第12讲 圆的方程（八大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高二数学秋季讲义（人教A版选择性必修第一册）

第12讲 圆的方程 【人教A版】 模块一 圆的方程 1．圆的定义 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心，定长为半径). 圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小. 2．圆的标准方程 (1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程. (2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径. (3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此 在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程. 3．圆的一般方程 (1)方程叫做圆的一般方程. (2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因 此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程. 下列情况比较适用圆的一般方程： ①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F； ②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线 方程，求待定系数D，E，F. 【题型1 求圆的标准方程】 【例1】（24-25高二上·湖南永州·期末）圆的圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高二上·江西抚州·期末）圆心为且过点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高二上·重庆渝中·期末）已知圆C经过两点，且圆心C在直线上，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1.3】（24-25高二上·内蒙古包头·期末）过三点，，的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【题型2 求圆的一般方程】 【例2】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知、，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高二上·河南洛阳·期中）已知，，，则的外接圆方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高二·全国·课后作业）与圆同圆心，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2.3】（24-25高二下·黑龙江鹤岗·开学考试）圆心在直线上，且经过两圆和的交点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【题型3 由圆的方程确定圆心和半径】 【例3】（24-25高二上·福建泉州·期中）圆的圆心坐标和半径分别是（    ） A．和 B．和2 C．和2 D．和 【变式3.1】（24-25高二上·天津·阶段练习）圆的圆心和半径分别是（   ） A．；1 B．； C．；1 D．； 【变式3.2】（24-25高二上·全国·假期作业）求下列各圆的圆心坐标和半径： (1)； (2). 【变式3.3】（24-25高二上·全国·课后作业）判断下列方程是否表示圆，若是，写出圆心和半径． (1)； (2)； (3)； (4)． 模块二 二元二次方程与圆的方程 1．二元二次方程与圆的方程 (1)二元二次方程与圆的方程的关系： 二元二次方程，对比圆的一般方程 ，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程. (2)二元二次方程表示圆的条件： 二元二次方程表示圆的条件是. 【题型4 二元二次方程表示圆的条件】 【例4】（24-25高二上·贵州铜仁·期末）已知方程表示圆，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高一下·浙江宁波·期末）“关于的方程：表示圆”是“”的（       ）条件 A．必要不充分 B．充要 C．充分不必要 D．既不充分也不必要 【变式4.2】（24-25高一下·重庆·期末）下列方程一定表示圆的是（    ）． A． B． C． D． 【变式4.3】（24-25高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若方程表示圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型5 圆过定点问题】 【例5】（24-25高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高二上·浙江温州·期中）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式5.2】（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知圆经过，两点. (1)当，并且是圆的直径，求此时圆的标准方程； (2)如果是圆的直径，证明：无论a取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，求出这个定点坐标. 【变式5.3】（24-25高二上·浙江绍兴·阶段练习）在平面直角坐标系中，设顶点坐标分别为，，，，（其中，），圆M为的外接圆． (1)当时，求圆M的方程； (2)当a变化时，圆M是否过某一定点？若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由； 模块三 点与圆的位置关系 1．点与圆的位置关系 (1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外. (2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为 .平面内一点. 位置关系 判断方法 几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程) 点在圆上 |MA|=r (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2 点在圆内 |MA|<r (x0-a)2 +(y0-b) 2<r2 点在圆外 |MA|>r (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2 【题型6 点与圆的位置关系】 【例6】（24-25高二上·福建泉州·阶段练习）点与圆的位置关系是（    ） A．在外 B．在上 C．在内 D．不确定，与的取值有关 【变式6.1】（24-25高二上·安徽·期末）已知点在圆的外部，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式6.2】（24-25高二上·浙江·期中）已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（   ） A． B． C． D． 【变式6.3】（2025·四川绵阳·模拟预测）“或”是“定点在圆的外部”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 模块四 轨迹方程 1．轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量x,y之间的方程. (1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法). (2)求轨迹方程时，一要区分"轨迹"与"轨迹方程"；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等. 2．求轨迹方程的步骤： (1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标； (2)列出关于x,y的方程； (3)把方程化为最简形式； (4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)； (5)作答. 【题型7 轨迹问题——圆】 【例7】（24-25高二上·安徽六安·期末）已知定点，点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为，则底边的另一个端点的轨迹方程为（   ） A．（且） B．（且） C．（且） D．（且） 【变式7.2】（24-25高二上·山西长治·阶段练习）已知圆经过点，，且圆恒被直线平分. (1)求圆的一般方程： (2)设，是圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程，并说明表示何曲线? 【变式7.3】（2025高二·全国·专题练习）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点． (1)求圆的方程； (2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹． 模块五 与圆有关的对称问题 1．与圆有关的对称问题 (1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称. (2)圆关于点对称 ①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点. (3)圆关于直线对称 ①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线. 【题型8 与圆有关的对称问题】 【例8】（24-25高二上·江苏盐城·期中）圆，圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式8.1】（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式8.2】（24-25高二上·湖北十堰·期末）已知直线，圆． (1)求与垂直的的直径所在直线的一般式方程； (2)若圆与关于直线对称，求的标准方程． 【变式8.3】（24-25高二上·湖南衡阳·期末）已知圆经过和两点，且与轴的正半轴相切. (1)求圆的方程； (2)若圆与圆关于直线对称，求圆的方程. 一、单选题 1．（24-25高二上·北京密云·期末）圆心为且过原点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．，1 B．，1 C．， D．， 3．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·全国·课后作业）圆关于原点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·福建福州·期中）已知点在圆外，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D．∪ 6．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知圆的圆心在第二象限，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·重庆·开学考试）点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若、，的垂心为，则的九点圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·云南玉溪·期末）已知圆的一般方程为，则（   ） A．该圆圆心坐标为 B．该圆圆心坐标为 C．该圆半径为5 D．该圆半径为 10．（25-26高二上·全国·课后作业）已知表示圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．当时，半径 C．圆心到直线的距离为 D．当时，圆面积为 11．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆 及点，则下列说法中正确的是（    ） A．圆心的坐标为 B．点在圆外 C．若点在圆上，则直线PQ的斜率为 D．若是圆上任一点，则｜MQ｜的取值范围为 三、填空题 12．（25-26高二上·四川内江·开学考试）已知圆C的一条直径的两个端点为和，则圆C的标准方程是 . 13．（24-25高二上·广东·期中）已知，方程表示圆，则圆心坐标是 ． 14．（24-25高二上·甘肃·期末）若点是圆外的一点，则的取值范围是 ． 四、解答题 15．（2025高二上·全国·专题练习）写出下列圆的标准方程： (1)圆心是，且过点； (2)圆心是直线与的交点，半径长为． 16．（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）已知点，，. (1)求直线的一般方程； (2)求外接圆的一般方程. 17．（2025高二·全国·专题练习）已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 18．（24-25高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知点，直线与轴分别交于点，圆经过三点． (1)求圆的标准方程； (2)判断点是否在圆上． 19．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知的三个顶点分别是． (1)求的外接圆（为圆心）的标准方程： (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 圆的方程 【人教A版】 模块一 圆的方程 1．圆的定义 圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心，定长为半径). 圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小. 2．圆的标准方程 (1)圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程. (2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径. (3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此 在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程. 3．圆的一般方程 (1)方程叫做圆的一般方程. (2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因 此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程. 下列情况比较适用圆的一般方程： ①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F； ②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心代入圆心所在的直线 方程，求待定系数D，E，F. 【题型1 求圆的标准方程】 【例1】（24-25高二上·湖南永州·期末）圆的圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据已知条件设出圆心坐标及半径，再结合圆上两点的坐标得到方程组，解方程组即可求解. 【解答过程】因为圆的圆心在轴上，设圆的圆心为，半径为， 则圆的方程为，因为点、在圆上， 所以有，整理得：， 解得：，所以圆的方程为：. 故选：D. 【变式1.1】（24-25高二上·江西抚州·期末）圆心为且过点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据各项给定圆的方程确定圆心，判断是否在圆上即可. 【解答过程】由的圆心为，A错； 由的圆心为，B错； 由的圆心为，显然点在圆上，C对； 由的圆心为，D错； 故选：C. 【变式1.2】（24-25高二上·重庆渝中·期末）已知圆C经过两点，且圆心C在直线上，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，由求解. 【解答过程】解：设圆的标准方程为， 由题意得， 解得， 故圆的方程为， 故选：B. 【变式1.3】（24-25高二上·内蒙古包头·期末）过三点，，的圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用待定系数法可求圆的一般式方程，再化为标准方程即可. 【解答过程】设圆的方程为， 因为圆三点，，， 可得，解方程可得， 即圆的方程为，即圆的标准方程为. 故选：A. 【题型2 求圆的一般方程】 【例2】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知、，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出的中点和可得以为直径的圆的圆心坐标和半径，进而得所求圆的标准方程，再将其转化为一般方程即可得解. 【解答过程】已知、，则中点坐标为即. ， 所以以为直径的圆的圆心为，半径为. 所以圆的标准方程为，展开可得， 整理得. 故选：B. 【变式2.1】（24-25高二上·河南洛阳·期中）已知，，，则的外接圆方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设的外接圆方程为，代入三点坐标求出系数即可. 【解答过程】设的外接圆方程为， 因为，，， 所以，解得， 所以的外接圆方程为. 故选：D. 【变式2.2】（24-25高二·全国·课后作业）与圆同圆心，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据同圆心,可设圆的一般式方程为,代入点即可求解. 【解答过程】设所求圆的方程为，由该圆过点，得m＝4， 所以所求圆的方程为. 故选：B. 【变式2.3】（24-25高二下·黑龙江鹤岗·开学考试）圆心在直线上，且经过两圆和的交点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用圆系方程可求圆的方程. 【解答过程】由题可先设出圆系方程：， 则圆心坐标为； ， 又圆心在直线上，可得，解得， 所以圆的方程为：，故A正确. 故选：A. 【题型3 由圆的方程确定圆心和半径】 【例3】（24-25高二上·福建泉州·期中）圆的圆心坐标和半径分别是（    ） A．和 B．和2 C．和2 D．和 【答案】C 【解题思路】将方程化为圆的标准方程，即可得圆心和半径. 【解答过程】由，得，故圆心坐标为，半径为2. 故选：C. 【变式3.1】（24-25高二上·天津·阶段练习）圆的圆心和半径分别是（   ） A．；1 B．； C．；1 D．； 【答案】D 【解题思路】首先化简为圆的标准方程，再求圆心和半径. 【解答过程】将圆的方程化为标准方程为， 所以圆心为，半径为. 故选：D. 【变式3.2】（24-25高二上·全国·假期作业）求下列各圆的圆心坐标和半径： (1)； (2). 【答案】(1)圆心为，半径为； (2)圆心为，半径为3 【解题思路】根据题意，把圆的方程化为圆的标准方程，结合圆的标准方程，即可求解. 【解答过程】（1）解：圆，可得化为， 可得圆心坐标为，半径为. （2）解：圆，可得化为， 可得圆心坐标为，半径为. 【变式3.3】（24-25高二上·全国·课后作业）判断下列方程是否表示圆，若是，写出圆心和半径． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不是圆的方程 (2)不是圆的方程 (3)是圆的方程，圆心， (4)当时，不是圆的方程；当时，是圆的方程，圆心，. 【解题思路】圆的一般方程为：，其中系数相同，一般方程中不含有项，而且.圆心为，半径. 【解答过程】（1）由于的系数不相等，所以该二元二次方程表示的不是圆． （2）由于该二次方程中含有项，所以该二元二次方程表示的不是圆． （3）由于，所以该二元二次方程表示的是圆． 又由可得:圆心，半径． （4）， 当时，，不能表示圆的方程； 当时，，能表示圆的方程，此时圆心， 半径. 模块二 二元二次方程与圆的方程 1．二元二次方程与圆的方程 (1)二元二次方程与圆的方程的关系： 二元二次方程，对比圆的一般方程 ，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程. (2)二元二次方程表示圆的条件： 二元二次方程表示圆的条件是. 【题型4 二元二次方程表示圆的条件】 【例4】（24-25高二上·贵州铜仁·期末）已知方程表示圆，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据方程表示圆的条件列不等式，由此求得的取值范围. 【解答过程】依题意，， ，解得， 所以的取值范围是. 故选：B. 【变式4.1】（24-25高一下·浙江宁波·期末）“关于的方程：表示圆”是“”的（       ）条件 A．必要不充分 B．充要 C．充分不必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【解题思路】先得的表示圆时的的取值范围，从而得到结论. 【解答过程】由题意有， 所以或， 由于为或的真子集， 故方程表示圆是的必要不充分条件， 故选：A. 【变式4.2】（24-25高一下·重庆·期末）下列方程一定表示圆的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用二元二次方程表示圆的充要条件逐项判断. 【解答过程】对于A，方程表示点，A不是； 对于B，方程化为，此方程表示圆，B是； 对于C，当时，方程表示点，C不是； 对于D，方程化为表示两条平行直线，D不是. 故选：B. 【变式4.3】（24-25高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）若方程表示圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】当时，方程表示圆，代入可求得的取值范围. 【解答过程】由方程表示圆得，，解得或， 故的取值范围为. 故选：D. 【题型5 圆过定点问题】 【例5】（24-25高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果. 【解答过程】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 【变式5.1】（24-25高二上·浙江温州·期中）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（      ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【解题思路】设点，求出以为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标. 【解答过程】设点，则线段的中点为， 圆的半径为， 所以，以为直径为圆的方程为， 即，即， 由，解得或， 因此，以为直径的圆经过定点坐标为、. 故选：D. 【变式5.2】（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知圆经过，两点. (1)当，并且是圆的直径，求此时圆的标准方程； (2)如果是圆的直径，证明：无论a取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，求出这个定点坐标. 【答案】(1)； (2)定点坐标为，证明见解析. 【解题思路】（1）求出的坐标，根据两点间的距离公式求出，从而可求解； （2）设点是圆上任意一点，由是圆的直径，得，从而可求出圆的方程，即可得出结论 【解答过程】（1）当，，故，， 所以此时圆的标准方程为. （2）设点是圆上任意一点， 因为是圆的直径，所以， 即， 所以圆的方程为：， 则，，等式恒成立，定点为， 所以无论取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，定点坐标为. 【变式5.3】（24-25高二上·浙江绍兴·阶段练习）在平面直角坐标系中，设顶点坐标分别为，，，，（其中，），圆M为的外接圆． (1)当时，求圆M的方程； (2)当a变化时，圆M是否过某一定点？若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由； 【答案】(1) (2)过定点，理由见解析 【解题思路】（1）由待定系数法求解即可； （2）由圆M过某一定点得，求解即可 【解答过程】（1）设圆M的方程为：. ∵，，在圆M上， ∴，解得，，， 圆M的方程为： 当时，圆M的方程为：. （2）由（1）圆M的方程可化为：， 要使圆M过某一定点，∴，解得，， ∴圆M过定点. 模块三 点与圆的位置关系 1．点与圆的位置关系 (1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外. (2)圆A的标准方程为，圆心为，半径为；圆A的一般方程为 .平面内一点. 位置关系 判断方法 几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程) 点在圆上 |MA|=r (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2 点在圆内 |MA|<r (x0-a)2 +(y0-b) 2<r2 点在圆外 |MA|>r (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2 【题型6 点与圆的位置关系】 【例6】（24-25高二上·福建泉州·阶段练习）点与圆的位置关系是（    ） A．在外 B．在上 C．在内 D．不确定，与的取值有关 【答案】A 【解题思路】根据圆心与点的距离与半径的关系判断即可. 【解答过程】由圆心， 可得， 所以在外. 故选：A. 【变式6.1】（24-25高二上·安徽·期末）已知点在圆的外部，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据圆的方程及点在圆外有且，即可求参数范围. 【解答过程】由题设，圆，则①， 由点在圆外，则有②， 联立①②得：或 所以实数m的取值范围为 故选：C. 【变式6.2】（24-25高二上·浙江·期中）已知圆，其中，下列各点中一定在圆C内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用代入验证法确定正确答案. 【解答过程】由圆，可知，即， ，A选项正确， ，不一定小于0，B选项错误， ，不一定小于0，C选项错误， ，不一定小于0，D选项错误. 故选：A. 【变式6.3】（2025·四川绵阳·模拟预测）“或”是“定点在圆的外部”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】由定点在圆的外部得，求得k的取值范围，结合充分,必要条件的意义可得结论. 【解答过程】定点在圆的外部， ，化简得， k的取值范围：或， 所以或”是“定点在圆的外部”的必要不充分条件. 故选：B. 模块四 轨迹方程 1．轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量x,y之间的方程. (1)当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义(如圆)时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法(或称相关点法). (2)求轨迹方程时，一要区分"轨迹"与"轨迹方程"；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等. 2．求轨迹方程的步骤： (1)建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标； (2)列出关于x,y的方程； (3)把方程化为最简形式； (4)除去方程中的瑕点(即不符合题意的点)； (5)作答. 【题型7 轨迹问题——圆】 【例7】（24-25高二上·安徽六安·期末）已知定点，点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据中点关系，即可将代入圆的方程求解. 【解答过程】设，则，由于在上运动， 故，化简得， 故选：D. 【变式7.1】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知等腰三角形的一个顶点为，底边的一个端点为，则底边的另一个端点的轨迹方程为（   ） A．（且） B．（且） C．（且） D．（且） 【答案】B 【解题思路】设，利用两点间的距离公式整理化简得的轨迹方程，再去掉三点共线时的点坐标即可. 【解答过程】设，根据题意可知且三点不共线， 可得， 因此， 若三点共线，易知斜率存在，所以； 即，可得； 联立，解得或； 又因为三点不共线，所以且， 因此端点的轨迹方程为（且）. 故选：B. 【变式7.2】（24-25高二上·山西长治·阶段练习）已知圆经过点，，且圆恒被直线平分. (1)求圆的一般方程： (2)设，是圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程，并说明表示何曲线? 【答案】(1) (2)，的轨迹是一个圆 【解题思路】（1）根据条件，直接求出圆心和半径，即可求解； （2）画出图形，运用相关点法求解即可. 【解答过程】（1）直线恒过点. 因为圆恒被直线平分，所以恒过圆心， 所以圆心坐标为，又圆经过点， 所以圆的半径，所以圆的方程为，即. （2）设，因为为线段的中点，所以， 因为点是圆上的动点，所以， 即， 所以的轨迹是一个圆.    【变式7.3】（2025高二·全国·专题练习）已知圆的圆心在轴上，并且过，两点． (1)求圆的方程； (2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹． 【答案】(1) (2)以为圆心，为半径的圆 【解题思路】（1）从A，两点坐标可看出线段平行于轴，则它的垂直平分线垂直于轴，所以线段的垂直平分线与轴的交点为圆心,圆心到点的距离为半径，从而得到求圆C的方程． （2）设,,将向量式进行坐标表示，得到与，与的关系，因为点为圆上任意一点，所以利用圆的方程(即与关系)，进而得到与的关系(即点Q的轨迹方程)，从而得到点Q的轨迹. 【解答过程】（1）因为圆过A,B两点,所以圆心C在线段的垂直平分线上. 因为,所以线段的中点为,直线AB的斜率， 所以线段的垂直平分线斜率不存在,方程为:. 因为圆C的圆心在轴上,所以线段的垂直平分线与轴的交点为圆心,所以圆心为. 又半径，所以圆的方程为:． （2）设，．由，得, 所以即 因为点在圆上，所以，所以， 化简整理得的轨迹方程为:， 所以点的轨迹是:以为圆心，为半径的圆． 模块五 与圆有关的对称问题 1．与圆有关的对称问题 (1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称. (2)圆关于点对称 ①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点. (3)圆关于直线对称 ①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置. ②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线. 【题型8 与圆有关的对称问题】 【例8】（24-25高二上·江苏盐城·期中）圆，圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出圆心关于直线的对称点即可得解. 【解答过程】设，的圆心，半径， 由题意则与关于直线对称， 所以，解得， 所以圆的标准方程为， 故选：A. 【变式8.1】（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】首先确定圆心坐标，再求出两圆心的中点坐标与斜率，即可得到直线的斜率，再由点斜式计算可得. 【解答过程】圆的圆心为， 圆的圆心为， 所以、的中点坐标为，又， 则，所以直线的方程为，即. 故选：A. 【变式8.2】（24-25高二上·湖北十堰·期末）已知直线，圆． (1)求与垂直的的直径所在直线的一般式方程； (2)若圆与关于直线对称，求的标准方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求出圆的标准方程，由，设的方程，从而可求解. （2）设的圆心，由与关于直线对称得，从而可求解. 【解答过程】（1）将的方程转化为，可知的圆心为，半径为4． 因为，所以可设的一般式方程为， 将代入，解得， 故的一般式方程为． （2）设的圆心为，由与关于直线对称， 可得，解得 所以的标准方程为． 【变式8.3】（24-25高二上·湖南衡阳·期末）已知圆经过和两点，且与轴的正半轴相切. (1)求圆的方程； (2)若圆与圆关于直线对称，求圆的方程. 【答案】(1) (2). 【解题思路】（1）首先设圆的标准方程，再代入条件，即可求解； （2）首先求圆的圆心关于直线的对称点，即求圆的方程. 【解答过程】（1）根据题意设圆的方程为，其中. 将两点的坐标代入方程得， 解得. 因此圆的标准方程为； （2）因为圆与圆关于对称，所以两个圆的圆心关于对称，半径相等. 由（1）知圆的圆心为，设圆的圆心坐标为， 则， 解得：，，即 所以圆的方程为. 一、单选题 1．（24-25高二上·北京密云·期末）圆心为且过原点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据圆上一点到圆心的距离即为半径，即可写出圆的方程. 【解答过程】圆心为的圆的方程为， 又因为原点在圆上，则， 所以. 故选：D. 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．，1 B．，1 C．， D．， 【答案】B 【解题思路】配方得到圆的标准方程，得到圆心和半径. 【解答过程】， 故圆心为，半径为1. 故选：B. 3．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将方程化成，再利用条件，即可求解. 【解答过程】因为方程可变形为， 由题知，得到， 故选：C. 4．（25-26高二上·全国·课后作业）圆关于原点对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由圆的方程可求得圆心和半径，进而求得圆心关于原点对称的点的坐标，由此可得所求圆的圆心和半径，进而得到所求圆方程. 【解答过程】圆的圆心为，半径． 圆心关于原点的对称点为，即所求圆的圆心为，半径为5， 所以所求圆的方程为． 故选：B. 5．（24-25高二上·福建福州·期中）已知点在圆外，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D．∪ 【答案】B 【解题思路】根据二元二次方程表示圆及点在圆外列不等式求参数范围即可. 【解答过程】圆的方程可化为，则，可得， 又点在圆外，则，可得， 所以. 故选：B. 6．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知圆的圆心在第二象限，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由方程表示圆得，结合圆心在第二象限可得到结果. 【解答过程】由方程表示圆得，， 整理得，，解得. 由题意得，圆心坐标为，由圆心在第二象限得， 所以实数a的取值范围为. 故选：C. 7．（25-26高二上·重庆·开学考试）点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设点，结合中点坐标公式可得，进而代入即可求解. 【解答过程】设点，， 因为为的中点， 所以，则，即， 又因为动点在圆上，所以， 则，即， 则点轨迹方程为. 故选：A. 8．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）平面几何中有一个著名的定理：的三条高线的垂足、三边中点及三个顶点与垂心连线段的中点共圆，该圆称为的九点圆或欧拉圆，若、，的垂心为，则的九点圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据中点坐标公式求出、、三点坐标，再由待定系数法求出圆的一般方程，化为标准方程即可. 【解答过程】由，，，可得中点为，中点为，中点为， 设的九点圆方程为， 代入、、三点坐标，可得， 解得，，，即， 化简可得圆的标准方程为． 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高二上·云南玉溪·期末）已知圆的一般方程为，则（   ） A．该圆圆心坐标为 B．该圆圆心坐标为 C．该圆半径为5 D．该圆半径为 【答案】BD 【解题思路】利用配方法整理圆的方程，结合圆的标准方程，可得答案. 【解答过程】圆转化为，其圆心坐标为，半径为. 故选：BD. 10．（25-26高二上·全国·课后作业）已知表示圆，则下列结论正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．当时，半径 C．圆心到直线的距离为 D．当时，圆面积为 【答案】BC 【解题思路】写出圆的标准方程确定圆心和半径，再结合各项的描述判断正误. 【解答过程】将方程配方化为， 所以圆心为，半径为，故A错误； 当时，半径为，B正确； 圆心到直线的距离为，C正确； 当时，半径为3，圆面积为，D错误． 故选：BC. 11．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆 及点，则下列说法中正确的是（    ） A．圆心的坐标为 B．点在圆外 C．若点在圆上，则直线PQ的斜率为 D．若是圆上任一点，则｜MQ｜的取值范围为 【答案】BCD 【解题思路】对于A，将圆方程化为标准形式，可判断选项正误；对于B，将代入圆方程可判断选项正误；对于C，将点代入圆方程可得，然后由斜率计算公式可判断选项正误；对于D，当三点共线时，可得最值，据此可判断选项正误. 【解答过程】对于A，圆的标准方程为， 所以圆心坐标为，故A错误； 对于B，将代入圆方程，得，所以点在圆外.故B正确； 对于C，若点在圆上，则 ， 解得，则，所以直线PQ的斜率为．故C正确； 对于D，，因为是圆上任一点， 所以 ，所以的取值范围为． 故选：BCD. 三、填空题 12．（25-26高二上·四川内江·开学考试）已知圆C的一条直径的两个端点为和，则圆C的标准方程是 . 【答案】 【解题思路】求出圆心坐标与半径，即可求圆C的方程． 【解答过程】由题意，圆C的圆心为， 则半径为， 所以圆C的标准方程是. 故答案为：. 13．（24-25高二上·广东·期中）已知，方程表示圆，则圆心坐标是 ． 【答案】 【解题思路】由条件结合圆的一般方程的特点列关系式求，再确定圆心坐标. 【解答过程】因为方程表示圆， 所以①，②， 由①可得或． 当时，，不满足要求，舍去， 当时，，满足要求， 所以圆的方程为， 即，圆心为； 故答案为：. 14．（24-25高二上·甘肃·期末）若点是圆外的一点，则的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】根据点与圆的位置关系建立不等式组，解之即可求解. 【解答过程】圆的标准方程为， 又点是圆 外的一点， 所以，解得，即的取值范围是． 故答案为：. 四、解答题 15．（2025高二上·全国·专题练习）写出下列圆的标准方程： (1)圆心是，且过点； (2)圆心是直线与的交点，半径长为． 【答案】(1); (2). 【解题思路】本题考查的是圆的标准方程的求解，需要确定圆心坐标和半径长. 【解答过程】（1）设圆的半径为r（）， 则， 故圆的标准方程是． （2）圆心是两直线的交点， 解方程组，得， 所以圆心为，又半径长为， 所以圆的标准方程为． 16．（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）已知点，，. (1)求直线的一般方程； (2)求外接圆的一般方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据两点式直线方程的特征即可求解， （2）利用待定系数法即可列方程求解. 【解答过程】（1）由题意，得. 化简，得直线的一般式方程为. （2）设外接圆的一般方程为.① 因为，，三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①，于是， 得， 即，解得. 故所求圆的一般方程为. 17．（2025高二·全国·专题练习）已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析； 【解题思路】（1）当时，方程为表示一条直线，当时，化简整理已知方程，可知满足圆的方程； （2）将已知方程整理为，从而可得方程组，解方程组求得两定点坐标，结论可证得. 【解答过程】（1）当时，方程为表示一条直线． 当时，， 整理得， 由于， 所以时，方程表示圆. （2）证明：方程变形为， 由于取任何值，上式都成立，则有， 解得或， 所以曲线必过定点，， 即无论为何值，曲线必过两定点． 18．（24-25高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知点，直线与轴分别交于点，圆经过三点． (1)求圆的标准方程； (2)判断点是否在圆上． 【答案】(1) (2)点在圆上，点在圆外，点在圆内 【解题思路】（1）计算出直线与轴交点坐标后，借助待定系数法计算即可得圆的标准方程； （2）借助点到圆心的距离与半径的大小判断即可得. 【解答过程】（1）由题可得直线与轴的交点，又， 设所求圆的方程是， 由题意得，解得， 故圆的方程为． （2）由（1）得圆的方程为． 代入得，故点在圆上； 代入得，故点在圆外； 代入得，故点在圆内． 19．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知的三个顶点分别是． (1)求的外接圆（为圆心）的标准方程： (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【答案】(1) (2)，轨迹是以为圆心，半径为的圆. 【解题思路】（1）利用待定系数法求解圆的方程即可. （2）根据题干设的坐标是，点的坐标是，再由， 列出方程代入即可求得轨迹方程. 【解答过程】（1）设圆的方程为（其中） 因为三点都在圆上，可得 解得，满足， 所以所求圆的方程为，即 （2）设的坐标是，点的坐标是， 因为的坐标是，且， 所以，解得， 又因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，即， 代入得，整理得， 点的轨迹方程是，轨迹是以为圆心，半径为的圆. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $