专题03 椭圆及其性质8考点（期中真题汇编，新疆专用）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题03 椭圆及其性质 8大高频考点概览 考点01求椭圆方程 考点02求椭圆的基本量 考点03椭圆的焦点三角形 考点04椭圆离心率 考点05直线与椭圆的位置关系 考点06椭圆的最值 考点07椭圆的面积和长度问题 考点08椭圆的定点定值定直线问题 地 城 考点01 求椭圆方程 1．（2024秋•天山区校级期中）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点．若的中点坐标为，则的方程为　　 A． B． C． D． 2．（2023春•霍尔果斯市校级期中）焦点在轴上，长轴长为10，离心率为的椭圆的标准方程为　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•库车市校级期中）阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近”的方法得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的左，右焦点分别是，，是上一点，，，的面积为，则的标准方程为　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•新疆期中）“，”是“方程表示的曲线为椭圆”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 地 城 考点02 求椭圆的基本量 5．（2024秋•莎车县期中）中国是世界上最古老的文明中心之一，中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器，中国陶瓷是世界上独一无二的．它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术，陶瓷形状各式各样，从不同角度诠释了数学中几何的形式之美．现有一椭圆形明代瓷盘，经测量得到图中数据，则该椭圆瓷盘的焦距为　　 A． B． C． D．4 6．（2023秋•米东区校级期中）椭圆与的　　 A．焦距相等 B．离心率相等 C．短轴的长相等 D．长轴的长相等 7．（2024秋•奎屯市校级期中）已知椭圆的焦点在轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则　　． 8．（2023秋•米东区校级期中）已知椭圆的焦点分别为，，点，在椭圆上，于，，，则椭圆的长轴长为　　 A． B．3 C． D．6 （多选）9．（2024秋•新疆期中）已知椭圆，则　　 A．椭圆的长轴长为 B．椭圆的一个焦点为 C．椭圆的短半轴长为6 D．椭圆的离心率为 地 城 考点03 椭圆的焦点三角形 10．（2024秋•奎屯市校级期中）椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上，若，则　　 A． B． C． D． 11．（2024秋•乌鲁木齐校级期中）已知椭圆的左，右两焦点为和，为椭圆上一点，且，则　　 A．8 B．12 C．16 D．64 12．（2024秋•新疆期中）经过椭圆的左焦点的直线交椭圆于，两点，是椭圆的右焦点，则△的周长为 　　． 13．（2023秋•伊犁州期中）经过椭圆的左焦点的直线交椭圆于，两点，是椭圆的右焦点，则的周长为　　 A．20 B．200 C．40 D．400 14．（2024秋•天山区校级期中）椭圆的左、右焦点分别是，，椭圆上有一点，，则三角形的面积为 　　． （多选）15．（2024秋•天山区校级期中）已知椭圆的左、右焦点分别是、，点为椭圆上一点，则下列关于椭圆的结论正确的有　　 A．长轴长为5 B．离心率为 C．△的周长为16 D．△的面积为16 16．（2024秋•奎屯市校级期中）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方．若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是　　 A． B． C． D．2 地 城 考点04 椭圆离心率 17．（2023秋•伊犁州期中）椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 18．（2024秋•乌鲁木齐校级期中）已知焦点在轴上的椭圆的焦距为2，则其离心率为　　 A． B． C． D． 19．（2023秋•奎屯市校级期中）若椭圆经过点，且焦点分别为和，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 20．（2023秋•库车市校级期中）国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 21．（2023秋•昌吉市校级期中）若椭圆满足，则该椭圆的离心率　　 A． B． C． D． 22．（2024秋•新疆期中）已知椭圆的右焦点为，过点的直线与圆相切于点且与椭圆相交于，两点，若，恰为线段的三等分点，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 23．（2024秋•天山区校级期中）已知椭圆的左焦点为，直线与相交于，两点，且，则的离心率为　　 A． B． C． D． 24．（2024秋•莎车县期中）设椭圆的左、右焦点分别为、，是上的点，，，则的离心率为　　 A． B． C． D． 25．（2023秋•塔城市校级期中）已知椭圆 的左、右焦点分别为，，点，在上，四边形是等腰梯形，，，则的离心率的取值范围是　　 A． B． C． D． 26．（2023春•柯坪县校级期中）如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡（当成质点）发出的光线照射后，在桌面上留下的影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点．若篮球的半径为1个单位长度，灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面上的点为，椭圆的右顶点到点的距离为3个单位长度，则此时椭圆的离心率等于　　 A． B． C． D． 27．（2023秋•塔城市校级期中）2023年7月20日中国太空探索又迈出重要一步，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮成功完成出舱任务，为国家实验室的全面建成贡献了力量．假设神舟十六号的飞行轨道可以看作以地球球心为左焦点的椭圆（如图中虚线所示），我们把飞行轨道的长轴端点中与地面上的点的最近距离叫近地距离，最远距离叫远地距离．设地球半径为，若神舟十六号飞行轨道的近地距离为，远地距离为，则神舟十六号的飞行轨道的离心率为　　 A． B． C． D． 28．（2023秋•米东区校级期中）已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则实数等于　　 A．2 B．8 C． D． （多选）29．（2024秋•奎屯市校级期中）已知椭圆的焦点分别为，，设直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是　　 A． B．椭圆的离心率为 C．直线的方程为 D．△的周长为 30．（2025春•英吉沙县期中）已知椭圆的离心率为，则的长轴长为　　 ． 地 城 考点05 直线与椭圆的位置关系 31．（2023秋•伊犁州期中）直线与椭圆的一个交点坐标为　　 A． B． C． D． 32．（2023秋•奎屯市校级期中）过点的直线与椭圆交于，两点，设线段的中点为．若直线的斜率为，直线的斜率为，则等于　　 A． B．2 C． D． 33．（2023春•霍尔果斯市校级期中）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，，点为椭圆的上顶点．直线与椭圆交于，两点，若，的斜率之积为，则椭圆的长轴长为　　 A．3 B．6 C． D． 34．（2024秋•乌鲁木齐校级期中）过椭圆上的点，，，分别作的切线．若两切线交点恰好在直线上，则的最小值为 　　． 35．（2024秋•莎车县期中）已知、是椭圆的两焦点，经点的直线交椭圆于点、，若，则等于　　． 36．（2024秋•天山区校级期中）已知椭圆的离心率为，其两个顶点和两个焦点构成的四边形面积为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，且点恰为线段的中点，求直线的方程． 地 城 考点06 椭圆的最值 37．（2023秋•米东区校级期中）已知椭圆，是椭圆的左焦点，是椭圆上一点，若椭圆内一点，则的最小值为　　 38．（2023秋•伊犁州期中）已知椭圆的右焦点为，是上一点，，当的周长最小时，其面积为　　 A．12 B．6 C．8 D．10 （多选）39．（2024秋•乌鲁木齐校级期中）已知椭圆的离心率为，长轴长为6，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是　　 A． B．椭圆的标准方程为 C． D．的最大值为 地 城 考点07 椭圆的面积和长度问题 40．（2024秋•阿克苏地区校级期中）已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为，且． （1）求的离心率； （2）射线与交于点，且，求的周长． 41．（2024秋•莎车县期中）已知椭圆的两焦点分别为，长轴长为6， （1）求椭圆的标准方程； （2）已知过点且斜率为1的直线交椭圆于、两点，求线段的长度． 42．（2024秋•乌鲁木齐校级期中）已知、分别是椭圆的左、右顶点，过作两条互相垂直的直线、，分别交椭圆于、两点． （1）求当△面积最大时直线的斜率； （2）若直线与交于点，直线与交于点 ①求直线的方程； ②记△、△的面积分别为、，求的最大值． 43．（2024秋•奎屯市校级期中）已知椭圆． （1）求椭圆的离心率； （2）若，斜率为1的直线与椭圆交于、两点，且，求△的面积． 44．（2024秋•天山区校级期中）定义：若点，，，在椭圆上，并满足， 则称这两点是关于的一对共轭点，或称点，关于的一个共轭点为，．已知点在椭圆上，是坐标原点． （1）求点关于的所有共轭点的坐标： （2）设点，在上，且，求点关于的所有共轨点和点，所围成封闭图形面积的最大值． 地 城 考点08 椭圆的定点定值定直线问题 45．（2024秋•奎屯市校级期中）已知椭圆 ，四点 ， ， ， 中恰有三点在椭圆上． （1）求的方程； （2）设直线不经过点且与相交于，两点．若直线与直线的斜率的和为．证明：过定点． 46．（2024春•天山区校级期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，点在椭圆上，过点作互相垂直且与轴不重合的两直线，分别交椭圆于，，，，且，分别是弦，的中点． （1）求椭圆的方程； （2）求证：直线过定点； （3）求面积的最大值． 47．（2024秋•天山区校级期中）已知椭圆的长轴是短轴的倍，且椭圆上一点到焦点的最远距离为3，，是椭圆左右顶点，过，作椭圆的切线，取椭圆上轴上方任意两点，在的左侧），并过，两点分别作椭圆的切线交于点，直线交点的切线于，直线交点的切线于，过作的垂线交于． （1）求椭圆的标准方程． （2）若，直线与的斜率分别为与，求的值． （3）求证：． 48．（2024秋•天山区校级期中）已知椭圆的两个顶点分别为、，焦点在轴上，离心率为，直线与椭圆交于、两点． （1）求椭圆的方程； （2）当变化时，是否存在过点的定直线，使直线平分？若存在，求出该定直线的方程；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 椭圆及其性质 8大高频考点概览 考点01求椭圆方程 考点02求椭圆的基本量 考点03椭圆的焦点三角形 考点04椭圆离心率 考点05直线与椭圆的位置关系 考点06椭圆的最值 考点07椭圆的面积和长度问题 考点08椭圆的定点定值定直线问题 地 城 考点01 求椭圆方程 1．（2024秋•天山区校级期中）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点．若的中点坐标为，则的方程为　　 A． B． C． D． 【解析】设，，，， 代入椭圆方程得， 相减得， ． ，，． ， 化为，又，解得，． 椭圆的方程为． 故选：． 2．（2023春•霍尔果斯市校级期中）焦点在轴上，长轴长为10，离心率为的椭圆的标准方程为　　 A． B． C． D． 【解析】焦点在轴上，长轴长为10，离心率为， 可得，，则， 所以椭圆方程为：． 故选：． 3．（2023秋•库车市校级期中）阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近”的方法得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的左，右焦点分别是，，是上一点，，，的面积为，则的标准方程为　　 A． B． C． D． 【解析】由椭圆的定义可知，又， 所以，，又， 所以，所以， 所以，， 又椭圆的面积为，所以，解得，，， 所以椭圆的标准方程为． 故选：． 4．（2023秋•新疆期中）“，”是“方程表示的曲线为椭圆”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】由，，可得，； 由方程表示的曲线为椭圆可得，，． 故“，”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件． 故选：． 地 城 考点02 求椭圆的基本量 5．（2024秋•莎车县期中）中国是世界上最古老的文明中心之一，中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器，中国陶瓷是世界上独一无二的．它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术，陶瓷形状各式各样，从不同角度诠释了数学中几何的形式之美．现有一椭圆形明代瓷盘，经测量得到图中数据，则该椭圆瓷盘的焦距为　　 A． B． C． D．4 【解析】根据椭圆的定义，得到：，解得，，解得 所以， 所以焦距． 故选：． 6．（2023秋•米东区校级期中）椭圆与的　　 A．焦距相等 B．离心率相等 C．短轴的长相等 D．长轴的长相等 【解析】椭圆的长轴长为：10，短轴长为：6；焦距为：8，离心率为：． 的长轴长为：，短轴长为：，焦距为：8，离心率为：． 故选：． 7．（2024秋•奎屯市校级期中）已知椭圆的焦点在轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则　　． 【解析】将椭圆方程化为标准形式为，， 长轴长为，短轴长为， 由题意得，，． 故答案为：4． 8．（2023秋•米东区校级期中）已知椭圆的焦点分别为，，点，在椭圆上，于，，，则椭圆的长轴长为　　 A． B．3 C． D．6 【解析】因为椭圆的焦点分别为，，点，在椭圆上，于，，， 所以，，， 解得，， 所以椭圆方程为， 所以椭圆的长轴长． 故选：． （多选）9．（2024秋•新疆期中）已知椭圆，则　　 A．椭圆的长轴长为 B．椭圆的一个焦点为 C．椭圆的短半轴长为6 D．椭圆的离心率为 【解析】椭圆的焦点在轴上，， 则椭圆的长轴长为，焦点坐标为， 短半轴长为3，离心率． 故选：． 地 城 考点03 椭圆的焦点三角形 10．（2024秋•奎屯市校级期中）椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上，若，则　　 A． B． C． D． 【解析】已知椭圆， 则，，， 在△中，，， 则， 于是， 所以． 故选：． 11．（2024秋•乌鲁木齐校级期中）已知椭圆的左，右两焦点为和，为椭圆上一点，且，则　　 A．8 B．12 C．16 D．64 【解析】作出图形如图所示： 由题意得，，，， 于是，即为△的外心， 以为直径的圆经过，于是， 记，， 根据椭圆定义和勾股定理得， 于是． 故选：． 12．（2024秋•新疆期中）经过椭圆的左焦点的直线交椭圆于，两点，是椭圆的右焦点，则△的周长为 　　． 【解析】根据椭圆的方程得：，根据椭圆的定义有： ， 则△的周长为． 故答案为：． 13．（2023秋•伊犁州期中）经过椭圆的左焦点的直线交椭圆于，两点，是椭圆的右焦点，则的周长为　　 A．20 B．200 C．40 D．400 【解析】由椭圆可知半长轴长， 由椭圆的定义可知：的周长为． 故选：． 14．（2024秋•天山区校级期中）椭圆的左、右焦点分别是，，椭圆上有一点，，则三角形的面积为 　　． 【解析】， ，，， 点在椭圆上， ，， 设，在△中，由余弦定理可得，，解得或， 或， 三角形的面积为． 故答案为：． （多选）15．（2024秋•天山区校级期中）已知椭圆的左、右焦点分别是、，点为椭圆上一点，则下列关于椭圆的结论正确的有　　 A．长轴长为5 B．离心率为 C．△的周长为16 D．△的面积为16 【解析】由椭圆，得：，，， 对于项：长轴长为，故项错误； 对于项：离心率，故项正确； 对于项：由椭圆定义得：， △的周长为，故项正确； 对于项：因为，所以得：， 解得：，故项正确． 故选：． 16．（2024秋•奎屯市校级期中）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方．若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是　　 A． B． C． D．2 【解析】如图所示，设线段的中点为，连接． 设椭圆的右焦点为，连接．则． 又，． 设， 在中，， ． 故选：． 地 城 考点04 椭圆离心率 17．（2023秋•伊犁州期中）椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 【解析】由椭圆方程知：， 故离心率为． 故选：． 18．（2024秋•乌鲁木齐校级期中）已知焦点在轴上的椭圆的焦距为2，则其离心率为　　 A． B． C． D． 【解析】焦点在轴上的椭圆的焦距为2，可得，解得， 所以． 故选：． 19．（2023秋•奎屯市校级期中）若椭圆经过点，且焦点分别为和，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 【解析】由于椭圆经过点，且焦点分别为和， 所以椭圆的焦点在轴上，且， 所以椭圆的离心率为． 故选：． 20．（2023秋•库车市校级期中）国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 【解析】设内层椭圆方程为， 因为内、外层椭圆离心率相同， 所以外层椭圆方程可设成， 设切线方程为，与联立得，， 由， 化简得：， 设切线方程为， 同理可求得， 所以，， 所以，因此． 故选：． 21．（2023秋•昌吉市校级期中）若椭圆满足，则该椭圆的离心率　　 A． B． C． D． 【解析】， 又， ， ，解得或（舍去）． 故选：． 22．（2024秋•新疆期中）已知椭圆的右焦点为，过点的直线与圆相切于点且与椭圆相交于，两点，若，恰为线段的三等分点，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 【解析】不妨设切点在第一象限，点在第一象限，记椭圆的左焦点为，连接、， 由圆的几何性质可知， 易知、分别为，的中点，则，且， 所以，由椭圆的定义可得， 由勾股定理可得，即， 整理可得，可得， 因此该椭圆的离心率为． 故选：． 23．（2024秋•天山区校级期中）已知椭圆的左焦点为，直线与相交于，两点，且，则的离心率为　　 A． B． C． D． 【解析】方法一：由，消可得，解得，分别代入， ，，，， ，，，， ， ， 把代入式并整理得， 两边同除以并整理得，解得 ， 方法二：， 为直角三角形， ，设， 易知为等边三角形，则，则， ， ． 故选：． 24．（2024秋•莎车县期中）设椭圆的左、右焦点分别为、，是上的点，，，则的离心率为　　 A． B． C． D． 【解析】，，， ，， 又， ，， 的离心率为：． 故选：． 25．（2023秋•塔城市校级期中）已知椭圆 的左、右焦点分别为，，点，在上，四边形是等腰梯形，，，则的离心率的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解析】不妨设椭圆的半焦距为， 因为四边形是等腰梯形， 所以， 因为椭圆上一点到焦点的距离的最小值为长轴端点到相邻焦点的距离， 所以， 解得， 又， 在△中，， 因为， 解得， 则双曲线的离心率的取值范围为． 故选：． 26．（2023春•柯坪县校级期中）如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡（当成质点）发出的光线照射后，在桌面上留下的影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点．若篮球的半径为1个单位长度，灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面上的点为，椭圆的右顶点到点的距离为3个单位长度，则此时椭圆的离心率等于　　 A． B． C． D． 【解析】以为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系， 由题意知：，，，， 则直线，即， 设，，则， 点到直线的距离， 解得：，，即； 设直线，即， 点到直线的距离， 解得：或， 又直线，，即直线， 令，解得：，即， ，即； 由，得， 椭圆离心率． 故选：． 27．（2023秋•塔城市校级期中）2023年7月20日中国太空探索又迈出重要一步，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮成功完成出舱任务，为国家实验室的全面建成贡献了力量．假设神舟十六号的飞行轨道可以看作以地球球心为左焦点的椭圆（如图中虚线所示），我们把飞行轨道的长轴端点中与地面上的点的最近距离叫近地距离，最远距离叫远地距离．设地球半径为，若神舟十六号飞行轨道的近地距离为，远地距离为，则神舟十六号的飞行轨道的离心率为　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意：，，解得，， 故离心率． 故选：． 28．（2023秋•米东区校级期中）已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则实数等于　　 A．2 B．8 C． D． 【解析】由题意焦点在轴上的椭圆的离心率为， 得，解得． 故选：． （多选）29．（2024秋•奎屯市校级期中）已知椭圆的焦点分别为，，设直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是　　 A． B．椭圆的离心率为 C．直线的方程为 D．△的周长为 【解析】如图所示： 根据题意，焦点在轴上，，则，故选项正确； 椭圆的离心率为，故选项不正确； 不妨设，，，，则，， 两式相减得， 变形得， 又注意到点为线段的中点， ， 直线的斜率为， 直线的方程为，即，故选项正确； 直线过，△的周长为，故选项不正确． 故选：． 30．（2025春•英吉沙县期中）已知椭圆的离心率为，则的长轴长为　　 ． 【解析】，，，， 椭圆离心率，解得， ，的长轴长为． 故答案为：． 地 城 考点05 直线与椭圆的位置关系 31．（2023秋•伊犁州期中）直线与椭圆的一个交点坐标为　　 A． B． C． D． 【解析】联立，可得，解得或， 当时，；当时，； 所以直线与椭圆的交点坐标为． 故选：． 32．（2023秋•奎屯市校级期中）过点的直线与椭圆交于，两点，设线段的中点为．若直线的斜率为，直线的斜率为，则等于　　 A． B．2 C． D． 【解析】设，，，，中点，， 设直线的方程为，代入，得， 所以．而． 所以的斜率 所以 故选：． 33．（2023春•霍尔果斯市校级期中）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，，点为椭圆的上顶点．直线与椭圆交于，两点，若，的斜率之积为，则椭圆的长轴长为　　 A．3 B．6 C． D． 【解析】由题意得， 所以①， 设椭圆方程为，，，，， 则②， ①②联立得，， 故． 故选：． 34．（2024秋•乌鲁木齐校级期中）过椭圆上的点，，，分别作的切线．若两切线交点恰好在直线上，则的最小值为 　　． 【解析】对于上一点，过点的切线方程为， 证明：当该切线存在斜率时，不妨设其方程为， 联立，消去整理得， 则△，可得，， 代入切线方程得， 于是，从而切线方程为， 即． 由椭圆，可知，， 设两切线交点，易得切线的方程为， 切线的方程为． 由于点在切线、上， 则，故直线的方程为， 联立，消去整理得，显然△， 则， 所以的最小值为． 故答案为：． 35．（2024秋•莎车县期中）已知、是椭圆的两焦点，经点的直线交椭圆于点、，若，则等于　　． 【解析】直线交椭圆于点、， 由椭圆的定义可知：， ， 故答案为：11． 36．（2024秋•天山区校级期中）已知椭圆的离心率为，其两个顶点和两个焦点构成的四边形面积为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，且点恰为线段的中点，求直线的方程． 【解析】解（1）椭圆的离心率为，， ，即 椭圆的两个顶点和两个焦点构成的四边形面积为， ，，从而得， 椭圆的方程为 （2）显然，直线的斜率存在，设该斜率， 直线的方程为，即， 直线的方程与椭圆的方程联立，消去得： 且该方程显然有二不等根， 记，两点的坐标依次为，，，， ，即， ，解得， 所求直线的方程为． 地 城 考点06 椭圆的最值 37．（2023秋•米东区校级期中）已知椭圆，是椭圆的左焦点，是椭圆上一点，若椭圆内一点，则的最小值为　　 A．3 B． C． D． 【解析】由椭圆的方程可得，焦点， 因为在椭圆内部，设右焦点，则， 则， 当且仅当，，三点共线时取等号， 故选：． 38．（2023秋•伊犁州期中）已知椭圆的右焦点为，是上一点，，当的周长最小时，其面积为　　 A．12 B．6 C．8 D．10 【解析】根据题意可得，， 设椭圆的左焦点为，则根据题意可得，， 的周长为 ， 当且仅当，，三点共线时，等号成立， 此时直线为，即， 联立，可得， 或，故，代入椭圆方程易得， ，又，， 当的周长最小时，其面积为． 故选：． （多选）39．（2024秋•乌鲁木齐校级期中）已知椭圆的离心率为，长轴长为6，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是　　 A． B．椭圆的标准方程为 C． D．的最大值为 【解析】已知椭圆的离心率为，长轴长为6， 则， 解得， 对于，，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的动点， 则， 选项正确； 对于，， 所以椭圆， 选项正确； 对于，， 所以， 选项错误； 对于，， 当且仅当在，之间且它们三点共线时等号成立， 选项正确． 故选：． 地 城 考点07 椭圆的面积和长度问题 40．（2024秋•阿克苏地区校级期中）已知椭圆的左，右焦点分别为，，上顶点为，且． （1）求的离心率； （2）射线与交于点，且，求的周长． 【解析】（1）上顶点为，且， 可得，，， 即，即， 所以离心率； （2）由（1）可得，， 射线的方程为， 联立，整理可得：， 解得或，则或， 即，， 所以， 解得， 则， 所以的周长为． 41．（2024秋•莎车县期中）已知椭圆的两焦点分别为，长轴长为6， （1）求椭圆的标准方程； （2）已知过点且斜率为1的直线交椭圆于、两点，求线段的长度． 【解析】（1）由，长轴长为6， 得：，，， 椭圆方程为； （2）设，，，，直线的方程为， 联立，得， ，， ． 42．（2024秋•乌鲁木齐校级期中）已知、分别是椭圆的左、右顶点，过作两条互相垂直的直线、，分别交椭圆于、两点． （1）求当△面积最大时直线的斜率； （2）若直线与交于点，直线与交于点 ①求直线的方程； ②记△、△的面积分别为、，求的最大值． 【解析】（1）由题意，， 所以为椭圆的上下顶点时，△面积最大， 若为上顶点，此， 若为下顶点，此时， 综上，面积最大时直线的斜率为． （2）如下图所示： ①设，，，，由题意知直线斜率一定存在，即， 所以直线， 又，且，相互垂直， 则，所以，故直线， 综上可得， 结合，可得，解得， 所以直线，交点横坐标为， 同理，即直线，交点横坐标为， 综上，直线为； ②设直线，与椭圆联立并整理得，易得， 同理可得， 又，解得，同理可得， 所以 ， 当且仅当时取等号，所以最大值为． 43．（2024秋•奎屯市校级期中）已知椭圆． （1）求椭圆的离心率； （2）若，斜率为1的直线与椭圆交于、两点，且，求△的面积． 【解析】（1）椭圆．化为标准方程：， 椭圆长半轴长为，短半轴长为， ． （2），斜率为1的直线与椭圆交于、两点，设斜率为1的直线的方程为，且，、，， ，椭圆的方程为：， 由，消去得， △，解得， 有，， ， 解得：，即，直线的方程为． 故到直线的距离， ． 44．（2024秋•天山区校级期中）定义：若点，，，在椭圆上，并满足， 则称这两点是关于的一对共轭点，或称点，关于的一个共轭点为，．已知点在椭圆上，是坐标原点． （1）求点关于的所有共轭点的坐标： （2）设点，在上，且，求点关于的所有共轨点和点，所围成封闭图形面积的最大值． 【解析】（1）设点关于的共轭点的坐标为，， 所以， 解得， 所以点关于的所有共轭点的坐标为． （2）设点关于的共轭点的坐标为，，由题意有， 所以，解得， 所以点关于的共轭点有且只有一个，坐标为，即为本身， 因为， 所以， 所以设直线的方程为， 联立，消去得， 由题有△， 所以，解得， 又设，，，， 则，， 所以 ， 设到直线的距离为，则， 则所围成的图形面积为， 当且仅当，即取等号， 所以点关于的所有共轭点和点，所围成图形面积的最大值为． 地 城 考点08 椭圆的定点定值定直线问题 45．（2024秋•奎屯市校级期中）已知椭圆 ，四点 ， ， ， 中恰有三点在椭圆上． （1）求的方程； （2）设直线不经过点且与相交于，两点．若直线与直线的斜率的和为．证明：过定点． 【解析】（1）由椭圆的对称性可得：所给的四点中 ， ， 在椭圆上， 可得，将的坐标代入椭圆的方程可得，可得， 所以椭圆的方程为：； （2）证明：当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，设，，，， 联立，整理可得：， △，可得，且，， 因为， 由题意可得， 整理可得：，当且仅当时，符合△， 这时直线的方程为：，直线恒过定点； 当直线的斜率不存在时，则，，且，代入椭圆的方程可得，所以， 设，， 这时为， 由题意可得， 可得，即直线的方程为， 显然这时直线也过， 综上所述：可证得直线恒过定点． 46．（2024春•天山区校级期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，点在椭圆上，过点作互相垂直且与轴不重合的两直线，分别交椭圆于，，，，且，分别是弦，的中点． （1）求椭圆的方程； （2）求证：直线过定点； （3）求面积的最大值． 【解析】（1）解：因为椭圆经过点， 且，与短轴的一个顶点构成一个等腰直角三角形， 则，， 所以，解得，， 所以椭圆方程为：； （2）证明：设直线的方程为，， 设，，，， 则直线的方程为， 联立，消去得， 点点在椭圆上，所以△， 则，， 所以， 由中点坐标公式得，， 方法一：将的坐标中的用代换，得的中点，， ， 直线的方程为， 即为， 令，可得，则有， 则直线过定点，且为，； 方法二：将的坐标中的用代换，得的中点，， 则， 整理得：， 所以直线过定点，； 方法三：则，则， 所以， 所以直线过定点，； （3）解：方法一：△面积为， ， 令， 则有在，递减， 所以当，即时，取得最大值，且为； 则面积的最大值为． 方法二：，， 则面积，令， 则，当且仅当，即时，面积的最大值为． 所以面积的最大值为． 47．（2024秋•天山区校级期中）已知椭圆的长轴是短轴的倍，且椭圆上一点到焦点的最远距离为3，，是椭圆左右顶点，过，作椭圆的切线，取椭圆上轴上方任意两点，在的左侧），并过，两点分别作椭圆的切线交于点，直线交点的切线于，直线交点的切线于，过作的垂线交于． （1）求椭圆的标准方程． （2）若，直线与的斜率分别为与，求的值． （3）求证：． 【解析】（1）由题意：，解得， 所以椭圆的标准方程为：． （2）设过点的切线方程为：，即， 联立，消去并整理得：， 由△， 整理得：，所以． （3）证明：设，，的延长线交轴于点，如图： 、两点处切线斜率分别为，，则， 设点的椭圆的切线方程为：， 联立，消去并化简整理得：， 由△得，， 化简整理得：， 由韦达定理得：，， 所以，， 所以要证明，只需证明， 即 ， 因为，所以上式成立， 即成立． 48．（2024秋•天山区校级期中）已知椭圆的两个顶点分别为、，焦点在轴上，离心率为，直线与椭圆交于、两点． （1）求椭圆的方程； （2）当变化时，是否存在过点的定直线，使直线平分？若存在，求出该定直线的方程；若不存在，请说明理由． 【解析】因为椭圆的两个顶点分别为、， 所以， 因为， 解得， 则椭圆的方程的标准方程为； （2）假设存在定直线， 易知直线的斜率存在， 设直线的斜率为，，、，， 联立，消去并整理得， 此时， 由韦达定理得，， ． 设直线、及直线的倾角分别为，，，设直线与直线交于点， 则，， 所以， 即， 所以， 即， 整理得且， 所以， 解得或（舍去）， 故存在过点的定直线，使直线平分，该定直线的方程为； 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $