2.2.2有理数的除法（基础练+提升练+拓展练+达标检测）2025-2026学年人教版七年级上学期数学大单元教学分层优化练

2025学年人教版七年级数学大单元教学分层优化练 2.2.2有理数的除法（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1 有理数除法法则 ①有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数. ②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． 要点诠释： 避免除数为0的情况，确保运算合法性。 结果需根据符号法则和绝对值运算综合判断，确保符号与数值正确 题型1 有理数的除法法则的辨析 例1．两个数的商是负数，则这两个数的积是（    ） A．正数 B．负数 C．零 D．以上三种结论都有可能 【变式1-1】．如果，，那么下列成立的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-2】．三个有理数进行乘除运算，结果是正数，其中负数最多可以有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式1-3】．两个数的商是负数，则这两个数（    ） A．都是正数 B．都是负数 C．异号 D．无法判断正负 知识点2 有理数除法运算 除法步骤： ①将除号变为乘号。 ②将除数变为它的倒数。 ③按照乘法法则进行计算 要点诠释： 先定符号，再计算绝对值，最后化简结果（如分数最简形式）。 题型2有理数除法运算 例2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)． 【变式2-1】．计算：． 【变式2-2】．计算： (1)． (2)． ． 【变式2-3】．计算： (1)； (2)． 知识点3 利用有理数除法的应用 分数化简： 分数的化简，就是将分数改写成分子除以分母的除法运算，利用有理数的除法法则进行化简。 分数的符号法则： 分数的分子、分母、分数本身的符号，改变其中任意两个，分数的值不变。 要点诠释： 1.符号处理 同号得正，异号得负：根据被除数与除数的符号关系确定结果符号。若两者同号（均为正或均为负），结果为正；若异号，则结果为负。 2 .0作除数无意义：0除以任何非零数结果为0，但0不能作为除数。 3.分数化简步骤 分数除法转化为乘法后约分：将分子分母的公因数约去，达到最简形式。 题型3有理数除法的应用 例3．下列分数中，能化为有限小数的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】．化简：（1）（ ）（ ） ； （2）（ ）（ ） ． 【变式3-2】．阅读把十进制的11转化为二进制的方法，，，，，所以，把转化为二进制为 ． 【变式3-3】．化简： (1) (2) (3) (4) 题型4 有理数乘除的简算 例4．脱式计算下列各题，怎样简便就怎样运算， (1) (2) (3) 【变式4-1】．递等式计算（能简算的要简算）． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【变式4-2】．用简便方法计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【变式4-3】．简便计算 (1) (2) 题型5有理数除法的实际应用 例5．一只蜗牛从一口深的枯井底部往上爬，从井底到井口要用12天时间，则蜗牛平均每天往上爬 m． 【变式5-1】．小食堂买来一袋千克的大米，天用了千克．照这样计算，这袋大米一共可以吃 天． 【变式5-2】．已知酒精凝固的温度是，现有一杯酒精的温度为，放在一个制冷装置里，每分钟温度可降低，要使这杯酒精的温度降至凝固点，至少需要 分钟． 【变式5-3】．某编织组原来30人10天生产150顶花竹帽，现在增加到120人，按照原来的速度，生产900顶花竹帽需要多少天？ 题型6 利用倒数法进行有理数除法运算 例6．阅读下列材料： 计算：． 解法①：原式． 解法②：原式． 解法③：原式的倒数．所以，原式． (1)上述得到的结果不同，你认为解法__________是错误的；（填序号） (2)请你选择喜欢的解法计算：． 【变式6-1】．请你认真阅读下列材料：计算： 解：因为原式的倒数为 ． 所以原式 根据你对所提供材料的理解，计算下面的题目： 【变式6-2】．计算：． 【变式6-3】．阅读下面的材料． 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为， 其值， 原式． (1)上述解法中．你认为解法 是错误的．在正确的解法中，你认为解法 较简便．（填“一”、“二”或“三”） (2)请用你认为简便的方法计算：． 题型7与有理数除法有关的新定义运算 例7．定义新运算“※”：对于有理数a，b（a，b都不为0），．例如：．求的值． 【变式7-1】．定义一种新运算：，如，按照上述定义计算的值． 【变式7-2】．对有理数定义运算“”如下：．如． （1）求． （2）求的值． 【变式7-3】．对于有理数a，b（a，b都不为0）定义运算“△”：．例如：，求的值． 题型8有理数除法中分类思想 例8． “分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的两个问题． 例：三个有理数a，b，c满足，求的值． 解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a，b，c都是正数，即，，时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则：， 综上述：的值为3或． 请运用分类讨论的数学思想方法解答下面的问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求值． (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值． ． 【变式8-1】．有理数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，把运算符号“”填入“□”中，使运算结果最大，应该填入的符号是（   ） A．+ B． C．× D．÷ 【变式8-2】． （）的所有可能的值有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式8-3】．设a，b，c是不为零的实数，那么的值有（    ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 例9．概率学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作“的圈4次方”． 初步探究 (1)直接写出计算结果：　　、　　； (2)关于除方，下列说法错误的是 ． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1； C． ； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算 (3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． 的圈4次方　　； 的圈6次方　　； (4)想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式＝        ； (5)算一算：． 【变式9-1】．材料一：若一个四位数M的各个数位数字之和为16，并且千位数字与十位数字之差的绝对值等于2，百位数字与个位数字之差的绝对值等于2，则这个四位数M为“差2数”． 例如：，∵，且，∴6244是“差2数”． 又如：，∵，∴4725不是“差2数”． 材料二：若一个四位数N的各个数位数字成比例，则这个四位数N为“成比例数”． 例如：，∵各个数位数字由小到大排列后为1，2，3，6，满足，∴1362为“成比例数”． 又如：，∵各个数位数字由小到大排列后为1，2，3，4，，∴4312不是“成比例数”． (1)1735是“差2数”吗？是“成比例数”吗？请说明理由； (2)若一个四位数Q既是“差2数”，又是“成比例数”，请求出所有满足条件的Q． 【变式9-2】．计算： 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．计算：则*等于（   ） A． B．1 C． D． 2．计算：（    ） A． B． C．4 D．8 3．有理数a，b在数轴上的对应点的位置（b在原点左侧，a在原点右侧，且），则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列算式中，运算过程错误的是（   ） A． B． C． D． 5．的倒数与4的相反数的商为（ ） A．5 B． C． D． 6．已知，则的最大值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 7．下列各计算，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 8．要使算式的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为（    ） A．+ B．﹣ C．× D．÷ 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．如果a和b互为倒数，那么的值是 ． 10．已知有一个新算符“”，使下列算式，那么 11．如果，则，，的大小关系为 ． 12．计算 ． 13．某工人与老板签订了一份30天的劳务合同：出勤一天可得报酬240元，缺席一天则要从所得报酬中扣掉60元，扣完为止．该工人合同到期后没有拿到报酬，那么他最多出勤 天． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．直接写得数． ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 15．“题载思想”，刘聪同学常对自己的错题进行“究错”，以下是摘自她的一篇究错日记，请你对刘聪所编的习题进行解答． 【错题日期】 9月23日 【错题来源】 当堂测验 【错题重现】 用简便方法计算： 【所属考点】 有理数的运算 【错因分析】 有理数的加法运算算理不透，误把写成，导致本题错误． 【刘聪编题】 用简便方法计算： 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．某市今年2月某一周内三天的最高气温与最低气温记录如下表： 星期 二 四 六 最高气温（℃） 0 最低气温（℃） (1)分别计算本周这三天的温差； (2)本周这三天最高气温的平均温度比最低气温的平均温度高多少？ 18．随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭．小明家中买了一辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程（如下表），以50千米为标准，多于50千米的记为“”，不足50千米的记为“”，刚好50千米的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（千米） 0 (1)请求出这七天中平均每天行驶多少千米？ (2)若每行驶100千米需用汽油6升，汽油价元/升，请估计小明家一个月（按30天计）的汽油费用是多少元？ 19．【阅读材料】 当有理数不等于0时，规定 … 特别地，． 【解决问题】计算： (1)． (2)． 20．综合与实践 【主题】折纸． 【素材】已知在纸面上有一数轴（如图所示），折叠纸面． 【实践操作】 操作1：在纸面上有如图所示的一数轴，折叠纸面，若数轴上数1表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数2表示的点重合． 操作2：现打开纸面后，再次折叠．使数轴上数表示的点与数0表示的点重合．数轴上两点折叠后重合，两点折叠后重合． 【实践探索】 (1)在操作2中，数轴上数3表示的点与数_____表示的点重合； (2)若点到原点的距离是5个单位长度，求点表示的数； (3)若数轴上两点之间的距离为20且点表示的数比点表示的数大，现有一只电子蚂蚁从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向射线的方向运动，求当电子蚂蚁所在位置到点的距离为4时，电子蚂蚁所用的时间为多少秒？ B 抓核心 三大题型提升练 C 促拓展 能力强化拓展练 达标检测 A 夯基础 五大题型提分练 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版七年级数学大单元教学分层优化练 2.2.2有理数的除法（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点1 有理数除法法则 ①有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数. ②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． 要点诠释： 避免除数为0的情况，确保运算合法性。 结果需根据符号法则和绝对值运算综合判断，确保符号与数值正确 题型1 有理数的除法法则的辨析 例1．两个数的商是负数，则这两个数的积是（    ） A．正数 B．负数 C．零 D．以上三种结论都有可能 【答案】B 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的乘除法法则，解题的关键是根据商的符号判断两数的符号关系． 先由商为负数判断两数符号，再依据乘法法则确定积的符号． 【详解】解：根据有理数的除法法则：两数相除，同号得正，异号得负．已知两个数的商是负数，所以这两个数异号． 再根据有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负．因为这两个数异号，所以它们的积是负数． 故选：B． 【变式1-1】．如果，，那么下列成立的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】有理数加法运算、有理数的除法运算 【分析】本题主要考查了有理数的加法、除法运算法则，熟知两种运算的法则是正确解答此题的关键． 根据有理数加法法则：①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，依此即可作出判断． 【详解】解：， ，同为正或同为负， ， ，同为负，即：，； 故选：C． 【变式1-2】．三个有理数进行乘除运算，结果是正数，其中负数最多可以有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】多个有理数的乘法运算、有理数的除法运算 【分析】本题考查有理数乘除法．根据题意利用“同号得正，异号得负”即可得到本题答案． 【详解】解：由题意得： 三个有理数进行乘除运算，结果是正数，其中负数最多有2个， 故选：C． 【变式1-3】．两个数的商是负数，则这两个数（    ） A．都是正数 B．都是负数 C．异号 D．无法判断正负 【答案】C 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的除法运算，掌握有理数的除法法则是解题的关键． 根据有理数的除法法则：“两数相除，同号得正，异号得负”可知，若商为负数，则两数符号相反． 【详解】解：两数相除时，若符号相同（同为正或同为负），商为正数；若符号不同（一正一负），商为负数． A（都是正数）和B（都是负数）均为同号，则商必为正数，与题意矛盾，故A、B错误． C、商为负数时，两数必为一正一负，即异号，故C正确． D、商为负数时符号关系明确，故D错误． 故选：C． 知识点2 有理数除法运算 除法步骤： ①将除号变为乘号。 ②将除数变为它的倒数。 ③按照乘法法则进行计算 要点诠释： 先定符号，再计算绝对值，最后化简结果（如分数最简形式）。 题型2有理数除法运算 例2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)． 【答案】(1) (2)3 (3) (4) (5)5 (6) (7) (8) (9)27 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的除法运算，1、除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数；2、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除（0除以任何一个非0的数，都得0）． 利用有理数的除法法则逐题计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ； （9）解： 【变式2-1】．计算：． 【答案】3 【知识点】有理数的除法运算 【分析】先化除法为乘法，后计算即可． 本题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式2-2】．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的除法运算，解决本题的关键是掌握有理数除法运算法则. （1）先定符号，将带分数转化为假分数，再将除法转化为乘法进行运算. （2）先定符号，将分数转化为转化为整数加分数，再利用乘法分配律简便运算. 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 【变式2-3】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查有理数除法运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）按照有理数除法的运算法则计算即可； （2）按照有理数除法的运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 知识点3 利用有理数除法的应用 分数化简： 分数的化简，就是将分数改写成分子除以分母的除法运算，利用有理数的除法法则进行化简。 分数的符号法则： 分数的分子、分母、分数本身的符号，改变其中任意两个，分数的值不变。 要点诠释： 1.符号处理 同号得正，异号得负：根据被除数与除数的符号关系确定结果符号。若两者同号（均为正或均为负），结果为正；若异号，则结果为负。 2 .0作除数无意义：0除以任何非零数结果为0，但0不能作为除数。 3.分数化简步骤 分数除法转化为乘法后约分：将分子分母的公因数约去，达到最简形式。 题型3有理数除法的应用 例3．下列分数中，能化为有限小数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数除法的应用 【分析】本题考查有理数的除法，分数和小数的互化，解题的关键是利用有理数的除法法则计算即可作出判断． 【详解】解：A．，化成的小数是无限循环小数，故此选项不符合题意； B．，化成的小数是无限循环小数，故此选项不符合题意； C．，化成的小数是有限小数，故此选项符合题意； D．，化成的小数是无限循环小数，故此选项符合题意． 故选：C． 【变式3-1】．化简：（1）（ ）（ ） ； （2）（ ）（ ） ． 【答案】 144 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查的是有理数的除法运算， （1）根据分数线的含义先化为除法运算，再计算即可； （2）根据分数线的含义先化为除法运算，再计算即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：，， （2）； 故答案为：，，144 【变式3-2】．阅读把十进制的11转化为二进制的方法，，，，，所以，把转化为二进制为 ． 【答案】 【知识点】有理数除法的应用 【分析】本题考查了十进制与二进制的转换（有理数除法的应用），熟练掌握十进制与二进制的转换方法及有理数的运算法则是解题的关键． 根据题意，将除以，得到商和余数，然后如此反复，即：，，，，，将余数从下往上排列，即可得到二进制数． 【详解】解：根据十进制的11转化为二进制的方法可知： ，，，，， 转化为二进制为， 故答案为：． 【变式3-3】．化简： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)9 (2) (3)4 (4) 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据两数相除，同号得正，异号得负，并把两数的绝对值相除，即可得出答案； （2）根据两数相除，同号得正，异号得负，并把两数的绝对值相除，即可得出答案； （3）根据两数相除，同号得正，异号得负，并把两数的绝对值相除，即可得出答案； （4）根据两数相除，同号得正，异号得负，并把两数的绝对值相除，即可得出答案； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型4 有理数乘除的简算 例4．脱式计算下列各题，怎样简便就怎样运算， (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算、有理数乘除中的简便运算 【分析】本题考查了运算定律与简便运算，四则混合运算；关键掌握运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律简便计算． ()先算小括号里面的减法，再算中括号里面的加法，最后算中括号外面的乘法； ()根据除法的性质 进行简算； ()根据乘法分配律进行简算； 【详解】（1）解： （2） （3） 【变式4-1】．递等式计算（能简算的要简算）． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】有理数加减中的简便运算、有理数乘法运算律、有理数四则混合运算、有理数乘除中的简便运算 【分析】本题考查有理数的四则运算，有理数乘法运算律，有理数加法中的简便计算，有理数除法的简便计算，解题的关键是熟练掌握运算法则和简便计算． （1）按照运算法则计算即可； （2）按照有理数的乘法分配律计算即可； （3）按照有理数的乘法结合律计算即可； （4）按照有理数的乘法分配律计算即可； （5）除数和被除数同时乘，再相除即可； （6）把分成个，分别与另外个数相加，再计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 【变式4-2】．用简便方法计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数四则混合运算、有理数乘除中的简便运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要注意使用运算律进行简便运算. （1）使用乘法交换律进行简便运算； （2）使用乘法交换律进行简便运算； （3）先确定符号以及统一为假分数形式，再使用乘法交换律进行简便运算； （4）先确定符号以及统一为假分数形式，再使用乘法交换律进行简便运算； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式4-3】．简便计算 (1) (2) 【答案】(1)34 (2) 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算、有理数乘除中的简便运算 【分析】本题主要考查了除法的性质、有理数混合运算、有理数乘法运算律等知识点，掌握相关运算法则和性质是解题的关键． （1）根据除法的性质“一个数连续除以两个数，等于这个数除以这两个数的积”进行简便运算即可； （2）先对原式进行变形，然后再运用有理数的乘法运算律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型5有理数除法的实际应用 例5．一只蜗牛从一口深的枯井底部往上爬，从井底到井口要用12天时间，则蜗牛平均每天往上爬 m． 【答案】/ 【知识点】有理数除法的应用 【分析】本题主要考查了利用有理数的除法运算解决实际问题，解题的关键是熟练掌握有理数除法法则． 利用有理数除法法则进行求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 故答案为：． 【变式5-1】．小食堂买来一袋千克的大米，天用了千克．照这样计算，这袋大米一共可以吃 天． 【答案】 【知识点】有理数除法的应用 【分析】本题考查有理数除法的应用，根据“天用了千克”，用除以算出一天吃千克，照这样计算，千克除以算出这袋大米一共可以吃几天．正确理解题意并列式计算是解题的关键． 【详解】解：（千克）， （天）， ∴这袋大米一共可以吃天． 故答案为：． 【变式5-2】．已知酒精凝固的温度是，现有一杯酒精的温度为，放在一个制冷装置里，每分钟温度可降低，要使这杯酒精的温度降至凝固点，至少需要 分钟． 【答案】85 【知识点】有理数除法的应用 【分析】本题主要考查有理数除法的应用，解题的关键是理解题意；由题意可得，然后进行求解即可． 【详解】解：由题意得：（分钟）； 故答案为85． 【变式5-3】．某编织组原来30人10天生产150顶花竹帽，现在增加到120人，按照原来的速度，生产900顶花竹帽需要多少天？ 【答案】15天 【知识点】有理数除法的应用 【分析】本题考查了有理数除法的应用，熟练掌握有理数的除法运算是解题的关键；根据工程问题“工作效率工作总量（工作人员数量工作时间）”求得每个人每天生产花竹帽的数量再根据“工作时间工作总量（工作人员数量工作效率）”即可求解. 【详解】解：（天）． 故答案为：生产顶花竹帽需要15天． 题型6 利用倒数法进行有理数除法运算 例6．阅读下列材料： 计算：． 解法①：原式． 解法②：原式． 解法③：原式的倒数．所以，原式． (1)上述得到的结果不同，你认为解法__________是错误的；（填序号） (2)请你选择喜欢的解法计算：． 【答案】(1)① (2) 【知识点】倒数、有理数乘法运算律、有理数的除法运算 【分析】本题主要考查的是有理数的除法运算，有理数乘法的分配律的应用，熟练掌握运算法则与运算顺序是解题的关键． （1）由除法没有分配律可判断解法①是错误的；； （2）利用题干解法③计算． 【详解】（1）解：解法①是错误的，因为除法没有分配律，所以解法①没有计算依据，故错误， 故答案为：①； （2）解：原式的倒数 ， 故． 【变式6-1】．请你认真阅读下列材料：计算： 解：因为原式的倒数为 ． 所以原式 根据你对所提供材料的理解，计算下面的题目： 【答案】 【知识点】倒数、有理数乘法运算律、有理数的除法运算、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．表示出原式的倒数，先将除法转化为乘法，然后利用乘法分配律求出值，进而确定出所求即可． 【详解】解：原式的倒数 ． ∴原式． 【变式6-2】．计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律、有理数的除法运算、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数乘除的简便运算，根据原式加号前后两部分互为倒数，运用有理数乘除的运算法则计算出后面部分即可得解． 【详解】解： ， ∵与互为倒数的关系， ∴， ∴原式． 【变式6-3】．阅读下面的材料． 计算：． 解法一：原式． 解法二：原式． 解法三：原式的倒数为， 其值， 原式． (1)上述解法中．你认为解法 是错误的．在正确的解法中，你认为解法 较简便．（填“一”、“二”或“三”） (2)请用你认为简便的方法计算：． 【答案】(1)一，三； (2) 【知识点】倒数、有理数乘法运算律、有理数的除法运算 【分析】（1）判断三种解法的正误，依据除法运算性质，除法没有分配律，所以解法一错误；再比较解法二和解法三，解法三通过求倒数，利用乘法分配律计算更简便． （2）借鉴（1）中简便的解法三，先求原式的倒数，再利用乘法分配律计算倒数的值，最后得出原式的值． 本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． 【详解】（1）解：上述解法中．我认为解法一是错误的．在正确的解法中，你认为解法三较简便 故答案为：一，三； （2）解：原式的倒数为： ， 故原式． 题型7与有理数除法有关的新定义运算 例7．定义新运算“※”：对于有理数a，b（a，b都不为0），．例如：．求的值． 【答案】． 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查的是新定义运算，有理数的除法运算，理解新定义运算的运算法则与运算顺序是解本题的关键．先根据定义计算括号内的，再根据定义进行下一步的计算，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴ ． 【变式7-1】．定义一种新运算：，如，按照上述定义计算的值． 【答案】27 【知识点】有理数的减法运算、有理数的除法运算 【分析】根据新定义的运算求解即可． 【详解】解： ． 【变式7-2】．对有理数定义运算“”如下：．如． （1）求． （2）求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的除法，熟练掌握有理数除法的运算法则是解题关键. 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 . 【变式7-3】．对于有理数a，b（a，b都不为0）定义运算“△”：．例如：，求的值． 【答案】 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查定义新运算．根据新运算的法则，列出算式，进行计算，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得： ， ∴． 题型8有理数除法中分类思想 例8． “分类讨论”是一种重要数学思想方法，下面是运用分类讨论的数学思想解问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的两个问题． 例：三个有理数a，b，c满足，求的值． 解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当a，b，c都是正数，即，，时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，不妨设，，， 则：， 综上述：的值为3或． 请运用分类讨论的数学思想方法解答下面的问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求值． (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 【答案】(1)或0 (2)1 【知识点】绝对值的几何意义、有理数加法运算、有理数的除法运算 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的加法，有理数的乘法法则，根据分类讨论的思想方法，能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键． （1）对、进行讨论，即、同正，、同负，、异号，根据绝对值的意义计算得到结果； （2）根据，，是有理数，，把求转化为求的值，根据得结果． 【详解】（1）解：已知，是有理数，当时，可分为四种情况： ①若，，； ②若，，； ③若，，； ④若，，． 故的值为或0； （2）解：因为，，是有理数，，， 所以，，，且，，有两个负数一个正数， 不妨设，，， 则． 【变式8-1】．有理数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，把运算符号“”填入“□”中，使运算结果最大，应该填入的符号是（   ） A．+ B． C．× D．÷ 【答案】B 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、有理数的减法运算、两个有理数的乘法运算、有理数的除法运算 【分析】本题考查了数轴，有理数的四则运算，根据数轴得到，再根据有理数的四则运算法则判断即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴，，，， ∴使运算结果最大，应该填入的符号是， 故选：B． 【变式8-2】． （）的所有可能的值有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】求一个数的绝对值、有理数的除法运算 【分析】本题考查了绝对值，分类讨论是解题的关键． 根据绝对值的性质，可化简绝对值，根据有理数的除法，可得出答案． 【详解】解：当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，， 故（）的所有可能的值有共3个． 故选：C． 【变式8-3】．设a，b，c是不为零的实数，那么的值有（    ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数的除法运算、有理数四则混合运算 【分析】本题考查的是绝对值的含义，有理数的混合运算，分情况讨论：三个数分为三个正数或三个负数或两个正数，一个负数或两个负数，一个正数；再进一步分析并计算即可. 【详解】解：∵a，b，c是不为零的实数， ∴三个数分为三个正数或三个负数或两个正数，一个负数或两个负数，一个正数； 当三个数为三个正数时， ∴， 当三个数为三个负数时， ∴， 当三个数为两个正数，一个负数时， 当，，时， ∴， 当，，时或，，时， ∴， 当三个数为两个负数，一个正数； 当，，时， ∴， 当，，或，，， ∴， 综上：的值有4种； 故选：B 例9．概率学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作“的圈4次方”． 初步探究 (1)直接写出计算结果：　　、　　； (2)关于除方，下列说法错误的是 ． A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1； C． ； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算 (3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． 的圈4次方　　； 的圈6次方　　； (4)想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式＝        ； (5)算一算：． 【答案】(1) (2)C (3)（﹣）2，（﹣）4； (4)（）n﹣2； (5) 【知识点】有理数除法的应用、有理数幂的概念理解、含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）分别按公式进行计算即可； （2）根据定义依次判定即可； （3）把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数开始依次变为倒数，由此分别得出结果； （4）结果前两个数相除为1，第三个数及后面的数变为，则； （5）将（2）中规律代入计算，注意运算顺序． 【详解】（1）解：， ． 故答案为：，； （2）解：、任何非零数的圈2次方就是两个相同的非零数相除，所以都等于1；故选项说法正确； 、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数，都等于1；故选项说法正确； 、，，则；故选项说法错误； 、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．故选项说法正确； 故答案为：C； （3）解：将写成幂的形式为：， 的圈4次方， 5的圈5次方； 的圈6次方． 故答案为：，； （4）解：． 故答案为：； （5）解： ． 【点睛】本题考查了新运算．解决问题的关键是掌握新运算的法则，理解新运算的意义． 【变式9-1】．材料一：若一个四位数M的各个数位数字之和为16，并且千位数字与十位数字之差的绝对值等于2，百位数字与个位数字之差的绝对值等于2，则这个四位数M为“差2数”． 例如：，∵，且，∴6244是“差2数”． 又如：，∵，∴4725不是“差2数”． 材料二：若一个四位数N的各个数位数字成比例，则这个四位数N为“成比例数”． 例如：，∵各个数位数字由小到大排列后为1，2，3，6，满足，∴1362为“成比例数”． 又如：，∵各个数位数字由小到大排列后为1，2，3，4，，∴4312不是“成比例数”． (1)1735是“差2数”吗？是“成比例数”吗？请说明理由； (2)若一个四位数Q既是“差2数”，又是“成比例数”，请求出所有满足条件的Q． 【答案】(1)是“差2数”，不是“成比例数”，理由见详解 (2)3355、5533、3553、5335 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数的除法运算、整式的加减运算 【分析】（1）根据“差2数”和“成比例数”的定义直接判断即可； （2）设有四个小于10的正整数：a、b、c、d，且，即a、b、c、d的平均数为4，结合“差2数”和“成比例数”的特点，设a、b、c、d满足，当，时，可得，即有，，此时依据“成比例数”的定义判断即可；当，时，可得，即有，，则，，此时依据“成比例数”的定义判断即可作答，问题随之得解． 【详解】（1）∵，且， ∴1735是“差2数”， ∵各个数位数字由小到大排列后为1，3，5，7，且， ∴1735不是“成比例数”； （2）设有四个小于10的正整数：a、b、c、d，且， 即a、b、c、d的平均数为4， 显然当时，组成的数字4444不是“差2数”， 当a、b、c、d，有三个数大于4时，这四个是必为：5、5、5、1， 则5、5、5、1组成的数既无法是“差2数”，也无法是“成比例数”； 当a、b、c、d，有三个数小于4时，这四个是必为：3、3、3、7， 则3、3、3、7组成的数既无法是“差2数”，也无法是“成比例数”； 结合“差2数”和“成比例数”的特点， 设a、b、c、d满足， 当，时， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 将a、b、c、d从小达到排列为1，3，5，7，且， ∴1，3，5，7，无法组成“成比例数”，故此种情况舍去； 当，时， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴得到四个数字：3、3、5、5，组成的数字必定是“成比例数”， 此时可以组成的“差2数”有：3355、5533、3553、5335； 综上：满足条件的Q有：3355、5533、3553、5335． 【点睛】本题以新定义为背景考查了整式混合运算的应用以及学生应用知识的能力，解题关键是要理解新定义，能根据条件找出合适的“成比例数”和“差2数”． 【变式9-2】．计算： 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，原式逆用通分法求解即可． 【详解】解： ． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．计算：则*等于（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法和除法，根据题意可得，再结合有理数的除法法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 2．计算：（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的除法，解题关键是掌握有理数的除法． 利用有理数的除法法则直接计算． 【详解】解：， 故选：A． 3．有理数a，b在数轴上的对应点的位置（b在原点左侧，a在原点右侧，且），则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数加法运算、两个有理数的乘法运算、有理数的除法运算 【分析】本题考查了数轴，绝对值，有理数的加减乘除运算，解题的关键是熟练掌握以上知识点；由数轴可得，根据有理数的运算法则即可判断选项BCD，再根据即可判断选项． 【详解】解： b在原点左侧，a在原点右侧， ， ，，， ， ， 故选项ACD不正确，选项B正确， 故选：B． 4．下列算式中，运算过程错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查小数除法的计算法则．根据计算小数除法时，商不变的性质，将除数和被除数同时扩大相同的倍数，使除数转化为整数；逐个分析每个选项的运算过程即可解答． 【详解】解：A、，故A选项计算正确，不符合题意； B、，故B选项计算错误，符合题意； C、，故C选项计算正确，不符合题意； D、，故D选项计算正确，不符合题意． 故选：B． 5．的倒数与4的相反数的商为（ ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【知识点】相反数的定义、倒数、有理数的除法运算 【分析】本题考查了倒数、相反数和有理数的除法运算． 先求出的倒数，再求的相反数，最后计算两者的商即可． 【详解】解： 的倒数为 又的相反数为 根据题意可列式为 故选：D 6．已知，则的最大值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【知识点】绝对值非负性、有理数加法运算、有理数的除法运算 【分析】本题考查有理数的运算，根据，得到的符号为2正1负，或者2负1正，根据绝对值的意义，以及式子的特点得到，时，式子的值最大，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的符号为2正1负，或者2负1正， ∴，，为2个1，1个或1个，2个 ∵最大， ∴，， ∴ 的最大值为； 故选C． 7．下列各计算，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数的减法运算、两个有理数的乘法运算、有理数的除法运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，将各式计算后进行判断即可． 【详解】解：A、，则A不符合题意； B、，则B不符合题意； C、，则C符合题意； D、，则D不符合题意． 故选：C． 8．要使算式的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为（    ） A．+ B．﹣ C．× D．÷ 【答案】D 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的加减乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数加减乘除和有理数大小比较的性质，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 要使算式的运算结果最大，则“□”内应填入的运算符号为， 故选：D． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．如果a和b互为倒数，那么的值是 ． 【答案】2 【知识点】倒数、有理数的除法运算 【分析】本题主要考查倒数的性质以及分式的乘除运算．先根据a、b互为倒数得出，再将除法运算转化为乘法运算，最后代入计算得出结果． 【详解】解：互为倒数， 原式 故答案为． 10．已知有一个新算符“”，使下列算式，那么 【答案】 【知识点】有理数的除法运算 【分析】此题考查新运算，解决本题的关键是找出新运算方法．因为，由此可得：，由此根据规律代入进行计算即可． 【详解】解：，，， 根据规律可得： 故答案为：． 11．如果，则，，的大小关系为 ． 【答案】 【知识点】有理数大小比较、有理数的除法运算 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，有理数的除法运算，利用特值法假设，再进一步求解即可． 【详解】解：假设， 则，； ∴； ∴． 故答案为：． 12．计算 ． 【答案】7 【知识点】有理数乘法运算律、有理数的除法运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握乘法对加法的分配律． 先将除法运算转化成乘法运算，再利用乘法对加法的分配律进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：7． 13．某工人与老板签订了一份30天的劳务合同：出勤一天可得报酬240元，缺席一天则要从所得报酬中扣掉60元，扣完为止．该工人合同到期后没有拿到报酬，那么他最多出勤 天． 【答案】6 【知识点】有理数除法的应用 【分析】本题考查有理数除法的实际应用，根据出勤一天可得报酬240元，缺席一天则要从所得报酬中扣掉60元，得到每5天出勤1天，即可满足题意，用总天数除以5，进行求解即可． 【详解】解：（天）； 即：出勤1天，接下来缺勤4天，满足题意， （天）； 故答案为：6． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．直接写得数． ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 【答案】①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧ 【知识点】有理数加法运算、有理数的减法运算、两个有理数的乘法运算、有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的四则运算，掌握相关运算法则是解题关键． ①根据有理数加法法则计算即可； ②根据有理数减法法则计算即可； ③先将百分数化为小数，再根据有理数加法法则计算即可； ④根据有理数乘法法则计算即可； ⑤根据有理数除法法则计算即可； ⑥根据有理数乘法法则计算即可； ⑦根据有理数减法法则计算即可； ⑧根据有理数乘法法则计算即可． 【详解】解：① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 15．“题载思想”，刘聪同学常对自己的错题进行“究错”，以下是摘自她的一篇究错日记，请你对刘聪所编的习题进行解答． 【错题日期】 9月23日 【错题来源】 当堂测验 【错题重现】 用简便方法计算： 【所属考点】 有理数的运算 【错因分析】 有理数的加法运算算理不透，误把写成，导致本题错误． 【刘聪编题】 用简便方法计算： 【答案】 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的除法运算，解题的关键是掌握转化的思想． 将化为，再利用乘法分配律计算． 【详解】解： ． 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数的除法运算、有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的除法计算，有理数的乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）把除法变成乘法，再计算乘法即可； （2）把原式变形为，再利用乘法分配律求解即可； （3）根据除法计算法则求解即可； （4）先将除法化为乘法，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 17．某市今年2月某一周内三天的最高气温与最低气温记录如下表： 星期 二 四 六 最高气温（℃） 0 最低气温（℃） (1)分别计算本周这三天的温差； (2)本周这三天最高气温的平均温度比最低气温的平均温度高多少？ 【答案】(1)周二，周四，周六 (2) 【知识点】有理数加法在生活中的应用、有理数减法的实际应用、有理数除法的应用 【分析】本题主要考查有理数加法、减法及除法的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据表格可直接进行求解； （2）根据题意可直接进行求解 【详解】（1）解：周二：； 周四：； 周六：． （2）解： ． 答：本周这三天最高气温的平均温度比最低气温的平均温度高． 18．随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭．小明家中买了一辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程（如下表），以50千米为标准，多于50千米的记为“”，不足50千米的记为“”，刚好50千米的记为“0”． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（千米） 0 (1)请求出这七天中平均每天行驶多少千米？ (2)若每行驶100千米需用汽油6升，汽油价元/升，请估计小明家一个月（按30天计）的汽油费用是多少元？ 【答案】(1)50千米 (2)元 【知识点】有理数加减混合运算的应用、有理数乘法的实际应用、有理数除法的应用 【分析】本题主要用正负数的应用、有理数混合运算的应用等知识点，明确选50千米为标准记为0，超过部分为正，不足的部分为负成为解题的关键． （1）将所给数据相加，用这个数据除以7再加上50 即可； （2）用每天平均路程乘以30即可求得一个月的路程，然后除以100看有多少个100千米，然后乘6，得到需用汽油多少升，再乘元即可解答． 【详解】（1）解：， 所以平均每天行驶的路程为（千米）， 答：这七天中平均每天行驶50千米． （2）解：小明家一个月（按30天计算）要行驶路程为（千米）， 元． 答：估计小明家一个月（按30天计）的汽油费用是元． 19．【阅读材料】 当有理数不等于0时，规定 … 特别地，． 【解决问题】计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的除法新定义运算，有理数的乘除混合运算，理解新运算是解题的关键． （1）根据可得，故，再根据有理数的乘除混合运算法则计算即可； （2）由题意可得，，再根据有理数的乘除混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 20．综合与实践 【主题】折纸． 【素材】已知在纸面上有一数轴（如图所示），折叠纸面． 【实践操作】 操作1：在纸面上有如图所示的一数轴，折叠纸面，若数轴上数1表示的点与数表示的点重合，则数轴上数表示的点与数2表示的点重合． 操作2：现打开纸面后，再次折叠．使数轴上数表示的点与数0表示的点重合．数轴上两点折叠后重合，两点折叠后重合． 【实践探索】 (1)在操作2中，数轴上数3表示的点与数_____表示的点重合； (2)若点到原点的距离是5个单位长度，求点表示的数； (3)若数轴上两点之间的距离为20且点表示的数比点表示的数大，现有一只电子蚂蚁从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向射线的方向运动，求当电子蚂蚁所在位置到点的距离为4时，电子蚂蚁所用的时间为多少秒？ 【答案】(1) (2)或1 (3)8秒或12秒 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、有理数除法的应用 【分析】本题主要考查的是数轴的认识，数轴上两点之间的距离，点的对称性． （1）数轴上数表示的点与数0表示的点关于点对称，再找出数3表示的点关于点的对称点即可； （2）点A到原点的距离是5个单位长度，则点A表示的数为5或，分两种情况讨论，即可得到B点表示的数； （3）分电子蚂蚁所在位置位于点的左侧与右侧两种情况，分别计算即可． 【详解】（1）解：数轴上数表示的点与数0表示的点重合， 折痕处的点表示的数为：， ，， 数轴上数3表示的点与数表示的点重合； 故答案为：； （2）解：点到原点的距离是5个单位长度， 点A表示的数为5或， 点A表示的数为5时， ，， 点A表示的数为时， ，， 点表示的数为：或1； （3）解：当电子蚂蚁所在位置位于点的左侧时， 电子蚂蚁所用的时间为， 当电子蚂蚁所在位置位于点的右侧时， 电子蚂蚁所用的时间为， 即电子蚂蚁所用的时间为8秒或12秒． 达标检测 B 抓核心 三大题型提升练 A 夯基础 五大题型提分练 C 促拓展 能力强化拓展练 学科网（北京）股份有限公司 $