精品解析：广东省梅州市丰顺县华侨中学2026届高三上学期第一次质检数学试题

丰顺县华侨中学高三第一学期第一次质检 数学试卷 时间：2025年9月 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 若a＞b，c＞d，则（ ） A. B. a－c＞b－d C. a－d＞b－c D. ac＞bd 4. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 6. 设是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 7. 若函数是奇函数，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 8. 已知正实数满足，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 在定义域内是增函数 B. 的最小正周期为 C. 函数的定义域是 D. 是图象的一个对称中心 10. 已知定义在上的偶函数在上单调递增，则可能为（ ） A. B. C. D. 11. 一般地，我们把形如的函数称为飘带函数，若飘带函数在上的最小值、最大值分别为和1.则对于函数下列说法正确的有（ ） A. 函数是上的增函数 B. 当时， C. 函数与轴只有两个交点 D. 函数的所有零点最大的为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 已知半径为的扇形面积为6，则扇形的圆心角为______ . 13. 位于灯塔的正西方向且相距50海里的处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔的东北方向的处有一艘乙船在甲船的北偏东方向上，则乙船前往支援处的甲船需要航行的最短距离是______海里. 14. 已知函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本大题共5小题，满分77分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. 已知． （1）求的值； （2）若，求的值． 16. 在锐角中，角的对边为，若． （1）求角的大小； （2）若为的中点，且，求的面积； 17. 已知二次函数． （1）若的解集为，分别求a，b的值； （2）解关于x的不等式． 18. 已知椭圆过点. （1）求椭圆的方程； （2）斜率为1的直线与椭圆交于两点，点P坐标为，直线与椭圆的另一个交点为点M，直线PD与椭圆的另一个交点为点N. ①已知点M坐标为，求点横坐标（用表示）； ②过点作于点G，是否存在定点Q，使得为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 19. 已知函数． （1）若直线与曲线相切，求的值； （2）讨论的零点个数； （3）若方程有两个解 证明:使得 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丰顺县华侨中学高三第一学期第一次质检 数学试卷 时间：2025年9月 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用交集运算求解即可. 【详解】由， 因为，所以 故选：A. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二倍角余弦公式直接求解即可. 【详解】. 故选：A. 3. 若a＞b，c＞d，则（ ） A. B. a－c＞b－d C. a－d＞b－c D. ac＞bd 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，或举出反例，逐一检验选项即可. 【详解】 选项A：若，则.所以选项错误. 选项B：若,满足，但是.所以选项B错误. 选项C：因为所以又因为，所以所以选项C正确 选项D：若,满足，但是,所以选项D错误. 故选：C. 4. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理可求得AC的长. 【详解】在中，，由余弦定理得： ，所以. 故选：C. 5. 已知，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】将已知等式变形为，然后使用常数代换法，结合基本不等式可得. 【详解】由得，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为8. 故选：D 6. 设是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和周期可得，再利用解析式即可求解. 【详解】是定义在上且周期为2的奇函数， ， 当时，，， . 故选：B. 7. 若函数是奇函数，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据化简即可得解. 【详解】因为是奇函数，定义域关于原点对称， 所以对任意,， 即， 解得. 故选：D 8. 已知正实数满足，则的最小值是（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，代入得，再由均值不等式求解即可. 【详解】由，，可得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 在定义域内是增函数 B. 的最小正周期为 C. 函数的定义域是 D. 是图象的一个对称中心 【答案】BCD 【解析】 【分析】举反例判断A；由正切函数最小正周期公式求解判断B；通过整体代换求出函数的定义域即可判断C；根据正切函数的对称中心求解判断D. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，的最小正周期为，故B正确； 对于C，由，可得：，故C正确； 对于D，令，解得，则函数图象的对称中心为， 令得，故是图象的一个对称中心，故D正确． 故选：BCD 10. 已知定义在上的偶函数在上单调递增，则可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】由定义域判断A，由复合函数的单调性判断B，根据函数的定义域、奇偶性、单调性判断CD. 【详解】的定义域为，不是，不符合题意，故A错误； 令，则在上函数单调递增，且，而单调递减， 由复合函数的单调性知在上单调递减，故B错误； 的定义域为，且，所以函数为偶函数， 又当时，单调递增，故C正确； ，所以函数的定义域为，且，函数为偶函数， 当时，，由幂函数性质知，函数为增函数，故D正确. 故选：CD 11. 一般地，我们把形如的函数称为飘带函数，若飘带函数在上的最小值、最大值分别为和1.则对于函数下列说法正确的有（ ） A. 函数是上的增函数 B. 当时， C. 函数与轴只有两个交点 D. 函数的所有零点最大的为 【答案】BCD 【解析】 【分析】分类讨论，由函数的单调性求解参数的值，将函数的零点问题和函数与轴的交点个数转化为方程的根的问题求解，逐一判断各选项即可. 【详解】飘带函数在上的最小值、最大值分别为和1. 对于A，B，当时，是上的增函数， 所以，解得； 当时，是上的减函数， 所以，解得；故A错误，B正确； 对于C，令，即，则， 因为，所以，函数与轴有两个交点，故C正确； 对于D，由上可知，当时，函数零点为. 当时，函数零点为，故函数的所有零点最大的为，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 已知半径为的扇形面积为6，则扇形的圆心角为______ . 【答案】4 【解析】 【分析】利用扇形的面积公式建立方程，求解圆心角即可. 【详解】设扇形的圆心角为，且半径为的扇形面积为6， 由扇形的面积公式得，解得，则扇形的圆心角为. 故答案为：4 13. 位于灯塔的正西方向且相距50海里的处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔的东北方向的处有一艘乙船在甲船的北偏东方向上，则乙船前往支援处的甲船需要航行的最短距离是______海里. 【答案】 【解析】 【分析】根据题设画出示意图，利用正弦定理可得. 【详解】依题意，画出示意图如下，，， 在中，，由正弦定理得， 因此（海里）， 故答案为：. 14. 已知函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次不等式恒成立的条件即可求解. 【详解】要使有意义，则有， 函数的定义域为实数集，在上恒成立， 当时，，恒成立； 当时，则有，解得； 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，满分77分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. 已知． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由同角三角函数基本关系可得，然后由两角差的余弦公式可得答案； （2）由同角三角函数基本关系可得，然后由两角差的正弦公式可得答案. 【小问1详解】 因，则. 从而； 【小问2详解】 因，则. 从而. 16. 在锐角中，角的对边为，若． （1）求角的大小； （2）若为的中点，且，求的面积； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题目条件以及正弦定理和余弦定理计算可得； （2）利用向量法求得中线的向量表示，再由中线长即可得，结合面积公式可得. 【小问1详解】 由可得， 由正弦定理可得，即； 由余弦定理可得， 所以，又， 可得 【小问2详解】 若为的中点，可得， 又，所以； 由（1）中，可得， 所以，解得； 可得的面积. 17. 已知二次函数． （1）若的解集为，分别求a，b的值； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1）； （2） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 【解析】 【分析】（1）由题意可知1，b是方程的根，结合韦达定理即可求得答案. （2）求出的两根，分类讨论a的范围，根据两根的大小，即可求得答案. 【小问1详解】 由的解集为，则1，b是方程的根，且， 由，解得；由，解得， 所以. 【小问2详解】 由二次函数，知， 不等式整理得，即， 当时，不等式等价于， 当，即时，解得或； 当，即时，解得或； 当，即时，解集为或； 当时，不等式等价于，解得， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 18. 已知椭圆过点. （1）求椭圆的方程； （2）斜率为1的直线与椭圆交于两点，点P坐标为，直线与椭圆的另一个交点为点M，直线PD与椭圆的另一个交点为点N. ①已知点M坐标为，求点横坐标（用表示）； ②过点作于点G，是否存在定点Q，使得为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）①；②存在， 【解析】 【分析】（1）将点代入椭圆方程即可求解； （2）①设直线的方程为，与椭圆方程联立，结合韦达定理化简求解即可； ②计算可得，设，可得，结合化简得到，设直线，进而得到直线过定点，进而求解即可. 【小问1详解】 由题意，，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 ①设直线的方程为， 且，，即， 联立，得， 则，即， 且， 则 ， 即点横坐标为. 由①知，，， 则，即， 设，与①同理可得， 则 ， 则， 设直线， 则， 则， 又，则， 则直线， 所以直线过定点， 则为中点时，则， ，则， 因此，存在定点，使得为定值. 19. 已知函数． （1）若直线与曲线相切，求的值； （2）讨论的零点个数； （3）若方程有两个解 证明:使得 【答案】（1）1 （2） 当或直线与函数的图象有1个交点，则的零点个数为1， 当时，直线与函数的图象有2个交点，则的零点个数为2， 当时，直线与函数的图象没有交点，则的零点个数为0. （3） 由可得， 要证，只需要证明在的值域是一个包含1的区间即可， 由题意，即， 由（2）知，且在单调递减， 注意到， 即得证. 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解方程得解； （2）分离参数，即可求导，根据函数的单调性，结合函数的图象即可求解； （3）根据（2）的结论，将问题转化为在的值域是一个包含1的区间即可. 【小问1详解】 设切点为则故， 又，则，即， 解得，故. 【小问2详解】 令，则， 令，则， 当在单调递增， 当在单调递减， 当时，取极大值，， 且当， 作出函数的大致图象如下： 由图象可知：当或直线与函数的图象有1个交点，则的零点个数为1， 当时，直线与函数的图象有2个交点，则的零点个数为2， 当时，直线与函数的图象没有交点，则的零点个数为0. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $