精品解析：四川省德阳市中江县2020-2021学年下学期九年级数学期中试题

2021年春期初三学科核心素养监测（一） 数学试卷 说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，全卷共8页，考生须将自己的学校、姓名、准考证号及答案和解答过程填涂到试卷和答题卡规定的位置． 2．本试卷满分150分，答题时间为120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共48分） 一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 若a+3＝0，则a的倒数是（　　） A. 3 B. C. ﹣ D. ﹣3 2. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法不正确的是（ ） A. 打开电视剧，电视里播放《小猪佩奇》是偶然事件 B. 了解一批灯泡的使用寿命，适合抽样调查 C. 一元二次方程只有一个根 D. 甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是，，甲的射击成绩稳定 4. 如图，，则α，β和γ的关系是（ ） ​​​​​​​ A. B. C. D. 5. 如图，四边形中，与相邻的两外角平分线交于点若则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 市农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高进行了测量，根据统计的结果，绘制出如下的统计图．则这组苗高数据的平均数、众数、中位数依次是（ ） A. 15.6，10，16 B. 16，16，15.5 C. 15.6，16，16 D. 16，10，15.5 7. 正多边形的内切圆与外接圆的半径之比为，则这个正多边形为（ ） A. 正十二边形 B. 正六边形 C. 正四边形 D. 正三角形 8. 如图，圆柱底面半径为cm，高为18cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（　　） A. 24cm B. 30cm C. 2cm D. 4cm 9. 如图，在正方形中，为对角线上的动点，交折线于点，设，的面积为，则与的函数图象正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 对于三个数字a，b，c，用max{a，b，c}表示这三个数中最大数，例如max{﹣2，﹣1，0}＝0，max{﹣2，﹣1，a}＝如果max{3，8﹣2x，2x﹣5}＝3，则x的取值范围是（　　） A. ≤x≤ B. ≤x≤4 C. ＜x＜ D. ＜x＜4 11. 如图，在四边形中，，点，，，分别为边，，，的中点，连接，，相交于点，则的值为（ ） A. 25 B. 30 C. 35 D. 40 12. 如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论： ①； ②； ③抛物线另一个交点在到之间； ④当时，； ⑤一元二次方程有两个不相等的实数根 其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题，共102分） 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分，请把最后结果填在答题卡对应的位置上） 13. 分解因式：x2（a﹣b）﹣a+b＝_____． 14. 我国5G产业将迎来大规模的需求增长．预计截止到2030年，5G将带动6.3万亿元的直接总产出和10.6万亿元的间接总产出．并且随着商业化进程的进一步推进，我国5G产业的产出结构也将出现一定程度的转化，其中5G信息服务商的产出将随着基础5G设施的普及在未来出现大幅度的增长．其中10.6万亿元用科学记数法可表示为__________元． 15. 如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC，CD．测得BC＝9m，CD＝6m，斜坡CD的坡度i＝1：，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，则电线杆AB的高度为_____． 16. 如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点出发，沿表面爬到的中点处，则最短路线长为__________． 17. 如图，在中，，反比例函数的图象与斜边相交于点，且与边相交于点．已知，且的面积为9，则的值为______， 18. 如图，将等边沿翻折得，连接交于点，，点为直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转的角度后得到对应的线段（即），交于点，则下列结论：①；②；③当为线段的中点时，则；④四边形的面积为；⑤连接、，当的长度最小时，的面积为．则说法正确的是______．（只填写序号） 三、解答题：（本大题共7小题，共78分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： 20. 学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校．某校赵老师为了了解本班学生3月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为了三类：A：好，B：中，C：差，请根据图中信息，解答下列问题： （1）全班学生总人数是______； （2）补全条形统计图，在扇形统计图中，______，C类的圆心角为______； （3）赵老师在班上随机抽取了4名学生，其中A类1人，B类2人，C类1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用树状图或列表法求出抽中全是B类学生的概率． 21. 如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作交于点F，以为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形； （2）探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 22. 如图：在中，，，轴，双曲线经过点B，将绕点B逆时针旋转，使点O的对应点D落在x轴正半轴上．AB的对应线段CB恰好经过点O． （1）求证是等边三角形； （2）求出双曲线的解析式，并判断点C是否在双曲线上．请说明理由； （3）在y轴上是否存在一点P．使的周长最小．若存在．求点P的坐标：若不存在，请说明理由． 23. 为防控新冠疫情，我区某学校需购买甲、乙两种品牌的额温枪．已知甲品牌额温枪的单价比乙品牌额温枪的单价低40元，且用4800元购买甲品牌额温枪的数量是用4000元购买乙品牌额温枪的数量的倍． （1）求甲、乙两种品牌额温枪的单价； （2）若学校计划购买甲、乙两种品牌的额温枪共80个，且乙品牌额温枪的数量不小于甲品牌额温枪数量的2倍，购买两种品牌额温枪的总费用不超过15000元．设购买甲品牌额温枪个，总费用为元，则该校共有哪几种购买方案？采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？ 24. 如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB 的平分线交⊙O于点D，过点D作直线l交CA的延长线于点P，且∠ADP=∠BCD，过点A作AE丄CD于点E，过点B作BF丄CD于点F． （1）求证:DP//AB； （2）求证:PD是⊙O的切线； （3）若AC=6，BC=8，求线段PD的长． 25. 已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）． （1）请直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（用含a的代数式表示） （2）若a＞0，且P（m，y1）与Q（5，y2）是该抛物线上的两点，且y1＞y2，求m的取值范围； （3）如图，当a＝1时，设该抛物线与x轴分别交于A、B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C．点D是直线BC下方抛物线上的一个动点，AD交BC于点E，设点E的横坐标为n，记S＝，当n为何值时，S取得最大值？并求出S的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021年春期初三学科核心素养监测（一） 数学试卷 说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，全卷共8页，考生须将自己的学校、姓名、准考证号及答案和解答过程填涂到试卷和答题卡规定的位置． 2．本试卷满分150分，答题时间为120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共48分） 一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 若a+3＝0，则a的倒数是（　　） A. 3 B. C. ﹣ D. ﹣3 【答案】C 【解析】 【分析】计算求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴a的倒数是： 故选：C． 【点睛】本题考查了倒数．解题的关键在于正确的求解． 2. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，即可解答． 【详解】解：A、，故选项符合； B、，故选项不符合； C、，故选项不符合； D、，故选项不符合； 故选A. 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、合并同类项、幂的乘方，解决本题的关键是熟记相关法则． 3. 下列说法不正确的是（ ） A. 打开电视剧，电视里播放《小猪佩奇》是偶然事件 B. 了解一批灯泡的使用寿命，适合抽样调查 C. 一元二次方程只有一个根 D. 甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是，，甲的射击成绩稳定 【答案】C 【解析】 【分析】根据必然事件和偶然事件，抽样调查和普查，一元二次方程跟的判别式和方差依次判断即可． 【详解】解：A. 打开电视剧，电视里播放《小猪佩奇》是偶然事件，正确，不符合题意； B. 了解一批灯泡的使用寿命，适合抽样调查，正确，不符合题意； C. 一元二次方程中，，有两个相等的实数根，故原说法错误，符合题意； D. 甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的成绩平均数相同，方差分别是，，甲的射击成绩稳定，正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查必然事件和偶然事件，抽样调查和普查，一元二次方程跟的判别式和方差，注意当时，一元二次方程有两个相等的实数根． 4. 如图，，则α，β和γ的关系是（ ） ​​​​​​​ A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 分别过C、D作的平行线和，由平行线的性质可得到，可求得答案． 【详解】解：如图，分别过C、D作的平行线和， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 即， 故选C． 5. 如图，四边形中，与相邻的两外角平分线交于点若则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用四边形的内角和等于，可求的度数，再利用角平分线的性质可求的度数． 【详解】解：，， ， 、相邻的两外角平分线交于点， ， 故选：． 【点睛】本题运用四边形的内角和和角平分线的性质，关键是求出的度数． 6. 市农科院为了解某种小麦的长势，从中随机抽取了部分麦苗，对苗高进行了测量，根据统计的结果，绘制出如下的统计图．则这组苗高数据的平均数、众数、中位数依次是（ ） A. 15.6，10，16 B. 16，16，15.5 C. 15.6，16，16 D. 16，10，15.5 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平均数、中位数和众数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．根据中位数和众数的定义分别进行解答即可． 【详解】解：平均数为： 16出现了10次，出现的次数最多，则众数是16； 把这组25个数据从小到大排列，第13个数是16 则这组数据的中位数是16；   故选：C ． 7. 正多边形的内切圆与外接圆的半径之比为，则这个正多边形为（ ） A. 正十二边形 B. 正六边形 C. 正四边形 D. 正三角形 【答案】C 【解析】 【分析】设AB是正多边形的一边，OC⊥AB，在直角△AOC中，利用三角函数求得∠AOC的度数，从而求得中心角的度数，然后利用360度除以中心角的度数，即可求得边数． 【详解】解：正多边形的内切圆与外接圆的半径之比为， 设AB是正多边形的一边，OC⊥AB， 则OC=，OA=OB=2， 在Rt△AOC中，cos∠AOC==， ∴∠AOC=45°， ∴∠AOB=90°， 则正多边形边数是：=4． 故选：C． 【点睛】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力，正多边形的计算一般是转化成半径，边心距、以及边长的一半这三条线段构成的直角三角形的计算，掌握相关知识是解题的关键． 8. 如图，圆柱底面半径为cm，高为18cm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（　　） A. 24cm B. 30cm C. 2cm D. 4cm 【答案】B 【解析】 【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：AC→CD→DB； 即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短； ∵圆柱底面半径为cm， ∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2π×＝8cm； 又∵圆柱高为18cm， ∴小长方形的一条边长是6cm； 根据勾股定理求得AC＝CD＝DB＝10cm； ∴AC+CD+DB＝30cm； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了圆柱的计算、平面展开−−路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 9. 如图，在正方形中，为对角线上的动点，交折线于点，设，的面积为，则与的函数图象正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，关键是注意点在上这两种情况． 根据点所在位置，分情况列出与的关系式，对照图象进行判断即可． 【详解】解：∵在正方形中，平分，平分， ， ∴， 当点在上时，， ， ，， 当点在上时，， ， ，， ∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分为抛物线开口向下， 故选：B. 10. 对于三个数字a，b，c，用max{a，b，c}表示这三个数中最大数，例如max{﹣2，﹣1，0}＝0，max{﹣2，﹣1，a}＝如果max{3，8﹣2x，2x﹣5}＝3，则x的取值范围是（　　） A. ≤x≤ B. ≤x≤4 C. ＜x＜ D. ＜x＜4 【答案】B 【解析】 【分析】根据max{a，b，c}表示这三个数中最大数，对于max{3，8﹣2x，2x﹣5}＝3，可得不等式组，可得结论. 【详解】∵max{3，8﹣2x，2x﹣5}＝3， 则， ∴x的取值范围为：≤x≤4， 故选：B． 【点睛】本题考查了不等式的应用及新定义问题，理解新定义，得到不等式组是解题的关键． 11. 如图，在四边形中，，点，，，分别为边，，，的中点，连接，，相交于点，则的值为（ ） A. 25 B. 30 C. 35 D. 40 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中位线的性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，连接，，，,根据中位线的性质，解得，结合题意，可知，进而可证明四边形是菱形，再由菱形对角线互相垂直且平分的性质，及勾股定理计算，据此解题即可. 【详解】解：连接，，，， 分别是的中点， 分别为的中位线， ， ， 四边形EFGH是菱形， 在中 ， 即， ， 故选：A ． 12. 如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论： ①； ②； ③抛物线另一个交点在到之间； ④当时，； ⑤一元二次方程有两个不相等的实数根 其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系、根的判别式、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，①根据抛物线的对称轴公式即可求解；②当时，，再利用对称轴公式即可求解；③根据抛物线的对称性即可求解；④根据抛物线的平移即可求解；⑤根据一元二次方程的判别式即可求解． 【详解】解：①因为抛物线的对称轴为， 即，所以， 所以①错误； ②当时，， 所以， 因为， 所以， 所以②正确； ③因为抛物线的顶点坐标为， 即对称轴为， 且与x轴的一个交点在点和之间， 所以抛物线另一个交点在到之间； 所以③正确； ④因为，即， 根据图象可知： 把抛物线图象向下平移c个单位后图象过原点， 即可得抛物线的图象， 所以当时，， 即， 所以④正确； ⑤一元二次方程， ， 因为根据图象可知：，， 所以， 所以， 所以一元二次方程有两个不相等的实数根． 所以⑤正确． 综上，正确的有②③④⑤，一共有4个． 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题，共102分） 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分，请把最后结果填在答题卡对应的位置上） 13. 分解因式：x2（a﹣b）﹣a+b＝_____． 【答案】(a-b)(x+1)(x-1) 【解析】 【分析】将后面两项作为一组提取公因式-1，再对整个多项式提取公因式a-b即可． 【详解】解：x²（a-b）-a+b =x²（a-b）-（a-b） =（a-b）（x²-1） =(a-b)(x+1)(x-1)， 故答案为：(a-b)(x+1)(x-1)． 【点睛】本题考查了因式分解，掌握提取公因式法与运用公式法是解题的关键． 14. 我国5G产业将迎来大规模的需求增长．预计截止到2030年，5G将带动6.3万亿元的直接总产出和10.6万亿元的间接总产出．并且随着商业化进程的进一步推进，我国5G产业的产出结构也将出现一定程度的转化，其中5G信息服务商的产出将随着基础5G设施的普及在未来出现大幅度的增长．其中10.6万亿元用科学记数法可表示为__________元． 【答案】1.06×1013． 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：∵10.6万亿元=10600000000000元， ∴用科学记数法可表示为：10.6万亿元=1.06×1013 元， 故答案为：1.06×1013． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 15. 如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC，CD．测得BC＝9m，CD＝6m，斜坡CD的坡度i＝1：，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，则电线杆AB的高度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】延长AD交BC的延长线于F，作DG⊥BF于G，根据直角三角形的性质和勾股定理求出DC、CG的长，根据正切的定义解答即可． 【详解】解：如图，延长AD交BC的延长线于F，作DG⊥BF于G， ∵∠ADE＝30°， ∴∠AFB＝30°， ∵CD＝6m，斜坡CD的坡度i＝1：， ∴tan∠DCG＝＝＝， ∴∠DCG＝30°， ∴DG＝3m，CG＝3m， ∴∠DFC＝∠DCF＝30°， ∴DF＝DC， ∵DG⊥BF， ∴FG＝CG＝3m， ∴FC＝6m， ∴FB＝FC+BC＝（6+9）m， ∴AB＝BF×tan∠AFB＝（6+9）×＝（6+3）m． 故答案为：（6+3）m． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，坡比和解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 16. 如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点出发，沿表面爬到的中点处，则最短路线长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】将圆锥的侧面展开，设顶点为B'，连接BB'，AE．线段AC与BB'的交点为F，线段BF是最短路程． 【详解】如图将圆锥侧面展开，得到扇形ABB′，则线段BF为所求的最短路程． 设∠BAB′＝n°． ∵＝4， ∴n＝120即∠BAB′＝120°． ∵E为弧BB′中点， ∴∠AFB＝90°，∠BAF＝60°， ∴BF＝AB•sin∠BAF＝6×＝， ∴最短路线长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，解题时注意把立体图形转化为平面图形的思维． 17. 如图，在中，，反比例函数的图象与斜边相交于点，且与边相交于点．已知，且的面积为9，则的值为______， 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，反比例函数图像与性质，相似三角形的判定和性质，等积变形等，首先过点C作轴，交于M，根据相似得到的面积，然后根据等积变形得到四边形的面积，再根据相似求出的面积，最后根据k的几何意义即可得到结果． 【详解】解：过点C作轴，交于M， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为9， ∴， ∵，且与的公共部分为， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 18. 如图，将等边沿翻折得，连接交于点，，点为直线上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转的角度后得到对应的线段（即），交于点，则下列结论：①；②；③当为线段的中点时，则；④四边形的面积为；⑤连接、，当的长度最小时，的面积为．则说法正确的是______．（只填写序号） 【答案】①②④⑤ 【解析】 【分析】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，由题意可证四边形是菱形，可得，，可判断①②，由菱形的面积公式可求菱形的面积，可判断④，由“”可证，可得，可判断③，由“”可证，可得，则当上时，有最小值，由全等三角形的性质和面积关系可求的面积，可得判断⑤，即可求解． 【详解】解：将等边沿翻折得， ，， 四边形是菱形， ，，故①②正确； 四边形是菱形， ， ，， ，， 四边形的面积，故④正确； 将线段绕点顺时针旋转的角度后得到对应的线段， ，， ， 当为线段的中点，， ，，， ， 在和中， ， ， ， ，故③错误； 如图，连接，， ， ， 在和中， ， ， ， 当有最小值时，有最小值， 当时，有最小值， 如图，过点作，交的延长线于，过点作于， ，，是等边三角形， ，， ， ，， ， ，， ， ，故⑤正确， 故答案为：①②④⑤． 三、解答题：（本大题共7小题，共78分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了乘方运算，绝对值的性质，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，掌握这些性质是解题的关键． 分别计算各项的值，再将它们相加． 【详解】解：原式 ． 20. 学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校．某校赵老师为了了解本班学生3月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为了三类：A：好，B：中，C：差，请根据图中信息，解答下列问题： （1）全班学生总人数是______； （2）补全条形统计图，在扇形统计图中，______，C类的圆心角为______； （3）赵老师在班上随机抽取了4名学生，其中A类1人，B类2人，C类1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用树状图或列表法求出抽中全是B类学生的概率． 【答案】（1）40 （2） 补全图形如下： 60， （3） 【解析】 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比 （1）由A类人数及其所占百分比可得总人数； （2）总人数减去A、B的人数求得C类人数，再分别用B、C的人数除以总人数可得对应百分比，据此即可补全图形； （3）列表得出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得． 【小问1详解】 全班学生总人数为（人； 【小问2详解】 类人数为， 类所占百分比为，圆心角为：，类百分比为 【小问3详解】 列表如下： A B B C A AB AB AC B BA BB BC B BA BB BC C CA CB CB 由表可知，共有12种等可能结果，其中全是类的有2种情况， 所以全是类学生的概率为． 21. 如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作交于点F，以为邻边作矩形，连接． （1）求证：矩形是正方形； （2）探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） 解：如图所示，过作于点，过作于点， 四边形为正方形， ， ，， ， ， 四边形为矩形， ， ，即， 是正方形对角线的点， ， 在和中， ， ， ， 矩形为正方形． （2）是定值， 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到，然后再判断，得到，则有，即可判断矩形为正方形； （2）由四边形为正方形，四边形是正方形可知，，故可得，得到，即可判断，为定值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 的值为定值， 矩形为正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，矩形的性质，关键是结合图形得出三角形全等． 22. 如图：在中，，，轴，双曲线经过点B，将绕点B逆时针旋转，使点O的对应点D落在x轴正半轴上．AB的对应线段CB恰好经过点O． （1）求证是等边三角形； （2）求出双曲线的解析式，并判断点C是否在双曲线上．请说明理由； （3）在y轴上是否存在一点P．使的周长最小．若存在．求点P的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）双曲线解析式为：，在，理由见解析；（3）存在，点 【解析】 【分析】（1）由轴，可得，由绕点B逆时针旋转△CDB可得，由，可得=∠OBD即可； （2）由是等边三角形，利用特殊角三角函数可求，由双曲线经过点B，可求双曲线的解析式为；由，，可求，由，可得，可求即可； （3）由的周长，且BD是定值，当取最小值时，有最小值，作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，由，可得，，由是等边三角形，可求点D（2，0），设直线解析式为，代入B′，C坐标得，可求，由当时，即可． 【详解】解：（1）∵轴， ∴， ∵绕点B逆时针旋转△CDB ∴， ∴， ∵， ∴=∠OBD， ∴是等边三角形． （2）由（1）得：是等边三角形， ∴， yB=OB•sin60°=2×，xB=OB•cos60°=2× ∴， ∵双曲线经过点B， ∴， ∴双曲线的解析式为； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点C在双曲线上； （3）∵的周长，且BD是定值， ∴当取最小值时，有最小值， 如图，作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点P， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴点D（2，0）， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴点． 【点睛】本题考查平行线性质，三角形旋转性质，等边三角形判定与性质，特殊角的三角函数，反比例函数解析式，30°角直角三角形的性质，轴对称性质，一次函数解析式与性质等涉及的知识较多，解题较繁琐，认真审题与观察图形，利用数形结合思想是解题关键． 23. 为防控新冠疫情，我区某学校需购买甲、乙两种品牌的额温枪．已知甲品牌额温枪的单价比乙品牌额温枪的单价低40元，且用4800元购买甲品牌额温枪的数量是用4000元购买乙品牌额温枪的数量的倍． （1）求甲、乙两种品牌额温枪的单价； （2）若学校计划购买甲、乙两种品牌的额温枪共80个，且乙品牌额温枪的数量不小于甲品牌额温枪数量的2倍，购买两种品牌额温枪的总费用不超过15000元．设购买甲品牌额温枪个，总费用为元，则该校共有哪几种购买方案？采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】（1）甲160元，乙200元 （2）该校共有两种购买方案：方案一，购买甲品牌额温枪25个，乙品牌额温枪55个；方案二，购买甲品牌额温枪26个，乙品牌额温枪54个，采用方案二可使总费用最低，最低费用是14960元． 【解析】 【分析】本题考查分式方程解决应用题，一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系及不等关系． （1）设甲品牌额温枪的单价为x元，则乙品牌额温枪的单价为元，根据用元购买甲品牌额温枪的数量是用元购买乙品牌额温枪的数量的倍列方程求解即可得到答案； （2）根据总费用不超过15000元及乙品牌额温枪的数量不小于甲品牌额温枪数量的2倍列不等式组求得m的取值，进而计算总费用即可得到答案． 【小问1详解】 解：设甲品牌额温枪的单价为x元，则乙品牌额温枪的单价为元， 由题意，得， 解得：， 经检验是原方程的解， 则， 答：甲、乙两种品牌额温枪的单价分别为：元，元； 【小问2详解】 解：设购买甲品牌额温枪个，则购买乙品牌额温枪个， 由题意可得，且m为整数， 解得：，且m为整数， ∴m为或， 当时，总费用为（元）， 当时，总费用为（元）， ∵， ∴该校共有两种购买方案：方案一，购买甲品牌额温枪25个，乙品牌额温枪55个；方案二，购买甲品牌额温枪26个，乙品牌额温枪54个，采用方案二可使总费用最低，最低费用是14960元． 24. 如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB 的平分线交⊙O于点D，过点D作直线l交CA的延长线于点P，且∠ADP=∠BCD，过点A作AE丄CD于点E，过点B作BF丄CD于点F． （1）求证:DP//AB； （2）求证:PD是⊙O的切线； （3）若AC=6，BC=8，求线段PD的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）由题意易得，然后问题可得证； （2）连接OD，由题意易得，由（1）进而可得△ADB是等腰直角三角形，则有OD⊥AB，最后由（1）可求证； （3）过点A作AH⊥PD于点H，由题意易得AB=10，则有，进而可得，然后由AB∥PD可得，最后由三角函数可进行求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）证明：连接OD，如图所示： ∵AB是⊙O的直径， ∴， ∵平分∠ACB， ∴， ∴， ∴△ADB是等腰直角三角形， ∵点O是AB的中点， ∴OD⊥AB， 由（1）得， ∴， ∵OD是⊙O的半径， ∴PD是⊙O的切线； （3）解：过点A作AH⊥PD于点H，如图所示： 由（2）可得，，△ADB是等腰直角三角形， ∴△ADH是等腰直角三角形， ∵AC=6，BC=8， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的切线判定定理及三角函数，熟练掌握圆的切线判定定理及三角函数是解题的关键． 25. 已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）． （1）请直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（用含a的代数式表示） （2）若a＞0，且P（m，y1）与Q（5，y2）是该抛物线上的两点，且y1＞y2，求m的取值范围； （3）如图，当a＝1时，设该抛物线与x轴分别交于A、B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C．点D是直线BC下方抛物线上的一个动点，AD交BC于点E，设点E的横坐标为n，记S＝，当n为何值时，S取得最大值？并求出S的最大值． 【答案】（1）对称轴x＝1，顶点坐标（1，﹣4a）；（2）m＜﹣3或m＞5；（3）当n＝时，S取得最大值，最大值为． 【解析】 【分析】（1）利用配方法求解即可． （2）分两种情形：点P在对称轴的右侧或左侧，分别构建不等式求解即可． （3）过点A作AF//y轴交BC于F，过点D作DH⊥x轴于H，交y轴于G．则△DEG∽△AEF，根据，构建二次函数，利用二次函数的性质，求解即可． 【详解】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x2﹣2x+1﹣1）﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a， ∴顶点坐标（1，﹣4a），对称轴x＝1． （2）∵a＞0，抛物线的对称轴x＝1， ∴当x≥1时，y随x的值的增大而增大， 当点P（m，y1）在对称轴的右侧， ∵y1＞y2， ∴m＞5． 当P（m，y1）在对称轴的左侧时，即m＜1时， 作点P关于对称轴的对称点Q（2﹣m，y1）， ∵y1＞y2， ∴2﹣m＞5， 解得m＜﹣3， 综上所述，m的取值范围为m＜﹣3或m＞5． （3）a＝1时，抛物线y＝x2﹣2x﹣3， 由y＝0，得x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝3或﹣1， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， 由x＝0，得到y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣3， 过点A作AF//y轴交BC于F，过点D作DH⊥x轴于H，交y轴于G．则△DEG∽△AEF， ∴， ∵A（﹣1，0）， ∴F（﹣1，﹣4）， ∴AF＝4， 设D（x，x2﹣2x﹣3），则G（x，x﹣3）， ∴DG＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x， ∴， ∵， ∴x＝时，S取得最大值为， 此时D为（，﹣）， ∴直线AD的解析式为y＝﹣x﹣， 由，解得， ∴n＝， 故当n＝时，S取得最大值，最大值为． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建二次函数解决最值问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $