第二十九章 反比例函数 同步习题 2025-2026学年人教版（五四制）数学九年级上册

第二十九章 反比例函数 同步习题 一、单选题 1．反比例函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．常数 B．随的增大而增大 C．若，在该图象上，则 D．若在该图象上，则也在该图象上 2．若点P（1，3）在反比例函数y=（k≠0）的图象上，则k的值是（     ） A． B．3 C．- D．-3 3．某校为了更好地开展大课间体育活动，增购了各种体育器材。其中用元购买单价是元/个的足球个，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 4．生物兴趣小组探究酒精对某种鱼类的心率是否有影响，实验得出心率与酒精浓度的关系如图所示，下列说法正确的是（    ）    A．酒精浓度越大，心率越高 B．酒精对这种鱼类的心率没有影响 C．当酒精浓度是时，心率是168次/分 D．心率与酒精浓度是反比例函数关系 5．如图所示，点P，Q是反比例函数图象上的两点，轴于点A，轴于点N，作轴于点M，轴于点B，连接PB、QM，△ABP的面积记为，△QMN的面积记为，则（   ）    A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．不能确定 6．如图，平行四边形的顶点，在轴上，顶点在上，顶点在上，则平行四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 7．如图，将质量为10kg的铁球放在不计重力的木板OB上的A处，木板左端O处可自由转动，在B处用力F竖直向上抬着木板，使其保持水平，已知OA的长为1m，OB的长为xm，g取10N/kg，则F关于x的函数解析式为(    )    A． B． C． D． 8．矩形的面积为4．两邻边长分别为x，y，则y与x关系的图像大致为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．点在反比例函数的图像上，则k= ，当y=10时，x= 10．如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点A在反比例函数y=(x>0)图象上，C在x轴上，AB//x轴，BC与双曲线交于点D，且BD=3CD=6，则k= ． 11．小亮通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长会随着电磁波的频率的变化而变化，根据表格中的数据，从你所学的函数中选择一个函数，使它近似反映波长λ与频率f的函数关系．若，则电磁波的波长 m． 频率 10 15 50 波长 30 20 6 12．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和．则的值为 ． 13．如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为 ． 14．已知与成反比例，当时，；那么当时，的值为 ． 三、解答题 15．已知一个反比例函数为，求的值． 16．已知反比例函数的图象经过第一、三象限． (1)求的取值范围． (2)若，此函数的图象经过，两点，且，求的取值范围． 17．如图，在平面直角坐标系中，直线交双曲线于点，C，线段都垂直于x轴，． (1)求直线和双曲线的解析式； (2)在第一象限内，根据图象直接写出当x取何值时，； (3)在直线上找一点P，连接，当时，求点P的坐标． 18．学校准备在校园内修建一个矩形的绿化带，矩形的面积为定值，它的一边 y与另一边 x之间的函数关系式如下图所示． （1）绿化带面积是多少?你能写出这一函数表达式吗? （2）完成下表，并回答问题：如果该绿化带的长不得超过40m，那么它的宽应控制在什么范围内? 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B B C B D A C 1．D 【分析】根据反比例函数图象的性质逐条判断即可． 【详解】解：A. 反比例函数图象在二、四象限，所以常数，不符合题意； B. 在每个象限内，反比例函数随的增大而增大，不符合题意； C. 若，在该图象上，则，不符合题意； D. 因为，，所以若在该图象上，则也在该图象上，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题关键是根据反比例函数图象，确定反比例函数比例系数正负，结合图象得出正确结论． 2．B 【分析】把点的坐标代入函数解析式，即可求出k． 【详解】∵点P(1,3)在反比例函数（k≠0）的图象上， ∴，即k=3． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象上点的坐标特征，理解反比例函数的性质是解答本题的关键． 3．B 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是从实际问题中整理出反比例函数模型． 根据题意可得，再整理可得与的函数关系式． 【详解】解：由题意可得：， 则， 故选：B． 4．C 【分析】观察图象即可判断A、B、C选项，根据反比例函数的定义，即可判断D选项． 【详解】解∶由图象可知，酒精浓度越大，心率越低，故A错误； 酒精浓度越大，心率越低，酒精对这种鱼类的心率有影响，故B错误； 由图象可知，当酒精浓度是时，心率是168次/分，故C正确； 任意取两个点坐标，，因为，所以心率与酒精浓度不是反比例函数关系，故D错误． 故选∶ C． 【点睛】本题考查了观察图象，读取、分析、处理信息的能力，反比例函数定义，根据反比例函数定义判断是否为反比例函数是解题的关键． 5．B 【分析】设P（a，b），Q（m，n），根据三角形的面积公式即可求出结果． 【详解】设P（a，b），Q（m，n）， 则S△ABP===， S△QMN===， 点P，Q在反比例函数的图象上， S1＝S2 故选B. 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键. 6．D 【分析】先过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CD⊥y轴于点D，再根据反比例函数系数k的几何意义，求得△ABE的面积=△COD的面积相等=|k2|，△AOE的面积=△CBD的面积相等=|k1|，最后计算平行四边形的面积． 【详解】解：过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CD⊥y轴于点D， 根据∠AEB=∠CDO=90°，∠ABE=∠COD，AB=CO可得：△ABE≌△COD（AAS）， ∴S△ABE与S△COD相等， 又∵点C在的图象上， ∴S△ABE=S△COD =|k2|， 同理可得：S△AOE =S△CBD =|k1|， ∴平行四边形OABC的面积=2（|k2|+|k1|）=|k2|+|k1|=k2-k1， 故选D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 7．A 【分析】根据杠杆平衡条件：动力×动力臂=阻力×阻力臂，把题中数据代入即可得答案． 【详解】∵g取10N/kg，铁球质量为10kg， ∴G=mg=10×10=100（N）， ∵OA=1m，OB=xm， ∴由杠杆平衡原理可得：F×OB=G×OA，即， ∴F关于x的函数解析式为． 故选A． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握杠杆平衡原理是解题关键． 8．C 【分析】本题主要考查反比例函数的图像，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键．根据矩形的面积求出y与x的函数关系式，根据关系式得到图像即可． 【详解】解：由题意可得：，且， ，， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选C． 9． 2 【分析】把点（1，2）代入解析式中，可解得k的值，进而确定函数解析式，再把y=10代入解析式中，得x值． 【详解】把x=1，y=2 代入解析式左右两边， 解得k=2，故函数解析式是， 把y=10代入的左边，得， 故答案为：2；． 【点睛】本题考查了反比例函数解析式，熟练掌握求反比例函数解析式的方法是解题的关键． 10．/ 【分析】过点A、D分别作x轴和垂线，垂足分别为E、F，求得CD=2，AB=BC=AC=8，利用直角三角形的性质求得CE=4，CF=1，设A(，4)，D(，)，利用OF-OE=CE+CF=5，列方程求解即可． 【详解】解：过点A、D分别作x轴和垂线，垂足分别为E、F， ∵△ABC 是等边三角形，BD=3CD=6，∴CD=2，AB=BC=AC=8， ∵AB//x轴，∴∠ACE=∠BCF=30°， ∴CE=4，CF=1， 由勾股定理得AE=4，DF=， 设A(，4)，D(，)， ∴OE=，OF=， ∵OF-OE=CE+CF=5， ∴-=5， 解得：k=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，含30°角的直角三角形的三边关系，解题的关键是通过含30°角的直角三角形的三边关系表示点A和点B的坐标． 11．5 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，根据表格中的数据可得波长与频率成反比例函数关系，则可设，利用待定系数法求出对应的函数解析式，再把代入解析式中求出的值，即可得到答案． 【详解】解：由表格中的数据可知频率与波长的乘积一定，即波长与频率成反比例函数关系， 设波长λ关于频率f的函数解析式为， 把代入上式中得：， 解得：， ； 当时，， ∴当时，此电磁波的波长λ为． 故答案为：5． 12．0 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式是解决问题的关键．将点和代入之中得，，由此可得的值． 【详解】解：函数的图象经过点和， ，， ，， ． 故答案为：0． 13．// 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键．延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：延长交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵点A在函数的图象上， ∴， ∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上， ∴， ∴四边形的面积等于， 故答案为：． 14． 【分析】先设y=再把已知点的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数的解析式，从而求的函数值．本题要把x-1看作整体． 【详解】设y=， 当x=时，y=-，-=， 解得k=，即y=； 那么当x=2时，y=． 故答案为． 【点睛】主要考查了用待定系数法求函数的解析式，属于常见题型． 15． 【分析】由反比例函数为，可得且，从而可得答案． 【详解】解：∵反比例函数为， ∴且， 解得：． 【点睛】本题考查的是反比例函数的定义，熟记反比例函数的表示形式是解本题的关键． 16．(1) (2) 【分析】本题考查的是反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的增减性是解本题的关键； （1）由反比例函数的图象经过第一、三象限可得，再解不等式即可； （2）由反比例函数的增减性可得，从而可得答案． 【详解】（1）解： 反比例函数的图象经过第一、三象限， ，解得， 的取值范围是． （2）， ，， 反比例函数的图象经过，两点，且， ， 解得， ∴的取值范围是． 17．(1)直线的解析式为，双曲线的解析式为 (2)在第一象限内当时， (3)点P的坐标是或 【分析】（1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进一步求得点的坐标，然后把、点的坐标代入即可求得直线的解析式； （2）根据图象求得即可； （3）设，分两种情况讨论，根据题意列出关于的方程，解方程即可求得点的坐标． 本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，函数与不等式的关系，三角形的面积，数形结合、分类讨论思想的运用是解题的关键． 【详解】（1）解： 双曲线过点， ， 双曲线的解析式为， 点，线段，都垂直于轴，， 点的横坐标为6， 把代入解得， ， 把、点的坐标代入得， 解得， 直线的解析式为； （2）解：观察图象可知，在第一象限内当时，； （3）解：设， ，， ，，，， 当点在的左侧时， ， ， ， ，解得， 此时， 当点在的右侧时， ，， ， ，解得， 此时， 综上，点的坐标是或． 18．（1）400(m 2)，函数表达式为 y＝ ；(2)40，20， ，10，从图中可以看出．若长不超过40m，则它的宽应大于等于10m． 【详解】试题分析： （1）由“矩形的长=面积÷宽”可得：，把点A（40，10）代入即可求出S和函数关系式； （2）根据（1）中所得函数关系式即可计算出表格中与对应的的值，由计算结果即可得到所求结论； 试题解析： （1）设矩形面积为S，由题意可得：， 把点A（40，10）代入可得：， ∴矩形的面积S=400，函数关系式为：； （2）由计算完成表中数据如下： （m） 10 20 30 40 （m） 40 20 10 由表中数据可知，若矩形长不超过40m，则矩形的宽不少于10m. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $