符合题意； B．和，不是互为相反数，不符合题意； C．和，不是互为相反数，不符合题意； D．3和，不是互为相反数，不符合题意； 故选：A． 【变式1-2】的倒数是 ，的相反数是 【答案】 【分析】本题考查了倒数和相反数，熟练掌握倒数和相反数的定义是解题关键．根据乘积为1的两个数互为倒数、只有符号不同的两个数互为相反数求解即可得． 【详解】解：∵， ∴的倒数是； 的相反数是； 故答案为：；． 【题型二】科学记数法 【例2】中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作．根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4400000000人，这个数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，直接利用科学记数法表示即可． 【详解】解：． 故选：B． 【变式2-1】2025年春节期间，无锡市65家备案博物馆接待游客总数约819000人次．数据819000用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查科学记数法表示绝对值较大的数的方法，准确确定与值是关键．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数的绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：． 故选：A 【变式2-2】随着网络建设的稳步推进，我国在智能制造、智慧医疗、智慧教育、数字政务等领域的融合应用不断提升．据工信部近日发布的2022年通信业统计公报显示：我国目前基站总量已达到万个，占全球比例超过．将数据“万”用科学记数法表示为 个． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，先将“万”化为，再根据科学记数法的概念即可得到答案． 【详解】万， 故答案为：． 【题型三】最大、最小的数 【例3】下列各有理数中，最大的是（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】此题主要考查了有理数大小比较．有理数大小比较的法则：①正数负数；②两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【详解】解：，，， ， 最大的数是． 故选：A． 【变式3-1】下列四个有理数中，最小的是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的大小比较，解题的关键是掌握有理数的大小比较法则：正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．据此解答即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴最小的数是． 故选：C． 【变式3-2】在0，，，中，最小的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题根据有理数的大小比较的知识，进行作答，即可求解； 【详解】解：是正数，，是负数， ∵， ∴， ∵和均为非负数，显然大于负数， 故最小的数是； 故答案为：； 【题型四】比较大小 【例4】比较下列各组数的大小，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的大小比较，根据正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小一一比较即可． 【详解】解：．，原比较错误，故该选项不符合题意； ．，，则，原比较错误，故该选项不符合题意； ．，则，原比较正确，故该选项符合题意； ．，，则，原比较错误，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式4-1】下列比较有理数，，大小正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数大小比较的方法，有理数大小比较的法则：两个负数，绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】解：∵, ∴, ∴，即． 故选：A． 【变式4-2】比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查有理数比较大小，根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，进行判断即可． 【详解】∵， ∴； 故答案为： 【题型五】绝对值的非负性 【例5】，则（　　） A．3 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．根据非负数的性质可求出a、b的值，再将它们代入式子求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 故选：B． 【变式5-1】若与的值互为相反数，则的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了相反数的定义和绝对值的非负性，熟练掌握几个非负数的和为时，这几个非负数都为是解题的关键. 【详解】解：与互为相反数， ； 由于绝对值非负，故两个绝对值均为0， 即：， ， 解得：， 故答案为：D. 【变式5-2】（1）若，则 ， ． （2）已知，则 ． （3）已知与互为相反数，则 ． 【答案】 3 4 30 5 【分析】本题考查了绝对值的非负性质：几个绝对值的和为零，则它们全都为零，以及绝对值的计算. （1）根据绝对值的非负性质求a和b的值即可； （2）根据绝对值的非负性质先求出a，b，c的值再代入求解； （3）根据绝对值的非负性质得到x与y的值，代入求解. 【详解】解：（1） ； 故答案为：①3；②4； （2） 故答案为：30； （3）∵与互为相反数， ∴， ∴. 故答案为： 5． 【题型六】新定义运算 【例6】 新定义一种运算“⊗”，其运算法则为：；例如：．已知，则a的值为（   ） A．3 B． C．7 D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，有理数的加减运算； 根据新定义的运算法则，分情况进行计算即可． 【详解】解：当时，， 解得（与矛盾，舍去）； 当时，， 解得； 故选：C． 【变式6-1】定义新运算“⊕”如下：当时，；当时，．按上述规定计算的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了定义新运算、有理数的运算等知识点．理解新运算的计算规则、掌握有理数的运算法则是解题的关键． 先用新运算法则将原式化成有理数的运算式，然后再计算即可． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴． 故选：A． 【变式6-2】对非零有理数a，b定义一种运算，其规则是：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 根据题意列式计算即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【题型七】程序流程图 【例7】如图，这是一个“数值转换机”，若输入数字1，则输出结果为（   ） A． B．3 C． D．11 【答案】B 【分析】本题考查了程序流程图与有理数的运算，理解“数值转换机”的程序步骤是解题的关键． 将输入数字乘以再加上，得到计算结果，判断结果是否为正数，是则输出结果，否则再重复上一步骤，直到输出结果为止，据此即可求解． 【详解】解：，此时结果为负数， ，此时结果为正数，输出结果为3． 故选：B． 【变式7-1】按如图的程序计算，若输入的值为，则输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，程序算法第一次为：与比较大小，返回重新计算，小于时输出结果即可． 【详解】解：由题意可知，算法第一次为与比较， 当时，， 当时，， 故选：D． 【变式7-2】如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，…，则第2025次输出的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数与程序运算问题，从程序中找到规律是解题的关键．根据流程图以及整式的运算即可求出答案． 【详解】解：由题意得，第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为 ， 第三次输出的结果为 ， 第四次输出的结果为 ， 第五次输出的结果为， …… ∴从第三次开始，第奇数次输出的结果是，第偶数次输出的结果是， ∵2025是奇数， ∴第2025次输出的结果为， 故答案为：． 【题型八】数轴上表示数并比较大小 【例8】把下列各数在数轴上表示出来，并用“”号连接起来． ，，0，，， 【答案】数轴见解析，． 【分析】本题考查用数轴上的点表示有理数和比较有理数大小，先化简不是最简形式的数，再把每个数表示在数轴上，再按照从大到小的顺序进行排序即可． 【详解】解：， 把各数表示在数轴上如下： 用“”号连接起来如下： ． 【变式8-1】现已知数轴上的点、、、、、分别表示，，，，，，运用数轴解决下面问题． (1)把各点画在数轴上，并按照从小到大的顺序，用“”号把各数连接起来； (2)直接写出、和、两点之间的距离． 【答案】(1)见解析， (2)、两点之间的距离为，、两点之间的距离为 【分析】本题考查数轴． （1）根据数轴上各点表示的数把点、、、、、分别表示在数轴上，按照从左到右的顺序把各点表示的数写出来，并用“”连接即可； （2）分别求出两点所表示数的差的绝对值即可． 【详解】（1）解：如图所示： ； （2）解：，， ∴、两点之间的距离为，、两点之间的距离为． 【变式8-2】（1）在数轴上把下列各数表示出来； （2）用“”连接各数． 【答案】（1）见解析（2） 【分析】本题考查了数轴和有理数的大小比较的应用，能理解有理数的大小比较法则是解此题的关键．注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． （1）先化简各数，再在数轴上标出； （2）根据数轴上右边的数大于左边的数，即可解答． 【详解】解：（1），，， 在数轴上把各数表示出来为： ； （2）用“”连接各数为：． 【题型九】有理数的分类 【例9】把下列各数分别填在表示它所属的横线上：；9；；0；；；2000；．（填写序号） (1)正数：　　　　； (2)负数：　　　　； (3)整数：　　　　； (4)分数：　　　　． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的分类及定义，掌握有理数的分类及相关定义是解题的关键． （1）根据正数的定义作答即可； （2）根据负数的定义作答即可； （3）根据整数的定义作答即可； （4）根据分数的定义作答即可． 【详解】（1）解：正数有：②⑥⑦； 故答案为： （2）解：负数有：①③⑤⑧； 故答案为： （3）解：整数有：②④⑤⑦； 故答案为： （4）解：分数有：①③⑥⑧； 故答案为： 【变式9-1】把下列各数分别填入相应的集合里．（填序号即可） ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧ 正有理数集合：{                        …}； 负有理数集合：{                       …}； 整数集合：{                       …}； 负整数集合：{                       …}； 有理数集合：{                       …}． 【答案】①③④⑧；②⑤⑦；①④⑤⑥；⑤；①②③④⑤⑥⑦⑧ 【分析】本题考查了有理数的定义，熟练掌握有理数的定义是解答本题的关键．有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数． 根据有理数的定义作答即可． 【详解】正有理数集合：{①③④⑧…}； 负有理数集合：{ ②⑤⑦…}； 整数集合：{ ①④⑤⑥…}； 负整数集合：{⑤…}； 有理数集合：{①②③④⑤⑥⑦⑧…} 【变式9-2】把下面的数填入它们属于的括号内： ，3，，，，，，，，2025． 正数：{                      …}； 负数：{                      …}； 整数：{                     …}． 【答案】3，，，，，2025；，，；，3，，2025 【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟知有理数的分类方法是解题的关键． 根据正数，负数和整数的定义即可解答． 【详解】正数：{3，，，，，2025…}； 负数：{，，…}； 整数：{，3，，2025…}． 【题型十】有理数的混合运算 【例10】计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)41 (3)24 (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算． （1）先去括号，然后算加减法即可； （2）先计算乘法和除法，再计算减法即可； （3）先去绝对值，再将除法转化为乘法，然后根据乘法的分配律计算即可； （4）先计算乘方、乘法和除法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式10-1】计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)1 (3)0 (4) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）利用减法法则变形，计算即可得解； （2）利用乘法分配律进行计算即可得解； （3）先计算乘方及绝对值运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得解； （4）整理成含有因数3.14的形式，然后逆运用乘法分配律进行计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式10-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)17 (3) (4) 【分析】题目主要考查含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握各个运算法则是解题关键． （1）根据有理数加减混合运算即可求得； （2）根据有理数乘除混合运算即可求得； （3）根据有理数的乘法运算律计算即可； （4）根据含乘方的有理数的混合运算求解即可． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） ． 【题型十一】有理数的实际应用 【例11】某粮库一周内进出粮食的记录如下（运进为正，运出为负，单位：吨）： (1)通过计算说明这一周粮库的粮食是增多了还是减少了？增多或减少了多少吨？ (2)若粮库原有粮食 1000 吨，则现在粮库有粮食多少吨？ (3)若每吨粮食的运费为 20 元，则这一周共需运费多少元？ 【答案】(1)这一周粮库的粮食增多了，增多了吨 (2)现在粮库有粮食 1010 吨 (3)这一周共需运费 3000 元 【分析】本题考查正负号的应用，有理数加法运算的实际应用，理解正负号表示的意义是解题的关键． （1）将记录数据相加即可； （2）原有粮食数量，结合（1）中结论，即可求解； （3）记录数据的绝对值相加，乘以单位重量运费，即可求解． 【详解】（1）解： （吨） 答：这一周粮库的粮食增多了，增多了10吨． （2）解：（吨） 答：现在粮库有粮食1010吨． （3）解： （吨）， （元） 答：这一周共需运费 3000 元． 【变式11-1】某水果店销售一种“巧克力”草莓，统计了一个月（按四周计算）的实际销售情况，以每千克15元为标准售价，超过或不足的钱数分别用正、负来表示；以每周的销售量200千克为标准，超过或不足的数量分别用正、负来表示，记录如表： 第一周 第二周 第三周 第四周 相对于标准售价（元） 相对于标准销售数量（千克） (1)这个月内，“巧克力”草莓售价最高的是第几周？这一周的售价是每千克多少元？ (2)这个月“巧克力”草莓实际的销售数量是多少千克？ (3)已知这种“巧克力”草莓的进价是每千克13元，若这家水果店本月原计划按标准数量销售，则这家水果店这个月实际销售“巧克力”草莓的利润比原计划销售“巧克力”草莓的利润多了多少元？ 【答案】(1)售价最高的是第四周；17元/千克 (2)千克 (3)元 【分析】本题主要考查正负数，销量，利润的实际应用，熟练掌握利润公式是解题的关键． （1）根据表格数值比较出哪天最高，再进行计算求解即可； （2）根据表格数值把每天的销售数量加在一起计算即可； （3）根据利润公式计算出原计划利润和实际利润，再进行相减即可． 【详解】（1）解：∵， ∴（元）， ∴“巧克力”草莓售价最高的是第四周，这一周的售价是每千克17元； （2）解：（千克）， 答：这个月“巧克力”草莓的实际销售数量是900千克； （3）解：原计划利润：（元）， 实际利润：（元）， （元）， 答：这家水果店这个月实际销售“巧克力”草莓的利润比原计划销售“巧克力”草莓的利润多了635元． 【变式11-2】一检修小组开车沿一条东西方向的公路作业，早晨从A地出发，晚上到达B地约定向东为正，向西为负，当天的行驶路程记录如下（单位：千米）： ，，，，，，，． (1)请你确定B地位于A地的什么方向，距离A地有多远？ (2)在检修过程中，检修车离出发地A最远时，位于A地的左边还是右边？距离A地有多少千米？ (3)若检修车每千米耗油，检修车油箱容量为，问检修车在检修过程中至少还需补充多少升燃油？ 【答案】(1)B地在A地东边距离A地10千米处 (2)右边，97千米 (3) 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的应用，根据题意列出算式，是解题的关键． （1）将行驶路程记录的数据相加，根据结果进行判断即可； （2）求出每次与出发地的距离，然后进行判断即可； （3）先求出需要的燃油，然后求出需要补充的燃油即可． 【详解】（1）解：∵（千米）， ∴B地在A地东边距离A地10千米处． （2）解：； ； ； ； ； ； ； ； ∴检修车离出发地A最远时在A地的右边，距离A地97千米． （3）解： ， ， 答：检修车在检修过程中至少还需补充燃油． 【题型十二】数轴折叠问题 【例12】如图，在一条不完整的数轴上从左到右依次有点A，B，C三个点，其中点A到点B的距离为3，点B到点C的距离为8，设点A，B，C所对应的数的和是m． (1)若A表示的数是，则数轴上点B所表示的数为： ； (2)若以B为原点，求m的值； (3)若C表示的数是8，将数轴折叠，使点A与点C重合，求折叠后与点B重合的点表示的数． 【答案】(1) (2)m的值为5； (3)折叠后与点B重合的点表示的数为． 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上点的距离，及有理数加法运算； （1）数轴上点B所表示的数为：； （2）先求得点A表示的数是，点C所表示的数为8，相加即可得到m的值； （3）先求出折叠点表示的数为，据此求解即可． 【详解】（1）解：若A表示的数是，则数轴上点B所表示的数为：； 故答案为：； （2）解：若以B为原点，则点A表示的数是，点C所表示的数为8， ∴m的值为； （3）解：若C表示的数是8，则点A表示的数是，点B表示的数是0， ∵将数轴折叠，使点A与点C重合， ∴折叠点表示的数为， ∴折叠后与点B重合的点表示的数为． 【变式12-1】如图，数轴上点表示的数是，解答下面的问题； (1)点表示的数为______． (2)与点的距离为4的点表示的数为______； (3)若将数轴折叠，使得点与表示的点重合，则点与数______表示的点重合； (4)若数轴上、两点之间的距离为2018（在的左侧），且、两点经过（3）中折叠后互相重合，则、两点表示的数分别是：：______：______． 【答案】(1)1 (2)5或 (3)0.5 (4)、1008 【分析】本题考查了数轴，关键是利用数轴，数形结合求出答案，注意不要漏解． （1）观察数轴，直接得出结论； （2）观察数轴，直接得出结论； （3）A点与表示的点相距4个单位，其对称点为，由此得出与B点重合的点； （4）对称点为，M点在对称点左侧，离对称点个单位，N点在对称点右侧，离对称点1009个单位，由此求出M、N两点表示的数． 【详解】（1）解：由图知点A表示的数为1， 故答案为：1； （2）解：与点A的距离为4的点表示的数是：或5． 故答案为：5或； （3）解：则A点表示的数与重合，则对称点表示的数是，则数B表示的点关于表示的点的对称点是0.5，即B点与表示数0.5的点重合． 故答案为：0.5； （4）解：M、N两点经过（3）中折叠后相互重合知：M与N的中点表示的数为， ∵M、N的距离为2018， ∴M到中点的距离为1009，N到中点的距离为1009， ∵M在N的左侧， ∴M表示的数为，N表示的数为． 故答案为：，1008． 【变式12-2】如下图，已知在纸面上有一数轴，折叠纸面．例如：若数轴上数2表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数4表示的点重合． 若数轴上数表示的点与数1表示的点重合，根据此情境解决下列问题： (1)数轴上数3表示的点与数________表示的点重合． (2)若点A到原点的距离是5个单位长度，并且A，B两点经折叠后重合，则点B表示的数是________． (3)若数轴上M，N两点之间的距离为2024，并且M，N两点经折叠后重合，点M表示的数比点N表示的数大，则M，N两点表示的数分别是什么？ 【答案】(1) (2)或3 (3)点M表示的数是1011，点N表示的数是 【分析】本题考查有理数与数轴，折叠问题，计算出折叠处的点表示的数是解题的关键． （1）计算出折叠处的点表示的数，即可求解； （2）点A到原点的距离是5个单位长度，则点A所表示的数为5或，分两种情况计算即可； （3）先计算出所在点到点M或点N的距离，即可求解． 【详解】（1）解：数轴上数表示的点与数1表示的点重合， 折叠处的点表示的数为：， ，， 数轴上数3表示的点与数表示的点重合． 故答案为：； （2）解：由（1）知折叠处的点表示的数为：， 若点A到原点的距离是5个单位长度，则点A所表示的数为5或， 点A所表示的数为5时，，， 点B表示的数是； 点A所表示的数为时，，， 点B表示的数是3； 故答案为：或3； （3）解： M，N两点之间的距离为2024，并且M，N两点经折叠后重合， 所在点到点M或点N的距离为：， 点M表示的数比点N表示的数大， 点M表示的数为：， 点N表示的数为：． 【题型十三】数轴最值问题 【例13】阅读： 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难人微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． （1）发现问题：代数式的最小值是多少？ （2）探究问题：如图，点分别表示数． 因为的几何意义是线段与的长度之和， 所以当点在线段上时，；当点在点的左侧或点的右侧时，，所以的最小值是3． (1)借助数轴，说明的最小值是多少？ (2)当代数式的最小值是1时，直接写出此时的a值． 【答案】(1)5 (2)或 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，绝对值的几何意义． （1）把原式转化为看作是数轴上表示的点与表示和的点之间的距离最小值，即可求解； （2）根据原式的最小值为1，得到表示3的点的左边和右边，且到3距离为1的点即可． 【详解】（1）解：因为． 如图，表示点到点的距离与点到点的距离之和， 当点在线段上时，， 当点在点的左侧或点的右侧时，， 所以的最小值是； （2）解：当为或时，代数式为或， 数轴上表示数2的点到表示数3的点的距离为1，数轴上表示数4的点到表示数3的点的距离也为1， 当为或时，原式的最小值是1． 【变式13-1】【阅读】：表示7与3差的绝对值，也可理解为7与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示7与的差的绝对值，也可理解为7与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】： (1)计算： (2)利用数轴，写出所有符合条件的整数x，使x所表示的点到5和所对应的点的距离之和为7． (3)直接写出的最小值及此时x的取值范围． (4)直接写出最小值及此时x的值． 【答案】(1)7 (2)，，0，1，2，3，4，5 (3)时，最小值为9 (4)最小值为9， 【分析】（1）根据题意，得，解答即可； （2）根据题意，得，得到解答即可． （3）根据题意，，根据距离和的意义解答即可． （4）根据题意，得表示的是x与这19个数的距离之和，即解答即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：根据题意，得， 得到． ∴，，0，1，2，3，4，5． （3）解：根据题意，得， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，， 故当时，取得最小值，且最小值为9． （4）解：根据题意，当时，，此时； 当时，，此时； 当时， 当时，的最小值为． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离公式，绝对值的意义，距离之和最小的意义，有理数的加法．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，以及当点在两点之间时，点到两点间的距离之和最小，是解题的关键． 【变式13-2】我们知道，可以理解为， 它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是_______； (2)数轴上点A用数a表示，若，那么a的值为_______； (3)数轴上点A用数a表示，探究以下几个问题： ①满足的整数a有______个；有最小值，则最小值是：_____； ②求的最小值； 【答案】(1) (2)或 (3)①，；② 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，绝对值的化简，绝对值的最小值，熟练掌握掌握距离公式，正确理解绝对值最小值的特点和意义是解题的关键． （1）利用距离公式，计算即可； （2）根据绝对值的意义化简计算即可； （3）①根据，得到，确定整数解即可；根据，当时，取得最小值，且为； ②根据可得，中间的一个式子是，故当时，取得最小值． 【详解】（1）解：数的点和表示数3的点之间的距离是， 故答案为：8． （2）解：∵， ∴或， 故答案为：或5． （3）解：①∵当时，， ∴符合题意的整数有共有6个， ∵当时，取得最小值， 此时； ②根据可得，中间的一个式子是， 故当时，取得最小值．且最小值为，计算得结果为， 故最小值为． 【题型十四】数轴动点问题 【例14】知识背景：数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律：比如数轴上点A、点B表示的数为a、b，则两点之间的距离；线段的中点P表示的数为．问题呈现：已知数轴上两点A、B表示的数分别为、10，点M从点A出发，以每秒3个单位的速度向点B运动，同时点N从点B出发，以每秒2个单位的速度向点A运动．设线段的中点为P，点N的运动时间为t秒． (1)线段的中点表示的数为 ；点N表示的数为 （用含的代数式表示）． (2)当M、N两点相距6个单位时，求t的值． (3)当点P与数轴上表示的点重合时，求t的值； (4)若点M到达点B后停留7秒，随后立即以原速返回，点N到达点A后立即以原速返回，两点再次相遇时，停止运动在整个运动过程中，当时，直接写出t的值． 【答案】(1)， (2)t的值为或 (3)t的值为2 (4)t的值为或或或 【分析】（1）根据数轴上两点A、B表示的数分别为、10，列式求出线段中点表示的数，根据N从点B出发，以每秒2个单位的速度向点A运动，点N的运动时间为t秒，得到点N表示的数为，即可求出； （2）由M、N两点相距6个单位，可得，即可解得答案； （3）求出的中点P表示的数是，根据点P与数轴上表示的点重合列式计算，可解得答案； （4）分四种情况：当时，列式， 当时，列式，当时，列式，当时，列式，分别解方程可得结果． 本题考查数轴上的动点问题，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后所表示的数． 【详解】（1）解：∵数轴上两点A、B表示的数分别为、10， ∴线段的中点表示的数为， ∵N从点B出发，以每秒2个单位的速度向点A运动，点N的运动时间为t秒， ∴点N表示的数为， 故答案为：，； （2）解：∵点M从点A出发，以每秒3个单位的速度向点B运动， ∴点M表示的数为， 点N表示的数为， ∵M、N两点相距6个单位， ∴， 解得或， ∴t的值为或； （3）解：∵点M表示的数为，点N表示的数为， ∴的中点P表示的数是， ∴， 解得， ∴t的值为2； （4）解：M从A到B所需时间为（秒）， N从B到A所需时间为（秒）， 当时，M表示的数为，点N表示的数为，P表示的数是， ∴， 解得； 当时，M表示的数是10，N表示的数是， ∴P表示的数是， ∴， 解得； 当时，M表示的数是10，N表示的数是， ∴P表示的数是， ∴， 解得； 当时，M表示的数是，N表示的数是，P表示的数为， ∴， 解得， 综上所述，t的值为或或或． 【变式14-1】如图，数轴上从左至右有A，B，C，D四个点，分别表示有理数a，b，c，d，点A和点C之间的距离为20个单位长度，且a，c互为相反数，． (1)______， ______，______； (2)数轴上的动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点D运动，设运动时间为t（）秒．当点P运动到点C时，点Q从点D出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴在点D和点B之间往返运动，当点P运动到点D时，点Q的运动停止． ①求t为何值时，点P与点Q第一次相遇； ②求点Q一共运动了多少个单位长度，并求点Q停止运动时在数轴上所表示的有理数； ③在点Q第一次到达点B前，请直接写出点P与点Q之间的距离不超过15个单位长度的时长． 【答案】(1)10，28，14 (2)①当，点P与点Q第一次相遇②144，4③秒 【分析】本题考查有理数与数轴，非负性，有理数的运算，熟练掌握两点间的距离，正确地列出算式，是解题的关键： （1）根据互为相反数的两个数到原点的距离相等，求出，非负性求出，进而求出即可； （2）①用点到达点的时间加上在上相遇时所用的时间，即可得出结果； ②求出点从点运动到点所用的时间，再根据路程等于速度乘以时间，求出点运动的路程，进而求出点停止时所表示的数； ③求出点为相遇前，相距15个单位长度以及相遇后，相距15个单位长度所用的时间，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵点A和点C之间的距离为20个单位长度，且a，c互为相反数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）①点到达点所用时间为（秒）， ∴； 故当时，点P与点Q第一次相遇； ②点从点到达点所用时间为（秒）， ∴点一共运动了个单位长度， ， ∴当点停止运动时，离点有24个单位长度， ∴点表示的数为； ③点第一次到达点所用的时间为：（秒） 当点与点相遇前距离15个单位长度时：（秒）； 当点与点相遇后距离15个单位长度时：（秒）； ∴点P与点Q之间的距离不超过15个单位长度的时长为（秒）． 【变式14-2】阅读理解，完成下列各题： 定义：已知、、为数轴上任意三点，若点到点的距离是它到点的距离的3倍，则称点是的3倍点．例如：如图1，点是的3倍点，点不是的3倍点，但点是的3倍点，根据这个定义解决下面问题： (1)在图1中，点______的3倍点（填写“是”或“不是”）；的3倍点是点______（填写或或或）； (2)如图2，、为数轴上两点，点表示的数是，点表示的数是5，若点是的3倍点，则点表示的数是______； (3)若、为数轴上两点，点在点的左侧，，一动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为秒，求当为何值时，点恰好是和两点的3倍点？（用含的代数式表示）． 【答案】(1)是， (2)3或9 (3)当或或时，点恰好是和两点的3倍点 【分析】此题主要考查了数轴上两点之间的距离，解本题的关键是分清3倍点的两种不同的情况． （1）根据图形可直接解得； （2）由，点在，之间和点右侧，分别求出点表示的数是3或9； （3）点恰好是和 两点的3倍点，可分得或或，从而解得与的关系． 【详解】（1）解：由图可知：， 是，的3倍点， ， ，的3倍点是点， 故答案为：是，； （2）解：， 当点在线段上时， 点是，的3倍点， ， 此时点表示的数是3， 当点在点右侧时， 点是，的3倍点， ， 点表示的数是9． 故答案为：3或9； （3）解：，， ， 恰好是和两点的3倍点， 点是，的3倍点或点是，的3倍点 或 即：或或， 或或， 当或或时，点恰好是和两点的3倍点． 【题型一】混淆相反意义的量与数学符号的直接对应 【例1】若向南走记为，则表示（    ） A．向东走 B．向西走 C．向南走 D．向北走 【答案】D 【分析】此题考查了相反意义的量，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示。 【详解】解：∵向南走记为，则表示向北走． 故选：D． 【变式1-1】我国古代数学名著《九章算术》在“方程”章中首次出现了负数，如“卖所得的钱为正，买所付的钱为负，余钱为正，不足钱为负”如果收入300元记作元，那么元表示（   ） A．支出90元 B．收入90元 C．支出300元 D．收入300元 【答案】A 【分析】本题考查了正数和负数表示相反意义的量，若收入记为正，那么支出则记为负，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵卖所得的钱为正，买所付的钱为负，余钱为正，不足钱为负， ∴如果收入300元记作元，那么元表示支出90元， 故选：A． 【变式1-2】若气温为零上记作，则气温为零下记作 【答案】 【分析】本题考查了相反意义的量，熟练掌握相反意义的量的意义是解决本题的关键． 根据零上记作，由此可表示零下． 【详解】解：∵零上记作， ∴气温为零下记作 故答案为： ． 【题型二】忽略数轴双向延伸特性，未考虑两点间双向距离 【例2】已知数轴上有三点，且点在点的右侧，点表示的数分别是1、3，若，则点表示的数是（    ） A． B．7 C．4 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式，解题的关键是熟练运用两点间距离公式求出的长度，再结合与的关系求出点的位置． 先根据、表示的数求出的距离，再由求出的长度，最后根据点在点右侧，求出点表示的数． 【详解】解：数轴上两点间的距离为两点所表示数的差的绝对值， 点表示的数是1，点表示的数是3，因此， 已知，结合，可得， 因为点在点的右侧，点表示的数是3， 所以点表示的数为． 故选：B． 【变式2-1】已知数轴上，两点分别表示，6．若在数轴上找一点，使得点与点的距离为4；找一点，使得点与点的距离为1．下列不可能为点与点的距离的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，可以用几何方法借助数轴来求解，熟悉相关性质是解题的关键．将点、、、在数轴上表示出来，然后根据绝对值与数轴的意义计算的长度． 【详解】解：根据题意，点与点在数轴上的位置如图所示： 在数轴上使的距离为的点有两个：、 数轴上使的距离为的点有两个：、 ∴ ①与的距离为：； ②与的距离为：； ③与的距离为：； ④与的距离为：； 综合①②③④，可知与的距离可能为：、、、． 故选：A． 【变式2-2】点、、、在数轴上的位置如图所示，已知点为原点，，．若点表示的数为，则点表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数轴上点的坐标与两点间距离的关系，解题的关键是根据点的位置判断坐标的正负，并用坐标表示线段长度．根据各点相对于原点的位置及已知线段长即可得到答案． 【详解】解：∵点所表示的数为，且位于原点左侧， ∴长为， ∵， ∴， ∵， ∴，且点位于原点右侧， ∴点表示的数为， 故答案为：． 【题型三】混淆绝对值运算与相反数运算的先后顺序 【例3】a，b，c是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示．若，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上点的位置、绝对值以及相反数的性质，正确判断的符号及其绝对值的大小关系是解题的关键． 由在数轴上的位置可判断，结合，可得且与互为相反数，进而逐一判断即得答案． 【详解】解：由数轴可知，． ． A、由于是负数，则是正数，故，A错误； B、，B正确； C、 但 ，故C错误； D、已知，且，则与互为相反数，即，故D错误． 故选：B． 【变式3-1】若，则a的值是（   ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个负数 【答案】C 【分析】本题考查绝对值性质．根据题意分三种情况，当时，当时，当时，结合绝对值性质讨论求解，即可解题． 【详解】解：当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时； 所以当，则a的值是任意一个非正数； 故选：C． 【变式3-2】已知，且，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查的是绝对值的性质，根据题意得出x和y的值，然后得出结论即可． 【详解】由题可知，， ， ， 或， 或． 故答案为：或． 【题型四】仅关注数字规律而忽略符号变化 【例4】观察下列算式：，，，，，，，．．．．用你所发现的规律得出的末位数字是（      ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘方，根据题意找出末位数字的变化规律是解答此题的关键． 观察可知，末位数字每4个数是一个周期，末位分别为2，4，8，6．把除以4，正好余1，所以的末位数字与的末位数字相同，为2． 【详解】解：由题意可知，末位数字每4个算式是一个周期，末位分别为2，4，8，6， ∵ ∴的末位数字与的末位数字相同，为2， 故选：A． 【变式4-1】【学习情境·规律探究】把全体自然数按下面的方式进行排列：按照这样的规律推断，从到，箭头的方向应该是（   ） A．↓→ B．→↑ C．↑→ D．→↓ 【答案】A 【分析】本题考查数字规律，据图象观察不难发现，每个数为一个循环组依次进行循环，从到，，，的箭头为↓→↑→，进行解答，即可． 【详解】解：由图可知，箭头的方向以每个数为一个循环组进行循环，从到，，，的箭头为↓→↑→， ∴是第个自然数， ∴， ∴位于的位置， ∴从到，箭头的方向应该是↓→． 故选：A． 【变式4-2】观察下列各式：，，，，，根据其中的排列规律，则第n个式子为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数字规律，有理数的乘方运算，理解数字规律的计算，掌握有理数的乘方运算法则是解题的关键．根据已知数据，确定符号与数值的关系，再运用进行验证即可求解． 【详解】解：，，，，，， ∴第n个数字是， 故答案为：． 【题型一】循环周期问题 方法： 1. 先找出循环节； 2. 再根据求的是第多少的数，用总数除以循环节的个数，看余数即可 【例1】观察图中正方形四个顶点所标数字的规律，可知数2025应标在（    ） A．第507个正方形的右上角 B．第507个正方形的右下角 C．第506个正方形的左上角 D．第506个正方形的左下角． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的除法运算的运用，理解图示，找出规律是解题的关键． 根据题意，每个正方形的都有4个数字，由此可得应该标在第个正方形的右下角，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，每个正方形的都有4个数字， ∴， ∴应该标在第个正方形的右下角， 故选：B ． 【变式1-1】如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点，对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，以及图形类规律探究，根据题意找出规律进行求解是解决本题的关键． 根据题意可得，翻转后数轴上点1，3，5，7，9，11的对应的点分别是A，B，C，D，E，F，根据规律进行判定即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得，翻转后数轴上点1对应的是A， 数轴上点3对应的是B， 数轴上点5对应的是C， 数轴上点7对应的是D， 数轴上点9对应的是E， 数轴上点11对应的是F， …… 则， 所以连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是E． 故选：C． 【变式1-2】如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算输入1，则输出的是，返回进行第三次运算输入，则输出的是，…，则第2025 次输出的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了程序图与有理数计算的规律性问题．先根据数据运算程序计算出前几次的输出结果，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：第1次运算输出的结果为， 第2次运算输出的结果为， 第3次运算输出的结果为， 第4次运算输出的结果为， 第5次运算输出的结果为， 第6次运算输出的结果为， 第7次运算输出的结果为， 第8次运算输出的结果为， 归纳类推得：从第2次运算开始，输出结果是以循环往复的， 因为， 所以第2025次运算输出的结果与第3次输出的结果相同，即为， 故答案为：． 【题型二】绝对值“1”与“-1”化简 方法：以为例， 分三种情况； 1. a、b都为正数，1+1=2； 2. a、b都为负数，-1+-1=-2； 3. a、b一正一负，-1+1=0 【例2】已知：当时，；当时，；那么当同时满足条件时，式子的值是（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的运算，根据，得到同号，均小于0，根据当时，，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴同号，均小于0， ∵当时，， ∴； 故选：D． 【变式2-1】如图所示，有理数a，b，c在数轴上对应的点分别是A，B，C．其中O为数轴的原点，则代数式化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴、化简绝对值、有理数的四则运算，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先根据数轴的性质可得，且，则可得，，，再化简绝对值，计算除法与加减法即可得． 【详解】解：由数轴可知，，且， ∴，，， ∴， 故答案为：． 【变式2-2】我们知道在化简的时候，需要判断a的正负：当时，；当时，． (1)已知a，b，c三个数在数轴上的对应的点如图所示： 用“”、“”或“”填空， _____0，______0，_______0， 化简：． (2)思维扩展：由“当时，；时，”可以推出： 当时，；当时，． 应用这个结论，解决下列问题： 已知x，y，z是有理数，，，化简：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了绝对值的化简，整式的加减运算，有理数的运算，解题的关键是熟练掌握绝对值的化简； （1）根据数轴可得，即可判断所求式子的正负，再化简绝对值即可； （2）由得，原式可化为：，根据，，可知x，y，z中一正两负或两正一负，据此化简即可． 【详解】（1）解：由数轴知：， ， 故答案为：， ， ； （2）解：， ， ， ，， 当x，y，z中一正两负时，， 当x，y，z中两正一负时，， 综上所述，的值为：． 【题型三】裂项求和 方法：以基础的，可推出 【例3】观察下列各式：；根据规律解答下列各题： (1)________________． (2)计算：________． (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算， （1）根据题目中给定的等式，得到，即可得出结论； （2）利用裂项相加法进行求解即可； （3）利用裂项相加法进行求解即可． 【详解】（1）解：∵； ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ． 【变式3-1】（1）请观察下列算式： ，，，， 则第10个算式为________；第n个算式为________； （2）运用以上规律计算： （3）如果，求的值． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题主要考查有理数的运算法则，非负性质，熟练掌握有理数的运算法则以及正数、负数的符号表示的实际意义是解题的关键． （1）根据规律即可写出第个算式及第个算式； （2）根据进行计算即可； （3）根据非负性求出的值，然后再根据进行计算即可． 【详解】解：（1）第个算式：； 第个算式为：； （2） ； （3）∵ ∴，， ． 【变式3-2】数学活动课上，老师列出了如下式子： (1)第5个式子为_____，第n个式子为______． (2)利用（1）中规律计算． (3)拓展：计算． (4)延伸：计算． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了数字的变化类，有理数的混合运算，解题关键观察已知条件，找出解题的方法和技巧． （1）根据题意写出答案即可； （2）把各个加数拆成两个分子是1，分母是原数分母的两个分数相减，然后相邻的两个互为相反数相加即可； （3）把各个算式写成乘以分母中的两个数为分母，分子是1的两个分数的差的形式，然后提取公因数，进行简便计算即可； （4）把各个加数的分母计算后都乘以，再乘以2，然后把每个分数写成两个分数差的形式，再进行计算即可． 【详解】（1）解：第5个式子为，第n个式子为． 故答案为：， （2）∵，，，， ∴ ； （3）解： ； （4）解：∵，； ，； ，； …… ， ． 学科网（北京）股份有限公1 / 50 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $